淺談矩陣的對(duì)角化問(wèn)題

1、蘇州大學(xué)本科畢業(yè)論文（2012 屆）淺談矩陣的對(duì)角化問(wèn)題學(xué)號(hào) 0807402069姓名馬莉瑩院系數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）指導(dǎo)老師朱廣俊目錄中文摘要abstract前言3第一章矩陣相似對(duì)角化問(wèn)題的引入4第二章矩陣相似對(duì)角化的條件5第三章矩陣對(duì)角化的若干方法73. 1 一般矩陣對(duì)角化的方法73. 2實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的方法2027第四章特殊矩陣的對(duì)角化3132參考文獻(xiàn)33中文摘要矩陣的對(duì)角化是矩陣?yán)碚撳囊粋€(gè)重要問(wèn)題，木文利用高等代數(shù)的有關(guān)理論給出了矩 陣可對(duì)角化的若干條件；從初等變換、線(xiàn)性方程組、特征子空間等不同角度探究了將一般 矩陣和實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的若干方法；最后，分析了一些特殊

2、短陣的對(duì)角化問(wèn)題，如幕等 矩陣、幕零矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和hermite 陣等.關(guān)鍵詞：對(duì)角化，特征值，特征向量，相似變換，線(xiàn)性變換.abstractdiagonalization of matrix is an important problem in the matrix theory. we give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. we give some methods of diagonalization of general matrix

3、 and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. in the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix, real symmetric matrix and hermite matrix.keyw

4、ords: diagonalization, eigenvalue, eigenvectors,similarity transformation, linear transformation.矩陣的對(duì)角化在國(guó)內(nèi)外已有一定的研究早在十九世紀(jì)末，人們?cè)谘芯啃辛惺降男再|(zhì) 和計(jì)算吋，提出了對(duì)角矩陣的概念隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，矩陣對(duì)角化的應(yīng)用前景也變得更 為廣闊.對(duì)角矩陣是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的矩陣，它在許多領(lǐng)域如量子力學(xué)、無(wú)線(xiàn)電、電子信息工程、 計(jì)算機(jī)等屮起著重要的作用.由于通過(guò)相似變換，許多矩陣在相似意義下都與一個(gè)對(duì)角矩 陣等價(jià)，而對(duì)角矩陣的性質(zhì)很容易從它自身元素的特點(diǎn)得出，所以對(duì)于可對(duì)角化的矩陣， 我們只要研

5、究它的相似標(biāo)準(zhǔn)形即可.木文主要簡(jiǎn)述了矩陣可對(duì)角化的若干條件；從初等變換，線(xiàn)性方程組，特征子空間等不 同角度探究了將一般矩陣和實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩陣的 對(duì)角化問(wèn)題，如幕等矩陣、幕零矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和hermite 陣等.符號(hào)說(shuō)明f數(shù)域fc復(fù)數(shù)域v數(shù)域f上的線(xiàn)性空間uv)fnv的全體線(xiàn)性變換的集合數(shù)域f上的川維向量全體所組成的集合f hzi數(shù)域f上的m x n階矩陣的集合單位矩陣a'1atan矩陣a的逆矩陣a的轉(zhuǎn)置矩陣a的共輒轉(zhuǎn)置rank(a)tr(a)矩陣a的秩矩陣a的跡第一章矩陣相似對(duì)角化問(wèn)題的引入在高等代數(shù)屮，對(duì)于有限維線(xiàn)性變換的研究，主要有兩種方法.第

6、一種：對(duì)某空間v的全體線(xiàn)性變換的集合厶少)引進(jìn)運(yùn)算：加法、數(shù)量乘積.這樣厶少)就 構(gòu)成了數(shù)域f上的線(xiàn)性空間.我們可利用這些運(yùn)算來(lái)研究線(xiàn)性變換.第二種：在空間中取定一組基，建立起線(xiàn)性變換與短陣之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)對(duì)線(xiàn)性 變換所對(duì)應(yīng)的矩陣的線(xiàn)性性質(zhì)的探索了解，來(lái)獲得線(xiàn)性變換的線(xiàn)性性質(zhì)的相關(guān)信息.當(dāng)利用矩陣這一工具來(lái)研究線(xiàn)性變換吋，我們自然希望它所對(duì)應(yīng)的矩陣較為簡(jiǎn)單，最 好為對(duì)角矩陣，以便容易了解它的性質(zhì)接下來(lái)我們自然會(huì)問(wèn)：(1) 對(duì)一個(gè)線(xiàn)性空間屮的線(xiàn)性變換而言，是否一定存在某個(gè)基，使得它對(duì)應(yīng)的矩陣是對(duì)角 形的？(2) 若存在，則需滿(mǎn)足什么條件？將矩陣變?yōu)閷?duì)角矩陣又有哪些方法？(3) 若不存在，

