考點21 等差數(shù)列及其前n項和-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（文）考點一遍過

1、考點21 等差數(shù)列及其前n項和（1）理解等差數(shù)列的概念.（2）掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.（3）能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.一、等差數(shù)列1等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示即，為常數(shù)2等差中項如果a，a，b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項，且3等差數(shù)列的通項公式及其變形 以為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為公式的變形：，4等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列的通項公式，可得令，

2、則，其中，為常數(shù)（1）當(dāng)時，在一次函數(shù)的圖象上，數(shù)列的圖象是直線上均勻分布的一群孤立的點，且當(dāng)時數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時數(shù)列為遞減數(shù)列（2）當(dāng)時，等差數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列的圖象是平行于x軸的直線（或x軸）上均勻分布的一群孤立的點二、等差數(shù)列的前n項和 1等差數(shù)列的前n項和首項為，末項為，項數(shù)為n的等差數(shù)列的前n項和公式：令，可得，則當(dāng)，即時，是關(guān)于n的二次函數(shù)，點是的圖象上一系列孤立的點；當(dāng)，即時，是關(guān)于n的一次函數(shù)，即或常函數(shù)，即，點是直線上一系列孤立的點我們可以借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究等差數(shù)列的前n項和的相關(guān)問題2用前n項和公式法判定等差數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系給出了一種判斷

3、數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法：若數(shù)列的前n項和，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列不是等差數(shù)列三、等差數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列的常用性質(zhì)由等差數(shù)列的定義可得公差為的等差數(shù)列具有如下性質(zhì)：（1）通項公式的推廣：，（2）若，則特別地，若，則；若，則有窮等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和，即 （3）下標成等差數(shù)列的項組成以md為公差的等差數(shù)列（4）數(shù)列是常數(shù)是公差為td的等差數(shù)列（5）若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)仍為等差數(shù)列（6）若，則2與等差數(shù)列各項的和有關(guān)的性質(zhì)利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式易得等差數(shù)列的前n項和具有如下性質(zhì)：設(shè)等差數(shù)列（公

4、差為d）和的前n項和分別為，（1）數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為（2）構(gòu)成公差為的等差數(shù)列（3）若數(shù)列共有項，則，（4）若數(shù)列共有項，則，（5），考向一 等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的判定與證明的方法：定義法：或是等差數(shù)列；定義變形法：驗證是否滿足；等差中項法：為等差數(shù)列；通項公式法：通項公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；前n項和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列注意：（1）若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項，使得即可；（2）如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法典例1 已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的a充分不必要條件 b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也

5、不必要條件【答案】a【解析】若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列.若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，不能推出數(shù)列是等差數(shù)列.所以“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選a【名師點睛】根據(jù)等差數(shù)列的定義，“數(shù)列為等差數(shù)列”能推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，“數(shù)列為等差數(shù)列”不能推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，從而可得結(jié)果.1已知數(shù)列的前項和為.（1）若為等差數(shù)列，求證：；（2）若，求證：為等差數(shù)列.考向二 等差數(shù)列中基本量的求解1等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解2等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量，d，

6、n，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程的思想典例2 已知為等差數(shù)列，為其前項和，若，則_.【答案】6【解析】是等差數(shù)列，解得，故填6典例3 在等差數(shù)列中，a11，s515.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前k項和sk48，求k的值【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則.由a11，s515，可得510d15，解得d2，故.（2）由（1）可知an32n，所以.令，即k22k480，解得k8或k6.又，故k8.2在等差數(shù)列中，已知，公差，若，則a19b18c17d16考向三 求解等差數(shù)列的通項及前n項和1求解等差數(shù)列通項公式的方法主要有兩種：（1）定義法.（2）前項和法，即根據(jù)前項和與的關(guān)系

