大物期末習(xí)題

1、1 1 例題例題：假設(shè)物體以初速度：假設(shè)物體以初速度v0沿與水平方向成角沿與水平方向成角 方方向被拋出向被拋出, 求物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程、射程、飛行時(shí)間和求物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程、射程、飛行時(shí)間和物體所能到達(dá)的最大高度。物體所能到達(dá)的最大高度。0 拋體運(yùn)動(dòng)可以看作為拋體運(yùn)動(dòng)可以看作為x方向方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和y方向的勻方向的勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)相疊加。變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)相疊加。0 xy0vO解解：首先必須：首先必須建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系, 取拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)取拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O, x 軸水平向右軸水平向右, y 軸豎直向上軸豎直向上, 如圖。如圖。運(yùn)動(dòng)疊加原理是求解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的有力工具。運(yùn)動(dòng)疊加原理

2、是求解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的有力工具。 2 2()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin10 x 解得：解得：（射程）（射程）物體的飛行時(shí)間物體的飛行時(shí)間Txvvg200002cossin拋射角拋射角 0 = /4時(shí)時(shí),最大射程最大射程gvx20max0 xy0vO00cos00(cos)xvxvtt將將x2代入上式，得代入上式，得3 30 xy0vO由（由（1）、（）、（2）得：）得：yxgvx()(cos)tan000222拋體運(yùn)動(dòng)軌道方程拋體運(yùn)動(dòng)軌道方程 00000,cos,(cos)xxavvxvt00200,sin,1(sin)2yyagvvgtyvtgt (1)(2)討

3、論：討論：令令y = 0，得，得 ()(cos)tan0002220 xgvx4 4 實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線(xiàn)，射實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線(xiàn)，射程和最大高度都比上述值要小。程和最大高度都比上述值要小。 最大高度最大高度 :Hvg02202sin當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí)當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí), 必有必有0yvtvg100sin物體達(dá)最大高度的時(shí)間物體達(dá)最大高度的時(shí)間0 xy0vO將上式代入將上式代入2001(sin)2yvtgt5 5()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin10 x 解得：解得：（射程）（射程）物體的飛行時(shí)間物體的飛行時(shí)間Txvvg200002cossin拋射角拋射

4、角 0 = /4時(shí)時(shí),最大射程最大射程gvx20max0 xy0vO00cos00(cos)xvxvtt將將x2代入上式，得代入上式，得6 6 實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線(xiàn)，射實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線(xiàn)，射程和最大高度都比上述值要小。程和最大高度都比上述值要小。 最大高度最大高度 :Hvg02202sin當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí)當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí), 必有必有0yvtvg100sin物體達(dá)最大高度的時(shí)間物體達(dá)最大高度的時(shí)間0 xy0vO將上式代入將上式代入2001(sin)2yvtgt7 7 例例1：通過(guò)絞車(chē)?yán)瓌?dòng)湖中小船拉向岸邊：通過(guò)絞車(chē)?yán)瓌?dòng)湖中小船拉向岸邊, 如圖。如如圖。如果絞車(chē)以恒定的速率果絞車(chē)以恒定

5、的速率u拉動(dòng)纖繩拉動(dòng)纖繩, 絞車(chē)定滑輪離水面絞車(chē)定滑輪離水面的高度為的高度為h, 求小船向岸邊移動(dòng)的速度和加速度。求小船向岸邊移動(dòng)的速度和加速度。 解解：以絞車(chē)定滑輪處為坐標(biāo)原點(diǎn)：以絞車(chē)定滑輪處為坐標(biāo)原點(diǎn), x 軸水平向軸水平向右右, y 軸豎直向下軸豎直向下, 如圖所示。如圖所示。xlhyoxxlhu8 8 設(shè)設(shè):小船到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為小船到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為l, 任意時(shí)刻小船到岸邊的距離任意時(shí)刻小船到岸邊的距離x總總滿(mǎn)足滿(mǎn)足 x 2 = l 2 h 2 兩邊對(duì)時(shí)間兩邊對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù), 得得 22xxtlltdddd 絞車(chē)?yán)瓌?dòng)纖繩的速率絞車(chē)?yán)瓌?dòng)纖繩的速率, 纖繩隨時(shí)間在纖繩隨時(shí)間在縮短

6、縮短, 故故 ; 是小船向岸邊移動(dòng)的速是小船向岸邊移動(dòng)的速率。率。ddltu ddlt 0ddxtvxlhyoxuxhxuxlv22 負(fù)號(hào)表示小船速負(fù)號(hào)表示小船速度沿度沿x 軸反方向。軸反方向。 9 92222222dlld xd dddtalhdtdt dtdtlh2222dludludtdtlhlh 根據(jù)數(shù)學(xué)公式：2vuvvuuu22222222dlldldtlhldtlhaulh 2-10102222222222222222()llhlhllhuulhlhlh222223u hu hxxx 小船的加速度隨著到岸邊距離的減小而急劇增大小船的加速度隨著到岸邊距離的減小而急劇增大2222222

7、2dlldldtlhldtlhaulh -1111 解解：質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度分別為：質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度分別為 例例2: 質(zhì)點(diǎn)以初速質(zhì)點(diǎn)以初速 沿半徑為沿半徑為R 的圓周運(yùn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng), 其其加速度方向與速度方向夾角加速度方向與速度方向夾角 為恒量為恒量, 求質(zhì)點(diǎn)速求質(zhì)點(diǎn)速率與時(shí)間的關(guān)系。率與時(shí)間的關(guān)系。 v02nd,dvvaatR分離變量分離變量ddtanvvtR2vtRvaaddtan2tnvaana 1212這就是所要求的速率與時(shí)間的關(guān)系。這就是所要求的速率與時(shí)間的關(guān)系。 110vvtRtan得得ddtan vvtRvvt200積分積分1313 習(xí)習(xí) 題題1-4 現(xiàn)有一

8、矢量現(xiàn)有一矢量R是時(shí)間是時(shí)間t的函數(shù)，問(wèn)的函數(shù)，問(wèn) 與與 在在一般情況下是否相等？為什么？一般情況下是否相等？為什么？ddRtddRt 解解: 與 在一般情況下是不相等的。因?yàn)樵谝话闱闆r下是不相等的。因?yàn)榍扒罢呤菍?duì)矢量者是對(duì)矢量R的絕對(duì)值的絕對(duì)值(大小或長(zhǎng)度大小或長(zhǎng)度)求導(dǎo)，表示矢求導(dǎo)，表示矢量量R的大小隨時(shí)間的變化率的大小隨時(shí)間的變化率；而；而后者是對(duì)矢量后者是對(duì)矢量R的的大小和方向兩者同時(shí)求導(dǎo)，再取絕對(duì)值，表示矢量大小和方向兩者同時(shí)求導(dǎo)，再取絕對(duì)值，表示矢量R大小隨時(shí)間的變化和矢量大小隨時(shí)間的變化和矢量R方向隨時(shí)間的變化兩方向隨時(shí)間的變化兩部分的絕對(duì)值。部分的絕對(duì)值。如果矢量如果矢量R方向

