數(shù)列求和不等式的證明策略（精）

1、數(shù)列求和不等式的證明策略一. 直接放縮型例 1 求證： 丄 v!+ + + < 1(« > 2) 2 n +1 + 22n證明： <-<(k=2)2n n + k n +11 1 1 1 1 1 11 1/+ + + <+ + <+ +in 2n2n n +1 n+ 22n n + n + n +1nn 1111n.2 斤 +1n + 22nn +1例2.設(shè)“ =1 +丄+丄+ . +丄衛(wèi)2.求證：an < 2." t 3"na解析 a = 1 + 丄+丄+ +丄 5 1 + 丄+ 亠 + +丄." 2a 3a

2、na 2232 n2又 f =kk>k(k-lk>21 1 1 1v，k2 r伙 一1)k- k二.于是尙51+丄+丄+ . +丄<1 + (1丄)+ (丄_丄) + + (丄一丄)=2_丄v 2. ”2232 n222 3n-1 n n可放縮成等差數(shù)列型 仮!1 1 求證: ""+ » < 71邁 +j23 + jn( + 1) v “ . (nwn+)n(n + l)2 2證明：.*n(n +1) >= n :. jl 2 +23 + +n(n +1) > 1 + 2 + + = 又師莉 仝業(yè)2 2vb2 + vt3 + +

3、 jn(/i +1) v丄(3 + 5 + . + 2 + 1)二 +2 <(" + 】),.得證。 v 22三可放縮成等比數(shù)列型例 1 數(shù)列an滿(mǎn)足 an+i=an2-nan+l (ne n+),且 a“nn+2 求證： 一! + ! + + ! < 丄1 + d 1 +1 + a n2證明： an+i=an(an-n) +1 >an(n+2n) +l=2an+l/.an+i+l>2(an+l) an+l>2(an-i+l)即金彳 二 +1)' 2?+ 1)2心(i +1) ' £( ，9丄+丄+ +丄 < 丄+丄+ +

4、丄顯-丄 < 丄1 + e 1 + 色1 + q“22232,+,22/,+12例 2.已知 f (x)二丄w (0,+8),數(shù)列x滿(mǎn)足 xn+i=f (xn) (ne nj ,且 x】二 1,設(shè) an= | xn- v2 i, 兀+ 1s“為%前n項(xiàng)和，證明：sn<o2證明時(shí)=|和-血1 = |心-血l = |心二= (血-1)乜匚迦 兀”+1£+1比+11又 xn>0 . ann< (d 1)丨?！?一° i < (血一1) 2 丨 -v2i<.<(v2-1)z, lx, -v2i = (v2-1)網(wǎng).sfa】+a2+ + ak

5、("1) + (血一 1尸 + + (©1)"得證。四.可放縮成裂項(xiàng)差式型例1求證：1+丄+厶+ < 2 (ne n+)2232 n2證明： < =- -(n>2)n_ n(n-l) n -1 n11111111 c 1 c/. 1+ + + + < 1 + 1 + += 2<2.2232 n2223 n-i n n仮|j 2 求證：1+*十! + + <3(n> 2,/? g n)22q 22z3 n證明： tn1n 4n+ njn2(n - l)vn + nvn -12= 2(喬 _vt)= 2(l)n(n -1) (

6、j” -1 + 麻) qn(n 一 1) y!n 4n1+遲 + 追+ +玄 <1 + 2(1 一士+ ¥_¥ + +亠一士)亠士<3.23nv2 v2 v3 y/n -1 vn vh五.兩項(xiàng)配湊放縮型例1已知 xn=2+，求證：(-1)xi+(-1)2x2+ (-l)nxn<l (ne n+)(-2)匕證明：(-1)%=(-1廣2 +-2-(" 3不妨考慮 n 為奇數(shù)時(shí)，(-l)nxn+(-l)n+1xn+1=-2" +丄31+2“+i _ 1-32" + 2/,+1 2" + 2/,+1<1川+i2“2打+

