高三數(shù)學人教版A版數(shù)學（理）高考一輪復習教案：3.7 正弦定理和余弦定理 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第七節(jié)正弦定理和余弦定理正、余弦定理掌握正、余弦定理的內(nèi)容，并能解決一些簡單的三角形度量問題知識點正弦定理和余弦定理1正弦定理2r，其中r是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_asin_bsin_c.(2)a2rsin_a，b2rsinb，c2rsin_c.2余弦定理a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c余弦定理可以變形：cos a，cos b，cos c.3三角形中常用的面積公式(1)sah(h表示邊a上的高)(2)sbcsin aacsin babsin c.(3)sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半

2、徑)易誤提醒(1)由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角時易忽視解的判斷(2)在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解必記結(jié)論三角形中的常用結(jié)論(1)abc，.(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)在abc中，tan atan btan ctan a·tan b·tan c(a，b，c)自測練習1已知abc中，a，b，c的對邊分別為a，b，c，若ac，且a75°，則b()a2 b42c42 d.解析：在abc中，易知b30°，由余弦定理b2a2c

3、22accos 30°4.b2.答案：a2在abc中，若a60°，b45°，bc3，則ac()a4 b2c. d.解析：在abc中，根據(jù)正弦定理，得，ac2.答案：b3abc中，b120°，ac7，ab5，則abc的面積為_解析：由余弦定理知ac2ab2bc22ab·bccos 120°，即4925bc25bc，解得bc3.故sabcab·bcsin 120°×5×3×.答案：考點一利用正弦、余弦定理解三角形|1(2015·高考廣東卷)設abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，

4、b，c.若a2，c2，cos a且b<c，則b()a3b2c2 d.解析：由余弦定理a2b2c22bccos a，即4b2126bb26b80(b2)(b4)0，由b<c，得b2.答案：c2(2015·高考安徽卷)在abc中，ab，a75°，b45°，則ac_.解析：因為a75°，b45°，所以c60°，由正弦定理可得，解得ac2.答案：23(2015·高考福建卷)若銳角abc的面積為10，且ab5，ac8，則bc等于_解析：因為abc的面積sabcab·acsin a，所以10×5×

5、;8×sin a，解得sin a，因為角a為銳角，所以cos a.根據(jù)余弦定理，得bc252822×5×8×cos a52822×5×8×49，所以bc7.答案：7正、余弦定理的應用原則(1)正弦定理是一個連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達到解決問題的目的，在解題時要學會靈活運用(2)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用考點二利用正、余弦定理判斷三角形形狀|(2015·沈陽模擬)在abc中，a，b，c分別為內(nèi)角a，b，c的對邊且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.

6、(1)求a的大?。?2)若sin bsin c1，試判斷abc的形狀解(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos a，bc2bc cos a，cos a.又0<a<，a.(2)由(1)知sin2asin2bsin2csin bsin c，sin2a(sin bsin c)2sin bsin c.又sin bsin c1，且sin a，sin bsin c，因此sin bsin c.又b、c，故bc.所以abc是等腰的鈍角三角形判定三角形形狀的兩條途徑(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系(2)化角為邊，

7、通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁 1在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且滿足(2bc)cos aacos c0.(1)求角a的大??；(2)若a，sabc，試判斷abc的形狀，并說明理由解：(1)法一：由(2bc)cos aacos c0及正弦定理，得(2sin bsin c)cos asin acos c0，2sin bcos asin(ac)0，sin b(2cos a1)0.0<b<，sin b0，cos a.0<a<，a.法二：由(2bc)cos aacos c0，及余弦定理，得(2bc)·0，整理，得b2c2a2b

8、c，cos a，0<a<，a.(2)abc為等邊三角形sabcbcsin a，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos a，a，a，b2c26，由得bc，abc為等邊三角形考點三三角形的面積問題|(2015·高考全國卷)abc中，d是bc上的點，ad平分bac，abd面積是adc面積的2倍(1)求；(2)若ad1，dc，求bd和ac的長解(1)sabdab·adsinbad，sadcac·adsincad.因為sabd2sadc，badcad，所以ab2ac.由正弦定理可得.(2)因為sabdsadcbddc，所以bd.在abd和adc中，由余弦

9、定理知ab2ad2bd22ad·bdcosadb，ac2ad2dc22ad·dccosadc.故ab22ac23ad2bd22dc26.由(1)知ab2ac，所以ac1.三角形面積公式的應用原則(1)對于面積公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化 2已知a，b，c分別是abc的內(nèi)角a，b，c所對的邊，且c2，c.(1)若abc的面積等于，求a，b；(2)若sin csin(ba)2sin 2a，求a的值解：(1)c2，c，由余弦定理得4a2b22abcosa2b

10、2ab，abc的面積等于，absin c，ab4，聯(lián)立，解得a2，b2.(2)sin csin(ba)2sin 2a，sin(ba)sin(ba)4sin acos a，sin bcos a2sin acos a，當cos a0時，a；當cos a0時，sin b2sin a，由正弦定理得b2a，聯(lián)立，解得a，b，b2a2c2，c，a.綜上所述，a或a.7.三角變換不等價致誤【典例】在abc中，若(a2b2)sin(ab)(a2b2)·sin(ab)，試判斷abc的形狀解(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，b2sin(ab)sin(ab)a2sin(ab)sin(a

