建筑力學(xué) 第六章 扭轉(zhuǎn)

1、6-26-2 轉(zhuǎn)動(dòng)軸的外力偶矩轉(zhuǎn)動(dòng)軸的外力偶矩扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖6-36-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 6-46-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形條件等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形條件強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件6-56-5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形條件等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形條件剛度條件剛度條件6-66-6 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能6-76-7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形第一節(jié) 概 述第一節(jié) 概 述受力特征：受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)，在桿的兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)， 作用著一作用著一對(duì)力偶，其力偶矩相等、方向相反。對(duì)力偶，其力偶矩相等、方向相反。變形

2、特征：變形特征：桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)。桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)。扭轉(zhuǎn)角：扭轉(zhuǎn)角：任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度。任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度。第一節(jié) 概 述第二節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的外力偶矩扭矩及扭矩圖外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系)(55. 96021000mkNnNnNWMkke扭矩圖扭矩圖第二節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的外力偶矩扭矩及扭矩圖扭矩符號(hào)規(guī)定：扭矩符號(hào)規(guī)定：右手定則：右手定則：右手四指內(nèi)屈，與扭矩轉(zhuǎn)向相同，則拇指右手四指內(nèi)屈，與扭矩轉(zhuǎn)向相同，則拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向與截面外法的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向與截面外法線相同，規(guī)定扭矩為

3、正，反之為負(fù)。線相同，規(guī)定扭矩為正，反之為負(fù)。第二節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的外力偶矩扭矩及扭矩圖例例6-1. 圖示圓軸中，各輪上的轉(zhuǎn)矩分圖示圓軸中，各輪上的轉(zhuǎn)矩分 別別為為mA 4kNm，mB 10kNm， mC =6kN m，試求試求1-1截面和截面和2-2截面上截面上 的扭的扭矩，并畫扭矩圖。矩，并畫扭矩圖。第二節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的外力偶矩扭矩及扭矩圖例例6-2. 一圓軸如圖所一圓軸如圖所 示，示，已知其轉(zhuǎn)速為已知其轉(zhuǎn)速為n 300轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，主動(dòng)輪分，主動(dòng)輪A輸入的功率輸入的功率為為NA 400KW，三個(gè)從三個(gè)從動(dòng)動(dòng) 輪輪B、C和和D輸出的功輸出的功 率分別為率分別為NB NC 120KW，ND 160KW。 試畫

4、出此圓軸的扭矩圖。試畫出此圓軸的扭矩圖。作業(yè)o P111:6-2第三節(jié) 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)1 1、各圓周線繞軸有、各圓周線繞軸有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但形狀、相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但形狀、大小及兩圓周線間大小及兩圓周線間的距離不變。的距離不變。2 2、各縱向線仍為直、各縱向線仍為直線，但都傾斜了同線，但都傾斜了同一角度一角度，原來的小，原來的小矩形變成平行四邊矩形變成平行四邊形。形。每個(gè)小矩形的剪切應(yīng)變都等于縱向線傾斜的角度，故圓 筒表面上每個(gè)小矩形側(cè)面上的均相等。第三節(jié) 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)ATrdA02 rAdAA02022ATrT第三節(jié) 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)rLLr02022ATrTG剪切虎克定律剪切虎克定律TG:切變模量切變

5、模量LrGGAT002TTddxGATdA 又ATdAdxdG2截面的極慣性矩截面的極慣性矩PGITdxd第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件PIT代入得第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件PITPITrmaxPPWrI令扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)PWTmax第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)實(shí)心圓截面2032222dAAPdddAI324dIP162/3ddIWPP空心圓截面32)(244203dDdIdP令令Dd32)1 (44DIP16)1 (33DWP例例6-4. 由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切由兩種不同材料組

6、成的圓軸，里層和外層材料的切 變模變模量分別為量分別為G1 和和G2 ，且，且G1 =2G2 。圓軸尺寸如圖所示。圓。圓軸尺寸如圖所示。圓 軸受扭軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對(duì)滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的時(shí)，里、外層之間無相對(duì)滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的 切應(yīng)力分布，有切應(yīng)力分布，有圖中圖中（A）、（）、（B）、（）、（C）、（）、（D）所示所示 的四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪的四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一種是正確的。一種是正確的。第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件解：解：圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對(duì)滑動(dòng)，這表明圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對(duì)滑動(dòng)，這表明 二者形成一二者形成一個(gè)整體，同

7、時(shí)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假個(gè)整體，同時(shí)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假 定，二者組成的組合截定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，在軸受扭后依然保持平 面，即其直徑保持為直線，但要相當(dāng)面，即其直徑保持為直線，但要相當(dāng)于原來的位置轉(zhuǎn)過一角度。于原來的位置轉(zhuǎn)過一角度。 因此，在里、外層因此，在里、外層交界處二者具有相同的切應(yīng)變交界處二者具有相同的切應(yīng)變。 由于內(nèi)層由于內(nèi)層（實(shí)心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)截面）的剪切彈（實(shí)心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)截面）的剪切彈性模量性模量（G1 =2G2 ），），所以所以內(nèi)層內(nèi)層 在二者交界處的切應(yīng)力一定大于在二者交界處的切應(yīng)力一定大于外層

