考點(diǎn)8數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、圓學(xué)子夢(mèng)想 鑄金字品牌溫馨提示： 此題庫(kù)為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊?？键c(diǎn)8 數(shù)列的綜合應(yīng)用1.（2010·湖北高考理科·7）如圖，在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無(wú)限繼續(xù)下去.設(shè)為前個(gè)圓的面積之和，則（ ）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)、正六邊形的內(nèi)切圓半徑與其邊長(zhǎng)的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查無(wú)窮遞縮等比數(shù)列前n項(xiàng)和極限的計(jì)算，考查考生的運(yùn)算求解能力【思路點(diǎn)撥】先由正六邊形的內(nèi)切圓半徑與其邊長(zhǎng)的關(guān)

2、系求出相鄰兩圓的半徑的關(guān)系，從而將所有內(nèi)切圓的面積按從大到小的順序排列構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，由公比知【規(guī)范解答】選C設(shè)正六邊形第n個(gè)內(nèi)切圓的半徑為，面積為，則°，從而=，由，知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以=4.【方法技巧】對(duì)于等比數(shù)列，若公比，則其前n項(xiàng)和當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)極限存在且.2.（2010·上海高考理科·0）在行n列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為aij(i,j=1,2,，n)當(dāng)時(shí)， 【命題立意】本題考查學(xué)生的分析推理和歸納能力【思路點(diǎn)撥】觀察矩陣的特點(diǎn)，找到n=9時(shí)aij(i,j=1,2,，9)對(duì)應(yīng)的數(shù)，再求解【規(guī)范解答】當(dāng)時(shí)， 1+3+5+7+9+2+4

3、+6+8=45.【答案】45【方法技巧】本題觀察一定要仔細(xì)認(rèn)真，因?yàn)閚=9個(gè)數(shù)不多，可以將矩陣列出來(lái)再求解3.（2010·湖北高考理科·20）已知數(shù)列滿足: , .數(shù)列滿足： =（n1）.()求數(shù)列，的通項(xiàng)公式;()證明:數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.【命題立意】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義，考查利用數(shù)列遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的思想，考查反證法及考生的推理論證能力【思路點(diǎn)撥】()由題意構(gòu)造新數(shù)列滿足：，先求的通項(xiàng)公式，再求的通項(xiàng)公式，最后求的通項(xiàng)公式.()用反證法證明.【規(guī)范解答】()由題意可知： ，令，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，故.又>

4、0，故，=.()證明：（反證法）假設(shè)數(shù)列存在三項(xiàng)，按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列，由于數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是一定有， 則只能有成立，即：，兩邊同乘以可得：，由于，所以式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，從而式不可能成立，導(dǎo)致矛盾.故數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.【方法技巧】已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式較困難時(shí)，通常都要先構(gòu)造新的數(shù)列，利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或累加、累乘的方法求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求題設(shè)中數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.（2010·重慶高考理科·21）在數(shù)列中，=1，其中實(shí)數(shù).（1）求的通項(xiàng)公式.（2）若對(duì)一切有，求的取值范圍.【命題立意】本小題考查歸納、猜想

5、解題，考查數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用，考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論的思想. 【思路點(diǎn)撥】（1）先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納猜想得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明或?qū)⑺o等式變形構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列求解.（2）對(duì)恒成立問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.【規(guī)范解答】（1）【方法1】：由，c3，猜測(cè)（）， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=1時(shí)，等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，綜上可知，對(duì)任何都成立.【方法2】：由原式得，令，則，因此對(duì)有，因此，又當(dāng)n=1時(shí)上式成立.因此，.（2）【方法1】：由，得因，所以解此不等式得：對(duì)一切，有或，其中，易知（因?yàn)榈姆肿?、分母的最高次?xiàng)

6、的次數(shù)都是2，且系數(shù)都是8，所以極限值是）；用放縮法得：，所以，因此由對(duì)一切成立得；又，易知單調(diào)遞增，故對(duì)一切成立，因此由對(duì)一切成立得：，從而c的取值范圍為.【方法2】：由，得，因，所以4（c2-c）k2+4ck-c2+c-10對(duì)恒成立.記，下面分三種情況討論.（i）當(dāng)即或時(shí)，代入驗(yàn)證可知只有滿足要求.（ii）當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，因此當(dāng)正整數(shù)k充分大時(shí)，不符合題意，此時(shí)無(wú)解.（iii）當(dāng)，即或時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，其對(duì)稱軸必在直線的左側(cè)，因此，在上是增函數(shù)，所以要使f(x)對(duì)x恒成立，只需即可.由得3c2+c-10，解得或，結(jié)合或得或.綜合以上三種情況，的取值范圍為.【方法技巧】（1）第（1）