9、不變只是大小變化，方向不變只是大小變化，那么這兩個(gè)表示式是相等的。那么這兩個(gè)表示式是相等的。 ddRtddRt14141-12 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)間的關(guān)系為設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)間的關(guān)系為x = x(t)，y = y(t)，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，如果先，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，如果先求出求出 ，然后根據(jù)，然后根據(jù) 和和 求得結(jié)果；還可以用另一種方法計(jì)算：先算出速求得結(jié)果；還可以用另一種方法計(jì)算：先算出速度 和 加 速 度 分 量 ， 再 合 成 ， 得度 和 加 速 度 分 量 ， 再 合 成 ， 得 v = 和和rxy22vrtddartdd22()()ddddxtyt22axtyt()(

10、)dddd222222。你認(rèn)為哪一組結(jié)果正確？。你認(rèn)為哪一組結(jié)果正確？為什么？為什么？ 1515解解 第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一組結(jié)果不正確，這是因?yàn)樵谝话闱闆r下組結(jié)果不正確，這是因?yàn)樵谝话闱闆r下vtrtatrtdddddddd22rr,22 速度和加速度中的速度和加速度中的r是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量，不僅有是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量，不僅有大小而且有方向，微分時(shí)，既要對(duì)大小微分也要對(duì)大小而且有方向，微分時(shí)，既要對(duì)大小微分也要對(duì)方向微分。第一組結(jié)果的錯(cuò)誤就在于，只對(duì)位置矢方向微分。第一組結(jié)果的錯(cuò)誤就在于，只對(duì)位置矢量的大小微分，而沒(méi)有對(duì)位置矢量的方向微分。量的大

11、小微分，而沒(méi)有對(duì)位置矢量的方向微分。16161-21 質(zhì)點(diǎn)從傾角為質(zhì)點(diǎn)從傾角為 =30 的斜面上的的斜面上的O點(diǎn)被拋出，點(diǎn)被拋出，初速度的方向與水平線(xiàn)的夾角為初速度的方向與水平線(xiàn)的夾角為 = 30 ， 如圖所如圖所示，初速度的大小為示，初速度的大小為v0 = 9.8 m s 1 。若忽略空氣。若忽略空氣的阻力，試求：的阻力，試求：(1) 質(zhì)點(diǎn)落在斜面上的質(zhì)點(diǎn)落在斜面上的B點(diǎn)離開(kāi)點(diǎn)離開(kāi)O點(diǎn)的距離；點(diǎn)的距離；(2) 在在t = 1.5 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度、切向加速度和法時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度、切向加速度和法向加速度。向加速度。1717解解 建立如圖所示的坐標(biāo)系建立如圖所示的坐標(biāo)系 avvxvtxx000co

12、s(cos )agvvgtyvtgtyy 00212sin(sin ) (1) 設(shè)設(shè)B點(diǎn)到點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為l，則，則B點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為 如果質(zhì)點(diǎn)到達(dá)如果質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間為點(diǎn)的時(shí)間為 ，則可以列出下面的方程式，則可以列出下面的方程式 xlyl cos,sin. (1) xlvcos(cos ), 01818以上兩式聯(lián)立，可解得以上兩式聯(lián)立，可解得20vgsin()cos (3) ylvg sin(sin ) 0212(2) 將式將式(3)代入式代入式(1)，得，得lvg219602sin()coscos.m1919 (2) 設(shè)在設(shè)在t = 1.5 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)時(shí)

13、質(zhì)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)，此時(shí) vvx0185cos.m svvgy 0198sin.m s所以速度的大小為所以速度的大小為vvvxy221130 .m s速度與速度與y軸負(fù)方向的夾角為軸負(fù)方向的夾角為arctanarctan0.867 =vvxy40 562020agtm scos.742agnm ssin.6422121 例題例題6：在傾角為在傾角為 的山坡上安放一尊大炮，大炮的山坡上安放一尊大炮，大炮相對(duì)山坡的仰角為相對(duì)山坡的仰角為 ，所發(fā)射炮彈的初速為，所發(fā)射炮彈的初速為v0。忽。忽略了空氣阻力，求炮彈擊中目標(biāo)的位置、最大射略了空氣阻力，求炮彈擊中目標(biāo)的位置、最大射程和對(duì)應(yīng)最大射程的仰角。

14、程和對(duì)應(yīng)最大射程的仰角。 解解:取炮口為坐標(biāo)原點(diǎn)，取炮口為坐標(biāo)原點(diǎn)，取取x軸沿水平向右、軸沿水平向右、y軸豎軸豎直向上，建立坐標(biāo)系。直向上，建立坐標(biāo)系。 該題與拋體運(yùn)動(dòng)無(wú)本質(zhì)差異，只是炮彈的著地該題與拋體運(yùn)動(dòng)無(wú)本質(zhì)差異，只是炮彈的著地點(diǎn)點(diǎn)P不是在水平面上，而是在傾角為不是在水平面上，而是在傾角為 的山坡上。的山坡上。另外，炮彈著地點(diǎn)另外，炮彈著地點(diǎn)P不是在水平面上不是在水平面上 2222根據(jù)拋物線(xiàn)方程：根據(jù)拋物線(xiàn)方程：山坡的直線(xiàn)方程為山坡的直線(xiàn)方程為 yxgxvtan()cos ()20222 (1) yxtan(2) （1）、（）、（2）聯(lián)立得：）聯(lián)立得：xvgk102()yvgk102()

15、 tan(3) 2323其中其中k()sin ()tancos ()222最大射程應(yīng)該滿(mǎn)足下面的條件：最大射程應(yīng)該滿(mǎn)足下面的條件： ddx10 由這個(gè)方程可以求得對(duì)應(yīng)最大射程的仰角。由這個(gè)方程可以求得對(duì)應(yīng)最大射程的仰角。將將x1代入上式，得代入上式，得20120dd()dd2cos2()tansin2()0vxkgvg2424于是得到于是得到cot ()tancot()22 2()2由此可解得對(duì)應(yīng)最大射程的仰角，為由此可解得對(duì)應(yīng)最大射程的仰角，為42 射程射程R是從坐標(biāo)原點(diǎn)是從坐標(biāo)原點(diǎn)(即炮口即炮口)沿山坡到擊中點(diǎn)沿山坡到擊中點(diǎn)P的的距離距離OP，不要錯(cuò)誤地認(rèn)為就是，不要錯(cuò)誤地認(rèn)為就是x1。所