7、求解.在利用定義法求等差數(shù)列通項公式時，常涉及設(shè)等差數(shù)列項的問題，等差數(shù)列中項的常見設(shè)法有：（1）通項法；（2）對稱項設(shè)法.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)為奇數(shù)時，可設(shè)中間一項為，再以公差為向兩邊分別設(shè)項：；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)為偶數(shù)時，可設(shè)中間兩項分別為，再以公差為向兩邊分別設(shè)項：.2遞推關(guān)系式構(gòu)造等差數(shù)列的常見類型：（1）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；（2）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則（c可以為0）是等差數(shù)列；（3）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；（4）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；（5）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則（c可以為0）是等差數(shù)列3等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用方法：根據(jù)不同的已知條件選用不同的求和公式，若已知首項和公差，則使用；若已知通項公

8、式，則使用，同時注意與性質(zhì)“”的結(jié)合使用.典例4 已知數(shù)列中，當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式【解析】當(dāng)時，即，兩邊同時取倒數(shù)，得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，故典例5 已知為等差數(shù)列的前n項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，依題意得，解得，則.故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，故數(shù)列的前n項和.3已知等差數(shù)列的前n項和滿足，（1）求的通項公式；（2）求考向四 數(shù)列的前n項和的求解1求數(shù)列的前n項和的關(guān)鍵是分清哪些項為正的，哪些項為負的，最終轉(zhuǎn)化為去掉絕對值符號后的數(shù)列進行求和2當(dāng)?shù)母黜椂紴榉秦摂?shù)時，的前n項和就等于的

9、前n項和；當(dāng)從某項開始各項都為負數(shù)（或正數(shù)）時，求的前n項和要充分利用的前n項和公式，這樣能簡化解題過程3當(dāng)所求的前n項和的表達式需分情況討論時，其結(jié)果應(yīng)用分段函數(shù)表示典例6 已知數(shù)列的前項和為.（1）請問數(shù)列是否為等差數(shù)列？如果是，請證明；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）由可得，兩式相減可得于是由可知數(shù)列為等差數(shù)列.（2）記數(shù)列的前項和為， .故數(shù)列的前項和為.典例7 設(shè)數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和【解析】（1）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，則有.當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而，即，解得.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，所以有當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，. 4已知為等差數(shù)列的前項和，

10、.（1）求；（2）設(shè)，求.考向五 等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.解題時要注意性質(zhì)運用的限制條件，明確各性質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征是正確解題的前提如，則，只有當(dāng)序號之和相等、項數(shù)相同時才成立典例8 已知等差數(shù)列的公差，則_【答案】180【解析】由，則，又，則.則，故.典例9 一個等差數(shù)列的前10項的和為30，前30項的和為10，求前40項的和【解析】方法1：設(shè)其首項為，公差為d，則，解得，故方法2：易知數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則前3項的和為，即，又，所以，所以，所以

11、方法3：設(shè)，則，解得，故，所以方法4：因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列也是等差數(shù)列，點在一條直線上，即，三點共線，于是，將，代入解得方法5：因為，又，所以，所以方法6：利用性質(zhì)：，可得方法7：利用性質(zhì)：當(dāng)，時，由于，可得5等差數(shù)列、的前項和分別為和，若，則abcd考向六 等差數(shù)列的前n項和的最值問題1二次函數(shù)法：，由二次函數(shù)的最大值、最小值的知識及知，當(dāng)n取最接近的正整數(shù)時，取得最大（?。┲档珣?yīng)注意，最接近的正整數(shù)有1個或2個注意：自變量n為正整數(shù)這一隱含條件.2通項公式法：求使()成立時最大的n值即可一般地，等差數(shù)列中，若，且，則若為偶數(shù)，則當(dāng)時，最大；若為奇數(shù)，則當(dāng)或時，最大3不等式法：由，解

12、不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和的最大值典例10 已知數(shù)列是一個等差數(shù)列，且，.（1）求的通項；（2）求的前n項和的最大值【解析】（1）由題意知，所以.（2）因為，所以，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)時，前項和取得最大值，最大值為4.典例11 已知數(shù)列,前n項和sn=(an+2)2.（1）求證：an是等差數(shù)列；（2）設(shè)bn=an30，求數(shù)列bn的前n項和的最小值.【解析】（1）由已知得8sn=(an+2)2,則8sn1=(an1+2)2(n2),兩式相減,得8an=(an+2)2(an1+2)2,即(an+an1)(anan14)=0.因為,所以an+an1>0,所以anan1=

