（新高考）2021屆高考二輪精品專題八 立體幾何與空間向量 學(xué)生版

1、1空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的考查，主要為表面積和體積的求解，一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的考查，一般為線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的證明以及表面積、體積的求解3空間向量通常當(dāng)作工具來(lái)求解空間幾何體的問(wèn)題1空間幾何體的表面積與體積（1）多面體的表面積S棱柱表=S棱柱側(cè)+2S底，S棱錐表=S棱錐側(cè)+S底，S棱臺(tái)表=S棱臺(tái)側(cè)+S上底+S下底（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積圓柱：S表=2r(r+l)，其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)；圓錐：S表=r(r+l)，其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)；圓臺(tái)：S表=(r'2+r2+r'l+rl)，其中r'，r為上、下底面半徑分別，l為母

2、線長(zhǎng)；球體：S球=4r2，其中r為球的半徑（3）幾何體的體積公式柱體：V柱體=Sh，其中S為底面面積，h為高；椎體：，其中S為底面面積，h為高；臺(tái)體：，其中S'、S分別為上、下底面面積，h為高；球體：，其中r為球的半徑2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（1）平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)公理2：過(guò)不同在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)

3、的公共直線公理4：平行于同一直線的兩條直線平行3直線、平面平行的判定及其性質(zhì)（1）直線與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行符號(hào)語(yǔ)言：a，b，a/ba/圖形語(yǔ)言：如下圖（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號(hào)語(yǔ)言：a/，a，=ba/b圖形語(yǔ)言：如下圖（3）平面與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行符號(hào)語(yǔ)言：a，b，ab=P，a/，b/圖形語(yǔ)言：如下圖（4）平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三

4、個(gè)平面相交，那么它們的交線平行符號(hào)語(yǔ)言：/，=a，=ba/b圖形語(yǔ)言：如下圖4直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（1）直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言：la，lb，a，b，ab=Pl圖形語(yǔ)言：如下圖（2）直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言：垂直于同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言：a，ba/b圖形語(yǔ)言：如下圖（3）平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言：l，l圖形語(yǔ)言：如下圖（4）平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言：兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言

5、：，=l，a，ala圖形語(yǔ)言：如下圖5空間向量的運(yùn)用設(shè)平面，的法向量分別為，直線l的方向向量為，則：（1）線面平行（2）線面垂直，（3）面面平行，（4）面面垂直 一、選擇題1如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，若AB=a，AA1=c，則下列向量中與BM相等的向量是（ ）ABCD2如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，AC，BD相交于點(diǎn)O，平面ABCD，SO=4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在該棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PEAC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)為（ ）A3B7C13D83如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且AD=33若該三棱

6、柱的外接球O的表面積為12，則AA1=（ ）A2B2C5D224已知正三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱長(zhǎng)均相等，D、E在BB'上，且BD=DE=EB'，則異面直線AD與EC'所成角的正弦值為（ ）ABCD5（多選）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的是（ ）A異面直線C1P和所成的角為定值B直線CD和平面相交C三棱錐D-BPC1的體積為定值D直線CP和直線A1B可能相交二、填空題6小明同學(xué)在進(jìn)行剪紙游戲，將長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1剪成如圖所示的側(cè)面展開(kāi)圖，其中AA1=1，AB=2，AD=4，已知

7、M，N分別為BC，A1D1的中點(diǎn)，則將該長(zhǎng)方體還原后直線C1'M與B1N所成角的余弦值為_(kāi)7在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，ABC是正三角形，E為PC中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：若PCBE，則三棱錐P-ABC的體積為；若PCBE，且三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為6；若PABE，則三棱錐P-ABC的體積為；若PABE，且三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為12其中結(jié)論正確的序號(hào)為_(kāi)8在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB=1，AC=2三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的半徑為_(kāi)；若點(diǎn)M是ABC的

8、重心，則過(guò)點(diǎn)M的平面截球O所得截面的面積的最小值為_(kāi)三、解答題9如圖，在正四面體A-BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別在CD，AD上，且，（1）求證：直線EH，F(xiàn)G必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線BD上；（2）若AB=2，求點(diǎn)B到平面的距離10如圖，已知ABB1A1是圓柱OO1的軸截面，O、O1分別是兩底面的圓心，C是弧AB上的一點(diǎn)，ABC=30，圓柱的體積和側(cè)面積均為（1）求證：平面ACA1平面BCB1；（2）求二面角B-A1B1-C的大小11如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，且PA=a，E，F(xiàn)分別為PC，PB的中點(diǎn)（1）若a=2，求證：BP平面ADE