16、以射程應(yīng)為。所以射程應(yīng)為 Rxvgk102coscos()25252022vgcostan()tan cos ()2022022cos()sincossin(2)sin cosvgvg 將對(duì)應(yīng)最大射程的仰角值代入上式，即可得將對(duì)應(yīng)最大射程的仰角值代入上式，即可得到最大射程，為到最大射程，為 Rvgmax0221cos(sin )例例1： 應(yīng)以多大速度發(fā)射，才能使人造地球衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)應(yīng)以多大速度發(fā)射，才能使人造地球衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)? 解：解：地球近似半徑為地球近似半徑為R的均勻球體的均勻球體, 衛(wèi)星離衛(wèi)星離地面高度為地面高度為h, 繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)

17、所需向心力為向心力為 若衛(wèi)星只受地球引力作用若衛(wèi)星只受地球引力作用, 引力就是衛(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。引力就是衛(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。 地地球的引力球的引力 在半徑等于地球半徑的圓形軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星所在半徑等于地球半徑的圓形軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星所需速度需速度, ,就是發(fā)射衛(wèi)星所需速度，即就是發(fā)射衛(wèi)星所需速度，即第一宇宙速度第一宇宙速度。 FmvrmvRh122FGMmrGMmRh222()由由F1 = F2 得得 vGMRhvR g11-3sm109 . 7 T0 = T0 ，作用力和反作用力，作用力和反作用力 ；繩子不可伸長(zhǎng)繩子不可伸長(zhǎng), 物體的加速度物體的加速度a 必定等于繩子的加速度

18、必定等于繩子的加速度a 。例例2:光滑桌上有一均勻細(xì)繩光滑桌上有一均勻細(xì)繩, 質(zhì)量質(zhì)量m、長(zhǎng)度、長(zhǎng)度 l, 一端一端系質(zhì)量為系質(zhì)量為M的物體的物體, 另一端施加一水平拉力另一端施加一水平拉力F。求。求 (1) 細(xì)繩作用于物體上的力細(xì)繩作用于物體上的力, (2) 繩上各處的張力。繩上各處的張力。解解: (1) 根據(jù)題意根據(jù)題意, 取物體和繩子為隔離體取物體和繩子為隔離體,分析分析其受力情況并畫(huà)出受力圖：其受力情況并畫(huà)出受力圖： MMgNT0aT0 Fa mgNs 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系, 取繩子與物體的接觸點(diǎn)為坐標(biāo)原取繩子與物體的接觸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)O, x軸沿繩子水平向右軸沿繩子水平向右, y軸豎

19、直向上。在軸豎直向上。在x方方向和向和y方向分別列出物體和繩子的運(yùn)動(dòng)方程方向分別列出物體和繩子的運(yùn)動(dòng)方程 x方向：方向：T0=Ma , F T0=ma y 方 向 ：方 向 ： N M g = 0 , Ns mg=0物體和繩子的加速度為物體和繩子的加速度為aFMm繩作用于物體繩作用于物體拉力拉力為為T(mén)MMmF0 一般物體所受繩子的拉力一般物體所受繩子的拉力T0 總小于外力總小于外力F, 只只有當(dāng)繩子的質(zhì)量可以忽略時(shí)有當(dāng)繩子的質(zhì)量可以忽略時(shí), 它們才近似相等。它們才近似相等。 OxyOxy (2) 在在 x 處取繩元處取繩元 dx (質(zhì)量質(zhì)量dm)作作為為隔離體隔離體, 分析受力，列運(yùn)動(dòng)方程分析

20、受力，列運(yùn)動(dòng)方程 dmx+dxxTT+dTadmgdNs x方向上：方向上：y方向上：方向上：()TTTa mdd0dsdgmN將將 和和 代代入得入得 ddmmlxaFMm()()TTTmFl MmxddddTmFl Mmx()xmMlmFTlxFTd)(dTFmFl MmlxMmxlFMm()()() 例例3：質(zhì)量為質(zhì)量為mA和和mB兩物體摞在桌面上。兩物體摞在桌面上。A與與B間間最大靜摩擦系數(shù)為最大靜摩擦系數(shù)為 1 , B與桌面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為與桌面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 2, 現(xiàn)用水平向右的力現(xiàn)用水平向右的力F拉物體拉物體B, 試求當(dāng)試求當(dāng)A、B間無(wú)相對(duì)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)并以共同加速度向右運(yùn)動(dòng)時(shí)滑

21、動(dòng)并以共同加速度向右運(yùn)動(dòng)時(shí), F的最大值。的最大值。 解：解：分別取分別取A和和B為研究對(duì)象。為研究對(duì)象。 建立坐標(biāo)系取建立坐標(biāo)系取x軸水平向右軸水平向右, 取取y軸豎直向上。沿軸豎直向上。沿x軸向右為正軸向右為正,向左為負(fù)向左為負(fù); 沿沿y軸向上為正向下為負(fù)。軸向上為正向下為負(fù)。FABAmAgN1f0f0 FmBgN2N1 fB由牛頓第二定律和摩擦力的規(guī)律列出方程式：由牛頓第二定律和摩擦力的規(guī)律列出方程式：F = ( 1 + 2 ) (mA + mB ) g對(duì)物體對(duì)物體A：f0=mAa, N1 mAg=0, f0= 1N1 對(duì)對(duì)B：F f0 f=mBa, N2 N1 mBg=0, f= 2

22、N2 在考慮在考慮A、B之間的摩擦力時(shí)之間的摩擦力時(shí), 使用的是最大靜使用的是最大靜摩擦力摩擦力f0 和和f0 , 所以上面求得的所以上面求得的F值是使值是使A、B之之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)、且共同向右運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大值。間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)、且共同向右運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大值。 若若F ( 1+ 2) (mA+mB) g , 則則A、B之間必定之間必定出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。32 例1:超重與失重：臺(tái)秤上顯示的體重讀數(shù)是多少？)(agmN向下 失重afmgN)(agmNa向上 超重0Nmgf 解:afma 0Nmgmaaf0Nmgma33例2: 求地球表面緯度處質(zhì)量為m的物體的重量。 解: 設(shè)地球是半徑R均勻球體, 自

23、轉(zhuǎn)角速度, 為了便于分析, 將該重物用繩懸掛在緯度處,并相對(duì)于地球處于靜止?fàn)顟B(tài)。0*F FT TF F*FFTWmTFWF*FmR2cos慣性離心力 除慣性離心力外, 還有地球?qū)λ娜f(wàn)有引力F和繩子對(duì)它的張力T, 并且有 34mTFWF*2222422222cos2coscos2RmFRmFFFFFW利用余弦定理 很小, 上式高次方項(xiàng)可略去, 所以 729105.rad s-1212221/)cos(FRmFW麥克勞林的展開(kāi)式 (1)(1)(1)(1)1,12!mnxmmmmm nmxxxn 35 處于地球表面的物體所受地球的萬(wàn)有引力與重力是不同的, 而且物體的質(zhì)量與重量這兩個(gè)概念是有本質(zhì)差別

