人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：幾何證明選講

1、幾何證明選講知識講解一、相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1.平行線等分線段定理定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰2.平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例3.相似三角形的判定及性質(zhì)1）相似三角形的判定定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其

2、他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 判定定理1：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：兩邊對應(yīng)_成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3：對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似 2）兩個(gè)直角三角形相似的判定定理：如果兩個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么它們相似如果

3、兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 3）相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；相似三角形外接圓(或內(nèi)切圓)的直徑比、周長比等于相似比，外接圓(或內(nèi)切圓)的面積比等于相似比的平方4.直角三角形的射影定理定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)二、直線與圓的位置關(guān)系1.圓周角定理圓周角定理：圓

4、上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑 2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理1）性質(zhì)定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角2）判定判定定理：如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓3.三角形的內(nèi)切圓1）三角形的內(nèi)切圓：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫

5、做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形2）多邊形的內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形3）直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系設(shè)、分別為中、的對邊，面積為，則內(nèi)切圓半徑為，若，則 4.圓的切線的性質(zhì)及判定定理1）性質(zhì)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心2）判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線5.弦切角的性質(zhì)定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角6.與圓有關(guān)的比例線段1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積 相等如圖，弦和

6、交于內(nèi)一點(diǎn)，則2） 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等3） 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)如圖，在中，是的切線，是的割線，則題意中滿足 4）切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角 經(jīng)典例題一選擇題（共2小題）1如圖，在abc中，acb=90°，cab=，m為ab的中點(diǎn)將acm沿著cm翻折至a'cm，使得a'mmb，則的取值不可能為（）a9b6c5d3【解答】解：如圖所示，把a(bǔ)cm繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，一直旋轉(zhuǎn)到平面abc里

7、面，這時(shí)a在a“位置，這時(shí)amn=9+9=29=a“mn，a“mb=-49=59，此時(shí)，a“mb是直線am和bm所成的最小角，592不成立，的取值不可能為9故選：a2如圖，在abc中，debc，efcd，若bc=3，de=2，df=1，則ab的長為（）a3b4c4.5d5【解答】解：由debc，efcd得到：aeac=debc=23，所以aeec=2=affd，則af=2，所以ad=af+df=3，由debc得到：adae=debc，即3ab=23，所以ab=4.5故選：c二填空題（共10小題）3如圖，abc中，adbc，連接cd交ab于點(diǎn)e，且ae：eb=1：2，過點(diǎn)e作efbc交ac于點(diǎn)f

8、，若sade=1，則saef=23【解答】解：abc中，adbc，連接cd交ab于點(diǎn)e，且ae：eb=1：2，adebce，aebe=12，sadesbce=（aebe）2=14，sade=1，sbce=4，過點(diǎn)e作efbc交ac于點(diǎn)f，aefabc，aeab=13，saefsabc=（aeab）2=19，saefsaef+4+scef=19，efbcad，cefcad，cecd=23，scefscad=（cecd）2=49，scefscef+1+saef=49，聯(lián)立，得saef=23，scef=43故答案為：234如圖，在abc中，b=2，bac的平分線交bc于點(diǎn)d，ad=2，ac=6，則a

9、bc的面積為334【解答】解：設(shè)ab=a，bad=，在abc中，b=2，bac的平分線交bc于點(diǎn)d，ad=2，ac=6，&acos=ad=2&acos2=ac=6，整理，得cos2cos=2cos2cos=2cos1cos=33，設(shè)cos=x，解方程2x1x=33，解x=32，或x=33，0°90°，x0，cos=32，ab=a=adcos=32×2=62，bc=ac2-ab2=322，abc的面積為s=12×ab×ac=12×62×322=334故答案為：3345如圖所示，在四邊形abcb'中，ab

10、cab'c，abab'，cosbcb'=34，bc=27，則bcb'外接圓的面積為8【解答】解：由題意，bb2=28+282×27×27×34=14，bb=14，cosbcb'=34，sinbcb'=74，2r=1474=42，r=22，bcb'外接圓的面積為(22)2=8，故答案為86如圖，矩形abcd中，對角線ac、bd交于點(diǎn)o，點(diǎn)e是bc上一點(diǎn)，且ab=be，1=15°，則2=30°【解答】解法一：設(shè)ab=1，ab=be，abe=90°bae=45°，ae=2ba

11、c=45°+15°=60°在rtbac中，ac=2ab=2oa=12ac=1設(shè)2=，則aoe=180°12=180°（15°+）在oae中，由正弦定理可得：aosin=aesinaoe1sin=2sin(15°+)2sin=sin（15°+），展開可得：2sin=6-24cos+6+24sin，化為：tan=33，（0°，180°）=30°解法二：設(shè)ab=1，ab=be，abe=90°bae=45°，ae=2bac=45°+15°=60°