11、b)，2sin acos b·b22cos asin b·a2，即a2cos asin bb2sin acosb.法一：由正弦定理知a2rsin a，b2rsin b，sin2acos asin bsin2bsin acos b，又sin a·sin b0，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b.在abc中，0<2a<2，0<2b<2，2a2b或2a2b，ab或ab.abc為等腰三角形或直角三角形法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，

12、a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.abc為等腰三角形或直角三角形易誤點評(1)從兩個角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補情形(2)代數(shù)運算中兩邊同除一個可能為0的式子，導致漏解(3)結(jié)論表述不規(guī)范防范措施(1)判斷三角形形狀要對所給的邊角關(guān)系式進行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?，然后進行判斷(2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時，要注意利用誘導公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況跟蹤練習在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且tan atan b.(1)求角b的大?。?2)已知3，求sin

13、 asin c的值解：(1)tan atan b，tan atan b，cos b，0<b<，b.(2)，3，3，即3，2，而，sin asin c.a組考點能力演練1(2016·蘭州一模)在銳角abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若b2asin b，則a()a30° b45°c60° d75°解析：因為在銳角abc中，b2asin b，由正弦定理得，sin b2sin asin b，所以sin a，又0<a<，所以a30°，故選a.答案：a2在abc中，三內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，面積為

14、s，若sa2(bc)2，則cos a等于()a. bc. d解析：sa2(bc)2a2b2c22bc，由余弦定理得sin a1cos a，結(jié)合sin2acos2a1，可得cos a.答案：d3已知abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，則abc的面積為()a. b1c. d2解析：a2b2c2bc，cos a，a，又bc4，abc的面積為bcsin a，故選c.答案：c4在abc中，角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，若c1，b45°，cos a，則b等于()a. b.c. d.解析：因為cos a，所以sin a，所以sin csin(ab)s

15、in(ab)sin acos bcos a·sin bcos 45°sin 45°.由正弦定理，得b×sin 45°.答案：c5(2015·唐山一模)在直角梯形abcd中，abcd，abc90°，ab2bc2cd，則cosdac()a. b.c. d.解析：由已知條件可得圖形，如圖所示，設cda，在acd中，cd2ad2ac22ad×ac×cosdac，a2(a)2(a)22×a×a×cosdac，cosdac.答案：b6(2015·高考重慶卷)設abc的內(nèi)角a，b

16、，c的對邊分別為a，b，c，且a2，cos c，3sin a2sin b，則c_.解析：由3sin a2sin b及正弦定理，得3a2b，所以ba3.由余弦定理cos c，得，解得c4.答案：47(2015·高考北京卷)在abc中，a4，b5，c6，則_.解析：由正弦定理得sin asin bsin cabc456，又由余弦定理知cos a，所以2××cos a2××1.答案：18在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知sin asin bsin bsin ccos 2b1.若c，則_.解析：sin asin bsin bsin c

17、cos 2b1，sin asin bsin bsin c2sin2b.由正弦定理可得abbc2b2，即ac2b，c2ba，c，由余弦定理可得(2ba)2a2b22abcos，可得5a3b，.答案：9在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且2asin b5c，cos b.(1)求角a的大?。?2)設bc邊的中點為d，|ad|，求abc的面積解：(1)由cos b得sin b.又2asin b5c，代入得3a7c，由得3sin a7sin c，3sin a7sin(ab)，3sin a7sin acos b7cos asin b，得tan a，a.(2)ab2bd22ab·b

18、dcos b，c222c·c·，c3，則a7.sacsin b×3×7×.10(2016·杭州模擬)設abc的內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且acos ccb.(1)求角a的大??；(2)若a1，求abc周長的取值范圍解：(1)由acos ccb得sin acos csin csinb.又sin bsin(ac)sin acos ccos asin c，所以sin ccos asin c.因為sin c0，所以cos a.又因為0<a<，所以a.(2)由正弦定理得bsin b，csin c.labc1(sin bs

19、in c)1sin bsin(ab)11sin.因為a，所以b，所以b.所以sin.所以abc的周長的取值范圍為.b組高考題型專練1(2015·高考廣東卷)設abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若a，sin b，c，則b_.解析：由sin b得b或，因為c，所以b，所以b，于是a.由正弦定理，得，所以b1.答案：12(2015·高考天津卷)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知abc的面積為3，bc2，cos a，則a的值為_解析：由cos a得sin a，所以abc的面積為bcsin abc×3，解得bc24，又bc2，所以a2b2c22bccos a(bc)22bc2bccos a222×242×24×64，故a8.答案：83(2015·高考課標卷)已知a，b，c分別為abc內(nèi)角a，b，c的對邊，sin2b2sin asin c.(1)若ab，求cos b；(2)設b90°，且a，求abc的面積解：(1)由題設及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b