高中數(shù)學競賽講義(十五)──復數(shù)

1、高中數(shù)學競賽講義（十五）復數(shù)一、基礎(chǔ)知識1 復數(shù)的定義：設(shè) i 為方程 x2=-1 的根，i 稱為虛數(shù)單位，由 i 與實數(shù)進行加、減、乘、 除等運算。便產(chǎn)生形如 a+bi（a,bR）的數(shù)，稱為復數(shù)。所有復數(shù)構(gòu)成的集合稱復數(shù)集。 通常用 C 來表示。2 復數(shù)的幾種形式。對任意復數(shù) z=a+bi（a,bR），a 稱實部記作 Re(z),b 稱虛部記 作 Im(z). z=ai 稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點 的坐標，那么 z 與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點 構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復數(shù)可以用點來表示，表示復數(shù)的平面稱

2、為復平面，x 軸 稱為實軸，y 軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標， 復數(shù) z 又對應唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復數(shù)的一種表示形式，稱為向量形 式；另外設(shè) z 對應復平面內(nèi)的點 Z，見圖 15-1，連接 OZ，設(shè)xOZ=,|OZ|=r，則 a=rcos ,b=rsin,所以 z=r(cos+isin)，這種形式叫做三角形式。若 z=r(cos+isin)， 則稱為 z 的輻角。若 0<2，則稱為 z 的輻角主值，記作=Arg(z). r 稱為 z 的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|= 復數(shù)的指數(shù)形式。.如果用 ei表示 cos+isi

3、n，則 z=rei，稱為3共軛與模，若 z=a+bi，（a,bR）,則 a-bi 稱為 z 的共軛復數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）|z |-|z |z ±z |z |+|z |；1 2 1 2 1 2（8）|z +z |2+|z -z |2=2|z |2+2|z |2；（9）若|z|=1，則 1 2 1 2 1 2。4復數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致， 運算結(jié)果可以通過乘以共軛復數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四 邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若 z =r (

4、cos +isin ), z =r (cos +isin )，1 1 1 1 2 2 2 2則 z ?z =r r cos( + )+isin( + )；若 cos( - )+isin( - 1? 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )，用指數(shù)形式記為 z z =r r ei(1+2),2 1 2 1 25.棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn).6. 開 方 ： 若 k=0,1,2,n-1。r(cos +isin ) ， 則 ，7單位根：若wn=1，則稱 w 為 1 的一個 n 次單位根，簡稱單位根，記 Z =1則全部單位根可表示為 1, , . 單位根的基本

5、性質(zhì)有（這里記，k=1,2,n-1）：（1）對任意整數(shù) k，若 k=nq+r,qZ,0rn-1，有 Z =Z ；（2）對任nq+r r意整數(shù) m，當 n2 時，有=特別 1+Z +Z +Z =0；（3）1 2 n-1xn-1+xn-2+x+1=(x-Z )(x-Z )(x-Z )=(x-Z )(x-1 2 n-1 1)(x-).8.復數(shù)相等的充要條件：（1）兩個復數(shù)實部和虛部分別對應相等；（2）兩個復數(shù)的模 和輻角主值分別相等。9復數(shù) z 是實數(shù)的充要條件是 z= ;z 是純虛數(shù)的充要條件是：z+ =0（且 z0）. 10.代數(shù)基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，一元 n 次方程至少有一個根。11 實系數(shù)

6、方程虛根成對定理：實系數(shù)一元 n 次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若 z=a+bi(b 0)是方程的一個根，則 =a-bi 也是一個根。12 若 a,b,cR,a0，則關(guān)于 x 的方程 ax2+bx+c=0，當=b2-4ac<0 時方程的根為二、方法與例題1模的應用。例 1 求證：當 nN 時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0 只有純虛根。+ 證 明 若 z 是 方 程 的 根 ， 則 (z+1)2n=-(z-1)2n ， 所 以 |(z+1)2n|=|-(z-1)2n|, 即 |z+1|2=|z-1|2,即(z+1)( +1)=(z-1)( -1)，化簡得 z+ =0，又 z=0 不是方