9、F；（2）若四棱錐P-ABCD的體積為2，求二面角A-PD-C的余弦值12如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，G是線段AB上一點(diǎn)(不含A，B)，在平面SGD內(nèi)過(guò)點(diǎn)G作平面交SD于點(diǎn)P（1）寫(xiě)出作點(diǎn)PGP的步驟(不要求證明)；（2）若，AB=SA=SB=SD=2，P是SD的中點(diǎn)，求平面與平面SGD所成銳二面角的大小13如圖，在直角梯形ABCD中，ADC=90°，AB/CD，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段CD上，且EF/AD將四邊形沿EF折起，使得到的四邊形D'A'EF所在平面與平面BCFE垂直，M為D'C的中點(diǎn)連接，BA'，BM（1）證明：CFBM；（2）求

10、平面A'D'FE與平面D'BC所成銳二面角的余弦值一、選擇題1設(shè)mn為兩條直線，為兩個(gè)平面，則下列命題中假命題是（ ）A若mn，m，n，則B若mn，m，n，則C若mn，m，n，則D若mn，m，n，則二、解答題2如圖，已知四邊形ABCD為菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O，平面ADEF平面BCEF=直線EF，F(xiàn)O平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2（1）求證：EFAD；（2）求二面角A-EF-B的余弦值一、選擇題1在空間，已知直線l及不在l上兩個(gè)不重合的點(diǎn)AB，過(guò)直線l做平面，使得點(diǎn)AB到平面的距離相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)不可能是（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D無(wú)數(shù)個(gè)2日常生

11、活中，有各式各樣精美的糖果包裝禮盒某個(gè)鐵皮包裝禮盒的平面展開(kāi)圖是由兩個(gè)全等的矩形，兩個(gè)全等的三角形和一個(gè)正方形所拼成的多邊形(如圖)，矩形的長(zhǎng)為12 cm，矩形的寬和正方形的邊長(zhǎng)均為8 cm若該包裝盒內(nèi)有一顆球形硬糖的體積為V cm3，則V的最大值為（ ）ABCD3在四面體ABCD中，AB=6，BC=3，BD=4，若ABD與ABC互余，則BABC+BD的最大值為（ ）A20B30C40D504如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，高A1A=4，E為棱A1A的中點(diǎn)設(shè)BAD=、BED=、B1ED=，則、之間的關(guān)系正確的是（ ）A=>B>>C>>

12、;D>>二、填空題5若正四棱錐的側(cè)面均是正三角形，且它的表面積是8+83，則該四棱錐外接球的體積是_6如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，有下列結(jié)論：平面A1D1P平面A1AP；多面體D1-CDP的體積為定值；直線D1P與BC所成的角可能為；APD1能是鈍角三角形其中結(jié)論正確的序號(hào)是_(填上所有序號(hào))三、解答題7如圖三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)，CEFB1，（1）證明：EF平面CEB1；（2）求二面角E-CF-B1的平面角大小8已知三棱柱ABC-A1B1C1，AA1平面A

13、BC，BAC=90，AA1=AB=AC=1（1）求異面直線AC1與A1B所成的角；（2）求二面角A-BC1-A1的正弦值；（3）設(shè)M為A1B的中點(diǎn)，在ABC的內(nèi)部或邊上是否存在一點(diǎn)N，使得MN平面ABC1?若存在，確定點(diǎn)N的位置，若不存在，說(shuō)明理由9如圖1，扇形OAB的圓心角為60°，半徑為3，點(diǎn)C，D分別在線段OA，OB上，且OD=2OC=2，將OCD沿CD折起到O'CD的位置，如圖2所示（1）求證：CDO'A；（2）若，求平面O'AC與平面O'BD所成角的正弦值一、選擇題1【答案】A【解析】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B

14、1D1的交點(diǎn)，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2【答案】D【解析】取DC，SC的中點(diǎn)G，F(xiàn)，連接，F(xiàn)E，E是BC的中點(diǎn)，GE/DB，F(xiàn)E/SB，GE平面SBD，DB平面SBD，則GE/平面SBD，F(xiàn)E平面SBD，SB平面SBD，則FE/平面SBD，又GEFE=E，平面FEG/平面SBD，平面ABCD，SOAC，又四邊形ABCD是菱形，DBAC，SODB=O，AC平面SBD，則AC平面FEG，故只要?jiǎng)狱c(diǎn)P在平面FEG內(nèi)即總保持PEAC，又動(dòng)點(diǎn)P在棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)即為FEG的周長(zhǎng)，四邊形ABCD是菱形邊長(zhǎng)為6，且，BD=6，則OB=OD=3，又SO=4，

