探究性問題解題思路系統(tǒng)化

1、探究性問題解題思路系統(tǒng)化襄樊市第四十七中學(xué)熊沙探究性問題是知識、方法、能力綜合型試題，新課改后的中考數(shù)學(xué)壓軸題 已從傳統(tǒng)的考查知識點多、難度大、復(fù)雜程度高的綜合題型，逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié) 合、動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究等方向。傳統(tǒng)的解答題和證明題，其條件和結(jié)論是曲題目明確給出的，我們的工作就 是由因?qū)Ч驁?zhí)果索因。而探究性問題一般沒有明確的條件或結(jié)論，沒有固定的 形式和方法，耍求我們認(rèn)真收集和處理問題的信息，通過觀察、分析、綜合、歸 納、概括、猜想和論證等深層次的探索活動，認(rèn)真研究才能得到問題的解答。開 放性、操作性、探索性和綜合性是探究性問題的明顯特征。這類題日形式新穎， 格調(diào)清新，涉及的基礎(chǔ)知

2、識和基木技能十分廣泛，解題過程屮有較多的創(chuàng)造性和 探索性，解答方法靈活多變，既需要扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能，具備一定的數(shù) 學(xué)能力，又需要思維的創(chuàng)造性和具有良好的個性品質(zhì)。1.閱讀理解型例1、閱讀下列材料：=丄(丄-丄)17x192 171911 1 1+ +1x3 3x5 5x717x 19丄(1 -丄)+ -(-) + -(-) + +-(-)232 3 52 572 1719丄+丄+丄-丄)771719解答問題：1 1 111f (1 )在和式1x33x55x7 中，笫五項為,第n項為,上述求和的想法是：通過逆用法則，將和式中各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化 易兩個實吻z差，使得除首、末兩項外的皿'可乳

3、項可以,從而達(dá)到求和的冃的。11151fh=(2) 解方程班兀 + 2) (x + 2)(x + 4)(x + 8)(x+10)24分析：本題是從一個和式的解題技巧入手，進(jìn)而探索具有類似特征的分式方 程的解題思路。 解(1)第五項為跖匚 第ri項為2-1)(2 + 1),上述求和的想法是： 通過逆用分?jǐn)?shù)減法法則，將和式中各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)z差，使得除首、末兩 項外的中間各項都可以互相抵消，從而達(dá)到求和的冃的。524(2) 方程左邊的分式運(yùn)用拆項的方法化簡：、丄+丄亠2 x 兀 + 2 兀 + 2 兀 + 4x + 8 兀+ 10524化簡可得(兀+ 12)(兀-2) = °解得山=

4、2,兀2 = 12經(jīng)檢驗，x, = 2, x2 = -12是原方程的根。從上而的例題我們可以把探究型問題格式化為：(1)分析題冃及例子；(2)歸 納知識點：(3)推理及小小的推廣；(4)下結(jié)論。例2、閱讀以下材料并填空。平面上有n個點(斤2),且任意三個點不在同一直線上，過這些點作直線, 一共能作出多少條不同的直線？(1) 分析：當(dāng)僅有兩個點時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點時，可連成3條直線；當(dāng)有4個點時，可連成6條直線；當(dāng)有5個點時，可連成10條直線；(2) 歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)以，發(fā)現(xiàn)：點的個數(shù)可連成直線條數(shù)21 = 52 = 2 x 1 233備竽46 7 一 2510

5、= 55 =5><4' 2n_ n(n - 1)” 2（3）推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線，取第一個點a有n種取法, 取第二個點b有5 1）種取法，所以一共可連成“s 1）條直線，但ab與ba是同一s=-1）條直線，故應(yīng)除以2,即"一 2s（4）結(jié)論：2試探究以下問題：平面上有n （斤上3）個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角 形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：當(dāng)僅有3個點時，可作個三角形；當(dāng)有4個點時，可作個三角形；當(dāng)有5個點時，可作個三角形；（2）歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)發(fā)現(xiàn):點的個數(shù)可連成三角形個數(shù)345n（3