7、程的根，所以 z 是純虛數(shù)。例 2 設(shè) f(z)=z2+az+b,a,b 為復數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求 a,b 的值。 解 因為 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號成立。所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得 a=b=0.2.復數(shù)相等。例 3 設(shè)R，若二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0 有兩個虛根，求滿足的充

8、要條 件。解 若方程有實根，則方程組有實根，由方程組得(+1)x+1=0.若=-1，則方程 x2-x+1=0 中<0 無實根，所以-1。所以 x=-1, =2.所以當2 時， 方程無實根。所以方程有兩個虛根的充要條件為2。3三角形式的應用。例 4 設(shè) n2000,nN，且存在滿足(sin+icos)n=sinn+icosn，那么這樣的 n 有多少個？解 由題設(shè)得，所以 n=4k+1.又因為 0n2000，所以 1k500，所以這樣的 n 有 500 個。 4二項式定理的應用。例 5 計算：（1）；（2）解 (1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二項式定理(1+i)

9、100=)+(=-250，=)i ，比較實部和虛部，得 =0。5復數(shù)乘法的幾何意義。例 6 以定長線段 BC 為一邊任作ABC，分別以 AB，AC 為腰，B，C 為直角頂點向外作等 腰直角ABM、等腰直角ACN。求證：MN 的中點為定點。證明 設(shè)|BC|=2a，以 BC 中點 O 為原點，BC 為 x 軸，建立直角坐標系，確定復平面，則 B，C 對應的復數(shù)為-a,a,點 A，M，N 對應的復數(shù)為 z ,z ,z ,1 2 3由復數(shù)乘法的幾何意義得： ，由+得 z +z =i(z +a)-i(z -a)=2ai.設(shè) MN 的中點為 P，對應的復數(shù) z= ,為定2 3 1 1值，所以 MN 的中點

10、 P 為定點。例 7 設(shè) A，B，C，D 為平面上任意四點，求證：AB?AD+BC?ADAC?BD。證明 用 A，B，C，D 表示它們對應的復數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)， 因為|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所 以 |A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D| |A-C|?|B-D|, “ = ” 成 立 當 且 僅 當，即 =，即 A，B，C，D 共圓時成立。不等式得證。6復數(shù)與軌跡。例 8 ABC 的頂點 A 表示的復數(shù)為 3i，底邊 BC 在實軸上滑動，且|BC|=2，求ABC 的 外

11、心軌跡。解設(shè)外心 M 對應的復數(shù)為 z=x+yi(x,yR)，B，C 點對應的復數(shù)分別是 b,b+2.因為外 心 M 是三邊垂直平分線的交點，而 AB 的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC 的垂直平分線 的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點 M 對應的復數(shù) z 滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去 b 解得所以ABC 的外心軌跡是軌物線。7復數(shù)與三角。例 9 已知 cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求證：cos2+cos2+cos2=0。 證明 令 z =cos+isin,z =cos+isin,z =cos+isin，則1 2 3z +z +

12、z =0。所以 1 2 3所以 z ? =1，即 i由 z +z +z =0 得 1 2 3又因為|z |=1,i=1,2,3. i又所以所以 cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以 cos2+cos2+cos2=0。例 10 求和：S=cos200+2cos400+18cos18×200. 解 令 w=cos200+isin200, 則 w18=1 ， 令 P=sin200+2sin400+ +18sin18 × 200, 則 S+iP=w+2w2+ +18w18. 由 × w 得 w(S+iP)=w2+2w3+ +17w18

13、+18w19 ， 由 - 得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19=所以，所以 S+iP= ，8復數(shù)與多項式。例 11 已知 f(z)=c zn+c zn-1+c z+c 是 n 次復系數(shù)多項式(c 0).0 1 n-1 n 0求證：一定存在一個復數(shù) z ,|z |1，并且|f(z )|c |+|c |.0 0 0 0 n證明 記 c zn+c zn-1+c z=g(z),令 =Arg(c )-Arg(z )，則方程 g(Z)-c ei=0 為 n0 1 n-1 n 0 0次方程，其必有 n 個根，設(shè)為 z ,z ,z ，從而 g(z)-c ei=(z-z )(z-z )?(z-