7、那么我們能否退而求其次，使得線(xiàn)性變換在某一基下的矩陣是準(zhǔn)對(duì)角矩 陣？事實(shí)上，對(duì)于第三個(gè)問(wèn)題，在復(fù)數(shù)域上已得到了非常完美的解決，這就是矩陣的jordan 相似標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題下面給出相關(guān)定義和定理.r0000、1000定義1：設(shè)宛x”矩陣a =01 00<0010>塊，其中入是它的主對(duì)角元,，稱(chēng)j(,n) = (a + v)為屬于入的一個(gè)jordann是階數(shù)稱(chēng)主對(duì)角線(xiàn)上的小矩陣都是jordan塊的準(zhǔn)對(duì)角矩陣為jordan形矩陣.定理1 (4)：設(shè)a是復(fù)數(shù)域上的舁階方陣則存在jordan形矩陣丿，使得4與丿相似.如 果不計(jì)jordan塊的排列順序，這樣的jordan形矩陣是唯一的.一般情況下

8、jordan標(biāo)準(zhǔn)形不是對(duì)角矩陣，它的主對(duì)角線(xiàn)上的元素是jordan塊，但當(dāng) 所冇的jordan塊都是一階時(shí)jordan標(biāo)準(zhǔn)形變?yōu)閷?duì)角矩陣，即對(duì)角矩陣是它的一種特殊情 況那么，滿(mǎn)足什么條件時(shí)，所冇的jordan塊都是一階的？這就是接下來(lái)要討論的矩陣可 對(duì)角化的條件.第二章矩陣相似對(duì)角化的條件隨著矩陣的類(lèi)型和其所在數(shù)域范圍的不同，矩陣可對(duì)角化的條件也有所不同.卜面分 別列出了矩陣在任意數(shù)域、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上所需滿(mǎn)足的條件.任意數(shù)域上矩陣相似對(duì)角化的條件充要條件設(shè)入，&為n階方陣a的加個(gè)互異的特征值，且它們的重?cái)?shù)分別為s,，幾,i = 1,2,，加a可對(duì)角化o a有卅個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量o對(duì)

9、于a的每個(gè)特征值人，其代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)<=>-a) = n-5.<=> a的最小多項(xiàng)式無(wú)重根0口(引-a) = 0f=l0對(duì)于a的每個(gè)特征值&,都有a)2 =o a的初等因子都是1次的oa與某個(gè)循環(huán)矩陣相似充分條件a有料個(gè)不同特征值n a可對(duì)角化a的零化多項(xiàng)式(稱(chēng)滿(mǎn)足g(4) = 0的多項(xiàng)式g(x)為矩陣a的零化多項(xiàng)式)無(wú)垂根na可 對(duì)角化()二.復(fù)數(shù)域上hermite矩陣相似對(duì)角化的條件定義2：滿(mǎn)足aha = aah =1的n階復(fù)矩陣a稱(chēng)為酉矩陣.定義3：滿(mǎn)足a = a的階復(fù)矩陣a稱(chēng)為hermite矩陣.定理2 ( 4)：設(shè)a g c,xn ,并且a是h

10、ermite矩陣，則存在一個(gè)酉矩陣p,使得phap = p-iap = diag-yany 并且入是實(shí)數(shù),21,2,”由定理2知hermite矩陣必可對(duì)角化.三.實(shí)數(shù)域上對(duì)稱(chēng)矩陣相似對(duì)角化的條件定義4：滿(mǎn)足ara = aat = i的n階實(shí)矩陣a稱(chēng)為正交矩陣.定義5：滿(mǎn)足= a的斤階實(shí)矩陣a稱(chēng)為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.定理3(4):設(shè)a是一個(gè)斤階的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在一個(gè)正交矩陣p ,使得=(人，心，人)，并且.&是實(shí)數(shù)，i = l,2,屮.由定理3知實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣既可相似對(duì)角化又可合同對(duì)角化.第三章 矩陣對(duì)角化的若干方法3. 1 一般矩陣對(duì)角化的方法木文介紹了將i般矩陣對(duì)角化的五種方法，分別是特征向量

11、法、矩陣乘積運(yùn)算法、jordan標(biāo)準(zhǔn)形法、2矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法和數(shù)字矩陣對(duì)角形法.下面我們一一加以討論.1 特征向量法設(shè)矩陣a與b相似，且=加蚣（人，易，,人），并設(shè)p =（片,鬥,必）為可逆矩陣由 p lap = bf得ap = pb，即（a&a篤，,a好）=（&片，易，&£）由此可見(jiàn),這里只要 取p = （pi9p2, 9pn）的列為方陣a的az個(gè)特征向量因?yàn)槭赡?所以片，馬,，代線(xiàn)性無(wú)關(guān). 可見(jiàn)方陣a的對(duì)角化問(wèn)題最終歸結(jié)為求其特征值以及求特征值所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組 的基礎(chǔ)解系的問(wèn)題.如杲”階方陣a相似于對(duì)角矩陣，則a的相似對(duì)角化的一般步驟如卜：（1）求出a