13、4(n2),故數(shù)列an是以4為公差的等差數(shù)列.（2）令n=1,得s1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.由（1）知an=2+(n1)×4=4n2,所以bn=an30=2n31.由bn=2n31<0,得n<,即數(shù)列bn的前15項為負值,n16時bn>0.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為tn,則t15最小,其值為.6已知等差數(shù)列的前項和有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)的值為a6b7c10d121已知等差數(shù)列中，則的值為a51b34c64d5122已知數(shù)列滿足，則的值為a12b15c39d423等差數(shù)列的前項和為,若,則a18 b27c36 d454已知數(shù)列滿足，且，則a3 b3

14、c d5若是數(shù)列的前項和，若，則是a等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列b等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列c等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列d既非等比數(shù)列，也非等差數(shù)列6已知正項數(shù)列an中，a1=1，a2=2，（n2），則a6=a b4c16 d457我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)有這樣一個問題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中間三人未到者，亦等次更給，問各得金幾何？則據(jù)你對數(shù)學(xué)史的研究與數(shù)學(xué)問題的理解可知，兩個人所得金相差數(shù)額絕對值的最小值是a斤b斤c斤d斤8函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)；數(shù)列為等差數(shù)列，公差不為0，若，則a b

15、c d9設(shè)各項均不為零的等差數(shù)列an的前n項和為sn，已知，且s100，則使不等式成立的正整數(shù)n的最小值是a9b10c11d1210已知等差數(shù)列的前項和為，且，則_11設(shè)等差數(shù)列的公差是，其前項和是，若，則的最小值是_12在等差數(shù)列中，已知,.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求.13已知等差數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當(dāng)為何值時，數(shù)列的前項和取得最大值？14已知數(shù)列中，是它的前項和，且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求的前項和.15已知正項數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項積，試求的最小值.1（2017浙江）已知等差數(shù)列an的公差為d，前

16、n項和為sn，則“d>0”是“s4 + s6>2s5”的a充分不必要條件 b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件2（2019年高考全國iii卷文數(shù)）記為等差數(shù)列的前項和，若，則_.3（2019年高考江蘇卷）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是_4（2019年高考全國i卷文數(shù)）記sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知s9=-a5（1）若a3=4，求an的通項公式；（2）若a1>0，求使得snan的n的取值范圍5（2016新課標全國ii文科）等差數(shù)列中，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前10項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如0.9=0，2.6=2變式拓

17、展1【解析】（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，有，則，于是，又，由相加得，即.（2）由，得當(dāng)時，所以，并整理，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列【名師點睛】本題主要考查了倒序相加法，以及等差數(shù)列的證明，屬于中檔題.等差數(shù)列的證明常常運用以下兩種方法：（1）定義法，通過證明（為常數(shù)，）即可；（2）等差中項法：通過證明其滿足即可.2【答案】c【解析】根據(jù)題意，數(shù)列an是等差數(shù)列，且a13，公差d2，所以ana1+（n1）d3+2n22n+1，又因為am2m+1a1+a2+a3+a4+a55a335（mn*），所以m17，故選c【名師點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式，準確計算是關(guān)鍵，屬于

18、基礎(chǔ)題依題意an2n+1，且a1+a2+a3+a4+a55a335，令am35解方程即可3【解析】（1）由等差數(shù)列的前n項和公式可得，解得，則的通項公式為.（2）為等差數(shù)列，以1為首項，以為公差的等差數(shù)列，.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求解，以及等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計算能力4【解析】（1）由，及，聯(lián)立解得，所以（2）由（1）知，可得當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的基本量的運算，以及等差數(shù)列中絕對值的和的求解，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項，以及合理分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題5

19、【答案】d【解析】由題意得：，又，即，.本題正確選項為d.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用中項的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為中間項之間的比較.6【答案】c【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為等差數(shù)列的前項和有最大值，所以，又，所以，且，所以，所以滿足的最大正整數(shù)的值為10.【名師點睛】本題主要考查使等差數(shù)列前項和最大的整數(shù)，熟記等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.求解時，先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)前項和有最大值，得到，再由，得到，且，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及性質(zhì)，即可得出結(jié)果.考點沖關(guān)1【答案】a【解析】因為為等差數(shù)列，所以，所以選擇a.【名師點睛】本題主要考查了等差