8、在二者交界處的切應(yīng)力外層在二者交界處的切應(yīng)力。據(jù)此，答案。據(jù)此，答案（A）和和（B）都是不正都是不正確的。確的。 在答案在答案（D）中，外層在二者交界處的切應(yīng)力等于中，外層在二者交界處的切應(yīng)力等于 零，這也零，這也是不正確的，因?yàn)橥鈱釉诙呓唤缣幍那袘?yīng)是不正確的，因?yàn)橥鈱釉诙呓唤缣幍那袘?yīng) 變不為零，根據(jù)剪切變不為零，根據(jù)剪切胡克定律，切應(yīng)力也不可能等于胡克定律，切應(yīng)力也不可能等于 零。零。 根據(jù)以上分析，正確答案是根據(jù)以上分析，正確答案是（C）作業(yè)o P112:6-3第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件max強(qiáng)度計(jì)算的三類問題：(1)(1)、強(qiáng)度校核、強(qiáng)度校核maxpWT(2)(2

9、)、截面設(shè)計(jì)、截面設(shè)計(jì)maxTWp(3)(3)、確定許用荷載、確定許用荷載pWTmax第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件例例6-5. P7.5kW,n=100r/min，許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力40MPa，空心圓空心圓軸的內(nèi)外徑之比軸的內(nèi)外徑之比 = 0.5。求。求: 實(shí)心軸的直徑實(shí)心軸的直徑 d1 和空心軸的外徑和空心軸的外徑D2 mNmkNnPTMe25.71671625. 055. 9MPadTWTP4016311maxmmd45104025.71616361MPaDTWTP40)1 (164322maxmmD99.45)5 . 01 (104025.716163462第四節(jié) 等直圓桿扭

10、轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件例例6-5. 一內(nèi)徑一內(nèi)徑d=100mm的空心圓軸如圖示，已知圓軸受扭矩的空心圓軸如圖示，已知圓軸受扭矩 T=5kNm，許用切應(yīng)力，許用切應(yīng)力=80MPa，試確定空心圓軸的壁厚。，試確定空心圓軸的壁厚。因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圓筒。分別按薄壁圓筒因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圓筒。分別按薄壁圓筒 和空心圓軸設(shè)計(jì)和空心圓軸設(shè)計(jì)（1）按薄壁圓筒設(shè)計(jì)設(shè)平均半徑設(shè)平均半徑2/ )(0 dR202 RTmmmTd39789000039789. 02)(32mm7 . 3039789100,10039789)100(100)100(2323xxx則令根據(jù)盛金公式可以求得根

11、據(jù)盛金公式可以求得第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件（2）按空心圓軸設(shè)計(jì)maxPWT2 dD)(1644dDDTDdD344610516)(108001 . 010801080108046346DD根據(jù)費(fèi)拉里解法根據(jù)費(fèi)拉里解法( (或置換群法或置換群法) )求得求得mmD7 .107mm85. 3可以認(rèn)為是薄壁圓筒可以認(rèn)為是薄壁圓筒時(shí)當(dāng)10/0R作業(yè)o P112:6-6,6-9圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面的應(yīng)力0F0cos)sin(sin)cos(dAdAdA2sin20F0sin)sin(cos)cos(dAdAdA2cos2第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件第四節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條

12、件2sin22cos2討論: 000max045max4504545min45045第五節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.剛度條件pGITdxdlpldxGITd0pGIT當(dāng)?shù)戎眻A桿僅在兩端受一對(duì)外力偶作用時(shí)當(dāng)?shù)戎眻A桿僅在兩端受一對(duì)外力偶作用時(shí)pGITL當(dāng)?shù)戎眻A桿有兩個(gè)以上的外力偶作用當(dāng)?shù)戎眻A桿有兩個(gè)以上的外力偶作用時(shí)，需要先畫出扭矩圖，然后時(shí)，需要先畫出扭矩圖，然后 分段分段計(jì)算各段的變形，各段變形的代數(shù)和計(jì)算各段的變形，各段變形的代數(shù)和即為桿的總變形。即為桿的總變形。iipiiGILT)(剛度條件剛度條件max單位單位m/180maxPGIT即第五節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.剛度條件例例6-6.如圖