6、）推理：（4）結(jié)論：分析：本題是從閱讀材料小得到研究數(shù)學(xué)問題的方法：分析歸納一一猜想 推理結(jié)論，再用這種方法探究解決新的數(shù)學(xué)問題。解（1）當(dāng)僅有3個點時，可作 1 個三角形；當(dāng)有4個點時，可作 4 個三角形；當(dāng)有5個點時，可作 10 個三角形。（2）點的個數(shù)可連成三角形個數(shù)33x2x1644x3x2655x4x36n/:（/: 一 1）（/? 一 2）6（3）平面上有n個點，過不在同一條直線上的三點可以確定一個三角形，取第一個點a有n種取法，取第二個點b有5一1）種取法，取第三個點c有（"一2）種取 法，所以一共可以作1）（2）個三角形，但 aabc、aacb> bac. bc

7、a. 'cab、acba 是同一個三角形，故應(yīng)除以6,c n（n 一 1）（ 一 2）nn s” =即6nn 一 1）（/? 一 2）=（4）” 62 探究結(jié)論型探求結(jié)論型問題是指由給定的己知條件探求相應(yīng)的結(jié)論的問題。解答這類問 題的思路是：從所給條件（包括圖形特征）出發(fā)，進(jìn)行探索、歸納，大膽猜想 出結(jié)論，然后對猜想的結(jié)論進(jìn)行推理、證明。例3、如圖，公路上有a、b、c三站，一輛汽車在上午8時從離a站10千米的p地 出發(fā)向c站勻速前進(jìn)，15分鐘后離a站20千米。（1）設(shè)出發(fā)x小時后，汽車離a站y千米，寫tby與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)汽車行駛到離a站150千米的b站時，接到通知要在中

8、午12點前趕到離 13站30千米的c站。汽車若按原速能否按時到達(dá)？若能，是在兒點兒分到達(dá)；若不 能，車速最少應(yīng)提高到多少？i111a pbc分析：這是生活中的一個實際問題。解第（1）問的關(guān)鍵是讀懂題意，求出 汽車從p地出發(fā)向c站勻速前進(jìn)的速度。第（2）問，沒有給出明確的結(jié)論，需要根據(jù)所給的條件探求，汽車行駛到b 站后，若按原速行駛，到達(dá)c站的時間。20-1015=40 （千米/小時）解（1）汽車從p地出發(fā)向c站勻速前匹 速度為60v = 40x + 10(2)把yi50代入上式，得 150 = 40x4-10解得兀二3.5 （小時）乂 8 + 35 = 11.5汽車到達(dá)b站的時間為11點30分

9、30若汽車按原速行駛，由3站到c站所需吋間為=0.75 （小吋）40v 11.5 + 0.75= 12.25 > 12汽車按原速行駛不能按吋到達(dá)c站3（）=60 （千米 / 時）12-115汽車要在中午12點前趕到離b站30千米的c站，車速最少應(yīng)提高到60千米/時。例4、如圖,ab為半圓的直徑,0為圓心,ab=6,延長ba到f,使fa二ab。若p為線段af上一個動點（p點與a點不重合），過p作半圓的切線，切點為c,作cd1ab, 垂足為d。過b點作be丄pc ,交pc的延長線于點e,連結(jié)ac、deo（1）判斷線段ac、de所在直線是否平行，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)ac為x, ac+be為

10、y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變igx的取值范 圍。分析：本題是要根據(jù)圖形的條件探求ac、de所在直線的位置關(guān)系。本題的難 點在于p是一個動點，那么ac與de也始終在隨p點的運(yùn)動而變化。在這種變化中， 它們的相對位置是否有一種特定的聯(lián)系？這就要求我們透過現(xiàn)象，抓住問題的本 質(zhì)，考察其屮的必然聯(lián)系?？捎蓜拥届o，把動點p設(shè)在af上的任意一個位置，根 據(jù)題意畫出草圖，再觀察、猜想、推理、判斷ac與de是否平行。m（ 1 ）依題意畫出圖形，如圖，判斷線段ac、i）e所在直線互相平行，即ac/deo卜'p/do:.rtpcd rtpbepc pd ' pb pepc與g)0相切于c點

