2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第二章 2.8函數(shù)與方程-教師版

1、 第1課時(shí)進(jìn)門測(cè)1、判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)(×)(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(×)(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)()(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn)()2、函數(shù)f(x)()x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()a0 b1 c2 d3答案b解析f(x)是增函數(shù)，又f(0)1，f(1)，f(0)f(1)<0，f(

2、x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)3、函數(shù)f(x)ln xx2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()a(，1) b(1,2) c(2，e) d(e,3)答案c解析因?yàn)閒()e2<0，f(1)2<0，f(2)ln 2<0，f(e)e2>0，所以f(2)f(e)<0，所以函數(shù)f(x)ln xx2的零點(diǎn)所在區(qū)間是(2，e)3函數(shù)f(x)2x|log0.5 x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_答案2解析由f(x)0，得|log0.5x|x，作出函數(shù)y|log0.5x|和yx的圖象，由上圖知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)4函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解

3、析函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得f(1)f(1)<0，(3a1)·(1a)<0，解得<a<1，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.作業(yè)檢查無(wú)第2課時(shí)階段訓(xùn)練題型一函數(shù)零點(diǎn)的確定命題點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間例1(1)已知函數(shù)f(x)ln xx2的零點(diǎn)為x0，則x0所在的區(qū)間是()a(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4)(2)設(shè)函數(shù)yx3與y()x2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0(n，n1)，nn，則x0所在的區(qū)間是_答案(1)c(2)(1,2)解析(1)f(x)ln xx2在(0，)為增函數(shù)，又f(1)ln 11ln 12<0，f(2)ln 20

4、<0，f(3)ln 31>0，x0(2,3)，故選c.(2)令f(x)x3()x2，則f(x0)0，易知f(x)為增函數(shù)，且f(1)<0，f(2)>0，x0所在的區(qū)間是(1,2)命題點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例2(1)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_(2)若定義在r上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()a多于4 b4c3 d2答案(1)2(2)b解析(1)當(dāng)x0時(shí)，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2>0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)又因?yàn)?/p>

5、f(2)2ln 2<0，f(3)ln 3>0，所以f(x)在(0，)上有一個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(2)由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)yf(x)及ylog3|x|的圖象如圖，觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)log3|x|有4個(gè)零點(diǎn)【同步練習(xí)】(1)已知函數(shù)f(x)log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()a(0,1) b(1,2) c(2,4) d(4，)(2)函數(shù)f(x)xcos x2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()a4 b5 c6 d7答案(1)c(2)c解析(1)因?yàn)閒(1)6log216>0，f(2

6、)3log222>0，f(4)log24<0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,4)(2)由f(x)xcos x20，得x0或cos x20.又x0,4，所以x20,16由于cos(k)0(kz)，而在k(kz)的所有取值中，只有，滿足在0,16內(nèi)，故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為156.題型二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用例3(1)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是()a(1,3) b(1,2)c(0,3) d(0,2)(2)已知函數(shù)f(x)|x23x|，xr，若方程f(x)a|x1|0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1)c(2)(0,1)(9，)解析(1)

7、因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(a)(41a)<0，即a(a3)<0，所以0a3.(2)設(shè)y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐標(biāo)系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的圖象如圖所示由圖可知f(x)a|x1|0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1|x23x|與y2a|x1|的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1，所以有兩組不同解，消去y得x2(3a)xa0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以(3a)24a>0，即a210a9>0，解得a<1或a

8、>9.又由圖象得a>0，0<a<1或a>9.引申探究本例(2)中，若f(x)a恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_答案(0，)解析作出y1|x23x|，y2a的圖象如下：當(dāng)x時(shí)，y1；當(dāng)x0或x3時(shí)，y10，由圖象易知，當(dāng)y1|x23x|和y2a的圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0<a<.【同步練習(xí)】(1)已知函數(shù)f(x)x2xa(a<0)在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間2,2上的偶函數(shù)，當(dāng)0x2時(shí)，f(x)x22x1，若在區(qū)間2,2內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)kx2k有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()a(0，)

9、 b(0，)c(，) d(，)答案(1)(2,0)(2)c解析(1)ax2x在(0,1)上有解，又yx2x(x)2，函數(shù)yx2x，x(0,1)的值域?yàn)?0,2)，0<a<2，2<a<0.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在區(qū)間2,2上的偶函數(shù)，且當(dāng)2x<0時(shí)，0<x2，所以f(x)(x)22(x)1x22x1.函數(shù)g(x)f(x)kx2k有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)和yk(x2)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)作出函數(shù)yf(x)和yk(x2)的圖象，如圖所示直線yk(x2)過(guò)點(diǎn)p(2,0)，由圖可知kpa，kpb，要使此直線與函數(shù)yf(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則需滿足<

10、k<.第3課時(shí)階段重難點(diǎn)梳理1函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)yf(x)(xd)，把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xd)的零點(diǎn)(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根2二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系>00<0二次函數(shù)yax2bxc

11、 (a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210【知識(shí)拓展】1有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)2三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)重點(diǎn)題型訓(xùn)練題型三二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解方法一設(shè)方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為x1，