24、的。 22221cos)cos(RmFFRmF重量隨所處緯度的增高而增大212221/)cos(FRmFWFgmTyxO 例例1 1：質(zhì)量為：質(zhì)量為m的小球系于長(zhǎng)度為的小球系于長(zhǎng)度為R的細(xì)繩末端的細(xì)繩末端, , 細(xì)細(xì)繩的另一端固定在點(diǎn)繩的另一端固定在點(diǎn)A, , 將小球懸掛在空間?，F(xiàn)將小球懸掛在空間。現(xiàn)小球在小球在水平推力水平推力F的作用下的作用下, , 緩慢地從豎直位置移到細(xì)繩與豎緩慢地從豎直位置移到細(xì)繩與豎直方向成直方向成 角的位置角的位置。求水平推力。求水平推力F 所作的功所作的功( (不考慮不考慮空氣阻力空氣阻力) )。 解：取如圖所示的坐標(biāo)系解：取如圖所示的坐標(biāo)系, ,0=+gmTF其

25、分量式為其分量式為: 在在x方向方向 :FT=sin 在在y方向方向 :TmgcosAR小球受推力小球受推力 、細(xì)繩的張力和小球所受、細(xì)繩的張力和小球所受重力重力 三個(gè)力始終是平衡的三個(gè)力始終是平衡的, 即即 FTgmFmgFtan=上兩式相除得：上兩式相除得：取元位移取元位移 ，變力，變力 所作的元功為：所作的元功為：ldF偏轉(zhuǎn)偏轉(zhuǎn) 角的過(guò)程中的總功為：角的過(guò)程中的總功為：)cos1 (dsindcostandcosd000RmgRmgmgRFRAARFsFlFAdcosdcosdddFgmTyxO hldARF 例例2：已知彈簧的勁度系數(shù)：已知彈簧的勁度系數(shù)k = 200 N m 1 ,

26、若忽略彈若忽略彈簧的質(zhì)量和摩擦力簧的質(zhì)量和摩擦力,求將彈簧壓縮求將彈簧壓縮10 cm , 彈性力所作彈性力所作的功和外力所作的功。的功和外力所作的功。 xoyxxoy解：取如圖所示的坐標(biāo)系解：取如圖所示的坐標(biāo)系彈簧的彈力為：彈簧的彈力為：ikxF-在在x 處取元位移處取元位移 dx, 彈力所作元功彈力所作元功xkxi xikxi xFAddd d-彈性力所作的總功為：彈性力所作的總功為：0.10.1200dd.0J112AAkx xkx 外力所作的功為：外力所作的功為：J01.AAdxhAB 例例1 1：小球以初速率小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滾動(dòng)沿光滑曲面向下滾動(dòng), , 如圖所示。問(wèn)當(dāng)小

27、球滾到距出發(fā)點(diǎn)如圖所示。問(wèn)當(dāng)小球滾到距出發(fā)點(diǎn)A A的垂直距離的垂直距離為為h 的的B 處時(shí)處時(shí), , 速率為多大速率為多大 ? ? NgmyOx解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，小球在滾動(dòng)過(guò)程中受小球在滾動(dòng)過(guò)程中受到到 和和 兩個(gè)力的作用。兩個(gè)力的作用。gmN合力為合力為：NgmF+=根據(jù)動(dòng)能定理有：根據(jù)動(dòng)能定理有：222121dABBAmvmvrF即即222121ddABBABAmvmvrNrgm因因 始終垂直于始終垂直于 ， 所以所以rdN0d BArN而重力加速度的分量式而重力加速度的分量式 ，ggy-=0=xg即即mghmvmvBA121222解得末速率為解得末速率為

28、 vvghBA22于是有于是有2211d22BBAAmgrmvmv 所以所以mghymgymgrgmhBABA0dddhABNgmyOx41選項(xiàng)1鏈接答案衛(wèi)星在衛(wèi)星在A，B兩點(diǎn)處兩點(diǎn)處（請(qǐng)點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）（請(qǐng)點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）的勢(shì)能差為的勢(shì)能差為上圖中，上圖中，AB衛(wèi)星地球質(zhì)量質(zhì)量m質(zhì)量質(zhì)量M近地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2例 1：求使物體脫離地球引力作用的最小速度。 解：根據(jù)機(jī)械能守恒定律有22102mMmvGR（）1 -32sm1021122.gRRGMv 例 2：求使物體不僅擺脫地球引力作

29、用, 而且脫離太陽(yáng)引力作用的最小速度。 解：根據(jù)機(jī)械能守恒定律有2S20120mMmvGr）（所以1302-sm 101422.rGMvS地球公轉(zhuǎn)速度130S1-sm 10729.rGMv物體相對(duì)于地球的速度1 -313312sm 10412-sm1072910142.).(vvv相對(duì)地球的動(dòng)能2k21mvE脫離地球引力所需動(dòng)能222k21mvE所以從地面發(fā)射時(shí)所需最小動(dòng)能為k2kk3EEE 物體沿斜面運(yùn)行了s = 2.0 m后停止。若忽略空氣阻力, 試求: (1) 斜面與物體之間的摩擦系數(shù)； (2) 物體下滑到出發(fā)點(diǎn)的速率v。 由此可得第三宇宙速度.).().(1 -3-123232223s

30、m 10716sm1021110412vvv 例3:一物體以初速v0= 6.0 m s 1沿傾角為 =30的斜面向上運(yùn)動(dòng),如圖, 0vNfgmcosmgNf摩擦力的大小為所以即有mg smg smvcossin1202解得480028902890623212212021.cossingsgsv2021mvmgslfQPsindcosdcosdmgslmglfQPQP0v0v解： 物體沿斜面上升過(guò)程中根據(jù)功能原理得 物體下滑到出發(fā)點(diǎn)過(guò)程中, 根據(jù)功能原理得sincossmgmvsmg221即有11 -sm8 . 1sm)230 . 248. 0210 . 28 . 9 (2 )cossin( 2

