人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：冪函數(shù)與二次函數(shù)_20210103224738

1、冪函數(shù)與二次函數(shù)知識(shí)講解一、冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)(我們只討論a是有理數(shù)的情況)2.冪函數(shù)的圖象冪函數(shù)1）當(dāng)時(shí)的圖象見下圖；2）當(dāng)時(shí)的圖象見下圖：3.由圖象可知，對(duì)于冪函數(shù)而言，它們都具有下列性質(zhì)： 有下列性質(zhì)：1）時(shí)：圖象都通過(guò)點(diǎn)，；在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨的增大而增大，即在上是增函數(shù)2）時(shí)：圖象都通過(guò)點(diǎn)；在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨的增大而減小，即在上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上與軸無(wú)限地接近，向右與軸無(wú)限地接近3）任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸至多只有一個(gè)交點(diǎn)；4）任何冪函數(shù)圖象都不經(jīng)過(guò)第四象限；5）任何兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有三個(gè)交點(diǎn)二、二次函

2、數(shù)1.定義：函數(shù)叫做二次函數(shù)2.表現(xiàn)形式一般式：頂點(diǎn)式：，其中為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)兩根式：3.二次函數(shù)的性質(zhì)1）開口方向： 2）對(duì)稱軸：（或）3）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（或）4）最值： 時(shí)有最小值（或）（如圖1）； 時(shí)有最大值（或）（如圖2）；5）單調(diào)性：二次函數(shù)（）的變化情況（增減性） 如圖1所示，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)，隨著的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大； 如圖2所示，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)，隨著的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而減?。?）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： 與軸的交點(diǎn)：（0，c）； 與軸的交點(diǎn)：使方程（或）成立的值4.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系1）決定拋物線的開口方向當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)時(shí)，拋

3、物線開口向下反之亦然決定拋物線的開口大?。涸酱?，拋物線開口越?。辉叫?，拋物線開口越大注意：幾條拋物線的解析式中，若相等，則其形狀相同，即若相等，則開口及形狀相同，若互為相反數(shù)，則形狀相同、開口相反2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置（拋物線的對(duì)稱軸：）當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為軸；當(dāng)、同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)；當(dāng)、異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸的右側(cè)3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置（拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為）當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在軸的正半軸；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸經(jīng)典例題一選擇題（共11小題）1已知點(diǎn)(a，18)在冪函數(shù)f（x）=（a1）xb的圖象上，則函數(shù)f（x）是（）a定義域內(nèi)的減函數(shù)b奇

4、函數(shù)c偶函數(shù)d定義域內(nèi)的增函數(shù)【解答】解：點(diǎn)（a，18）在冪函數(shù)f（x）=（a1）xb的圖象上，a1=1，解得a=2；故2b=18，解得b=3，f（x）=x3；函數(shù)f（x）是定義域上的奇函數(shù)，且在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)故選：b2如果冪函數(shù)f（x）=x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，19)，則=（）a2b2c-12d12【解答】解：冪函數(shù)f（x）=x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，19)，則3=19，解得=2故選：a3函數(shù)y=x32的圖象是（）abcd【解答】解：函數(shù)y=x32的定義域是0，+），排除選項(xiàng)a和b，又321，曲線應(yīng)該是下凸型遞增拋物線故選：c4若三個(gè)冪函數(shù)y=xa，y=xb，y=xc在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示

5、，則a，b，c的大小關(guān)系是（）acbabcabcabcdacb【解答】解：y=xa，單調(diào)遞增，且當(dāng)x1時(shí)，在直線y=x的上方，a1，y=xb，單調(diào)遞增，且當(dāng)x1時(shí)，在直線y=x的下方，0b1，y=xc，單調(diào)遞減，且當(dāng)x1時(shí)，在直線y=x的下方，c0；abc故選：c5若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，12），則f（14）的值是（）a4b3c2d1【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=x，其圖象過(guò)點(diǎn)（4，12），4=12，解得=12；f（x）=x-12，f（14）=(14)-12=2故選：c6已知函數(shù)f（x）=x2m定義在區(qū)間3m，m2m上的奇函數(shù)，則下面成立的是（）af（m）f（0）bf（m）=f（0）

6、cf（m）f（0）df（m）與f（0）大小不確定【解答】解：函數(shù)f（x）=x2m定義在區(qū)間3m，m2m上的奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即3m+m2m=0，且m2m（3m）0，m22m3=0且m2+30，即m=1或m=3當(dāng)m=1時(shí)，區(qū)間2，2，f（x）=x2m=x3為奇函數(shù)，滿足條件，且此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，滿足f（m）f（0）當(dāng)m=3時(shí)，區(qū)間為6，6，f（x）=x2m=x1為奇函數(shù)，滿足條件，但此時(shí)f（0）無(wú)意義，故m=3不成立，綜上m=3，則f（m）f（0）綜上：選a故選：a7若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，19），則log2f（2）=（）a4b4c2d2【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=x，冪函