12、x2(x1<x2)，則(x11)(x21)<0，x1x2(x1x2)1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a2)(a21)1<0，即a2a2<0，2<a<1.方法二函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)<0，即1(a21)a2<0，2<a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,1)思維升華解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題(1)利用一元二次方程的求根公式(2)利用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組【同步練習(xí)】若函數(shù)f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是_答案

13、解析依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知m需滿足即解得<m<.題型五 利用轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題典例(1)若函數(shù)f(x)axxa(a>0，且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)若關(guān)于x的方程22x2xaa10有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_思想方法指導(dǎo)(1)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍(2)“af(x)有解”型問(wèn)題，可以通過(guò)求函數(shù)yf(x)的值域解決解析(1)函數(shù)f(x)axxa(a>0，且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程axxa0有兩個(gè)根，即函數(shù)yax與函數(shù)yxa的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)0<a<1時(shí)，圖象如圖所示，此時(shí)

14、只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)a>1時(shí)，圖象如圖所示，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，)(2)由方程，解得a，設(shè)t2x(t>0)，則a(t1)2(t1)，其中t1>1，由基本不等式，得(t1)2，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)取等號(hào)，故a22.答案(1)(1，)(2)(，22思導(dǎo)總結(jié)一、零點(diǎn)問(wèn)題(1)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：解方程法；零點(diǎn)存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)二、已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法(1)步驟：判斷函數(shù)的單調(diào)性；利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式(組)；解不等式(組)，即得參

15、數(shù)的取值范圍(2)方法：常利用數(shù)形結(jié)合法作業(yè)布置1設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()a(0,1) b(1,2)c(2,3) d(3,4)答案b解析f(1)ln 1121<0，f(2)ln 2>0，f(1)·f(2)<0，函數(shù)f(x)ln xx2的圖象是連續(xù)的，f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2)2已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()a. b2c0或 d0答案d解析當(dāng)x1時(shí)，由f(x)2x10，解得x0；當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)1log2x0，解得x，又因?yàn)閤>1，所以此時(shí)方程無(wú)解綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0，故選d.3已知

16、三個(gè)函數(shù)f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()aa<b<c ba<c<bcb<a<c dc<a<b答案b解析方法一由于f(1)1<0，f(0)1>0且f(x)為r上的遞增函數(shù)故f(x)2xx的零點(diǎn)a(1,0)g(2)0，g(x)的零點(diǎn)b2；h1<0，h(1)1>0，且h(x)為(0，)上的增函數(shù)，h(x)的零點(diǎn)c，因此a<c<b.方法二由f(x)0，得2xx；由h(x)0，得log2xx，作出函數(shù)y2x，ylog2x和yx的圖象(如圖)由圖象易知a<0,0<

17、c<1，而b2，故a<c<b.4方程|x22x|a21(a>0)的解的個(gè)數(shù)是()a1 b2 c3 d4答案b解析 (數(shù)形結(jié)合法)a>0，a21>1.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)5已知函數(shù)f(x)則使方程xf(x)m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()a(1,2) b(，2c(，1)(2，) d(，12，)答案d解析當(dāng)x0時(shí)，xf(x)m，即x1m，解得m1；當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)m，即xm，解得m2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，12，)故選d.6已知xr，符號(hào)x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x)a(x0)有且僅有

18、3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案，)解析當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)aa；當(dāng)1x<2時(shí)，f(x)aa；當(dāng)2x<3時(shí)，f(x)aa；f(x)a的圖象是把y的圖象進(jìn)行縱向平移而得到的，畫出y的圖象，如圖所示，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可知a(，)7若函數(shù)f(x)x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則不等式af(2x)>0的解集是_答案x|<x<1解析f(x)x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是2,3.2,3是方程x2axb0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知f(x)x2x6.不等式af(2x)>0，即(4x22x6)>02x2x3<0，解集為x|<x<18已知函數(shù)f(

19、x)若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是_答案(，0)(1，)解析令(x)x3(xa)，h(x)x2(x>a)，函數(shù)g(x)f(x)b有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)的圖象與直線yb有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象(圖略)可得a<0或(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a(，0)(1，)9已知函數(shù)f(x) (a>0，且a1)在r上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|2恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在r上單調(diào)遞減，所以解得a.作出函數(shù)y|f(x)|，y2的圖象如圖由圖象可知

20、，在0，)上，|f(x)|2有且僅有一個(gè)解；在(，0)上，|f(x)|2同樣有且僅有一個(gè)解，所以3a<2，即a<.綜上可得a<，所以a的取值范圍是. *10.若a>1，設(shè)函數(shù)f(x)axx4的零點(diǎn)為m，函數(shù)g(x)logaxx4的零點(diǎn)為n，則的最小值為_答案1解析設(shè)f(x)ax，g(x)logax，h(x)4x，則h(x)與f(x)，g(x)的交點(diǎn)a，b橫坐標(biāo)分別為m，n(m>0，n>0)因?yàn)閒(x)與g(x)關(guān)于直線yx對(duì)稱，所以a，b兩點(diǎn)關(guān)于直線yx對(duì)稱又因?yàn)閥x和h(x)4x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以mn4.又m>0，n>0，所以()·(2)(22 )1.當(dāng)且僅當(dāng)，即mn2時(shí)等號(hào)成立所以的最小值為1.11設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0<a<b且f(a)f(b)時(shí)，求的值；(3)若方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是