31、sgsgv解得sindmgsmvlfCQ221Nfgm例4： 一根質(zhì)量均勻分布且不可伸長(zhǎng)的柔軟細(xì)繩，總長(zhǎng)度為l，其一部分放置在光滑的水平桌面上，另一部分經(jīng)桌邊下垂，下垂部分的長(zhǎng)度為l0。釋放后繩子從靜止開(kāi)始下落，求繩子的下落速度與下落長(zhǎng)度的關(guān)系。 解 建立如圖所示的坐標(biāo)系Oy0 = l0 把細(xì)繩和地球劃為一個(gè)系統(tǒng)，由于桌面是光滑的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 設(shè)繩子的質(zhì)量為M，它的線(xiàn)密度為 Ml 取繩子全部處于桌面時(shí)為勢(shì)能的零點(diǎn)02p0001d2lEyg ygl 初狀態(tài)繩子的動(dòng)能為零。當(dāng)下端點(diǎn)落到y(tǒng)處時(shí)，繩子的速度為v，這是系統(tǒng)的動(dòng)能為EMvlvk121222yy+dydmdydmggdyydmggyd

32、y 繩子初狀態(tài)的勢(shì)能當(dāng)下端點(diǎn)落到y(tǒng)處時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為Eyg ygyypd 0212根據(jù)機(jī)械能守恒定律，應(yīng)有 EEEpkp01212120222gllvgy解得 ：vglyl()202在繩子全部離開(kāi)桌面的瞬間，繩子下落的速度為vglll()202 此題也可以用牛頓第二定律求解 根據(jù)牛頓第二定律，在y方向可以列出下面的方程式 MvtMlygddddddddddvtvyytvvy 兩式聯(lián)立得：vvyglyddv vgly yddv vgly ydd 當(dāng)y = y0時(shí)，v = 0，當(dāng)y = y時(shí)，v = v，在此積分限內(nèi)對(duì)上式積分00vyyv vgly ydd12122202vglyy()整理，并考慮

33、到y(tǒng)0 = l0得vglyl()202 本 章 習(xí) 題2-7 機(jī)車(chē)的功率為2.0106 W，在滿(mǎn)功率運(yùn)行的情況下，在100 s內(nèi)將列車(chē)由靜止加速到20 ms1 。若忽略摩擦力，試求：(1) 列車(chē)的質(zhì)量；(2) 列車(chē)的速率與時(shí)間的關(guān)系；(3) 機(jī)車(chē)的拉力與時(shí)間的關(guān)系；(4) 列車(chē)所經(jīng)過(guò)的路程。解 (1) 將牛頓第二定律寫(xiě)為下面的形式mtddvFddmv vFv tFv = P，是機(jī)車(chē)的功率，為一定值。對(duì)上式積分 mv vP tvtdd00212mvPtmv vP tvtdd00m 10106. kg (2) 212mvPt22Pvttm (3) 由上式得 ddvttddmt代入式：vFmtF61

34、.0 10Ft(4) 列車(chē)在這100秒內(nèi)作復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榧铀俣纫苍陔S時(shí)間變化。列車(chē)所經(jīng)過(guò)的路程 rrrrv000ddtttttt( )sv ttt ttttt( )()./dd m003 210032431310因?yàn)橹本€(xiàn)運(yùn)動(dòng)，上式可化為標(biāo)量式 2-8 質(zhì)量為m的固體球在空氣中運(yùn)動(dòng)將受到空氣對(duì)它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小與球相對(duì)于空氣的運(yùn)動(dòng)速率成正比，黏性阻力的方向與球的運(yùn)動(dòng)方向相反，即可表示為f = v，其中是常量。已知球被約束在水平方向上，在空氣的黏性阻力作用下作減速運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻t0 ，球的速度為v0 ，試求：(1) t時(shí)刻球的運(yùn)動(dòng)速度v；(2) 在從t0 到t的時(shí)間內(nèi)，黏性阻力所

35、作的功A。 解 (1) 根據(jù)已知條件，可以作下面的運(yùn)算avtfmmvv ddm其中，ddvvt 00()()/00eet tt tmvvv(2) 在從t0 到t的時(shí)間內(nèi)，黏性阻力所作的功Af sfsttfv tvtstttttt dddddd02000000022 ()2 ()2000eded2 ()2ttt tt tttvvttt 1210220mvt tm()/eddvvt 00vtvtdvdtv積分：00ln()vttv 02()201e12t tmv2-17 一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定，另一端懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，這時(shí)平衡位置在點(diǎn)A，如圖所示?，F(xiàn)用手把小球沿豎直方向拉伸x并達(dá)到

36、點(diǎn)B的位置，由靜止釋放后小球向上運(yùn)動(dòng)，試求小球第一次經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)的速率。 解 把小球、彈簧和地球看作為一個(gè)系統(tǒng)，則小球所受彈性力和重力都是保守內(nèi)力。系統(tǒng)不受任何外力作用，也不存在非保守內(nèi)力，所以在小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能是守恒的。 vkmx12121202022kxxkxmgxmv()()()mgkx()0 勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選擇，那么彈力勢(shì)能的零點(diǎn)若選在點(diǎn)A不是更簡(jiǎn)便嗎？ 121222kxmgxmv()()vkmxgx()()222-18 一個(gè)物體從半徑為R的固定不動(dòng)的光滑球體的頂點(diǎn)滑下，問(wèn)物體離開(kāi)球面時(shí)它下落的豎直距離為多大？ 解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，離開(kāi)球面時(shí)速度為v，此時(shí)它下落的豎直距離為h。

37、對(duì)于由物體、球體和地球所組成的系統(tǒng)，沒(méi)有外力和非保守內(nèi)力的作用，機(jī)械能守恒，故有 21(1)2mghmv 在物體離開(kāi)球體之前，物體在球面上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，應(yīng)滿(mǎn)足下面的關(guān)系2cos(2)mvmgNRcos;RhRN 02RhmvmgRR2()vg RhmgRhRmvR2hR13將上式代入21(1)2mghmvOy例例1: 質(zhì)量為質(zhì)量為M = 5.0 102 kg的重錘從高為的重錘從高為h = 2.0 m處自由下落打在工件上處自由下落打在工件上, 經(jīng)經(jīng) t =1.0 10 2 s 時(shí)間速度時(shí)間速度變?yōu)榱?。若忽略重錘自身的重量變?yōu)榱?。若忽略重錘自身的重量, 求重錘對(duì)工件的平求重錘對(duì)工件的平均沖力。均沖

38、力。 解：解：取重錘為研究對(duì)象取重錘為研究對(duì)象, y 軸豎軸豎 直向上。重錘與工件接觸直向上。重錘與工件接觸 時(shí)時(shí), 動(dòng)量大小為動(dòng)量大小為 FgMh根據(jù)動(dòng)量定理得根據(jù)動(dòng)量定理得Mgh2120MvMvdtFtOyFgMh即即)2(0ghMtF解得解得N101 . 3N100 . 1)0 . 28 . 92(100 . 52522/ 12tghMF根據(jù)牛頓第三定律，重錘對(duì)工件的平均沖力大小根據(jù)牛頓第三定律，重錘對(duì)工件的平均沖力大小N101 . 35FF方向豎直向下方向豎直向下例題例題2 在如圖所示的裝置中，一不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)定滑輪，兩端系有質(zhì)量分別在如圖所示的裝置中，一不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)定滑輪，