12、的全部特征值人，易，人對(duì)a的每個(gè)特征值求出齊次線(xiàn)性方程組i-a）x =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，將所有這樣 的基礎(chǔ)解系中的向量合在一起,假定這樣的向量共有77個(gè)，它們就是a的77個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特 征向量，分別設(shè)它們?yōu)?s令p二 c,則p lap = diag（入，人，人），其中4是屬于特征值a的特征向 量.這里我們需要注意的是尸的列向量的排列次序應(yīng)該與對(duì)角矩陣的主對(duì)角線(xiàn)元素的排列 次序相一致.'46例1：判定矩陣a = -3 -5,一3 -60、0能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣p,使得p ap為對(duì)角矩陣.解：由|/l/-a| = (l-/l)2(a + 2) = 0,得a 的特征值人=入=1, =

13、-2了-2、當(dāng)=1時(shí)，解齊次線(xiàn)性方程組（/-a）x=0,得基礎(chǔ)解系片=1，卩2 =0<0；1 1當(dāng)入=-2時(shí)，解齊次線(xiàn)性方程組（-27-a）x=o,得基礎(chǔ)解系厶二-1，-201><1 )令卩=10-1,貝p-ap =1<01t丿<-2丿此方法的原理簡(jiǎn)單易懂，是最常規(guī)的方法但在解決問(wèn)題時(shí)，需要去求矩陣的特征值, 并且對(duì)于求得的每個(gè)特征值都要逐一帶入齊次線(xiàn)性方程組求出該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量， 過(guò)程繁瑣且當(dāng)矩陣的階數(shù)越來(lái)越高時(shí)，求起來(lái)也越來(lái)越困難.2. 矩陣乘積運(yùn)算法設(shè)人，人，人是a在數(shù)域f上的全部互不相同的特征值其重?cái)?shù)分別為心心心，且,記匕為a的屬于（21,2,s）的

14、特征子空間./=!對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組（如t-a）x =0 ,有如下結(jié)論：（1）若a可對(duì)角化，則對(duì)于a的每個(gè)特征值人，都冇®個(gè)與其對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向 量.（2）a可對(duì)角化的充要條件是對(duì)于a的每個(gè)特征值人，其代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)，即 血（匕）=nr類(lèi)似地，我們冇定理4.定理4 （3）：設(shè)人,/，入是a在數(shù)域f上的全部互不相同的特征值，其重?cái)?shù)分別為 “i，斤2,，乞，月.工坷=n ,記比二口（2/-a）（'二1,2,，$）/=1 ;=1j出對(duì)于（人/一人）（希一人）.（&/一人）=0,有如下結(jié)論：（1）若a可對(duì)角化，貝ij矩陣州的列向量組中有對(duì)應(yīng)于人的®個(gè)線(xiàn)

15、性無(wú)關(guān)的特征向量.（2）a可對(duì)角化的充要條件是rank（wi）=比（心1,2,$）定理4表明，要構(gòu)造可對(duì)角化矩陣a的和似變換矩陣p ,完全可以不像常規(guī)方法那樣 解齊次線(xiàn)性方程組（v-a）x=o,而只需對(duì)每一特征值人（心1,2,$）,從矩陣乘積 n（v-）中找出耳個(gè)與a對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，以這樣所得的心工坷個(gè)特征向 ；=1量為列作一個(gè)階矩陣即可.下面我們利用此方法來(lái)解決具體問(wèn)題.例2：判定矩陣a二2(22 2、1 2能否對(duì)角化，若能,求可逆矩陣p,使得p'ap為對(duì)角矩2 1丿陣.解：rtl |/l/-a| = (/l + l)2(/l-5) = 0,得a 的特征值人=1 (二重)，

16、入=5(-2 -2 -2、'4-2 -2、因?yàn)閬?7-4）（-a）=-2 -2 -2-24-2=0,所以a可對(duì)角化1一2 -2 一2, /-2 -247'4-2當(dāng)人=一1 (二重)時(shí)，w, =z2i-a=5i-a= -24,一2 -2取州中的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量a,=（4,-2,-2） a2=（-2,4,2）t由定理4知© ,即為特征值t對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.<-2 -2 -2、當(dāng) /=5 時(shí)，w2=i-a = -i-a= -2 -2 -2<-2 -2 -2 丿取 w?中的向量 a, = （-2,-2, -2）丁.由定理4知6即為特征值5對(duì)應(yīng)的特征向

17、量.'4-2 -2、故相似變換矩陣p = （apa2,a3）= -24-2, 口=刃蚣（-1,-1,5）2 -2 -2,例3：判定矩陣a212022100、00能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣p,使得為對(duì)角入=1 （二重）,矩陣.解:rtl 17 - a| = a +1)2u -5)(/1 -1) = 0 ,得廠(chǎng)-2-2-20、（4-2-20、廠(chǎng)0-2-20、-2-2-20- 24-20-20-20-2-2-20- 2-240-2-20000-2>004丿00°,=0因?yàn)椋ㄊ?_a）= （-7-a）（5z-a）（7-a）所以矩陣a可對(duì)角化.當(dāng)人=-1 （二重）時(shí)：wi =(