12、;又oa=ob，oab是等邊三角形be=booeb=eoboeb=12(180°-30°)=75°2=oebaeb=75°45°=30°故答案為：30°7如圖，在正方形 abcd中，f是 ad 的中點(diǎn)，bf與 ac交于點(diǎn) g，則bgc 與四邊形 cgfd的面積之比是4：5【解答】解：設(shè)afg的面積為a，點(diǎn)f是ad中點(diǎn)，af=fd=12ad=12bc，adbc，afgcbg，safgsbcg=14，sbcg=4a，fggb=afbc=12，safgsabg=12，sabg=2a，則sabc=sbcg+sabg=sacd=6a，

13、s四邊形cgfd=sacdsafg=5a，故sbgc：s四邊形cgfd=4a：5a=4：5故答案為4：58如圖，d、e分別是abc的邊ab、ac上的點(diǎn)，debc，且addb=2，那么ade與四邊形dbce的面積比是45【解答】解：addb=2，adab=23，又debc，adeabc，相似比是2：3，面積的比是4：9，設(shè)ade的面積是4a，則abc的面積是9a，四邊形dbce的面積是5a，ade與四邊形dbce的面積的比是45故答案為：459在平行四邊形abcd的邊ab和ad上分別取點(diǎn)e和f，使ae=13ab，af=14ad，連接ef交對角線ac于g，則agac的值是17【解答】解：如圖，在a

14、d上取點(diǎn)h，使ah=34ad，連接bh交ac于o，則agao=13，即ag=13ao，又aohcob，所以aoco=ahcb=34，co=43ao，所以agac=agao+co=17故答案為：1710如圖，在abc中，ae：eb=1：3，bd：dc=2：1，ad與ce相交于點(diǎn)f，則effc+affd的值為32【解答】解：作egbc交ad于g，則有ae：eb=1：3，即ae：ab=1：4，得eg=14bd=12cd，ef：fc=eg：cd=1：2，作dhab交ce于h，則dh=13be=ae，af：fd=ae：dh=1，effc+affd=12+1=32故答案為3211已知關(guān)于x的方程x3+ax

15、2+2bx+c=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根分別為一個(gè)橢圓、一個(gè)拋物線、一個(gè)雙曲線的離心率，則ba的取值范圍是（1，14）【解答】解：由題意，不妨設(shè)方程x3+ax2+2bx+c=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根為x1=1，0x21，x31；則x3+ax2+2bx+c=（x1）（x2+（a+1）x+2b+a+1），則x2，x3是x2+（a+1）x+2b+a+1=0的兩個(gè)根；則x2+x3=（a+1），x2x3=2b+a+1；又0x21，x31，x2x3=2b+a+10，（x21）（x31）=2b+2a+30；作&2b+a+10&2b+2a+30表示的平面區(qū)域如下，ba的幾何意義是點(diǎn)o與陰影內(nèi)的點(diǎn)a連線的斜率，而直

16、線n的斜率k=1，直線m的斜率k=14；故結(jié)合圖象可得，1ba14；故答案為：（1，14）12如圖，用與底面成30°角的平面截圓柱得一橢圓截線，則該橢圓的離心率為12【解答】解：設(shè)圓柱的底面直徑為d，截面與底面成30°橢圓的短軸長d，即b=12d，橢圓的長軸長2a=dcos30°=233d，即a=33dc=a2-b2=(33d)2-(12d)2=36d則橢圓的離心率e=ca=12故答案為：12三解答題（共5小題）13在abc中，ab=ac，abc的外接圓o的弦ad的延長線交bc的延長線于點(diǎn)e求證：abdaeb【解答】證明：ab=ac，abc=acb，acb與adb

17、所對應(yīng)的弧為abacb=adb，adb=abc，又bad共用，abdaeb14在abc中，ac=12ab，m為邊ab上一點(diǎn)，amc的外接圓交bc邊于點(diǎn)n，bn=2am，求證：cm是acb的平分線【解答】證明：連結(jié)mn，則bmn=bca，（2分）又mbn=cba，因此mbncba （4分）所以abac=bnmn （6分）又因?yàn)閍c=12ab，所以bnmn=2，即bn=2mn （8分）又因?yàn)閎n=2am，所以am=mn，所以acm=bcm，所以cm是acb的平分線 （10分）15如圖，圓o的半徑為2，ab為圓o的直徑，p為ab延長線上一點(diǎn)，過p作圓o的切線，切點(diǎn)為c若pc=23，求bc的長【解答】解：連接oc，因?yàn)閜c為切線且切點(diǎn)為c，所以occp因?yàn)閳Ao的半徑為2，pc=23，所以bo=oc=2，po=oc2+cp2=4，所以coscop=12，所以cop=60°，所以cob為等邊三角形，所以bc=bo=216如圖，abc中，已知ab=3，bc=6，ac=4，d是邊bc上一點(diǎn)，ac與過點(diǎn)a，b，d的圓o相切，求ad的長【解答】證明：過點(diǎn)a，b，d的圓o與ac相切，cad=abc，又acd=bca，acdbca，ad