39、兩端系有質(zhì)量分別為為m和和M ( m )的物體。開(kāi)始時(shí)的物體。開(kāi)始時(shí)M靜止在地面上，繩子松弛，當(dāng)物體靜止在地面上，繩子松弛，當(dāng)物體m自由下落自由下落h的距離后，繩子才被拉緊?；喌馁|(zhì)量和摩擦力都可忽略不計(jì)，求繩子剛被拉緊的距離后，繩子才被拉緊?；喌馁|(zhì)量和摩擦力都可忽略不計(jì)，求繩子剛被拉緊時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)速率以及物體時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)速率以及物體M所能達(dá)到的最大高度。所能達(dá)到的最大高度。 解解 建立如圖所示的坐標(biāo)系。當(dāng)建立如圖所示的坐標(biāo)系。當(dāng)物體物體m自由下落自由下落h的距離時(shí)，它的距離時(shí)，它就具有了速度就具有了速度 ugh2TT張力作用的時(shí)間為張力作用的時(shí)間為 t，則，則 T tmvmu () 物體物

40、體m具有了動(dòng)量具有了動(dòng)量 mu，由于繩，由于繩子的張力子的張力T所產(chǎn)生的沖量，使它的動(dòng)所產(chǎn)生的沖量，使它的動(dòng)量變?yōu)榱孔優(yōu)?mv。與此同時(shí)，由于繩子的。與此同時(shí)，由于繩子的張力張力T 所產(chǎn)生的沖量，使物體所產(chǎn)生的沖量，使物體M的動(dòng)的動(dòng)量從量從0變?yōu)樽優(yōu)镸v。由于繩子是輕繩，質(zhì)。由于繩子是輕繩，質(zhì)量可以忽略，所以滑輪兩側(cè)繩子的張量可以忽略，所以滑輪兩側(cè)繩子的張力相等，即力相等，即 T tMv 0由以上兩式可以解得由以上兩式可以解得 vmuMmmghMm2 物體物體M所能達(dá)到的最大高度所能達(dá)到的最大高度zm，可以使用，可以使用能量關(guān)系求解。能量關(guān)系求解。 取地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則在初狀態(tài)系統(tǒng)的取地面

41、為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則在初狀態(tài)系統(tǒng)的總能量為總能量為 EMvmvmgz02201212末狀態(tài)的總能量為末狀態(tài)的總能量為 EMgzmg zzmm()0由于機(jī)械能守恒，故有由于機(jī)械能守恒，故有 12122200MvmvmgzMgzmg zzmm()zMm vg Mmm hMmm()()22222解得解得物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)院66xOldd解：選擇如圖所示的坐標(biāo)系，圓弧關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng)。設(shè)圓弧的線(xiàn)密度為 ，取質(zhì)量元dm = R d 坐標(biāo)為x=R cos 例 1：求半徑為R、頂角為2 的均勻圓弧的質(zhì)心。 則圓弧質(zhì)心坐標(biāo)為sinddcosdddd2CRRRRRxmmxx物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)

42、院67例題2 求一個(gè)半徑為R的半圓形均勻薄板的質(zhì)心 解 將坐標(biāo)原點(diǎn)取在半圓形薄板的圓心上，并建立如圖的坐標(biāo)系。在這種情況下，質(zhì)心C必定處于y軸上，即xC 0yy mmCdd質(zhì)量元是取在y處的長(zhǎng)條，如圖所示。 長(zhǎng)條的寬度為dy，長(zhǎng)度為2x。根據(jù)圓方程 xyR22222xRy物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)院68如果薄板的質(zhì)量密度為，則有220222022d2 d124dRCRyRyyyx yymRy RyyR 令 , 則 ，對(duì)上式作變量變換，并積分，得uRy22dduy y 2yuuRRuuRRCRR22430421 20221 2022/.dd物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)院69222201/2

43、01/22231/222020d42d222d40.423RRCRRuyuuuyyRRuuuRRRR22024dRCy RyyyR22uRyd2 duy y 物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)院70例題3 有一厚度和密度都均勻的扇形薄板，其半徑為R，頂角為2，求質(zhì)心的位置。解 以扇形的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以頂角的平分線(xiàn)為y軸xC 0yy mmy mmCddd質(zhì)量元可表示為ddd dmSrr整個(gè)扇形薄板的質(zhì)量為mmRd220d dddRmrrr rR物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)院712d dCy r ryR將yr cos代入上式，得yrrRRRRCRcossinsin dd202322323若 ，則扇

44、面就變成了半圓。224332cRRy物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)院72例題1 柔軟且質(zhì)量均勻分布的繩子長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為M。開(kāi)始時(shí)手拿其上端豎直懸提著，并使其下端剛剛與桌面相接觸，如圖所示?，F(xiàn)將繩子由靜止釋放，試求當(dāng)繩子下落到所剩長(zhǎng)度為l時(shí)，繩子作用于桌面上的力。解：任意時(shí)刻質(zhì)心的位置為 zMzMLzlLlCd1202物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)院73質(zhì)心的加速度為222CC22dddd2()ddddlzllLattt L t2dd3()2ddclvlvglavgtLLLtLd2 ()dlvg Llt ddvgt 又2 ()vg Ll 物理與微電子學(xué)院物理與微電子學(xué)院74 為了對(duì)繩子的整體運(yùn)

45、用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，還需考慮繩子的受力CFMgMaMgF代入上式，得 FMglL31 ()繩子對(duì)桌面的作用力為 FFMglL 31 ()3(2)glFMgMgL 大炮在發(fā)射時(shí)炮身會(huì)發(fā)生反沖大炮在發(fā)射時(shí)炮身會(huì)發(fā)生反沖現(xiàn)象。設(shè)炮身的仰角為現(xiàn)象。設(shè)炮身的仰角為, 炮彈和炮身的質(zhì)量分別為炮彈和炮身的質(zhì)量分別為m和和M, 炮彈在離開(kāi)炮口時(shí)的速率為炮彈在離開(kāi)炮口時(shí)的速率為v, 若忽略炮身反若忽略炮身反沖時(shí)與地面的摩擦力沖時(shí)與地面的摩擦力, 求炮身的反沖速率。求炮身的反沖速率。 例例1：如圖所示：如圖所示, 解解：設(shè)：設(shè)x軸沿水平向右軸沿水平向右，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得根據(jù)動(dòng)量守恒定律得M vmv cos0所以炮身