7、"于是n為偶數(shù)時(shí),(g(g+(g1 1+歹+刁2nn為奇數(shù)時(shí)，前n-1項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng),于是有(-1)xi+(-1)2x2+*+ (-1) <1+ (-1) nxn=l-xn=l- (2+(2)”)二-1+<1,得證。t +-3例2已知an=| 2n-2+(-l)n-1 (netvj,證明：對(duì)任意的整數(shù)n)>4,證明：由通項(xiàng)公式得a4=2,當(dāng)n»3且n為奇數(shù)時(shí)，-1 3r 11 n 32,_1 + t'2d= i+i = xafl atl+ 2 2n'2 +12m_, -1222n'3 + 2n 一 t'2仝(丄+亠,2 22/,

8、_3 2 2,_2 2,_12/j-3當(dāng) m>4 且 m 為偶數(shù)時(shí)， + + + = 4- ( + ) + + (+ )勺 a5a.n a4 a5 %am- 色“22 23242m222 42心 288當(dāng) m>4 且 m 為奇數(shù)時(shí)，+ 4- - + < + 4- + + 勺 a5a,n a4 a5a.n 知+】8綜上對(duì)任意整數(shù)m>4有丄+丄+丄v ?。a4 a5am *評(píng)析：由于通項(xiàng)中涉及有g(shù)it這一符號(hào)法則，因此結(jié)合兩項(xiàng)之和將其消去，再行放縮便能易 于求和使問(wèn)題得證。六.利用題設(shè)結(jié)論例1已知不等式丄+ + +丄 > 丄1002w 2.10gm表不不超過(guò)log ,

9、2的最大整23刃 2(2”+*)(2塚*)2-2數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列仏滿(mǎn)足：a, = b(b > 0), < ncln- ,n > 2.n +存求證乙 <,z? >3.2 + mlog2n簡(jiǎn)析當(dāng)n>2時(shí)° <上亠亠丄巴仝叫二丄+丄，即 n + an-q”an-l% 斤11 、1右 / 11、亡 1n => 2 () n 乂 一 cln cln- nk=2 ak ak- k=2 “于是當(dāng)h >3時(shí)有 >llog2«=> « <.%22"2 +燦io%川例2已知4=1®嚴(yán)(1 + j

10、也+丄.(/)用數(shù)學(xué)歸納法證明> 2(n > 2)；()對(duì)n" +n 2"ln(l + x)<x對(duì)兀>0都成立，證明(無(wú)理數(shù)g2.71828)解析()結(jié)合第(/)問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件ln(l + x)<x(x>0)的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：如“ +土+ *=> 嘰進(jìn)噸+± + * + 1叫=>。于是訟十in譏莎亍刁x(1叫+1 -1叫)5工1=1r=l1 1+ n2+/i + r°ina” -lntzj < 2 => an <."+ 巾_/" + 訕 _1)lna+1+

11、1)-嘰心噸+喬產(chǎn)冇”一1旳一zz> ln(a” + 1) - ln(g“ + 1) < 1 < 1， i(i -1)n=工ln(% +l)-lna +1) <工i=2i=2即 ln(d” +1) < 1 + ln3 => a” < 3e-1 < e2.七.利用單調(diào)性放縮(i)a“ >n + 2；例1.設(shè)數(shù)列a“滿(mǎn)足°卄=a：-叫+1( w nj ,當(dāng)a>3時(shí)證明對(duì)所有n > 1,有(ii)1w 1 + a】 l + a? 1 + a” 2解析 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)"1時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)n>k時(shí)成立即縱從+

12、 2,貝ij當(dāng)m = r +1 時(shí)=線(xiàn)(畋 一r) +1 n 色(p + 2-r) +1 n (k + 2) 2 +1 > p + 3 ,成立。(n)利用上述部分放縮的結(jié)論縱+沱2務(wù)+1來(lái)放縮通項(xiàng)，可得例2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列%的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足s” >1,且6s” =(色+1)(%+2),皿礦(1) 求©的通項(xiàng)公式;(2) 設(shè)數(shù)列乞滿(mǎn)足°”(2%-1) = 1,并記7；為仇的前n項(xiàng)和，求證：37； +1 > log2(an + 3),n e n*(i )解：由a】=s| =2(+1)+2)，解得a】 = l或a)= 2,由假設(shè)ai=s)>l,因此a】

