人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：圓錐曲線中點弦、垂直平分線_20210103224734

1、圓錐曲線中點弦垂直平分線知識講解一、弦的垂直平分線問題1.垂直問題：一般是利用斜率公式及韋達定理求解，設(shè)、是直線與曲線的兩個交點，為坐標(biāo)原點，1）則，2） 若,則2.弦中點問題：除利用韋達定理外，也可以運用“代點作差法”，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法.1）設(shè)橢圓或雙曲線方程： 上兩點，的中點為，則3）掌握拋物線上兩點連線的斜率公式3.設(shè)而不求法：解析幾何的運算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設(shè)弦的兩個端點,弦中點為，將點坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后

2、，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法具體有：1）與直線相交于a、b，設(shè)弦ab中點為m(x0,y0)，則有2）與直線l相交于a、b，設(shè)弦ab中點為m(x0,y0)則有3）y2=2px（p>0）與直線l相交于a、b設(shè)弦ab中點為m(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.二、中點弦?？碱}型1.設(shè),注意一般只有弦與橢圓相交的兩點才設(shè)為的,其它點不要隨便設(shè)為.為弦的中點.設(shè)直線方程為,不要設(shè)為,因為在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中會出現(xiàn).聯(lián)立直線與橢圓方程消去,得,即設(shè),則中的高次項是可消去的. (由求分子是可消去的)故中點的坐標(biāo)為定點設(shè)為，則故，2.以為鄰邊的平行四邊形的頂點在橢圓

3、上易知點坐標(biāo) 注意: 不能把代入方程中求,因為點不在直線上.由求分子是可消去的.故在橢圓上.則兩邊同時乘以得3.弦的垂直平分線交軸分別為點中點的坐標(biāo)為垂直平分線方程為令,得到點坐標(biāo)為令,得到點坐標(biāo)為經(jīng)典例題一選擇題（共3小題）1若橢圓mx2+ny2=1與y=1x交于a、b兩點，過原點與線段ab中點連線的斜率為2，則mn的值等于（）a2b22c3d33【解答】解：設(shè)a（x1，y1）b（x2，y2），線段ab的中點m（x0，y0），由題意可得y1+y2x1+x2=y0x0=2，y2-y1x2-x1=-1（1）因為a，b在橢圓上所以mx12+ny12=1，mx22+ny22=1兩式相減可得m（x1x

4、2）（x1+x2）+n（y1y2）（y1+y2）=0（2）（1）（2）聯(lián)立可得mn=2故選：a2阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一個未知量（圖形的體積或面積），先將它分成許多微小的量（如面分成線段，體積分成薄片等），再用另一組微小單元來進行比較如圖，已知拋物線y=14x2，直線l：x2y+4=0與拋物線交于a、c兩點，弦ac的中點為d，過d作直線平行于拋物線的對稱軸oy，交拋物線于點b，則拋物線弓形abcd的面積與abc的面積之比是（）a34b43c23d32【解答】解：聯(lián)立&y=14x2&x-2y+4=0，得x22x8=0，解得：xa=2，xc=4則ya=1，yc=4又弦

5、ac的中點為d，xd=-2+42=1，則xb=1，yb=14|ac|=(4+2)2+(4-1)2=35b到直線l的距離d=|1×1-2×14+4|12+(-2)2=9105s=12×35×9105=274弓形abcd的面積為：12(1+4)×6-2414x2dx=15-112x3|-24=15-11243+112(-2)3=9拋物線弓形abcd的面積與abc的面積之比是43故選：b3拋物線y2=8x的焦點為f，準(zhǔn)線為l，a，b是拋物線上的兩個動點，且滿足afb=23，過線段ab的中點m作直線l的垂線，垂足為n，則|mn|ab|的最大值，是（）a

6、34b33c32d3【解答】解：設(shè)|af|=a，|bf|=b，連接af、bf，由拋物線定義，得|af|=|aq|，|bf|=|bp|，在梯形abpq中，2|mn|=|aq|+|bp|=a+b由余弦定理得，|ab|2=a2+b22abcos120°=a2+b2+ab，配方得，|ab|2=（a+b）2ab，又ab（a+b2）2，（a+b）2ab（a+b）214（a+b）2=34（a+b）2得到|ab|32（a+b）|mn|ab|1212(a+b)32(a+b)=33，即|mn|ab|的最大值為33故選：b二填空題（共3小題）4已知點（1，1）是橢圓x24+y22=1某條弦的中點，則此弦所