7、問(wèn)有兩種方法解答：歸納猜想并用數(shù)學(xué)歸納法證明；數(shù)列的迭代法（或累加消項(xiàng)法）；（2）第（2）問(wèn)中對(duì)條件“恒成立”進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行討論；（3）放縮法的運(yùn)用.5.（2010·重慶高考文科·16）已知是首項(xiàng)為19，公差為-2的等差數(shù)列，為的前n項(xiàng)和.（1）求通項(xiàng)公式及.（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.【命題立意】本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.【思路點(diǎn)撥】（1）直接套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式計(jì)算.（2）

8、直接套用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.【規(guī)范解答】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為19，公差為-2的等差數(shù)列，所以，即.，即.（2）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以，即=3n-1-2n+21，所以.【方法技巧】在求時(shí)，巧妙的利用（1）中的和可以快速解題.6.（2010·江西高考理科·22）證明以下命題：（1）對(duì)任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列.（2）存在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列【命題立意】本題是一類新型探索題，主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查由特殊到一般的思想，考查等價(jià)命題的轉(zhuǎn)化，考

9、查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力，考查反證法思想，函數(shù)與方程思想方法，考查思維的嚴(yán)密性，本題屬難題.【思路點(diǎn)撥】（1）先找到成等差數(shù)列，是解決本小題的關(guān)鍵.（2）先選取與n（nN*）有關(guān)的多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式，再解方程組確定邊長(zhǎng)，最后證明三角形的存在性和無(wú)窮性，難點(diǎn)在于構(gòu)造多項(xiàng)式.【規(guī)范解答】（1）易知成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，所以對(duì)任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列（2）若成等差數(shù)列，則有，即 選取關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式，例如，使得它可按兩種方式分解因式，由于因此令，可得易驗(yàn)證滿足，因此 an2,bn2,cn2成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，有且因此以為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成三角形，將此三角形記為

10、其次，任取正整數(shù)，假若三角形與相似，則有：，據(jù)此例性質(zhì)有：，所以，由此可得，與假設(shè)矛盾，即任兩個(gè)三角形與互不相似，所以存在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列【方法技巧】1.這類題目難度大，技巧性高，一般很難直接找到問(wèn)題的突破口，只有平時(shí)打好基礎(chǔ)，注意知識(shí)的總結(jié)和一些規(guī)律性的小結(jié)論的積累，才能把這類難度大的題通過(guò)已學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)層層分解來(lái)解答，并且這些基礎(chǔ)知識(shí)都能從課本中找到它們的影子.2.本例第（1）問(wèn)的突破口如下：設(shè)1，,符合條件要求，則有，由于,N*，所以為奇數(shù)，又設(shè),則，化簡(jiǎn)得，可見(jiàn)，也為奇數(shù)，再設(shè)= N*,又得，化簡(jiǎn)得，故，且，解得.從而=5,=7,這樣問(wèn)題就得到了解決

11、.7.（2010·四川高考理科·21）已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意都有，（）求，.（）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列.（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【命題立意】本小題主要考查數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的概念及求和公式，等比數(shù)列的求和公式，用錯(cuò)位相減法數(shù)列求和等知識(shí)的應(yīng)用，考查化歸，分類整合等數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用已知公式，以及推理的能力.【思路點(diǎn)撥】（I）由題意，所給公式對(duì)都成立，故可給，賦值，結(jié)合的值求解.（）要證數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的定義，需證為常數(shù)，即為常數(shù)，與所給公式比較可知，令，即，便可解決問(wèn)題.（）需先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，即求的表達(dá)式，由（）知，觀察公式，保留，故需出現(xiàn)，可令或，

12、當(dāng)時(shí)，不便于計(jì)算，當(dāng)時(shí)，即 時(shí)，又，此時(shí)由得，可求出，從而解決問(wèn)題.需注意等比數(shù)列求和時(shí)注意公比是否為，故需分類討論.【規(guī)范解答】(I)由題意，令，可得，令，.（）當(dāng),由已知，令，由已知可得， 即，也即， .數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（III）由(I)、（）可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.則， 即.另令可得，即.則 ，.當(dāng)時(shí)，Sn，當(dāng)，Sn， 式兩邊同乘可得qSn ， 得(1-q)Sn ， Sn 綜上，Sn 8.（2010·全國(guó)高考卷理科·18）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（）求；（）證明：【命題立意】本題考查了數(shù)列的遞推公式，極限的運(yùn)算以及數(shù)列與不等式的證明綜合運(yùn)用. 【思路點(diǎn)撥】

13、（）可以用表示，代入再求極限.（）結(jié)合不等式的放縮法證明. 【規(guī)范解答】（）（）當(dāng)n=1時(shí)， 當(dāng)n>1時(shí)，=>.所以，9.（2010·上海高考理科·20）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）證明：是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，取得最小值，并說(shuō)明理由【命題立意】本題主要考查數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、通項(xiàng)公式的求法及前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系【思路點(diǎn)撥】由前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，求出與的關(guān)系，再完成第（1）問(wèn)的證明；由（1）求出,再求，由估算n的值【規(guī)范解答】（1）當(dāng)n=1時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，即，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）得，所以，且=，