18、y-a)(y-a)= 5i-a)(i-a)廠(chǎng)4-2-2()r o-2-2()>（8-4-40-24-20-20-20-48-40-2-240-2-200-4-480<0004丿<0000丿300°丿取w中的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量a, =（8,-4,-4,0）r, a2 =（-4,8,-4, of.由定理4知© ,也即為特征值t對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)入=5時(shí):肥=(v-a)(a./-a)= (-z-a)(z-a)(-2-2-20、（0-2-20、<8880、-2-2-20-20-208880-2-2-20-2-2008880<000<0

19、000丿<0000>取w?中的a3=(8,8,&0)丁 由定理4知®即為特征值5對(duì)應(yīng)的特征向量.當(dāng)為=1時(shí):w3 = (v - a)(/ - a) = (-z - a)(5z - a)"-2 -2 -2 0、"4-2 -2 0、廠(chǎng)0 000、-2 -2 -2 0-24-2 00 0 0 0-2 -2 -2 0-2-2400 0 0 0、0 0 0 -2,0004丿、0 0 0 -8,取 中的 a4=(o,o,o,-8)由定理4知巾即為特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量.于是相似變換矩陣，8-480、-48804)=-4-48000一®且 =1,1

20、,5,1)該方法區(qū)別于傳統(tǒng)的特征向量法，把矩陣對(duì)角化問(wèn)題歸結(jié)為矩陣的乘法運(yùn)算，不需要 解方程組就可以得到特征向量及相似變換矩陣.3. jordan標(biāo)準(zhǔn)形法我們知道復(fù)數(shù)域c上任意的階矩陣a都相似于一個(gè)jordan矩陣丿，即存在可逆矩陣 p ,使得（定理1） 在a的jordan標(biāo)準(zhǔn)形中，主對(duì)角線(xiàn)上的元素是a在復(fù)數(shù)域 c上全部的特征值如果丿為對(duì)角矩陣，則4可對(duì)角化，否則，a不可對(duì)角化.一般情況下，我們采用初等因子法來(lái)確定一個(gè)矩陣的jordan標(biāo)準(zhǔn)形.但在此過(guò)程中，我 們不能直接得到相似變換矩陣p下面，我們將從相似變換的角度來(lái)求一個(gè)矩陣的jordan 標(biāo)準(zhǔn)形，該方法可以同時(shí)求得矩陣a的特征值，特征向量

21、以及相似變換矩陣p由于矩陣p可逆，所以存在一系列的初等矩陣p,p?,匕,使得： 乂因?yàn)閜ap=j 9所以有：p,a ppapp2 pt=j.在對(duì)a施行初等變換時(shí)，我們可對(duì)a先施行一次初等行變換后，接著再施行一次相應(yīng)的初 等列變換，且上述兩次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等矩陣是互逆的用初等變換的語(yǔ)言表述為： 先將a的第加行乘以£后加到第行，再將它的第列乘以（-幻后加到第加列.我們稱(chēng)此種 初等變換為對(duì)a施行了一次相似變換顯然，可對(duì)a施行一系列的相似變換，將a化為 jordan形矩陣丿.由于第-種初等變換和第二種初等變換均可由第三種初等變換得到，所以只需對(duì)a施 行第三種初等變換即可.下面我們來(lái)看具體

22、實(shí)例.(-1 1 0)例4：判定矩陣a二-4 3 0能否對(duì)角化.1 0 2)解：將短陣a化為jordan標(biāo)準(zhǔn)形-1 1 0、<1a =-4 3 02 + 代(-2)、0<10 2,c + c? x 2<1110°)02丿cj+c3x(-l)0)02;7人 + 2><1c2 +c3 x(-l)002丿由a的jordan標(biāo)準(zhǔn)形可知，矩陣a不可對(duì)角化且它的特征值為1, 1, 2.例5：判定矩陣人=-36 0、-5 0能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣p,使得p ap為對(duì)角矩陣.解：將矩陣a化為jordan標(biāo)準(zhǔn)形斤+護(hù)(-2)c2 + q x 2"-20&l

23、t;00、01/(460、<-260、<-260-3-50乙+斤xl010$ +護(hù)10101-3-6bc +c2 x(-l)<3-6c +c3 x(-l)<001丿a =了三次相似變換，其中,由/1的jordan標(biāo)準(zhǔn)形可知，矩陣a可對(duì)角化，它的特征值為-2,1,1,且對(duì)a共施行廠(chǎng) 100、廠(chǎng) 100、廠(chǎng) 120、p嚴(yán)-1 1 0p2 =0 1 0p3 =0 1 0、0 0 1 丿0 1 丿,0 0 1 丿三次初等列變換分別為:< 1 0 0、r 1 0 0、廠(chǎng) 120、r 1 2 0、'-2 、所以 p = plp2p3 =-1 1 00 1 00 1 0