7、在的直線方程為：x+2y3=0【解答】解：設(shè)以a（1，1）為中點橢圓的弦與橢圓交于e（x1，y1），f（x2，y2），a（1，1）為ef中點，x1+x2=2，y1+y2=2，把e（x1，y1），f（x2，y2）分別代入橢圓x24+y22=1，可得x124+y122=1，x224+y222=1兩式相減，可得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，2（x1x2）+4（y1y2）=0，k=y1-y2x1-x2=12以a（1，1）為中點橢圓的弦所在的直線方程為：y1=12（x1），整理，得x+2y3=0故答案為：x+2y3=05已知m，n，s，tr+，m+n=2，ms+nt=9，

8、其中m、n是常數(shù)，當(dāng)s+t取最小值49時，m、n對應(yīng)的點（m，n）是雙曲線x24-y22=1一條弦的中點，則此弦所在的直線方程為x2y+1=0【解答】解：由已知得s+t=19(s+t)(ms+nt)=19(m+n+mts+nst)19(m+n+2mn)=19(m+n)2，由于s+t的最小值是49，因此19(m+n)2=49，m+n=2，又m+n=2，所以m=n=1設(shè)以點（m，n）為中點的弦的兩個端點的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），則有x1+x22=y1+y22=1，即x1+x2=y1+y2=2又該兩點在雙曲線上，則有x124-y122=1，x224-y222=1，兩式相減得(x1+

9、x2)(x1-x2)4-(y1+y2)(y1-y2)2=0，把代入得y1-y2x1-x2=12，即所求直線的斜率是12，所求直線的方程是y-1=12(x-1)，即x2y+1=0故答案為x2y+1=06橢圓e：x216+y24=1內(nèi)有一點p（2，1），則經(jīng)過p并且以p為中點的弦所在直線方程為x+2y4=0【解答】解：設(shè)所求直線與橢圓相交于a（x1，y1），b（x2，y2），則x1216+y124=1，x2216+y224=1兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)4=0又x1+x2=4，y1+y2=2，kab=y1-y2x1-x2=-12因此所求直線方程為y1=1

10、2（x2），即x+2y4=0故答案為：x+2y4=0三解答題（共7小題）7已知拋物線c：y2=2px（p0）過點a（2，4），（）求拋物線c的方程，并求其準(zhǔn)線l方程；（）若點b（1，2），直線l過點b且與拋物線c交于p、q兩點，若點b為pq中點，求直線l的方程【解答】解：（ i）由拋物線c：y2=2px（p0）過點a（2，4），解得p=4拋物線c的方程為y2=8x，其準(zhǔn)線l方程為x=2；（ ii）顯然，直線l的斜率不存在或直線l的斜率為0均不符合題意，（4分）故可設(shè)直線l的方程為y2=k（x1），設(shè)p（x1，y1），q（x2，y2），由題意可知：y12=8x1，y22=8x2，y12y22=8

11、x18x2，k=y1-y2x1-x2=8y1+y2=2所以，直線l的方程為2xy=0 （12分）8在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓e：x2a2+y2b2=1（ab0）經(jīng)過點（2，2），離心率為22（）求e的方程；（）過e的左焦點f且斜率不為0的直線l與e相交于a，b兩點，線段ab的中點為c，直線oc與直線x=4相交于點d，若adf為等腰直角三角形，求l的方程【解答】解：（）依題意，得e=ca=22，a2=b2+c2，4a2+2b2=1，解得b=c=2，a=22，所以e的方程為x28+y24=1；（）易得f（2，0），可設(shè)直線l的方程為x=ky2，a（x1，y1），b（x2，y2），聯(lián)立方程組

12、x=ky2和x2+2y2=8，消去x，整理得（k2+2）y24ky4=0，由韋達定理，得y1+y2=4k2+k2，y1y2=42+k2，所以y1+y22=2k2+k2，x1+x22=k(y1+y2)22=42+k2，即c（42+k2，2k2+k2），所以直線oc的方程為y=k2x，令x=4，得y=2k，即d（4，2k），所以直線df的斜率為2k-0-4+2=k，所以直線df與l恒保持垂直關(guān)系，故若adf為等腰直角三角形，只需|af|=|df|，即4+4k2=(x1+2)2+y12=(1+k2)y12，解得y1=±2，又x128+y124=1，所以x1=0，所以k=±1，從而