15、SB=SD=5，故，GE=3，F(xiàn)EG的周長(zhǎng)為8，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線面平行以及面面平行的判定定理，考查了線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理；解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)證明平面FEG/平面SBD，得到AC平面FEG，進(jìn)而得到動(dòng)點(diǎn)P在平面FEG內(nèi)即總保持PEAC3【答案】D【解析】由展開(kāi)圖可知，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，其外接圓的半徑滿足，所以r=1由4R2=12，得由球的性質(zhì)可知，球心O到底面ABC的距離為d=R2-r2=2，結(jié)合球和直三棱柱的對(duì)稱性可知，AA1=2d=22，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查直正三棱柱的判定與性質(zhì)，球面的性質(zhì)，球的表面積，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是由側(cè)面展開(kāi)圖得到幾何體的

16、形狀，并注意球心到球的截面圓心距離與球的半徑，截面圓半徑之間的關(guān)系4【答案】C【解析】如下圖所示，設(shè)AD=3，取BC的中點(diǎn)O，的中點(diǎn)M，連接OA、OM，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，BB'/CC'且BB'=CC'，則四邊形BB'C'C為平行四邊形，BC/B'C'且BC=B'C'，由于O、M分別為BC、的中點(diǎn)，則OB/MB'且OB=MB'，所以，四邊形OBB'M為平行四邊形，則OM/BB'且OM=BB'，BB'平面ABC，則OM平面ABC，A

17、BC為等邊三角形，且O為BC的中點(diǎn)，則OABC，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、OM所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、，因此，異面直線AD與EC'所成角的正弦值為，故選C【點(diǎn)評(píng)】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角5【答案】AC【解析】對(duì)于

18、A，因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，B1CBC1，B1CC1D1，又BC1C1D1=C1，C1D1平面ABC1D1，所以B1C平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1CC1P，故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值90°，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫媾c面ABC1D1是同一平面，DCAB，AB平面ABC1D1，CD平面ABC1D1，故CD平面ABC1D1，即CD平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三棱錐D-BPC1的體積等于三棱錐P-DBC1的體積，而平面DBC1為固定平面，且DBC1大小一定，又因?yàn)镻AD1，因?yàn)锳D1BC1，平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1平面DBC1

19、，所以點(diǎn)A到平面DBC1的距離即為點(diǎn)P到該平面的距離，為定值，所以三棱錐D-BPC1的體積為定值，故C正確；對(duì)于D，直線CP和直線A1B是異面直線，不可能相交，故D錯(cuò)誤，故選AC【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定及性質(zhì)，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，空間中的距離，正確理解判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵二、填空題6【答案】【解析】連接AN，因?yàn)镸，N分別為BC，A1D1的中點(diǎn)，所以AN/C1M，故所求角的大小等于B1NA或其補(bǔ)角，又AN=12+22=5，B1N=22+22=22，AB1=12+22=5，所以由余弦定理及勾股定理，故所求角的余弦值為，故答案為【點(diǎn)評(píng)】平移線段法是求異

20、面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角7【答案】【解析】取AC中點(diǎn)F，連接BF，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B為x軸，F(xiàn)C為y軸，過(guò)F點(diǎn)作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，如圖所示，設(shè)AB=a，則，所以，由PA=PB=PC=2，ABC是正三角形，得三棱錐P-ABC為正三

21、棱錐，設(shè)外接球球心為O，半徑為R，則OP=OA=R，且軸，所以，解得，若PCBE，則，所以，解得a=2，所以，故選項(xiàng)正確；又，所以，故選項(xiàng)正確；若PABE，則，所以，解得a=22，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，所以，故選項(xiàng)正確，故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了空間幾何體三棱錐為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題，要求學(xué)生能理解空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，利用基礎(chǔ)知識(shí)探究新的問(wèn)題，涉及了球的幾何性質(zhì)以及球的體積公式、表面積公式的應(yīng)用，解決空間問(wèn)題的一個(gè)常用方式是空間向量法，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量問(wèn)題進(jìn)行處理，對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算能力有較高的要求8【答案】，【解析】（1）PA平面ABC

