高中數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法

1、高中數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法摘 要數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有重要的地位. 數(shù)列問題中蘊(yùn)含思想方法十分豐富，掌握這些思想方法有助于提高解決數(shù)列問題的能力 . 本文分析了高中數(shù)列知識的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)等問題，研究了數(shù)列問題中蘊(yùn)含的函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法，并給出了一些典型例題 . 這些研究將有助于提高老師對數(shù)列知識的教學(xué)水平，并且提高了學(xué)生解決數(shù)列問題的能力 .關(guān)鍵詞： 數(shù)列問題；數(shù)學(xué)思想；方法The number of columns in high school mathematical thinking problemAbstract： The number

2、 of columns is an important part of high school mathematics, occupies an important position in the entrance. The number of columns in question contains a way of thinking is very rich, master these ideological approach helps improve the ability to solve the series problem. This paper analyzes the hig

3、h school series knowledge of major and difficult , hot spots and other issues, the number of columns to study the function of ideological issues inherent in the equation thinking, thinking, etc. classification discussion of mathematical thinking, and gives some typical examples. these studies will h

4、elp to increase the number of columns teacher teaching knowledge level, and improve the ability of students to solve the problem of the number of columns.Keywords: Number Sequence; mathematical thinking; method目 錄1引言12文獻(xiàn)綜述12.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀12.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評估12.3提出問題23數(shù)列的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)問題23.1重點(diǎn)等差與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識23.2熱點(diǎn)數(shù)列求和與求通

5、項(xiàng)33.3難點(diǎn)和項(xiàng)與通項(xiàng)間的遞推關(guān)系54數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法64.1函數(shù)思想64.2 方程思想74.3分類討論思想84.4等價(jià)轉(zhuǎn)化思想94.5整體思想94.6遞推思想104.7歸納、猜想與證明思想115結(jié)論135.1主要發(fā)現(xiàn)135.2啟示135.3局限性135.4努力方向13參考文獻(xiàn) ：151 引言數(shù)列問題在高中主要考察學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力.在解決數(shù)列問題時(shí)注意應(yīng)用通性通法，不宜考慮的太復(fù)雜，考慮的太難；題目構(gòu)造上有時(shí)以函數(shù)、不等式、解析幾何等為背景，因此題目包含了方程的思想、函數(shù)數(shù)學(xué)思想等.數(shù)列中涉及累加、累乘、錯(cuò)位相減等多種計(jì)算方法，這些方法，不僅提高了學(xué)生的思維

6、能力，讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)的神奇；數(shù)列問題中滲透遞歸的思想、極限思想，這些都是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)重要的銜接點(diǎn)，在教學(xué)中適當(dāng)?shù)臐B透對培養(yǎng)學(xué)生思維能力、做好初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接有積極意義.學(xué)好數(shù)列知識不僅在個(gè)人投資理財(cái)方面有較為廣泛的應(yīng)用外，在企業(yè)經(jīng)營管理上也是不可或缺的.需要中學(xué)生做過大量的數(shù)列問題的題吧！雖然這些問題是從實(shí)際生活中抽象出的略高于生活的問題，但他們是數(shù)學(xué)習(xí)題中最能反映數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活密切關(guān)系的一類問題.因此，解答數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問題學(xué)會(huì)這些思想將有助于中學(xué)生對數(shù)學(xué)在日常生活中廣泛應(yīng)用的理解和認(rèn)識.2 文獻(xiàn)綜述2.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)查閱到的參考文獻(xiàn)中，分別就數(shù)學(xué)思想方法解題中的應(yīng)