46、的反沖速率為所以炮身的反沖速率為 vmvMcosxyO 例例 2：一原先靜止的裝置炸裂為質(zhì)量相等的三塊：一原先靜止的裝置炸裂為質(zhì)量相等的三塊, 已已知其中兩塊在水平面內(nèi)各以知其中兩塊在水平面內(nèi)各以80 ms1 和和60 ms1 的速的速率沿互相垂直的兩個(gè)方向飛開(kāi)。求第三塊的飛行速度。率沿互相垂直的兩個(gè)方向飛開(kāi)。求第三塊的飛行速度。 解：解：設(shè)碎塊的質(zhì)量都為設(shè)碎塊的質(zhì)量都為m， 建立如圖所示的坐標(biāo)建立如圖所示的坐標(biāo)系系根據(jù)動(dòng)量守恒定律得根據(jù)動(dòng)量守恒定律得vv130cosvv230sin,75. 0=8060=tan12vv1 -21 -13sm 100 . 1sm37cos80cosvv解方程組

47、得解方程組得所以所以 373v2v1v 例例 ：如圖所示的裝置稱(chēng)為沖擊擺：如圖所示的裝置稱(chēng)為沖擊擺, 可用它來(lái)測(cè)定可用它來(lái)測(cè)定子彈的速度。質(zhì)量為子彈的速度。質(zhì)量為M的木塊被懸掛在長(zhǎng)度為的木塊被懸掛在長(zhǎng)度為l的細(xì)的細(xì)繩下端繩下端, 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈沿水平方向以速度的子彈沿水平方向以速度v射中射中木塊木塊, 并停留在其中。木塊受到?jīng)_擊而向斜上方擺并停留在其中。木塊受到?jīng)_擊而向斜上方擺動(dòng)動(dòng), 當(dāng)?shù)竭_(dá)最高位置時(shí)當(dāng)?shù)竭_(dá)最高位置時(shí), 木塊的水平位移為木塊的水平位移為s。試確。試確定子彈的速度。定子彈的速度。 MlvsMlvs解：根據(jù)動(dòng)量守恒定律得解：根據(jù)動(dòng)量守恒定律得uMmmv)+(=根據(jù)機(jī)械能守

48、恒定律得根據(jù)機(jī)械能守恒定律得ghMmuMm)+(=)+(212由圖知由圖知22=sllh-解以上三方程的聯(lián)立方程組得解以上三方程的聯(lián)立方程組得)(2+=22sllgmMmv-h例例1 質(zhì)量為質(zhì)量為1.0 kg的質(zhì)點(diǎn)在力的質(zhì)點(diǎn)在力F = (2t 3) i + (3t 2) j 的作用下運(yùn)動(dòng)，其中的作用下運(yùn)動(dòng)，其中t是時(shí)間，單位為是時(shí)間，單位為s，F(xiàn)的單位的單位是是N，質(zhì)點(diǎn)在，質(zhì)點(diǎn)在t = 0 時(shí)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，且速度等于零。時(shí)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，且速度等于零。求此質(zhì)點(diǎn)在求此質(zhì)點(diǎn)在 t = 2.0 s時(shí)所受的相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)所受的相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的力矩。的力矩。 解解 質(zhì)點(diǎn)的加速度為質(zhì)點(diǎn)的加速度為 afijm

49、tt()()23322 m sd dtva vaijijdd32 m s tttttttttt00221233232()() ()()t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為rvijijd32d mtttttttttttt0220323232133212()() ()()質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 t = 2.0 s時(shí)所受的相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)所受的相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的力矩為的力矩為3232()131()(32)()(23) N m322yxxfyftttttt Mrfkk 40313kk N m N m 例例1 1：一質(zhì)量為：一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，該曲線(xiàn)在直角坐標(biāo)下的矢

50、徑為：該曲線(xiàn)在直角坐標(biāo)下的矢徑為：j tbi tarsincos ，其中其中a、b、 皆為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量皆為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量。j tbi tatrvcossinddj tbi tarsincos解解：已知：已知 22 cossinmabtmabtkmab 角動(dòng)量角動(dòng)量lxmvymvzyx開(kāi)普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律可以證明開(kāi)普勒第二定律行星與太陽(yáng)的連線(xiàn)在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積例題例題2解解: :將行星看為質(zhì)點(diǎn)將行星看為質(zhì)點(diǎn), ,在在dt 時(shí)間內(nèi)以速度時(shí)間內(nèi)以速度 完成的完成的位移為位移為 , ,矢徑矢徑 在在d t 時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為dS

51、（圖中陰影）。圖中陰影）。 vtv drtvrSd21d根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義 )(vrmvmrl則則tmlSd2dfrromdtv 例例3：質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端的小球系于細(xì)繩的一端 , ,繩的另一繩的另一端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上, , 小球被約束在水平面小球被約束在水平面內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn), , 某時(shí)刻角速度為某時(shí)刻角速度為 1 1，細(xì)繩的長(zhǎng)度為，細(xì)繩的長(zhǎng)度為r1。當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后, , 由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上, , 繩長(zhǎng)變繩長(zhǎng)變?yōu)闉閞2, , 求此時(shí)小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度求此時(shí)小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)

52、的角速度 2 2 。2r1r解：解：小球受力小球受力 繩子的張力繩子的張力 , ,指向細(xì)棒；指向細(xì)棒；重力重力 ，豎直向下；支撐力，豎直向下；支撐力 , ,豎直向上。豎直向上。 與繩子平行與繩子平行, , 不產(chǎn)生力矩；不產(chǎn)生力矩； 與與平衡，力矩始終為零。所以平衡，力矩始終為零。所以, , 作用于小作用于小球的力對(duì)細(xì)棒的力矩始終等于零球的力對(duì)細(xì)棒的力矩始終等于零, , 故小故小球?qū)?xì)棒的角動(dòng)量必定是守恒的。球?qū)?xì)棒的角動(dòng)量必定是守恒的。 TTWWNN根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律 2211rmvrmv式中式中v1是半徑為是半徑為r1時(shí)小球的線(xiàn)速度時(shí)小球的線(xiàn)速度, ,

53、v2是半徑為是半徑為r2時(shí)小球的線(xiàn)速度。時(shí)小球的線(xiàn)速度。 代入上式得代入上式得222121mrmr解得解得12212)(rr 可見(jiàn)可見(jiàn), 由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短, , 小球的角速度小球的角速度必定越轉(zhuǎn)越大必定越轉(zhuǎn)越大, 即即 。rr2121222111,rvrv而而2r1r例例4 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的小球處于光滑的水平桌面上，并的小球處于光滑的水平桌面上，并被系于長(zhǎng)度為被系于長(zhǎng)度為s、勁度系數(shù)為、勁度系數(shù)為k的輕彈簧的一端，而的輕彈簧的一端，而輕彈簧的另一端被固定在桌面的輕彈簧的另一端被固定在桌面的O點(diǎn)。初始時(shí)刻小點(diǎn)。初始時(shí)刻小球處于桌面的球處于桌面的A點(diǎn)，輕彈簧呈完全松弛的自由狀態(tài)