14、z )c ，令1 2 n 0 1 2 n 0z=0 得-c ei=(-1)nz z z c ，取模得|z z z |=1。所以 z ,z ,，z 中必有一個 z 使得|z |0 1 2 n 0 1 2 n 1 2 n i i1,從而 f(z )=g(z )+c =c ei=c ，所以|f(z )|=|c ei+c |=|c |+|c |.i i n 0 n i 0 n 0 n9.單位根的應用。例 12 證明：自O(shè) 上任意一點 p 到正多邊形 A A A 各個頂點的距離的平方和為定值。1 2 n證明 取此圓為單位圓，O 為原點，射線 OA 為實軸正半軸，建立復平面，頂點 A 對應n 1復數(shù)設(shè)為

15、，則頂點 A A A 對應復數(shù)分別為2，3，n.設(shè)點 p 對應復數(shù) z,2 3 n則|z|=1,且=2n-=2n-命題得證。10復數(shù)與幾何。例 13 如圖 15-2 所示，在四邊形 ABCD 內(nèi)存在一點 P，使得PAB，PCD 都是以 P 為直 角頂點的等腰直角三角形。求證：必存在另一點Q，使得QBC，QDA 也都是以 Q 為直角頂 點的等腰直角三角形。證明 以 P 為原點建立復平面，并用 A，B，C，D，P，Q 表示它們對應的復數(shù)，由題設(shè)及復數(shù)乘法的幾何意義知 D=iC,B=iA；取 ，則 C-Q=i(B-Q)，則BCQ 為等腰直角三角形；又由 C-Q=i(B-Q)得 ，即 A-Q=i(D-

16、Q)，所以ADQ 也為等腰直 角三角形且以 Q 為直角頂點。綜上命題得證。例 14 平面上給定A A A 及點 p ，定義 A =A ,s4，構(gòu)造點列 p ,p ,p ,使得 p 為1 2 3 0 s s-3 0 1 2 k+1繞中心 A 順時針旋轉(zhuǎn) 1200 k+1邊三角形。時 p 所到達的位置，k=0,1,2,若 p =p .證明：A A A 為等k 1986 0 1 2 3證明 令 u= ，由題設(shè)，約定用點同時表示它們對應的復數(shù)，取給定平面為復平面， 則 p =(1+u)A -up ,1 1 0p =(1+u)A -up ,2 2 1p =(1+u)A -up ,3 3 2×

17、u2+ × (-u) 得 p =(1+u)(A -uA +u2A )+p =w+p ,w 為與 p 無關(guān)的常數(shù)。同理得3 3 2 1 0 0 0p =w+p =2w+p ,p =662w+p =p ，所以 w=0，從而 A -uA +u2A =0.由 u2=u-1 得 A -A =（A -A ） 6 3 0 1986 0 0 3 2 1 3 1 2 1u，這說明A A A 為正三角形。1 2 3三、基礎(chǔ)訓練題1 滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0 的有序?qū)崝?shù)對(x,y)有_組。2 若 zC 且 z2=8+6i,且 z3-16z- =_。3.復數(shù) z 滿足|z|=5，且(

18、3+4i)?z 是純虛數(shù)，則_。4已知 ，則 1+z+z2+z1992=_。5. 設(shè)復數(shù) z 使得 _。的一個輻角的絕對值為 ，則 z 輻角主值的取值范圍是6設(shè) z,w,C,|1，則關(guān)于 z 的方程 -z=w 的解為 z=_。7.設(shè) 0<x<1，則 2arctan _。8.若，是方程 ax2+bx+c=0（a,b,cR）的兩個虛根且，則 _。9若 a,b,cC,則 a2+b2>c2是 a2+b2-c2>0 成立的_條件。10 已知關(guān)于 x 的實系數(shù)方程 x2-2x+2=0 和 x2+2mx+1=0 的四個不同的根在復平面上對應 的點共圓，則 m 取值的集合是_。11 二