7、用做出了說明. 其中在文獻(xiàn) 1 、 4 、8 中關(guān)于數(shù)列問題的解決過程中提出了很多種數(shù)學(xué)思想方法，還考察了數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)思想方法的好素材 . 楊亢爾在文獻(xiàn) 2 中一個(gè)數(shù)列遞推公式和一類應(yīng)用題的解法中，把遞推思想方法呈現(xiàn)出了這種方法在解決數(shù)列問題上的新穎性。林明霞在文獻(xiàn) 3 中應(yīng)用了典型的例題來說明相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法在解決數(shù)列問題的優(yōu)越性.在參考文獻(xiàn) 5 中單獨(dú)就說明了數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)列問題的獨(dú)特性. 田照亮在文獻(xiàn)6 中談到應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的經(jīng)典例題來解決了數(shù)列問題. 在文獻(xiàn) 7 中就數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了說明. 在文獻(xiàn) 9-15 中都在應(yīng)用近幾年在高考數(shù)學(xué)中就數(shù)列問題中出現(xiàn)的七種數(shù)學(xué)

8、思想方法題型進(jìn)行了分析總結(jié).2.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評估文獻(xiàn) 1-15 中分別就數(shù)學(xué)思想方法的重要性及數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用舉例做出了說明 . 文獻(xiàn)中主要闡述了七種數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用，沒有介紹關(guān)于七種數(shù)學(xué)思想方法的經(jīng)典例題及解題技巧.對中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用沒有做系統(tǒng)全面的概述總結(jié)，同時(shí)在學(xué)生具體解題應(yīng)用中出現(xiàn)的問題也沒有更加深入的闡述2.3 提出問題部分高中生已掌握在數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法，有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中也會(huì)根據(jù)教師的指導(dǎo)，除學(xué)好基礎(chǔ)知識外，還會(huì)總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，很多學(xué)生僅僅只是理解高中的基礎(chǔ)知識都很困難，更談不上用數(shù)學(xué)

9、思想方法來解決數(shù)列中的問題在利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解題的時(shí)候常常難以掌握各種思想的度. 因此，除對數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用作介紹外，還需對應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法過程中學(xué)生可能遇到的難點(diǎn)及解決辦法作探討，包括對使用這些方法的目的、 作用作闡述3 數(shù)列的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)問題數(shù)列在高中的課程中尤其重要，然而就數(shù)列有關(guān)問題我們從它的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)等問題進(jìn)行解析，應(yīng)用七種數(shù)學(xué)思想方法來探討它們在數(shù)列問題中的解法及其應(yīng)用.通過這些思想方法我們可以來了解數(shù)列的重點(diǎn)，難點(diǎn)，熱點(diǎn)問題，從而突顯出數(shù)學(xué)思想方法的重要性 .3.1 重點(diǎn)等差與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識（一）基礎(chǔ)知識從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)

10、，這是等差數(shù)列的本質(zhì)， 其符號語言：anan 1d (nN *, n2) 或 an 2 an 1 an 1 an (n N * ) 則是學(xué)生邏輯思維的基礎(chǔ)，從an2an 1an 1an( nN * ) 中雖未看到常數(shù)，但卻深信“差等”的事實(shí)，不能不說是抽象符號的神奇； 而由定義出發(fā)產(chǎn)生的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式卻隱藏著研究數(shù)列問題的諸多方法：歸納法、迭加法、迭乘法、迭代法，為學(xué)習(xí)一般數(shù)列提供了知識保障；等差數(shù)列前 n 和公式的推導(dǎo)過程中使用了加兩次（倒加法）的思想方法，其幾何特征類似于梯形的面積公式 .（二）基本思維橫向類比思維可輕松地掌握等比數(shù)列相關(guān)知識及其產(chǎn)生過程中的數(shù)學(xué)方法；若能感悟出兩種數(shù)列

11、間類比的“規(guī)則”，便可從等差數(shù)列相關(guān)知識出發(fā)經(jīng)大膽猜想發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列可能具有的相應(yīng)知識. 如上海高考題 : “在等差數(shù)列 an 中，若 a100 ，則有等式 a1 a2an a1a2a19 n (n 19， n 是正整數(shù) ).而逆向探索思維則可深化兩數(shù)列的基礎(chǔ)知識，下僅以等差數(shù)列為例說明之：從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式出發(fā)逆向探索發(fā)現(xiàn)，若ananb ，則數(shù)列 an 是等差數(shù)列；可見，等差數(shù)列就是一次函數(shù)或常函數(shù) . 從前 n 項(xiàng)和公式出發(fā)探索發(fā)現(xiàn) , 若數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn=an2+bn, 則數(shù)列 an 是等差數(shù)列；若數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Snn(a1an ) ，則數(shù)列2a n 是等