7、數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，19），f（3）=3=19=32則=2，即f（x）=x2，則log2f（2）=log222=2，故選：d8已知冪函數(shù)f（x）=（m2m5）x2m+3在（0，+）上減函數(shù)，則m等于（）a3b4c2d2或3【解答】解：冪函數(shù)f（x）=（m2m5）x2m+3在（0，+）上是減函數(shù)，&m2-m-5=1&2m+30，解得&m=3或m=-2&m-32，即m=2故選：c9冪函數(shù)y=x|m1|與y=x3m-m2在（0，+）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足條件的整數(shù)m的值為（）a0b1和2c2d0和3【解答】解：冪函數(shù)y=x|m1|與y=x3m-m2在（0，

8、+）上都是單調(diào)遞增函數(shù)，&|m-1|0&3m-m20，解得&m1&0m3；滿足條件的整數(shù)m的值是2故選：c10函數(shù)f（x）=（cosx）|lg|x|的部分圖象是（）abcd【解答】解析：因?yàn)閒（x）=（cosx）|lg|x|f（x）=（cos（x）|lg|x|=f（x），故是偶函數(shù)，由此可確定是a或c選項(xiàng)中的一個(gè)，下用特殊值法判斷，通過(guò)分離函數(shù)得f1（x）=cosx，f2（x）=|lg|x|，由于f2（x）=|lg|x|0，觀察函數(shù)f1（x）=cosx的符號(hào)即可，由于x（2，0）（0，2）時(shí)，f1（x）=cosx0，表明函數(shù)圖象在x（2，0）（0，2）時(shí)位于x軸

9、下方，可以得到正確結(jié)果：答案：c故選：c11若a=0.512，b=0.513，c=0.514，則a，b，c的大小關(guān)系為（）aabcbabccacbdacb【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=0.5x，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=0.5x，為單調(diào)遞減函數(shù)且121314，所以f(12)f(13)f(14)，即0.5120.5130.514，所以abc故選：b二填空題（共5小題）12已知冪函數(shù)f（x）=xm2-2m-3（mz）在區(qū)間（0，+）上是單調(diào)減函數(shù)則滿足條件的m的值的集合是0，1，2【解答】解：（1）冪函數(shù)f（x）=xm22m3（mz）在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù)，m22m30，解得1m3，m為整數(shù)，m=0，

10、1或2，滿足條件的m的值的集合是0，1，2，故答案為：0，1，213冪函數(shù)f（x）=（m23m+3）xm的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m=2【解答】解：函數(shù)f（x）=（m23m+3）xm是冪函數(shù)，m23m+3=1，解得m=1或m=2；當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)y=x的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，舍去；當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)y=x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；實(shí)數(shù)m=2故答案為：214冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3在（0，+）上為增函數(shù)，則m=2【解答】解：函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是冪函數(shù)可得m2m1=1解得m=1或2，當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)為y=x3在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)m=2時(shí)

11、，函數(shù)為y=x3在（0，+）上單調(diào)遞增，滿足條件故答案為：215若冪函數(shù)f（x）=（a27a+13）xa1為其定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為4【解答】解：函數(shù)f（x）=（a27a+13）xa1為冪函數(shù)，故a27a+13=1，解得：a=3，或a=4，當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)f（x）=x2在（，0上為單調(diào)遞減函數(shù)，不滿足要求，當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f（x）=x3在定義域r上為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足要求，故a=4，故答案為：416“m=1”是“冪函數(shù)f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上單調(diào)遞減”的充分不必要條件【解答】解：當(dāng)“m=1”時(shí)，“冪函數(shù)f（x）=x2在（0，+）上單調(diào)遞減”，故“m=1”是“冪函

12、數(shù)f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上單調(diào)遞減”的充分條件；當(dāng)“冪函數(shù)f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上單調(diào)遞減”時(shí)，m22m10，解得m（12，1+2），此時(shí)“m=1”不一定成立，故“m=1”是“冪函數(shù)f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上單調(diào)遞減”的不必要條件，綜上所述，故“m=1”是“冪函數(shù)f（x）=xm2-2m-1在（0，+）上單調(diào)遞減”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要三解答題（共2小題）17已知函數(shù)f（x）=xn，若f（a+1）f（102a），（1）當(dāng)n=3時(shí)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)n=35，23時(shí)，求a的取值范圍【解答】解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，f（x）=x3=1x

13、3，則函數(shù)在（0，+）上為減函數(shù)，在（，0）上也減函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，若&a+10&10-2a0，即&a-1&a5，此時(shí)a1若&a+10&10-2a0&a+110-2a，即&a-1&a5&a3，解得3a5，若&a+10&10-2a0&a+110-2a，即&a-1&a5&a3，此時(shí)無(wú)解，綜上3a5或a1（2）當(dāng)n=35時(shí)，f（x）=x-35=13x5，則函數(shù)在（0，+）上為減函數(shù)，在（，0）上也減函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，當(dāng)x0時(shí)，f（x

14、）0，若&a+10&10-2a0，即&a-1&a5，此時(shí)a1若&a+10&10-2a0&a+110-2a，即&a-1&a5&a3，解得3a5，若&a+10&10-2a0&a+110-2a，即&a-1&a5&a3，此時(shí)無(wú)解，綜上3a5或a1當(dāng)n=23時(shí)，f（x）=x-23=1x23=13x2為增函數(shù)，且在在（0，+）上為減函數(shù)，則f（a+1）f（102a），等價(jià)為f（|a+1|）f（|102a|），即|a+1|2）|102a|20則平方得a214a+330且102a0，即3a11且a5，即a的取值范圍是3a11且a518已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（3，13），（1