24、-1 -1 0,u.pap =13 o 1,1 0 b,0 0 1 丿<-1 -2 1 丿<b由p可知：特征值-2對(duì)應(yīng)的特征向量為=(1,-1,-1)特征值1 (二重)對(duì)應(yīng)的兩 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量分別為a2=(2,-l,-2f , a3=(o,o,l)r4. 2矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法引理1 (5)：設(shè)a是”階方陣，則必能用初等變換將u-a變?yōu)閷?duì)角矩陣：1(刃、匚(2)r(a)=2.并且多項(xiàng)式/(&)(= 1,2,/)的所冇根恰好是a的所有特征值.定理5 (5)：設(shè)a是階方陣，卩(/1)=創(chuàng)邊仏(/1)2(/1)兒(刃是對(duì)角形2矩陣，p(/l)， qw是可逆的兄矩陣，口滿(mǎn)足p(2)a

25、z-a)ea)=r(z).如果(-")0""#爲(wèi))円 >(t(q,0(2)即用對(duì)(a/-a7)作初等行變換，用嚴(yán)(2)對(duì)(a/-ar)作初等列變換，使(a/-at)變?yōu)閷?duì)角矩陣r(/l)i隨著(a/ -行的變化而變?yōu)閝s則(1) 若術(shù)刃以刀厶伉)的所有根人，入都在f內(nèi),則人，人就是a的所有特征 值.(2) 對(duì)于4的特征值人仏，入，設(shè)笫&,取,行是丁仏)的全部為零的行，貝ijer(a,.) 的第匕池,km行即構(gòu)成匕的基其中匕為特征值&的特征子空間./ii(3) a可對(duì)角化o 0人,-=%.(, = 1,2,$),此處7；是人的重?cái)?shù).根據(jù)定理5即

26、可得到久矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法：(1) 對(duì)-")作初等變換，使之成為對(duì)角矩陣八刃，/隨著-”)行的變化而變 為2r(/t).設(shè)72) = d邊仏(刃心,兒仇)，求出人(刃2, =0的所有解.（2）若斤伉）,以刃，幾（刃=0的解都在f內(nèi),并且對(duì)每個(gè)解人都有八人）屮零行的數(shù)口等 于人的重?cái)?shù)，則a可對(duì)角化，轉(zhuǎn)（3）；否則a不可對(duì)角化，結(jié)束.（3）對(duì)于a的任一特征值人，若八人）的第任加，行都為零，則取出0（&）的第心， 比2,，仏行構(gòu)作：則廠(chǎng)吩（人人2仏,2九）下面利用上述步驟來(lái)解答具體問(wèn)題.'3例6：判定矩陣4= -22-26-r2能否對(duì)角化, i丿若能,則求出可逆矩陣t,使得t l

27、at為對(duì)角矩陣.解：作初等變換：（ai-at,i）q_3-212幾+ 2-2-3-62 + 1(101-22-3-22 + 222 + 1-6-3n00?/-22-222 4兄+122-4/v + 2a1 、2久+ 3丿0a-222 4122 + 3 丿/c2 + cj x 2c3 + c| x (兄1) c3 + c2 x (-2)00(a-2)(a + 4)00-(2-2)(2 + 4)001、0121 -2 -(2 + 1),（1 0十心）、° 2_2<° °按照上述方法：00 、01 (1)記卩仇)=0兄-20，qtw =012(00(2 2)(2

28、+ 4),-2一(2 + 1)丿由幾一2 = 0 和一(2 2)(2 + 4) = 0,得人=希=2,入=4(2)當(dāng) =2 時(shí)，7(2)0 , t(2)中零行的數(shù)目=2的重?cái)?shù)=2 0;/廠(chǎng)10當(dāng)易=4 時(shí)，t(-4)= 0 -60 00、0 , 7(-4)中零行的數(shù)目=-4的垂數(shù)=1°丿由定理5知a可對(duì)角化.當(dāng)=2 時(shí)，(t(2),(2)(0<000000101-21、2-3>取qt中與t(2)中零行所對(duì)應(yīng)的向量a, =(o,l,2) a2=(l,-2,-3)?由定理5知4，也即為屬于特征值2的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.當(dāng)人=_4 時(shí)，(卩(_4),0丁(-4)=10000