12、差數(shù)列 . 前者不僅告訴我們等差數(shù)列與二次函數(shù)密切相關(guān), 而且教會(huì)我們怎樣由和項(xiàng)去求通項(xiàng)；而后者則結(jié)出了處理涉及和項(xiàng)與通項(xiàng)的遞推公式的一般思維方法.（ 3）基本方法因等差 ( 比 ) 數(shù)列是由首項(xiàng)與公差 ( 比) 確定的 , 故稱首項(xiàng)與公差 ( 比) 為等差 ( 比) 數(shù)列的基本量；因此，大凡涉及等差 ( 比 ) 數(shù)列的數(shù)學(xué)問題 , 我們總希望通過等差 ( 比) 數(shù)列的基礎(chǔ)知識并結(jié)合條件去求出首項(xiàng)與公差 ( 比) 、或它們間關(guān)系，從而達(dá)到解決問題之目的，這種方法就是等差（比）數(shù)列特有的基本量方法；簡言之 , 就是用基本量去統(tǒng)一條件與結(jié)論而達(dá)到解決等差（比）數(shù)列相關(guān)問題的方法 .3.2 熱點(diǎn)數(shù)列

13、求和與求通項(xiàng)通過兩個(gè)基本數(shù)列的學(xué)習(xí)，在化歸與轉(zhuǎn)化中認(rèn)識更多的數(shù)列，是數(shù)列教學(xué)的隱性目標(biāo) . 而在數(shù)列的學(xué)習(xí)中最能充分體現(xiàn)知識應(yīng)用的沒過于數(shù)列求和與求通項(xiàng)了 , 它們也恰好構(gòu)成了數(shù)列研究的熱點(diǎn) .（ 1）數(shù)列求和這里系指求數(shù)列的有限的前n 項(xiàng)之和 . 若為等差 ( 比 ) 數(shù)列 , 則直接用公式求和； 若非等差（比）數(shù)列，則需尋找間接求和的方法. 一般地 , 當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)為分式時(shí), ?？紤]用“裂項(xiàng)相消法”去求前n項(xiàng)和；當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)恰好是等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)的積時(shí)，則必用“錯(cuò)位相減法”，此乃推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式時(shí)的數(shù)學(xué)方法；當(dāng)通項(xiàng)可分解成等差或等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)的代數(shù)和時(shí)，一般選用“分組求和法”.

14、 通過數(shù)列求和的復(fù)習(xí)教學(xué),務(wù)必讓學(xué)生把握求和的基本思維途徑: 抓通項(xiàng)思變形選方法.（ 2）數(shù)列通項(xiàng)已知數(shù)列的前幾項(xiàng) , 寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式時(shí), 通常用觀察法 . 我們有時(shí)未必能觀察出它的通項(xiàng)公式, 這時(shí)不妨嘗試觀察它們?nèi)我庀噜弮身?xiàng)間的相依關(guān)系, 如對于數(shù)列1,3,7,13,21,31, ， 若 不 能 直 接 發(fā) 現(xiàn) an =n(n-1)+1, 則 通 過 觀 察 出 遞 推 關(guān) 系an - an 1 =2(n-1),再用迭加或迭代法便可求出通項(xiàng)公式. 總之 , 觀察是一切能力的基礎(chǔ) ,在數(shù)列學(xué)習(xí)中顯得尤其珍貴.n求n用公式法, 即 an sn sn 1(n2).具體解題時(shí)需已知數(shù)列 an