13、 = 2。又由 an+i = sn+i_ sn=2(a”+ + l)(a“+ + 2) - an +l)(a” +2),6 6得 an+i 為-3 = 0 或 an+i=an因an>0,故an+i=an不成立，舍去。因此an+-a-3 = 0o從而(an)是公差為3,首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故aj的通項(xiàng)為an=3n-2o(ii)由 -1) = 1 可解得從而7；=也 +e + + /?“ =log j 才因此 37；+1-10艮(勺+3) = log3n + 2/(/? + !)3“+ 2f (/?) 3n + 5<3n + 3<3n + 2(3n + 5)(3/? + 2)因(

14、3舁 + 3)2-(3/? + 5)(3川 + 2)2=9/? + 7>0,故f(n + !)>/(«)特別的 fm >/(l) = >1 o 從而 3tn + 1-logg +3) = log f(n)x),即 37；+1>1(崔2(5+3)。例15數(shù)列&”由下列條件確定：x =a>0 9 a;/+1 =-, n g n(i)證明：對(duì)na 2總2(?！必衳n> (id證明：對(duì)n>2總有%”* (02年北京卷第(19)題)解析構(gòu)造函數(shù)fx) = -x + -，易知/(兀)在石,+8)是增函數(shù)。i x丿xk +在爸,+00)遞增

15、故林+ >= ya.對(duì)(ii)有 xn -xn+1xn)x - -i它在需,+8)上是增函數(shù), x丿得證。故有無(wú)“-占+1=£ xn->f(-ja) = 0921?！必?數(shù)學(xué)歸納法武漢市教育科學(xué)研究院命制的“武漢市2005-2006學(xué)年高三年級(jí)二月調(diào)研測(cè)試”第22題:已知函數(shù)f(x)是在(0,+8)上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf7(x)>f(x)在x>0上恒成立，1) 略；2)求證：當(dāng) xi>0, x2>0 時(shí)有 f (xi+x2) >f (xi) +f (x2) ； 3)已知不等式 ln(l+x) <x 在 x>t 且s時(shí)恒成立

16、，求證：卩22+卻何+. +擊噸+ 1)22(” +爲(wèi)+ 2)其中第3問(wèn)給出的參考答案為：由 2)結(jié)論推廣到一般有 f (xi) +f (x2) + + f (xn)<f (xi+x2+ + xn) (n>2),設(shè) f (x) =xlnx,則 在 xi>0(i=l, -n)時(shí)，有 xilnxi+x2lnx2+ + xnlnxn<(xi+x2+ + xn) in(x)+x2+ + xn),令拓科g丄+丄+ + 1 - 22-3 n(n +1)又心筒市丄_1_272 + 2記 s=xl+x2+.+xn=_(xi+x2+ + xn) in(x1+x2+ + xn)尙）亠2（斤+1為+ 2）<(x1+x2+ + xn) in (1-) <-72 + 1 n + iyppy+亦占嚴(yán)詁廠一2（ + 1；（ + 2廠原不等式成立。上述證法的技巧性太強(qiáng)，通過(guò)結(jié)論2）的推廣，及sn的縮小與放大的同時(shí)運(yùn)用，才使得 放縮的尺度恰如其分，筆者經(jīng)過(guò)進(jìn)一步研究，得出了以下簡(jiǎn)潔證法：當(dāng)ke n+時(shí), 噸+ 1)2 > 1叱= >*='伙+ 1)2伙+ 1)2 伙 + 1)2 伙+ 1)伙+ 2) k + l k+29"+卩32+.+討眉測(cè)+ 1)21 1 1>1112232 (斤 + 1)2、111