29、p0-600120001-23丿取0(-4)屮與八-4)中零行所對(duì)應(yīng)的向量夠=(1,-2,3)丁例7：判定矩陣a-1< 2-36-24能否對(duì)角化,若能,則求出可逆矩陣t,使得t 'at為由定理5知®即為屈丁特征值-4的特征向量.11、r2 、令 t =(a15a2,a3) =1-2-2,貝ijt-1at =2<2-33、-4y/(132對(duì)角矩陣.解：作初等變換：(a/-a/) =q-1-3-2-6a-40)0(100 10()>久+ 3-a當(dāng)入=0時(shí)，t（0）中零行的數(shù)目=0的重?cái)?shù)=-2當(dāng)入=2時(shí)，卩中零行的數(shù)目=2的重?cái)?shù)=-1.由定理5知a可對(duì)角化.10

30、0 1 0 0、 當(dāng)人二易=0n寸，（t（0）,q（0）= 0 0 011-2,0 0 0 -2 0 1 丿取。氣0）中與卩（0）中零行所對(duì)應(yīng)的向量© =（l,l,-2）r, a2=（-2,0,l）r由定理5知即為屬于特征值0的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.'100100、當(dāng)易=2吋，（t（2），。廠(chǎng)（2）= 0 0 0 -11-2、002201 丿-2a22 010c + o x (2 + 1)2-222 001,c3 + c2 x 2c2 0 q（100 10()、r3 + rx (-2) 丁2 + 3-a2-2222 010k0-22a -20b<100100、r2+r

31、x (-2 - 3)、0-a2-222a-a-310-22a-20b00100)>0/v + 2222a 310c2 + c300a-20rc2 +zfl00100、石+ $x(2)、0-才+2/l02 + 11-2002-2017按照上述方法:仃0()>< 10 0、(1)記 7v) =0/i2 + 2a0，qtw =a +11 -2<002丿< -20 1丿出/i2 + 2a. = 0和兄=0,得入=希=0,入=2取07屮與t中零行所對(duì)應(yīng)的向量色=（-1,1,-2廠(chǎng)由定理5知冬即為屈于特征值2的特征向量.-2 -1>r0 、令 t =(a15a2,a3)

32、 =1 0 1,貝ijt-1at =0<-2 1 -2;< 2>5.數(shù)字矩陣對(duì)角形法若矩陣a在數(shù)域f上可對(duì)角化，則存在f上的可逆矩陣使得t at = b為對(duì)角矩 陣，口b的主對(duì)角線(xiàn)上的元素為a的全體特征值.由于矩陣t可逆，所以存在一系列的初等矩陣工，使得：于是，b = t lat =t att2 t ,做初等變換：tj丿該變換形式表示：對(duì)a施行一系列的初等行變換和初等列變換,使其變?yōu)閷?duì)角矩陣b,對(duì)/ 只施行相應(yīng)的初等列變換變?yōu)閠.在施行初等變換吋，可施行若干次行（或列）變換后再施 行若干次和應(yīng)的列（或行）變換，只要保持變換后，最后所得矩陣與a相似即可.iiii-11、-1例&

33、amp;判定矩陣/1 =i-i1-1-i-11丿為對(duì)角矩陣.能否對(duì)角化，若能，則求出可逆矩陣t,使得t lata11<111ni1-1-12200i-11-12020解：作初等變換：<a>i-1-11丐+斤丿=2,3,4、2002i0001000010001000010001000d<0001丿<-211n020000200002q +c. x(-l),z = 2,3,41000-1100-1010<-1001丿(-2 0 0(-20122120n20人 + 農(nóng) x (一- ),z = 2,3,400204y0oo21000-1100-i010一1001 .

34、0001-1-1-12 0 00 2 00 0 2_l _l 丄4443 _丄_丄4 44£3_j_44_4j_ _j_34 44>1-4 1-4 1 4 3-41-4 1-4 3-4 1_-41 - 4 3 - 4 1 4 1 4-2 0 00、00< 1-200例9：判定矩陣a =-3200002-300-43為對(duì)角炬陣.能否對(duì)角化，若能，則求出可逆矩陣t ,使得廠(chǎng)蟲(chóng)卩所以a可對(duì)角化.r 1-200、< 1-200-3200-4400002-35 +斤 x(-1)002-300-43%+巒（1）、00-66100010000100010000100010<

35、000<0001j解：作初等變換:-2 0>q +c2c3 + q400 -10 00 01 00 10 100-360002（2、 嚴(yán)x（_g）/ 3、>-1<-1000、04000 0-1000061-005c+c x(-)4+分(-£)31-00530 0 1 740 0 1-<7丿所以a 口j對(duì)角化.11令卩=0、0r<-1000、00400,則冇t at =300-10_7<0006丿47丿 u5。050 10 0 1利用初等變換將矩陣對(duì)角化吋，不需要單獨(dú)去求特征值與特征向量，只須通過(guò)對(duì)矩陣 a進(jìn)行適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q就可同吋求出矩陣a的