15、的前 n 項(xiàng)和 S ,a ,看清問題的本質(zhì)并注意分類討論.已知遞推公式求通項(xiàng)公式 , 常考慮用轉(zhuǎn)化法 . 一個(gè)數(shù)列可以不是等差或等比數(shù)列 , 但通過代數(shù)變行或變換 , 其倒數(shù)、平方產(chǎn)生的相應(yīng)數(shù)列卻可能是等差數(shù)列，其相應(yīng)項(xiàng)加 1 后產(chǎn)生的數(shù)列可能恰好是等比數(shù)列 . 通過學(xué)習(xí)積累對遞推公式轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗(yàn) , 乃至發(fā)現(xiàn)較一般的解題模型顯得尤為重要.在此,作為線性遞推公式 : an 1panq( p0,q0, p1) , 便是我們學(xué)習(xí)與積累的基點(diǎn) .由an 2an 1(an) 知 a n+1-a n 是等比數(shù)列 , 從而可用迭加法求通項(xiàng)公式；p an 1由 apaq p pan 2q q p2 apq q

16、nn 1()n 2p 2 ( pan 3 q) pq q p3 an 3p 2 q pq q =p n 1 a1pn2 qp n 1 q Lqp n 1a1q(1p n 1 ) ，通過有限次迭代便產(chǎn)生一1p個(gè)對于所有正整數(shù)都成立的無窮的結(jié)論；將an 1panq 用待定系數(shù)法變形為an 1qp(anq) ，則 anq 是公比為 p 的等比數(shù)列，問題也可迎刃而解 .p1p1p1總之 , 線性遞推既給我們微觀上提供了轉(zhuǎn)換的三種基本方法, 又為我們宏觀上把握一類問題提供了一般規(guī)律 .例 1 由原點(diǎn) i向曲線 y=f(x)=x 3-3ax 2+bx(a 是正常數(shù) ) 引切線 , 切于不同于點(diǎn) i 的點(diǎn)

17、P1 (x1 ,y 1),再由 P1引此曲線的切線 , 切于不同于P1的點(diǎn) P2 (x2,y 2 ), 如此繼續(xù)下去，得到點(diǎn)列 P n (xn,y n).(1)求 xn 與 xn+1 的關(guān)系； (2)求證：當(dāng) n 為正偶數(shù)時(shí)，xna；當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)， xna.解 :(1)設(shè) 過 Pn的 切線 與曲 線 y=f （ x ）相切于（ x0 ， y0 ）， 則切 線方 程為yy y0f (x0 )( x x0 )，因點(diǎn)n 上此切線上，故yny0f(x0)(xn x0) ，P又 y0x033ax02bx0 , ynxn33axn2bxn ，所以 (332bxn) (332bx0)(326b)(xn

18、x0),xnaxnx0ax0x0ax0整理得： ( x0xn ) 2 (2x0xn3a)0 ，解得， x0xn 或 x01 xn3 a .22故由題設(shè)知 ,xn11 xn3 a .221 ( xn1 的(2)題(1)中的遞推公式可變形成xn1aa) , 可見 x n-a 是公比為22等比數(shù)列 , 由題意可令 x 0=0, 則 xn-a=(-a)(1) n , 即 xn =1-(1 ) n a. 從而 , 當(dāng) n 為正22偶數(shù)時(shí)，(1nn a；當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)，(1)n<0,xn a.)>0, x22說明 : 本例關(guān)鍵在于尋找相鄰兩次離散現(xiàn)象間的相依關(guān)系. 如果你不能像本例那樣直接

19、求出遞推公式，那么不妨嘗試由x1 去推 x2，x2 去推 x3，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一般方法與結(jié)論 .3.3 難點(diǎn)和項(xiàng)與通項(xiàng)間的遞推關(guān)系涉及和項(xiàng)與通項(xiàng)間的遞推關(guān)系問題，常成為學(xué)生學(xué)習(xí)的疑點(diǎn)或盲點(diǎn).一方面,他們未能牢固掌握解決此類問題的一般的思維方式: 即首先利用公式bnsnsn 1 (n2)從遞推式 f (bn , sn ) 0 中消去 bn 或 sn 使遞推式得以簡化，再思考能否從簡化的遞推式中發(fā)現(xiàn)與 bn 或 sn 相關(guān)的特殊數(shù)列 , 甚至是走“實(shí)驗(yàn)觀察歸納猜想證明”的探索之路；另一方面 ,在應(yīng)用公式bnnn 1(n2) 對遞推式(,sn) 0進(jìn)行變換s sfbn的過程中，常忽視n 取值范圍（函數(shù)觀點(diǎn)