14、【方法技巧】由數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，求通項(xiàng)時(shí)，要先求，然后時(shí)，由求.10.（2010·上海高考文科·21）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).【命題立意】本題主要考查數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、通項(xiàng)公式的求法及前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系【思路點(diǎn)撥】由前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，求出與的關(guān)系，再完成第（1）問(wèn)的證明；由（1）求出,再求，由解不等式，估算n的值【規(guī)范解答】（1）當(dāng)n=1時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，即，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）得，所以，且=，由，得，化簡(jiǎn)，得，所以故最小的整數(shù)n取15.【方法技巧

15、】由數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，求通項(xiàng)時(shí)，要先求，然后時(shí)，由求.11.（2010·湖北高考文科·19）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為（單位：m2），其中有部分舊住房需要拆除.當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房，同時(shí)也拆除面積為b（單位：m2）的舊住房.（）分別寫出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式；（）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少？（計(jì)算時(shí)取1.15=1.6）【命題立意】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力，同時(shí)考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力【

16、思路點(diǎn)撥】（）由題意，設(shè)第年末實(shí)際住房面積為，則且（單位：m2）.（）由求出，結(jié)合題意建立方程即可解得.【規(guī)范解答】設(shè)第年末實(shí)際住房面積為.（）由題意，則（單位：m2），（單位：m2）.（），由題意，解得，所以每年拆除的舊住房面積為（單位：m2）.【方法技巧】本題第（）問(wèn)也可通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列先求，再求，進(jìn)而解方程求b.過(guò)程如下：由且可得：，若，則，從而與題目條件矛盾，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.1為公比的等比數(shù)列，因此，從而， .由題意，解得.12.（2010·江西高考文科·22）正實(shí)數(shù)數(shù)列中,且成等差數(shù)列.(1) 證明數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù).(2)當(dāng)為何值時(shí)，為整數(shù)，并

17、求出使的所有整數(shù)項(xiàng)的和.【命題立意】本題是一類創(chuàng)新題型，主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查由特殊到一般的思想，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力，考查反證法思想，考查思維的嚴(yán)密性，本題屬難題.【思路點(diǎn)撥】（1）從通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)著手，找到非完全平方式的一類表達(dá)形式，是解決本小題的關(guān)鍵，此題也可利用整數(shù)的平方其末位數(shù)的規(guī)律求解；（2）利用整數(shù)的奇偶性，研究整數(shù)分解因式的規(guī)律，是解決本類問(wèn)題的關(guān)鍵.【規(guī)范解答】（1）由已知有：，從而，方法一：取，則（）.用反證法證明這些都是無(wú)理數(shù).假設(shè)為有理數(shù)，則必為正整數(shù)，且，故.,與矛盾，所以（）都是無(wú)理數(shù)，即數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)

18、為無(wú)理數(shù).方法二：因?yàn)椋╪N*），當(dāng)?shù)哪┪粩?shù)字是時(shí)，的末位數(shù)字是 和，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分?jǐn)?shù)的平方，故此時(shí)不是有理數(shù)，因這種有無(wú)窮多，故這種無(wú)理項(xiàng)也有無(wú)窮多(2) 要使為整數(shù)，由可知：同為偶數(shù)，且其中一個(gè)必為3的倍數(shù)，所以有或當(dāng)時(shí)，有（）又必為偶數(shù)，所以（）滿足即（）時(shí)，為整數(shù)；同理有（）也滿足，即（）時(shí)，為整數(shù)；顯然和（）是數(shù)列中的不同項(xiàng)；所以當(dāng)（）和（）時(shí)，為整數(shù)；由（）有，由（）有.設(shè)中滿足的所有整數(shù)項(xiàng)的和為，則.【方法技巧】1.這類題目難度大，技巧性高，一般很難直接找到問(wèn)題的突破口，只有平時(shí)打好基礎(chǔ)，注意知識(shí)的總結(jié)和一些規(guī)律性的小結(jié)論的積累，才能把這類難度大的題通過(guò)已學(xué)的基礎(chǔ)

19、知識(shí)層層分解來(lái)解答，并且這些基礎(chǔ)知識(shí)都能從課本中找到它們的影子.2.本題巧妙利用整數(shù)的平方其末位數(shù)的規(guī)律求解，同時(shí)利用整數(shù)的奇偶性，研究整數(shù)分解因式的規(guī)律，是解決本類問(wèn)題的關(guān)鍵.本題考查的不僅僅是這些知識(shí)，更重要的是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.13.（2010·四川高考文科·20）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)和為，（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【命題立意】本小題考查等差數(shù)列的求和公式，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查化歸，分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證，分析與解決問(wèn)題的能力.【思路點(diǎn)撥】（I）要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，需知首項(xiàng)和公差，列方程組求解. （II）先求出，則Sn=1·q0+2·q1+3·q2+n·qn-1，可用錯(cuò)位相減法求解，注意分，兩種情況分類討論.【規(guī)范解答】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，則 解之得，.（II）由（I）的解答可得，則Sn=1·q0+2&#