36、特征值與特征向量，收到了判定求解一-體化 的效果，它簡(jiǎn)單易操作，大大簡(jiǎn)化了求解過(guò)程，以至于判定求解都是從最終的矩陣讀出來(lái) 的.3.2實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的方法實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是研究二次型，線(xiàn)性空間和線(xiàn)性變換等問(wèn)題的有利工具，現(xiàn)在我們來(lái)研究 將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的方法.將一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同對(duì)角化的方法實(shí)際就是求二次型標(biāo)準(zhǔn)形的方法，即通過(guò)坐標(biāo)變 換（或者配方）的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)的；將一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似對(duì)角化的方法與一般矩陣的相似 對(duì)角化方法相同，在本章的第一節(jié)已給出了五種方法；下而我們重點(diǎn)研究將一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩 陣既合同又相似對(duì)角化的方法這里主要介紹三種，分別是schmidt正交法、直接正交法和 度量矩陣法.1. sc

37、hmidt正交法該方法是在相似對(duì)角化的基礎(chǔ)上將可逆矩陣p化為正交矩陣.由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特 征值的特征向量相互正交，因此將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似對(duì)角化后，只需要將代數(shù)重?cái)?shù)大于1的 特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量先正交化，然后再將所有的特征向量單位化即可.對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣a ,求一個(gè)正交矩陣f,使得p lap為對(duì)角矩陣的步驟如下：（1）求a的特征值.（2）求對(duì)應(yīng)于毎個(gè)特征值的特征向量對(duì)于單特征值，只需將屬于它的特征向量單位化； 對(duì)于廠(chǎng)重特征值，先求出屬于它的廠(chǎng)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，然后對(duì)這廠(chǎng)個(gè)特征向量進(jìn)行正 交單位化，這樣就可得到個(gè)兩兩正交的單位特征向量.（3）以正交單位化的特征向量為列組成矩陣，它就是所需的正交

38、矩陣p,且滿(mǎn)足pxap為 對(duì)角矩陣.2 2-2、例10：設(shè)a= 25-4 求一正交矩陣p,使得pxap為對(duì)角矩陣.2 -45?解：由| a| = (2 1)2(2 10) = 0,得入=1 (二重)，=10.當(dāng)人=1時(shí)，解齊次線(xiàn)性方程組(1z-a)x=o,得基礎(chǔ)解系a, = (2,-1,0/, a2=(2,0,l)r.將0 ,禺正交化：一 (2,-1,0) , 2 飛新-(齊，d再將厶,冬單位化:0嚴(yán)*(2, 13，02=擊(2,4,5)當(dāng)易=10時(shí),解齊次線(xiàn)性方程組(10z-a)x=0,得基礎(chǔ)解系a3=(l,2,-2)7'. 將如單位化：03 =*1,2,-2)丁fl )令p = (

39、010,03),則 ptap = p lap =1io丿用schmidt正交方法求正交特征向量時(shí)，必須牢記公式，冃當(dāng)特征值的重?cái)?shù)較大時(shí), 計(jì)算較為復(fù)雜.2. 直接正交法當(dāng)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣a的某一特征根免為r(r > 1)重根時(shí)，我們可以求出屈于2的f個(gè)特征向 量，要得到f個(gè)彼此正交的單位特征向量，可以直接從特征子空間屮求出正交向量，然后 單位化即可且當(dāng)特征根的重?cái)?shù)較大時(shí)，能夠大大減少計(jì)算量.-1-33-3-3-1-333-3-1-3-33-3-1例11 ：設(shè)a =,求一正交矩陣p,使得p ap為對(duì)角矩陣.解：rh |a/ a| = (/l + 4)3 (a 8) = 0 ,得人=4 (二重)，

40、=8.設(shè) x =(x1?x2,x3,x4)r g /?4當(dāng)=-4時(shí)，解齊次線(xiàn)性方程組(-4/-a)x=0f得兀嚴(yán)兀2+兀-心先取一個(gè)特征向量© =(1,1,0,0)j設(shè)特征向量a2=(a2,b2,c29d2)t.因6與a】正交，從而有勺+e = 0又因?yàn)閍? =b2+d2-c2,所以口j得2勺=d2-c2.取m = (£-+，0,1卩再設(shè)特征向量巾二3厶心,3)丁乙厶因色與0和$都正交，從而有偽+対=0，偽一一3+3 =0乂因?yàn)閍3=b3+d3-c3,所以可得3禺=一。3 取再=(2, -2, -6, -2)了現(xiàn)將© , a2, a3都單位化:02fv3 _v3

41、_v|當(dāng)心時(shí)，可求得單位特征向豊 令p = 0,02,03,04)，貝0" = pap = d宓(-4,-4,-4,8).0 1 1 -1、例12：設(shè)人=1° 一1 1,求一正交矩陣p,使得plap為對(duì)角矩陣.1-10 1<-1 1 1 0>解：由1 a| = (a 1)3(a + 3) = 0 ,得人=1 (三重)，3.設(shè) x =(x1,x2,x3,x4/ g r4當(dāng)人=1時(shí),解齊次線(xiàn)性方程組(i-a)x=09得xi=x2+x3-x4先取一個(gè)特征向量a, =(1,1,0,0)7 .設(shè)特征向量偽=(a2,b2,c2,d2y .因6與q正交，從而有勺+優(yōu)=0，又因