20、下的定義域）的變化，而使求解與論證失去嚴(yán)謹(jǐn)性 .例 2已知數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和為 sn，且 sn12n1 bn ( nN ) . (1) 設(shè) xn =（2n+1）2sn ， 求 證 ： 數(shù) 列 x n為等差數(shù)列；(2)當(dāng) n2時(shí)，求證：111L15 .xn 2xn 1 2xn 2 2x2 n 232證明：（ 1）因 bnSnSn 1 ，故由條件知： sn12n 1 (snsn 1 )(n1)，整理2得 (2n1)sn(2n 1)sn12，即 xn+1=xn+2，故數(shù)列 x n 是公差為 2 的等差數(shù)列 .(2) 在 sn2n 1bn(nN)1=2/3, 再據(jù)（n112中令 n=1，得

21、s1）知， x =3s +2（n-1 ）=2n，故當(dāng) n2時(shí)，111L11111L1xn2xn2xn 22x2 n24 n2(n1) 2(n2)2( 2n) 2 11111L1 =21 ( n 1)21 ( n 2)2124 n(2n)11( 11) (11)(11 )L(11 ) (11)8 n 1 n 1n n 2n 1 n 32n 2 2n2n 1 2n 1=1( 1111)=1( 111)1 ( 11 )8 n 1 n 2n 2n 1 8 n 1 2n 2n 1 8 n 1 2n1 (2111)5 .82232說明：對第 (2)小題，可證原不等式左邊是關(guān)于n 的遞減函數(shù)，從而求出n=2

22、 時(shí)左邊的最大值，并證明此值小于5/32.4 數(shù)列問題中的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓, 是知識轉(zhuǎn)化為能力橋梁. 能否有意識地正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解答數(shù)學(xué)問題，是衡量數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志數(shù)列中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義4.1 函數(shù)思想函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)考察數(shù)學(xué)對象. 數(shù)列是一類特殊的函數(shù), 以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識理解數(shù)列，是解an 決數(shù)列問題的有效方法 .例 3 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn . 已知 a1 =25， s9 = s17 問數(shù)列的多少項(xiàng)和最大 ? 分析 : 易知所給數(shù)列 an 不是常數(shù)列

23、, 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 sn 是 n 的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為零 , 所以可利用函數(shù)思想研究sn 的最值 .解: 由 a1 =25， s9 = s17 得9a198 d17a11716 d ,d2.22從而 sn25nn(n1) (2)(n13)2169 ;2故前 13 項(xiàng)的和最大 , 其最大值為 169.小結(jié)：利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的最值問題，避免了復(fù)雜的運(yùn)算過程 .4.2 方程思想方程思想就是通過設(shè)元建立方程 , 研究方程解決問題的方法 . 在解數(shù)列問題時(shí) , 利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)構(gòu)造方程（組） ，是解數(shù)列問題基本方法 .例 4 等差數(shù)列an

24、的前 n 項(xiàng)和為 sn ，若 s1284,s20460，求 s28 .分析 : 解此題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式, 可利用已知條件列出關(guān)于a1 和 d 的方程組求出基本量 a1 和 d, 也可用待定系數(shù)法確定 sn .解法 1: 設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1 , 公差為 d, 根據(jù)已知條件和等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式得s1212a11211 d84,a1522019解得4s2020a1460,dd2sn15nn( n 1)42n 217 n .2從而 s28 228217281092 .解法 2: 易知所給等差數(shù)列不是常數(shù)列, 所以它的前 n 項(xiàng)和 sn 可設(shè)為 snan 2bn , 由已知