22、，BC平面ABC，PABC，又ABBC，且PAAB=A，BC平面PAB，PB平面PAB，BCPB，所以PC是兩個(gè)直角三角形PAC和PBC的斜邊，取PC的中點(diǎn)O，點(diǎn)O到四點(diǎn)P，A，B，C的距離相等，即點(diǎn)O是三棱錐P-ABC的外接球的球心，（2）當(dāng)點(diǎn)M是截面圓的圓心時(shí)，此時(shí)圓心到截面的距離最大，那么截面圓的半徑最小，即此時(shí)的面積最小，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，M是ABC的重心，所以，截面圓的半徑，所以故答案為，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球與幾何體的綜合問(wèn)題，考查空間想象能力以及化歸和計(jì)算能力（1）當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，并且側(cè)棱長(zhǎng)為a，b，c，那么外接球的直徑2R=a2+b2+c2（2）當(dāng)有一條側(cè)棱垂直于底

23、面時(shí)，先找底面外接圓的圓心，過(guò)圓心做底面的垂線，球心在垂線上，根據(jù)垂直關(guān)系建立R的方程（3）而本題類型，需要過(guò)兩個(gè)平面外接圓的圓心作面的垂線，垂線的交點(diǎn)就是球心三、解答題9【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，且直線EH，F(xiàn)G必相交于一點(diǎn)，設(shè)EHFG=M，因?yàn)?，EHÜ平面ABD，所以M平面ABD，同理：M平面BCD，而平面ABD平面BCD=BD，故MBD，即直線EH，F(xiàn)G必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線BD上（2）連結(jié)EG，BG，點(diǎn)A到平面的距離為d，正四面體的棱長(zhǎng)為2，則該正四面體的高為，所以E到平面BFG的距離為，在CFG中，由余弦定理

24、可得，在等腰梯形中可得：G到EF的距離為，而G到BF的距離為點(diǎn)D到BF的距離的，也為，所以BFG的面積與BFG的面積相等，由VE-BFG=VB-EFG可得，故點(diǎn)B到平面的距離為【點(diǎn)評(píng)】求解空間中點(diǎn)P到平面的距離常用的方法：（1）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量m，以及一條斜線的方向向量PA，根據(jù)，即可求出點(diǎn)到面的距離；（2）等體積法：先設(shè)所求點(diǎn)到面的距離，選幾何體不同的頂點(diǎn)，求出該幾何體對(duì)應(yīng)的體積，列出等量關(guān)系，即可求出點(diǎn)到面的距離10【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）60【解析】（1）AA1是圓柱的母線，AA1平面ABC，因?yàn)锽C平面ABC，所以AA1BC，又C是弧A

25、B上的一點(diǎn)，且AB是圓O的直徑，ACBC，BC平面ACA1，又BC平面BCB1，平面ACA1平面BCB1（2）設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，圓柱的體積和側(cè)面積均為，解得r=2，l=1，即AB=4，AA1=1，ABC=30，AC=2，BC=23，設(shè)圓柱過(guò)C點(diǎn)的母線為CD，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CD所在直線分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示：則C0，0，0，B0，23，0，A12，0，1，B10，23，1，CA1=2，0，1，CB1=0，23，1，BA1=2，-23，1，BB1=0，0，1，設(shè)平面的法向量為，由，取z=23，則x=-3，y=-1，平面的一個(gè)法向量為；設(shè)平

26、面BA1B1的法向量為，由，取b=1，則a=3，c=0，平面BA1B1的一個(gè)法向量為，由圖中可看出二面角B-A1B1-C是銳角，故二面角B-A1B1-C的值為60【點(diǎn)評(píng)】證明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一個(gè)平面的一條垂線，再證明這條垂線在另外一個(gè)平面內(nèi)或與另外一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行即可；（2）利用性質(zhì)：/，（客觀題常用）；（3）面面垂直的定義（不常用）；（4）向量方法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，即法向量數(shù)量積等于011【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，AP=AB，點(diǎn)F是BP的中點(diǎn)，AFBP，又AP平面ABCD，ADAP，且ADAB，APAB=

27、A，AD平面PAB，BP平面PAB，ADBP，又AFAD=A，BP平面ADEF（2），解得AP=1，如圖，以A為原點(diǎn)，為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，A0，0，0，P0，0，1，C2，2，0，D0，4，0，PC=2，2，-1，PD=0，4，-1，設(shè)平面PCD的法向量，則，即，令y=1，則x=1，z=4，；顯然AB平面PAD，設(shè)平面PAD的法向量，二面角A-PD-C是銳二面角，二面角A-PD-C的余弦值是【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直判斷，以及利用空間向量求解二面角的余弦值，屬于中檔題12【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）第一步：在平面ABCD內(nèi)作交CD于點(diǎn)H；第二步：在平面S