42、為。2 =b2-c2-d2 ,所以可得2勺=c2-d2. 取«2=(|,-|丄0)丁再設(shè)特征向量a3=(a3,b3,c3,d3)t乙厶因色與0和$都正交，從而有色+仇二。，一偽-"“3+5=0，乂因?yàn)閍3 = b3 + c3 - d3,所以 口得 3。3 = 3 取 = (, , 1)丁 .現(xiàn)將© , a2, a3都單位化.得:t，a =fv6 _v6 v6 0丫(2 2 )、6 '6 ' 3 '丿卩 a（i i i i y當(dāng)入二-3時(shí)，可求得單位特征向量：a= （222 2丿令尸=（久民,030）'則 ptp = p p = di

43、ag（1,1,1,-3）該方法從向量正交的基本定義出發(fā)，易于理解和常握，且在特征值出現(xiàn)重根的情況下, 計(jì)算量也大為減少.3. 度量矩陣法對(duì)于維歐氏空間v,令匕,心是它的一個(gè)基，它的度量矩陣（©,%）、21 g,e）（,%）丿是止定矩陣，于是a合同于單位矩陣z,即可求得料階可逆矩陣（7,使得utau=i.利用1/ 和v的基©,匕作一個(gè)新基：（0,02，0“）=（,）那么，新基的度量矩陣即為：'（0胡）（0丿）、=utau = !2m）（久幾）丿所以0,02，,久是歐式空間v的標(biāo)準(zhǔn)正交基.對(duì)例12利用度量矩陣和合同變換來(lái)求正交矩陣：已知人=1（三重），=-3當(dāng)人=1時(shí)，

44、解齊次線(xiàn)性方程組（i-a）x=0,得基礎(chǔ)解系q =（1,1,0,0）7 ,也=（1,0,1,0）7 , «3=（-1,0,0,1）7當(dāng)心=_3時(shí),解齊次線(xiàn)性方程組（-3i-a）x=09得基礎(chǔ)解系a4= （1,-1,-1,1/則 apa2,a3,a4 是r4 組基.<21-10、記其度量矩陣為b,那么b=12-10-1-1203004丿對(duì)矩陣（、f作合同變換:，21-10100712-100100-1-12000100、0040001丿'1000v22_v6旦66v6v3360a/300200、012>即有utbu =利用和基aa2.a3,a4作新基:（0,02，0

45、3，04）= 91。2,8，他）v| _n/6 v| t 6 6則:fl1-1r100-1010-1,0011丿（22丿o總v3360 0v320 0 00 o12>tv2t0100v66v63(v6v63"展 >/6 y/f) ,6，6，3，p i i 1丫<2，_2，2,2>0010v36v36迥2v36v32000112>2_12212 >由于久02,屬，民的度量矩陣utbu=i,故久02,屬,04是疋的標(biāo)準(zhǔn)正交基.令p =（久02,03,04），則p是正交矩陣且ptap = p xap .例13：設(shè)a04<100144100r40&#

46、176;丿求一正交矩陣p,使得p lap為對(duì)角矩陣.解：由m-a = 5)(/1 + 5)(/1 -3)(/1 + 3) = 0,得入=5,易=_5,石=3,易當(dāng)人=5時(shí),當(dāng)希=一5時(shí),當(dāng)人=3時(shí)，當(dāng)24=-3時(shí),解齊次線(xiàn)性方程組(5z-a)x =0 , 解齊次線(xiàn)性方程組(-57 - a)x = 0 , 解齊次線(xiàn)性方程組(3z-a)x =0, 解齊次線(xiàn)性方程組(-3/-a)x =0,得基礎(chǔ)解系 得基礎(chǔ)解系 得基礎(chǔ)解系 得基礎(chǔ)解系=-3= (1,1,1,1/.= (-1,-1,1,1/.= (1,-1 丄一1)丁 = (1,-1,-1,1/ 則沖勺心心是人4的一個(gè)基.(400,0令其度量矩陣為b

47、,那么對(duì)矩陣'b、1作合同變換:_2040000400、004丿400010004000100004000100、0040001丿1000j_2010000100、001,即有urbu =利用可逆矩陣c7和基e s, 6,夠作新基:(01,02,03,04)= (aia2,aaju._2丄2>則：廠(chǎng)1 111、<2,2,2,2>t02 =(1 11 1丫2' 2丿03 =pl 1 1- 0-1 1_£丄丫(2 2 22"4l j、2 22,2丿出于0,02，屬，04的度量矩陣utbu=i,故肉,禹，屬，04是疋的標(biāo)準(zhǔn)正交基.令p二（屬0,屬，0j，則p是正交矩陣一且ptap = p lap使用該方法時(shí)，需要對(duì)度量矩陣和合同變換有清