25、條件得122 a12b84,a1220220b解得b17460, sn 217n, s2822n228 17 28 1092 .小結(jié)：方程思想是數(shù)學(xué)解題中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在數(shù)列間題中的應(yīng)用 . 常可以簡潔處理一些其他思想方法難以解決的數(shù)列問題4.3 分類討論思想復(fù)雜問題無法一次性解決 , 常需分類研究 , 化整為零 , 各個(gè)擊破 . 數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的分類討論的問題 . 分類討論是一種邏輯方法 , 同時(shí)又是一種重要的解題策略 , 在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用 . 所謂分類討論 , 是在討論對象明確的條件下 , 按照同一的分類標(biāo)準(zhǔn) , 不重復(fù)、不遺漏、不越級的原則下進(jìn)行的 .

26、它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法 .例 5已知數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和snn218n，試求數(shù)列 b的前 n 項(xiàng)和 T 的表達(dá)式 .nn分析 : 解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式 , 并弄清數(shù)列 bn 中各項(xiàng)的符號以便化去 bn 的絕對值 . 故需分類探討解: 當(dāng) n=1 時(shí), b1s11218117;當(dāng) n2時(shí),bnsnsn 1n218nn 1 218n19 2n.當(dāng) 1n9時(shí), bn0, 當(dāng) n 10 時(shí), bn0.從而當(dāng) 1n9時(shí), Tn= bbb12n= bbbsnn 2n;12n18當(dāng) n10 時(shí) , Tn = b1b2bn=b1b2b9b10bnsn2s9n218n

27、2( 92 189)n2 18n 162 .Tn =n 218n, (1n9)218n 162, (n 10)n小結(jié)：數(shù)列中的分類討論多涉及對公差d、公比 q、項(xiàng)數(shù) n 的討論 , 特別是對項(xiàng)數(shù) n的討論成為近幾年高考的熱點(diǎn) .4.4 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等價(jià)轉(zhuǎn)化就是將研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對象, 使之成為大家熟悉的或容易解決的問題. 這是解決數(shù)列問題重要方法.例 6 等差數(shù)列bn 的前 n 項(xiàng)和為 sn , b16 . 若中 ,s8 最大 , 數(shù)列 bn4 的前多少項(xiàng)和最大 ?分析 : 求 sn 的最大值有多種轉(zhuǎn)化方法 . 本題可將 sn 滿足的要求轉(zhuǎn)化為公差d 滿足的要求；再將

28、 k 所滿足的條件轉(zhuǎn)化為它的幾何意義，借助圖示直接寫出結(jié)果.解: 設(shè)數(shù)列 bn 的公差為 d, 則 s8 最大b80,67d0,6d3 .b90;68d0.74設(shè) bn 4 的前 k 項(xiàng)和最大 , 則有 2 (k 1)d0,且2kd0, 故有2k12.（*）dd所以：6d3 , 728 .74 3d3如圖，數(shù)軸的兩個(gè)陰影區(qū)間中，左邊是2 的取值范圍，右邊是12 的取值范圍，（* ）dd的成立等價(jià)于 k 取兩個(gè)區(qū)間之間的自然數(shù)，所以k=3，即 bn 4的前 3 項(xiàng)和最大 .小結(jié)：本題借助圖形來解決數(shù)列問題，也顯示出了等價(jià)轉(zhuǎn)換思想在解決數(shù)列問題方面的重要作用 .4.5 整體思想整體思想就是從整體著

29、眼, 通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其它整體處理后，達(dá)到簡捷地解題的目的 .例 7 已知數(shù)列bn 為等差數(shù)列，前12 項(xiàng)和為 354，前 12 項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為 27:32, 求公差 d.分析 : 此題常規(guī)思路是利用求和公式列方程組求解，計(jì)算量較大 , 注意考慮用整體思想去解決 , 解法十分簡捷 .解: 由題意令奇數(shù)項(xiàng)和為27x , 偶數(shù)項(xiàng)和為 32 x .因?yàn)椋?s1227 x32x59x354,所以： x 6 .而 32x 27x5x306d ,d 5.小結(jié)：解決此題如果不把它與整體思想聯(lián)系起來，那么直接解決要走很多彎路也不容易直接求出它的準(zhǔn)確答案，因此此題應(yīng)用了整體思想來解決