13、直線l的方程為：xy+2=0或x+y+2=09過橢圓x216+y24=1內(nèi)一點m（2，1）引一條弦，使弦被m點平分，求這條弦所在直線的方程【解答】解：設(shè)直線與橢圓的交點為a（x1，y1）、b（x2，y2）m（2，1）為ab的中點x1+x2=4，y1+y2=2又a、b兩點在橢圓上，則x12+4y12=16，x22+4y22=16兩式相減得(x12-x22)+4(y12-y22)=0于是（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0y1-y2x1-x2=-x1+x24(y1+y2)=-44×2=-12，即kab=-12，故所求直線的方程為y-1=-12(x-2)，即x+2y

14、4=010已知點p是圓f1：（x+1）2+y2=16上任意一點（f1是圓心），點f2與點f1關(guān)于原點對稱線段pf2的中垂線m分別與pf1、pf2交于m、n兩點（i）求點m的軌跡c的方程；（）直線l經(jīng)過f2，與拋物線y2=4x交于a1，a2兩點，與c交于b1，b2兩點當(dāng)以b1b2為直徑的圓經(jīng)過f1時，求|a1a2|【解答】解：（i）由題意得，f1（1，0），f2（1，0），圓f1的半徑為4，且|mf2|=|mp|，從而|mf1|+|mf2|=|mf1|+|mp|=|pf1|=4|f1f2|，（2分）點m的軌跡是以f1，f2為焦點的橢圓，（4分）其中長軸2a=4，得到a=2，焦距2c=2，則短半軸

15、b=3，橢圓方程為：x24+y23=1 （5分）（）當(dāng)直線l 與x軸垂直時，b1（1，32），b2（1，32），又f1（1，0），此時b1f1b2f10，所以以b1b2為直徑的圓不經(jīng)過f1不滿足條件（6分）當(dāng)直線l 不與x軸垂直時，設(shè)l：y=k（x1）由&y=k(x-1)&x24+y23=1即（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因為焦點在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個交點設(shè)b1（x1，y1），b2（x2，y2），則：x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，因為以b1b2為直徑的圓經(jīng)過f1，所以b1f1b2f1=0，又f1（1，0）所以（1x1）（1x2）

16、+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=97，（8分）由&y2=4x&y=k(x-1)得k2x2（2k2+4）x+k2=0因為直線l 與拋物線有兩個交點，所以k0，設(shè)a1（x3，y3），a2（x4，y4），則：x3+x4=2k2+4k2=2+4k2，x3x4=1所以|a1a2|=x3+x4+p=2+4k2+2=649（12分）11已知直線y=12x與拋物線y2=2px（p0）交于o，a兩點（f為拋物線的焦點，o為坐標(biāo)原點），若|af|=17，求oa的垂直平分線的方程【解答】解：由題意可得：f（0.5p，0），由y=x2，得：x

17、=2y，可得：y2=2px=2p2y，可得：y=4p，x=8p，可得：a（8p，4p），（4p0）2+（8p0.5p）2=af2=172，72.25p2=172，p0，可解得：p=2，oa的垂直平分線的方程是：y4p=2（x2p），即y4=2（x8）化簡后一般式為：2x+y20=012已知拋物線c：y=mx2（m0），焦點為f，直線2xy+2=0交拋物線c于a，b兩點，p是線段ab的中點，過p作x軸的垂線交拋物線c于點q，abq是以q為直角頂點的直角三角形，求拋物線的方程【解答】解：聯(lián)立方程&y=mx2&2x-y+2=0，消去y得mx22x2=0，依題意，有=（2）24

18、5;m×（2）0，解得m12，設(shè)a（x1，mx12），b（x2，mx22），則&x1+x2=2m&x1x2=-2m，（*）p是線段ab的中點，p（x1+x22，mx12+mx222），即p（1m，yp），q（1m，1m）得qa=（x11m，mx121m），qb=（x21m，mx221m），若存在實數(shù)m，使abq是以q為直角頂點的直角三角形，則qaqb=0，即（x11m）（x21m）+（x121m）（mx221m）=0，結(jié)合（*）化簡得4m26m+4=0，即2m23m2=0，m=2或m=12，而2（12，+），12（12，+）m=2拋物線的方程y=2x213已知拋物線y2=2px（p0）的焦點為f，a是