28、CD內(nèi)作HPSC交SD于點(diǎn)P；第三步：連接GP，點(diǎn)PGP即為所求（2）因P是SD的中點(diǎn)，HPSC，所以H是CD的中點(diǎn)，而，所以G是AB的中點(diǎn)連接AC，GD交于O，連接SO，設(shè)S在底面ABCD的射影為M，因?yàn)镾A=SB=SD，所以MA=MB=MD，即M為ABD的外心，所以M與O重合，因?yàn)?，SD=2，所以，過(guò)O作OE/GB交BC于點(diǎn)E，以O(shè)G，OE，OS分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取z=2，則x=1，y=3，所以，又GB平面SGD，故GB=(0，1，0)為平面SGD的法向量，設(shè)平面與平面SGD所成銳二面角的大小為，則，因?yàn)?，所以故平面與平面SGD所成銳二面

29、角的大小為【點(diǎn)評(píng)】本題在建立空間直角坐標(biāo)系前，首先利用垂直關(guān)系得到，否則建立坐標(biāo)系后不能寫(xiě)出向量坐標(biāo)，因此建系之前需要證明垂直關(guān)系，尋求數(shù)量關(guān)系13【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）證明：因?yàn)镋F/AD，ADC=90°，所以CFE=90°，則EFDF，即EFD'F又平面D'A'EF平面EFCB，平面D'A'EF平面EFCB=EF，所以D'F平面BCFE，所以D'FCF，又由CFE=90°，可知EFCF，且D'FEF=F，所以CF平面D'A'EF取CF的中點(diǎn)Q，連接MQ，BQ

30、，依題意可得四邊形EFQB為平行四邊形，則BQ/EF因?yàn)镸為D'C的中點(diǎn)，所以MQ/D'F，又BQMQ=Q，所以平面BMQ/平面D'A'EF，所以CF平面BMQ，因?yàn)锽M平面BMQ，所以CFBM（2）解：如圖，分別以FE，F(xiàn)C，F(xiàn)D'為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D'(0，0，2)，C(0，4，0)，D'B=(2，2，-2)，設(shè)平面D'BC的法向量，則，令x=1，得；易知平面A'D'FE的一個(gè)法向量，且，故平面A'D'FE與平面D'BC所成銳二面角的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查證明線線垂直

31、，考查用空間向量法求二面角，解題方法是建立空間直線坐標(biāo)系，求出二面角的兩個(gè)面的法向量，由法向量夾角的余弦值得出二面角的余弦值這種方法把立體幾何中的證明轉(zhuǎn)化為計(jì)算，便于學(xué)生思考一、選擇題1【答案】C【解析】A若mn，m，n，相當(dāng)于兩平面的法向量垂直，兩個(gè)平面垂直，A正確；B若mn，m，則n，又n，則平面內(nèi)存在直線cn，所以c，所以，B正確；C若mn，m，n，則，可能相交，可能平行，C錯(cuò)；D若mn，m，n，則，的法向量平行，所以，D正確，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩平面平行與垂直的判斷，掌握兩平面平行與垂直的和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵另外從空間向量角度出發(fā)，利用平面的法向量之間的關(guān)系判斷兩平面平行與垂直也是

32、一種行之有效用較簡(jiǎn)單的方法二、解答題2【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ADBC，AD平面BCEF，BC平面BCEF，AD平面BCEF，因?yàn)槠矫鍭DEF平面BCEF=直線EF，AD平面ADEF，所以EFAD（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD，因?yàn)镺F平面ABCD，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、OA，OB，OF為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取CD中點(diǎn)M，連接EM，OM，BAD=60°，BC=2，OA=OC=3，OB=OD=1，BC=CD=CE=DE=2，CDE為正三角形，EM=3，從而，設(shè)平面ADEF一個(gè)法向量為，則，即，令x=1，y=-3

33、，z=1，m=(1，-3，1)；設(shè)平面BCEF一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，則，即，令x=1，y=-3，z=-1，n=(1，-3，-1)，因此二面角A-EF-B的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角一、選擇題1【答案】C【解析】（1）如圖，當(dāng)直線AB與l異面時(shí)，則只有一種情況；（2）當(dāng)直線AB與l平行時(shí)，則有無(wú)數(shù)種情況，平面可以繞著l轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）如圖，當(dāng)l過(guò)線段AB的中垂面時(shí)，有兩種情況故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)