30、了數(shù)列問題是非常重要的 .4.6 遞推思想遞推思想就是通過探求、構(gòu)造和運(yùn)用所給問題中的遞推關(guān)系解決問題的思想方法.數(shù)列問題，從某種意義上講是遞推關(guān)系的表現(xiàn)形式. 利用遞推思想解決某些數(shù)列問題可體現(xiàn)遞推思想解決問題的優(yōu)越性 .例 8設(shè)數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 sn , 若對于所有的自然數(shù) n, 都有 snn(b1 bn ) , 證明2數(shù)列 bn是等差數(shù)列 .分析 : 證明等差數(shù)列一般考慮用等差數(shù)列的定義. 這里可利用遞推關(guān)系 , 將 sn 轉(zhuǎn)換得bn , 然后再對 bn , bn1 的遞推關(guān)系繼續(xù)探求 .解: 由 snn(b1bn )snn(b1bn ) 得 sn 1( n1)(b1bn 1

31、 ) ,222當(dāng) n2時(shí),bnsnsn 1n(b1bn ) (n 1)(b1bn 1 ) ,22即 b1(n2)bn (n1)bn 10 .同理 b1(n1)bn 1nbn0 .兩式相減得 (n 1)bn 1 2(n1)bn( n 1)bn 10 ,即 bn 1 2bnbn 10 ,從而有 bn 1bnbnbn 1 (n2) .由此可知數(shù)列bn 是等差數(shù)列 .小結(jié)：應(yīng)用遞推思想來解決此數(shù)列問題顯得非常簡單，如果選用其他方法顯得比較繁瑣，解決起來不是很容易，所以選擇正確的思想方法遞推思想來解決這個(gè)問題，也非常簡單，避免了很多運(yùn)算.4.7 歸納、猜想與證明思想通過對個(gè)別、特殊情況的分析、觀察，發(fā)現(xiàn)

32、規(guī)律, 歸納出一般的結(jié)論或性質(zhì)，再尋求證明方法 . 這是我們由已知探索未知的重要途徑.例 9 已知數(shù)列bn 滿足條件 : b26, (n1)bn 1(n1)(bn1) , 試求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式 .分析 : 此題求解思路不清晰，從特例入手，觀察、猜想結(jié)論, 再加以證明不失為一種好辦法 .解: 由已知條件 , 分別取 n=1,2,3, ，得b111 1, b2623, b3153 5,b42847, 通過觀察、歸納、可得出猜想:bnn(2n1)2n2n .用數(shù)學(xué)歸納法容易證明這一結(jié)論是正確的.小結(jié)：在解決此題過程中我們首先對該題的題目與題型進(jìn)行觀察與分析然后再從特例下手，這樣解決起來就比較簡單

33、快捷 .數(shù)列的工具性決定了應(yīng)用的廣泛性 , 注重構(gòu)建數(shù)列模型解實(shí)際問題 , 有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)能力的提高 . 還有一些重要的思想方法，如數(shù)形結(jié)合、分析與綜合、聯(lián)想與類比，構(gòu)造模型等思想方法 , 然而在解決數(shù)列問題中如果我們不注重以上舉出的思想方法可能會(huì)導(dǎo)致在解題中出現(xiàn)以下幾種常見錯(cuò)誤：（一）忽視了等差、等比數(shù)列的定義的條件而導(dǎo)致的錯(cuò)誤在等差（比）數(shù)列的定義中，都是“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差（比）為同一常數(shù)”， 而在解題的過程中，往往只想驗(yàn)證 aad ( 或 annn 1an 1q ) ，而不管 n 的值為多少，即不管數(shù)列是不是從第二項(xiàng)起就具有這一性質(zhì)，就盲目使用等差、等比數(shù)