19、次方程 ax2+x+1=0 的兩根的模都小于 2，求實數(shù) a 的取值范圍。12 復平面上定點 Z ，動點 Z 對應的復數(shù)分別為 z ,z ，其中 z 0 ，且滿足方程0 1 0 1 0|z -z |=|z |，另一個動點 Z 對應的復數(shù) z 滿足 z ?z=-1，求點 Z 的軌跡，并指出它在復 1 0 1 1平面上的形狀和位置。13N 個復數(shù) z ,z ,z 成等比數(shù)列，其中|z |1，公比為 q,|q|=1 且 q±1,復數(shù)1 2 n 1w ,w ,w 滿足條件：w =z + +h，其中 k=1,2,n,h 為已知實數(shù)，求證：復平面內(nèi)表示 1 2 n k kw ,w ,w 的點 p

20、 ,p ,p 都在一個焦距為 4 的橢圓上。1 2 n 1 2 n四、高考水平訓練題1復數(shù) z 和 cos+isin對應的點關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對稱，則 z=_。 2.設(shè)復數(shù) z 滿足 z+|z|=2+i，那么 z=_。3有一個人在草原上漫步，開始時從 O 出發(fā)，向東行走，每走 1 千米后，便向左轉(zhuǎn) 角度，他走過 n 千米后，首次回到原出發(fā)點，則 n=_。4.若 ，則|z|=_。5.若 a 0,k=1,2,n，并規(guī)定 a =a ，使不等式 k n+1 1成立的實數(shù)的最大值為_。恒6已知點 P 為橢圓點 R 的軌跡方程為_。上任意一點，以 OP 為邊逆時針作正方形 OPQR，則動7已

21、知 P 為直線 x-y+1=0 上的動點，以 OP 為邊作正OPQ(O，P，Q 按順時針方向排列)。 則點 Q 的軌跡方程為_。8已知 zC,則命題“z 是純虛數(shù)”是命題“”的_條件。9若 nN，且 n3,則方程 zn+1+zn-1=0 的模為 1 的虛根的個數(shù)為_。10設(shè)(x2006+x2008+3)2007=a +a x+a x2+a xn ，則 0 1 2 n+a -3k_。11.設(shè)復數(shù) z ,z 滿足 z1? ,其中 A0，AC。證明：1 2（1）|z +A|?|z +A|=|A|2； （2）1 212若 zC,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，

22、并求取得最大值、最 小值時的復數(shù) z.13.給定實數(shù) a,b,c,已知復數(shù) z ,z ,z 滿足1 2 3|az +bz +cz |的值。1 2 3五、聯(lián)賽一試水平訓練題求1已知復數(shù) z 滿足則 z 的輻角主值的取值范圍是_。2 設(shè)復數(shù) z=cos+isin(0)，復數(shù) z,(1+i)z，2 在復平面上對應的三個點 分別是 P，Q，R，當 P，Q，R 不共線時，以 PQ，PR 為兩邊的平行四邊形第四個頂點為 S，則 S 到原點距離的最大值為_。3 設(shè)復平面上單位圓內(nèi)接正 20 邊形的 20 個頂點所對應的復數(shù)依次為 z ,z ,z ,則1 2 20復數(shù)所對應的不同點的個數(shù)是_。4已知復數(shù) z 滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為_。5設(shè)，z =w-z,z =w+z,z ,z 對應復平面上的點 A，B，點 O 為原點， 1 2 1 2AOB=900，|AO|=|BO|，則OAB 面積是_。6 設(shè)7 已知(，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為_。)m=(1+i)n(m,nN )，則 mn 的最小值是_。+8復平面上，非零復數(shù) z1,z2 在以 i 為圓心，1 為半徑的圓上，z 的輻角主值為 ，則 z =_。1 2?z 的實部為零， 29