34、的應(yīng)用，是中檔題2【答案】A【解析】根據(jù)題意作出禮盒的直觀圖如下圖所示：由圖可知該幾何體為直三棱柱，設(shè)等腰三角形的內(nèi)切圓半徑為R，又因?yàn)榈妊切蔚母邽?22-42=82，所以根據(jù)等面積法可知：，所以R=22，又因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為8，所以，所以球形硬糖的半徑最大值為22，所以體積V的最大值為，故選A【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)分析等腰三角形的內(nèi)切圓的半徑以及半徑與正方形邊長(zhǎng)的大小關(guān)系，確定出球形的最大半徑，由此完成求解3【答案】B【解析】設(shè)ABD=，可得，則為銳角，在四面體ABCD中，AB=6，BC=3，BD=4，則，其中為銳角，且，則，所以，當(dāng)時(shí)，BABC+BD取得最大值30，故選B【點(diǎn)評(píng)】

35、在計(jì)算向量的數(shù)量積時(shí)，要確定好基底向量，作為基底向量的向量，長(zhǎng)度以及向量間的夾角需已知4【答案】B【解析】由題意可得，連接BD，則BDE為等邊三角形，所以，連接B1D，則B1D=22+22+42=26，BE=DE=22+22=22，取B1D的中點(diǎn)O，連接EO，則B1O=6，EO=8-6=2，所以，所以，即，所以>>，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題二、填空題5【答案】【解析】設(shè)該正四棱錐為P-ABCD，該正四棱錐的棱長(zhǎng)為a，取正方形ABCD的中心E，連接PE，由于該正四棱錐的表面積為，解得a=22，所以，AC=2a=4，E為正四棱錐P-ABCD底面的中心，則P

36、E平面ABCD，AC平面ABCD，平面ABCD，PE=PA2-AE2=2，所以，EA=EB=EC=ED=EP=2，所以，點(diǎn)E為四棱錐P-ABCD的外接球球心，則球E的半徑為2，因此，該四棱錐外接球的體積是，故答案為【點(diǎn)評(píng)】求空間多面體的外接球半徑的常用方法：補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可6【答案】【解析】

37、對(duì)于，正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1平面A1AP，A1D1平面，平面平面A1AP，故正確；對(duì)于，P到平面CDD1的距離BC=1，三棱錐D1-CDP的體積：，為定值，故正確；對(duì)于，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，B(1，1，0)，1，設(shè)P(1，a，b)，(0<a<1，0<b<1)，a，假設(shè)，所以a2+(b-1)2=3，0<a<1，0<b<1，所以a2+(b-1)2<3，所以假設(shè)不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，見(jiàn)上圖，由題得A(1，0，0)，D1(0，0，1)，設(shè)P(1，y，1-y)，(0<y<

38、;1)，所以PA=(0，-y，-1+y)，PD1=(-1，-y，y)，所以，當(dāng)時(shí)，cos<PA，PD1><0，即APD1是鈍角，此時(shí)是鈍角三角形，故正確，故答案為【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是判斷的真假，它們都是可能性問(wèn)題的判斷，判斷的真假可以選擇向量反證法比較方便，判斷的真假可以選擇向量直接法要根據(jù)已知靈活選擇方法解答，優(yōu)化解題三、解答題7【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）證明：設(shè)AA1=2a，則AB=22a，EB1=6a，BB1=2a，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，EB=2a，EB12=EB2+BB12，EBBB1三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面ABB1A1為平行四邊形，四邊

39、形ABB1A1為矩形，點(diǎn)F為棱AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)B12=A1F2+A1B12=9a2，F(xiàn)E2=AF2+AE2=3a2，F(xiàn)B12=EF2+EB12，EFEB1三棱柱的底面ABC是正三角形，E為AB的中點(diǎn)，CEFB1，且AB平面ABB1A1，F(xiàn)B1平面ABB1A1，且AB，F(xiàn)B1相交，平面ABB1A1，EF平面ABB1A1，CEEF，ECEB1=E，EF平面CEB1（2）由（1）可知平面ABB1A1，CEBB1，BB1平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，設(shè)A1B1的中點(diǎn)為M，則直線EB，CE，EM兩兩垂直，分別以EB，EC，EM的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0，0，0)，則EF=-2a，0，a，F(xiàn)C=2a，6a，-a，F(xiàn)B1=22a，0，a設(shè)平面CFB1的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，則，則，則，不妨取x=1，則y=-3，則z=-22，所以n=1，-3，-22；設(shè)平面CEF的一個(gè)法向