20、數(shù)列比較重要的一個性質(zhì)；在等差數(shù)列中，若，則，屬于基礎(chǔ)題.2【答案】b【解析】由題意得，所以為等差數(shù)列，且公差為，所以，則，故選擇b.【名師點睛】本題主要考查了判斷是否為等差數(shù)列以及等差數(shù)列通項的求法，屬于基礎(chǔ)題.求解本題時，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出通項公式即可.3【答案】b【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得，而，所以，所以，故選b4【答案】b【解析】由數(shù)列滿足，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，所以，所以，故選b【名師點睛】該題考查的是有關(guān)對數(shù)值的求解問題，涉及到的知識點有指數(shù)式的運算性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)，對數(shù)值的求解，屬于簡單題目.利用已知條件判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，求出公差，

21、利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求解即可.5【答案】b【解析】當(dāng)時，;當(dāng)時，又時，滿足通項公式，所以此數(shù)列為等差數(shù)列.故選b.【名師點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列前n項和求數(shù)列通項，注意檢驗時的公式對是否適用.6【答案】b【解析】因為，所以所以數(shù)列為等差數(shù)列，因為，因為，因此，故選b【名師點睛】先根據(jù)等差數(shù)列的定義及其通項公式得出，再根據(jù)正項數(shù)列條件得an，即得a6.證明或判斷為等差數(shù)列的方法：(1)用定義證明：為常數(shù)）；(2)用等差中項證明：；(3)通項法：為的一次函數(shù)；(4)前項和法：.7【答案】c【解析】設(shè)首項為，公差為，則根據(jù)題意可得，解得則兩個人所得金相差數(shù)額絕對值的最小值是斤.本題選擇c選項.【名師

22、點睛】本題主要考查等差數(shù)列及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求解時，由題意將原問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，列方程組可得，結(jié)合題意可確定兩個人所得金相差數(shù)額絕對值的最小值.8【答案】a【解析】由題意得：，所以，又因為函數(shù)單調(diào)且為奇函數(shù)，所以，即，即，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，故答案為a【名師點睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)，本題能得出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9【答案】c【解析】在等差數(shù)列an中，由s100，得，則又，可知數(shù)列an為遞增數(shù)列，則又，當(dāng)n10時，0，當(dāng)n11時，使不等式成立的正整數(shù)n的最小值是11故選c【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前項和公式、等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，還考查了

23、轉(zhuǎn)化能力及數(shù)列的單調(diào)性應(yīng)用，屬于中檔題.10【答案】【解析】等差數(shù)列中，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則【名師點睛】根據(jù)等差數(shù)列中下標和的性質(zhì)與前n項和公式求解，即若，則，這個性質(zhì)經(jīng)常和前n項和公式結(jié)合在一起應(yīng)用，利用整體代換的方法可使得運算簡單11【答案】【解析】由，可知，則(當(dāng)且僅當(dāng)n=4時取等號)故填12【解析】（1）因為是等差數(shù)列，,所以解得.則,. （2）構(gòu)成首項為,公差為的等差數(shù)列.則.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.（1）將已知條件轉(zhuǎn)為關(guān)于首項和公差的方程組，解方程組求出，進而可求通項公式；（2）由已知可得構(gòu)成首項為,公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前

24、n項和公式計算即可.13【解析】（1）由題意，等差數(shù)列中，則，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）法一：由（1）知，則，當(dāng)時，取得最大值法二：由（1）知，是遞減數(shù)列令，則，解得.，時，時，.當(dāng)時，取得最大值【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式求解，以及等差數(shù)列的前n項和的最值問題，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列的前n項和的最值問題的求解方法，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題14【解析】（1）當(dāng)時，所以，則，兩式對應(yīng)相減得，所以，又n=2時，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列.（2）當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.綜上：.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查等差數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.（1）先化簡已知得，再求出，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）對n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論得解.15【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，有，又，又，.當(dāng)時，有且，又，兩式相減，化簡得：，又，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，設(shè)，則數(shù)列