11、，pab為oo的割線 pc2 = pa pbpc pa 'pbpcpa pd 'pcpe:.ac i ide(2)連結(jié)bc 為半圓直徑 zacb = 90°.ac2 +bc2 = ab2/ ac = x, ab = 6. bc2 =36-x2pc與半圓相切于點c. abac = zbce:.rtabc rtcbeab . - bccb"be:.be =bc2 , x2=oab6 y = ac + be:.y = - + x + 66點戶為線段af上一動點(p點與a點不巫合).點p與點f匝合吋，ac的值最大，可求得此時ac = 2心十三+兀+ 6,其中0vm2

12、巧3. 探究存在性型例5、已知：點a (一1，一 1)在拋物線y =1)/_2伙-2)兀+ 1上(1) 求拋物線的對稱軸；(2) 若點b與點a關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問是否存在與拋物線只交于一點b的直線。如果存在，求符合條件的直線；如果不存在，說明理由。分析：要求過拋物線上點b且僅交拋物線于一點的直線，除了應(yīng)用判別式 a = 0解出直線外，不要遺漏與對稱軸平行的這一條直線。解(1) * 點a(-1, -1)在拋物線y = (£2 l)x2 2(k 2)x + 1_l.i*? l + 2(£2) + 1即 / +23 = 0解得人=1> k2 = -3w 1 ho：k、

13、= 1應(yīng)舍去k = 3拋物線的解析式為y = 8/ + 10兀+1,其對稱軸為直線x =-8(2)點與拋物線上的點a(-l, -1)關(guān)于對稱軸x = -|對稱8即觸坐標(biāo)為(冷，-1),且b點在拋物線上1>假設(shè)存在直線)y mx + 與拋物線y = 8x2 + 10x + l只有一個交點貝lj - 1 = -m + n,即加-4n = 4< 1 >4<l>fa.y = 8x2+10x + l整理得 8/ +(i o _ 加)* + 1-a? = 0直線與拋物線僅有一個交點/. a = (10-m)2-32(l-n) = 0<2>由 v 1、 v 2 &g

14、t; 解得加=6, n =2y = 6x h 2(9 1)x = x =2>過b 4且與拋物線的對稱軸8平行的直線是 4,也/y = 6x h，x 拋物線只有一個交點所以符合條件的直線為.244. 實驗操作型數(shù)學(xué)不僅是思維科學(xué)，也是實驗科學(xué)，通過實驗操作，觀察猜想，調(diào)整等合情推 理，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，近年來，齊地中考試題常以此來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力和 創(chuàng)新能力，這種實驗操作形式也是進(jìn)行科學(xué)研究的最基本形式。例6、取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步:先把矩形abcd對折,折痕為mn,如圖1；第二步：再把b點疊在折痕線mn上，折痕為ae,點b在mn上的對應(yīng)點為夕，得 rtabye

15、 ,如圖2；利用展開圖4探究：(1) aaef是什么三角形？證明你的結(jié)論；(2) 對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由。圖3圖4(1)證明：aaef是等邊三角形證法一：由平行線分線段定理得pe=pa- b'p是rtmb' e斜邊上的屮線pa = pb, zl = z3 (如圖4)又 pn /ad:.z2 = z3,而2上l + z2 = 90。z1 = z2 = 3o°在rtab'e中，z1 + zaef = 90°zaef = 60° , zeaf = z1 + z2 = 6o° .aaef是等邊三角形證法二：zbe與仙e完全重合a abe = ab' e, zbae = z由平行線等分線段定理知b'f又 zab,e = 90°:.aab'eaab'f, ae = afz1 = z2 二丄 /.bad = 30°3aaef是等邊三角形(2)不一定.由以上推證可知當(dāng)矩形