34、列公式求出通項(xiàng)公式或進(jìn)行求和，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果 .（二）應(yīng)用 Sn 與 bn 關(guān)系時(shí)，盲目套用公式 anSn Sn 1 而出現(xiàn)錯(cuò)誤在 Sn 與 an 關(guān)系中，當(dāng) n2 時(shí)，公式 an Sn Sn1 成立；當(dāng) n1時(shí)， a1 S1 ，即 Sn 與an 關(guān)系公式 anS1 (n 1)是分步條件公式 . 因此，求 an 要分兩步：先求 n 1的結(jié)Sn Sn 1 (n2)果，當(dāng) n2 時(shí)使用 anSn Sn 1 ，最后驗(yàn)證是否可以合并，而在解題過程中，往往只想到 anSnSn 1 ，而忽略了 anSn Sn 1 成立的條件 n 2 .（三）忽視了等比數(shù)列中對公比q1情形的討論二出現(xiàn)錯(cuò)誤na1 (n1)

35、在等比數(shù)列運(yùn)用公式Sna1(1qn )求 Sn 時(shí)分兩步：即當(dāng) n1 時(shí) Sn na1 ，1q(n 2)當(dāng) n2 時(shí)使用 Sna1(1 qn ) ，而在解題過程中，往往只想到Sna1(1qn ) ，而忽略了1q1qSna1 (1qn ) 成立的條件 n2 .1q例 10若等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a ，公比為 q ，求數(shù)列 ana 的前 n 項(xiàng)和 .錯(cuò)解 Sn( a1a) (a2a) L(ana) (a1a2L an ) (a a L a)a(1qn )na1q錯(cuò)誤剖析 此題忽視了 q1時(shí)的情況，因?yàn)楫?dāng) n1時(shí)， Sna(1 qn ) 沒有意義 . 所以1 q等比數(shù)列 an 求和時(shí)必須注意：（

36、 1）當(dāng)條件中注明 q1（或 q1沒有意義）時(shí)，可直接使用公式 Sna(1qn ) ；（2）當(dāng) q 1有意義時(shí)，應(yīng)分成兩種情況：當(dāng) q1時(shí)，Sn na1 ；1q當(dāng) q1時(shí)， Sna1(1 qn ) .1 q數(shù)列的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中，不僅需要對公式的記憶方法，更需要嚴(yán)密準(zhǔn)確地理解掌握定義，掌握公式和變量關(guān)系間成立的條件，做題過程中，稍不注意，就可能產(chǎn)生各種不同的錯(cuò)誤 . 這就要求我們，在課堂教學(xué)的過程中，不能只關(guān)注做題量的多少，還應(yīng)該通過典型問題的練習(xí)，幫助學(xué)生加強(qiáng)理解、對比和總結(jié)，使學(xué)生能舉一反三.5 結(jié)論5.1 主要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用很廣泛，特別是在一些復(fù)雜的數(shù)列問題中尤為顯著，其

37、思想方法主要包括函數(shù)思想；方程思想；分類討論思想；等價(jià)轉(zhuǎn)換思想；整體思想；遞推思想；歸納，猜想與證明思想；建模與解模思想等. 在高考數(shù)學(xué)中常常利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解數(shù)列問題十分廣泛5.2 啟示數(shù)列問題應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法來解決非常重要，具體應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中靈活多變，如果我們掌握了數(shù)學(xué)思想方法解題的一些常用技巧，在解決數(shù)列的時(shí)候認(rèn)真分析，巧妙地應(yīng)用八種數(shù)學(xué)思想方法中的一種來解決，那么解題就變得簡單多了在高中數(shù)學(xué)中，我們也可以應(yīng)用這些思想方法來解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.并且學(xué)好這些思想方法我們也可以來解決其它數(shù)學(xué)知識方面的難點(diǎn)問題.5.3 局限性本文主要就數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用中常用的幾種重要的方法舉例作說明，其中主要工作屬歸結(jié)概括，還有諸多知識需待補(bǔ)充完善，數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用還很多其應(yīng)用廣泛，而本文僅介