54、，點(diǎn)，輕彈簧呈完全松弛的自由狀態(tài)，如圖所示。某時(shí)刻小球受到?jīng)_擊后，使它獲得與彈如圖所示。某時(shí)刻小球受到?jīng)_擊后，使它獲得與彈簧縱向相垂直的簧縱向相垂直的v0，并沿桌面滑動(dòng)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到，并沿桌面滑動(dòng)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，彈簧比原先伸長(zhǎng)了點(diǎn)時(shí)，彈簧比原先伸長(zhǎng)了 s，求小球到達(dá)，求小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí)的速度。的速度。 解：把桌面取為解：把桌面取為xy平面，取過(guò)平面，取過(guò)O點(diǎn)垂點(diǎn)垂直于桌面向上的軸線(xiàn)為直于桌面向上的軸線(xiàn)為z軸。軸。 根據(jù)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律根據(jù)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律 llzAzBsmvss mv0()sin根據(jù)機(jī)械能守恒定律根據(jù)機(jī)械能守恒定律1212120222mvmvks()聯(lián)立得聯(lián)立得

55、 vvksm022()sin()()()svss vsvssvksm00022 例例5： 在探測(cè)原子結(jié)構(gòu)的盧瑟福實(shí)驗(yàn)中，用質(zhì)量為在探測(cè)原子結(jié)構(gòu)的盧瑟福實(shí)驗(yàn)中，用質(zhì)量為m、并帶正電的、并帶正電的 粒子轟擊金箔。當(dāng)粒子轟擊金箔。當(dāng) 粒子進(jìn)入金箔粒子進(jìn)入金箔并接近金原子核時(shí)，由于它與金原子核之間的靜電斥并接近金原子核時(shí)，由于它與金原子核之間的靜電斥力作用，使它的運(yùn)動(dòng)軌道發(fā)生了彎曲，如圖所示。因力作用，使它的運(yùn)動(dòng)軌道發(fā)生了彎曲，如圖所示。因?yàn)榻鹪雍说馁|(zhì)量比為金原子核的質(zhì)量比 粒子的質(zhì)量大得多，所以當(dāng)粒子的質(zhì)量大得多，所以當(dāng) 粒子經(jīng)過(guò)時(shí)可以認(rèn)為金原子核是靜止不動(dòng)的。已知粒子經(jīng)過(guò)時(shí)可以認(rèn)為金原子核是靜止

56、不動(dòng)的。已知 粒子的入射速度為粒子的入射速度為v0，與金原子核之間的斥力勢(shì)能為，與金原子核之間的斥力勢(shì)能為Ep = k/r (k為大于零的常量為大于零的常量)，金原子核到沿入射速度方向金原子核到沿入射速度方向的延長(zhǎng)線(xiàn)的距離的延長(zhǎng)線(xiàn)的距離(稱(chēng)為瞄準(zhǔn)距稱(chēng)為瞄準(zhǔn)距離離)為為b，求，求從金原子核到從金原子核到 粒粒子的運(yùn)動(dòng)軌道的最短距離子的運(yùn)動(dòng)軌道的最短距離rm 。 解解 粒子的運(yùn)動(dòng)是在金原子核粒子的運(yùn)動(dòng)是在金原子核對(duì)它的有心力作用下進(jìn)行的對(duì)它的有心力作用下進(jìn)行的，它對(duì)金原子核所在位置的角動(dòng)它對(duì)金原子核所在位置的角動(dòng)量是守恒的。同時(shí)，由量是守恒的。同時(shí)，由 粒子和粒子和金原子核所組成的系統(tǒng)的機(jī)械金原子

57、核所組成的系統(tǒng)的機(jī)械能也是守恒的能也是守恒的 根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，有根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，有 v bv r0m m根據(jù)機(jī)械能守恒定律，應(yīng)有根據(jù)機(jī)械能守恒定律，應(yīng)有 220mm1122kmvmvr12202202mvmb vrkrm2m()mvrkrmb v0220220m2mrkmvkm vbm0222042rkmvm202 由以上兩式聯(lián)立可以得到由以上兩式聯(lián)立可以得到 ,整理后可得整理后可得 .由此二次方程可解出由此二次方程可解出rm，得，得 . 由這個(gè)結(jié)果可以探測(cè)原子核的大小。瞄準(zhǔn)距離由這個(gè)結(jié)果可以探測(cè)原子核的大小。瞄準(zhǔn)距離b越小越小， 粒子與金原子核的最小距離粒子與金原子核的最小距離rm也

58、越短，也越短， 粒子就越粒子就越接近金原子核。當(dāng)瞄準(zhǔn)距離接近金原子核。當(dāng)瞄準(zhǔn)距離b0時(shí)，表示時(shí)，表示 粒子與金原粒子與金原子核發(fā)生正碰，由上式可得子核發(fā)生正碰，由上式可得 這是這是rm的最小值，在極限情況下，它應(yīng)等于金原的最小值，在極限情況下，它應(yīng)等于金原子核的半徑。在盧瑟福實(shí)驗(yàn)中，得到子核的半徑。在盧瑟福實(shí)驗(yàn)中，得到rm 3 10 14 m，與以后從其他實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的原子核的大小范圍，與以后從其他實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的原子核的大小范圍10 15 10 14 m相一致。相一致。rkmvm202（請(qǐng)點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等一一人人握握繩繩不不動(dòng)動(dòng)一一人人用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可

59、能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線(xiàn)終點(diǎn)線(xiàn)滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。以上結(jié)果都不對(duì)。同高從靜態(tài)開(kāi)始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系若系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動(dòng)量系統(tǒng)的末態(tài)角動(dòng)量得不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動(dòng)量不守恒。可應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行具體分析討論。 4-7 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在O-xy平面上運(yùn)動(dòng)，其位置平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量隨時(shí)間的關(guān)系為矢量隨時(shí)間的關(guān)系為r = a cos t i + b sin t

60、j，其，其中中 a、b和和 都是常量。從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和角動(dòng)量定理兩個(gè)都是常量。從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和角動(dòng)量定理兩個(gè)方面證明此質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)方面證明此質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的角動(dòng)量是守恒的。的角動(dòng)量是守恒的。解解: (1) 從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角度：從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角度：vrijij ddddttatbtatbt( cossin)sincos()( coscossinsin)yxmxmvymvat mbtbt matLrvkkabmttabm(cossin)22kk(2) 從角動(dòng)量定理的角度：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置矢量從角動(dòng)量定理的角度：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置矢量表達(dá)式，可以得到表達(dá)式，可以得到 xatcosybtsin將上兩式平方相