13、所示階梯軸。外力偶矩如圖所示階梯軸。外力偶矩M1 0.8KNm， M2 2.3KNm， M3 1.5KNm，AB段的直徑段的直徑d1 4cm，BC段的直徑段的直徑d2 7cm。已知。已知材料材料 的剪切彈性模量的剪切彈性模量G80GPa，試計(jì)算，試計(jì)算AB 和和AC 。44111 .2532cmdIp442223632cmdIp )(0318. 0111角度radGILTPABradGILTPBC0079. 0222radACABAC0239. 0第五節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.剛度條件例例6-7.圖示一空心傳動(dòng)軸，輪圖示一空心傳動(dòng)軸，輪1為主動(dòng)輪，力偶矩為主動(dòng)輪，力偶矩M1 9KNm，輪，輪2

14、、輪、輪3、輪、輪4為從動(dòng)為從動(dòng) 輪輪,力偶矩分別為力偶矩分別為M2 4KNm，M3 3.5KNm，M4 1.5KNm。已知空心軸內(nèi)外徑之比。已知空心軸內(nèi)外徑之比 d/D1/2，試設(shè)計(jì)此軸的外徑試設(shè)計(jì)此軸的外徑D，并求，并求出全軸兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角出全軸兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角24 。G80GPa， 60MPa。maxTWp16)1 (Dmax43T即)1(16D4max3Tm07678. 0)5 . 01 (106010516D34633mmdmmD3978，取（1 1）求直徑）求直徑D和和d第五節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.剛度條件3644104 . 332)1 (mDIp（2 2）求轉(zhuǎn)角）求轉(zhuǎn)角rad

15、GILTP00734. 0103.410805 . 01046-931121radGILTP00917. 0103.410805 . 0105-6-932213radGILTP00275. 0103.410805 . 0101.5-6-933334rad00458. 034132123例例6-8.一內(nèi)徑為一內(nèi)徑為d、外徑為、外徑為D=2d的空心圓管與一直徑為的空心圓管與一直徑為d的實(shí)心圓桿的實(shí)心圓桿結(jié)合成一組合圓軸，共同承受轉(zhuǎn)矩結(jié)合成一組合圓軸，共同承受轉(zhuǎn)矩Me 。圓管與圓桿的材料不同，。圓管與圓桿的材料不同，其切變模量分別為其切變模量分別為G1和和G2 ，且，且G1=G2/2，假設(shè)兩桿扭轉(zhuǎn)變

16、形時(shí)無相，假設(shè)兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，且均處于線彈性范圍。對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，且均處于線彈性范圍。 試問兩桿橫截面上的最大切應(yīng)力試問兩桿橫截面上的最大切應(yīng)力之比之比1/ 2為多大？并畫為多大？并畫 出沿半徑方向的切應(yīng)力變化規(guī)律。出沿半徑方向的切應(yīng)力變化規(guī)律。因兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)因兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)21222111PPIGLTIGLT即221121PPIGIGTTdDGGIIdDIGIGIdTIDTPPPPPP2112221122112122第五節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.剛度條件例例6-9.已知鉆探機(jī)桿的外徑已知鉆探機(jī)桿的外徑D=60mm, ,內(nèi)徑內(nèi)徑d=50mm, ,功率功率 P=7.35k

17、W, ,轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=180r/min, ,鉆桿入土深度鉆桿入土深度L=40m，G=80GPa， =40MPa。設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的, ,試求：（試求：（1） 單位長度單位長度上土壤對(duì)鉆桿的阻力矩上土壤對(duì)鉆桿的阻力矩M；（；（2）作鉆桿的扭矩圖）作鉆桿的扭矩圖, ,并進(jìn)行強(qiáng)度校核；并進(jìn)行強(qiáng)度校核；（3）求）求A、B兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。第五節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.剛度條件NmnPMe3901055. 931)1)單位長度阻力矩單位長度阻力矩NlMMe75. 9403902)2)強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核)6050(1 6010390433

18、maxPeWM7 .17maxMPa第五節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.剛度條件PABGIMl223)3)相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角MxxT)(dxGIMxlPAB0148. 010)5060(10802324039012449作業(yè)o P112:6-7第六節(jié) 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能單元體外力作功單元體外力作功: :dxdydzdxdydzdW21)()(21dVdW 變形能密度變形能密度: :2121dxdydzdxdydzVVv等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能: :ll AAVdAdxdAdxvdVvV21PITGPAPl AGIlTdAITGldAdxGV2)(222222第七節(jié) 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形非圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持平面而發(fā)生非圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持平面而發(fā)生翹曲。翹曲。橫截面可以自由翹曲。橫截面可以自由翹曲。自由扭轉(zhuǎn)：即：橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力即：橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力橫截面的翹曲受到限制。橫截面的翹曲受到限制。約束扭轉(zhuǎn)：即：橫截面上既有切應(yīng)力又有正應(yīng)力即：橫截面上既有切應(yīng)力又有正應(yīng)力第七節(jié) 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形矩形截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力的分布特點(diǎn) 1 1、角點(diǎn)切應(yīng)力等于零、角點(diǎn)切應(yīng)力等于零2 2、邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力沿、邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力沿 切線方向切線方向3 3、最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊中點(diǎn)、最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