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1、 數(shù)列教學(xué)中函數(shù)思想的應(yīng)用 【摘要】函數(shù)思想在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)效果顯著。數(shù)列可以看成是一種特殊的函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)研究一些數(shù)列問題,可以發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路、新方法,為數(shù)列問題的研究提供新的視角。求解數(shù)列項(xiàng)的最值、前n項(xiàng)和的最值、數(shù)列的單調(diào)性以及跟數(shù)列有關(guān)的不等式問題時(shí),都可以用函數(shù)的方法開展研究?!娟P(guān)鍵詞】數(shù)列 函數(shù)思想g633.6 a 2095-3089(2018)12-0144-01一、從函數(shù)角度理解數(shù)列的概念教材通過三角形數(shù)、正方形數(shù)的實(shí)例引入數(shù)列的概念,指出數(shù)列實(shí)際就是按照一定順序排列的一列數(shù)。數(shù)列可以看成是定義在正整數(shù)集或其有限子
2、集1,2,n上的函數(shù),然后將數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),對數(shù)列表示中的列表法、圖象法、通項(xiàng)公式及簡單的遞推公式(解析法)也是借助于函數(shù)的研究方法進(jìn)行的,實(shí)際分別對應(yīng)著函數(shù)的三種表示方法。數(shù)列是一類特殊的函數(shù),其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集,解析式是,值域是當(dāng)自變量從小到大依次取值1,2,3,時(shí)的對應(yīng)值,再次加深對函數(shù)三要素的理解。數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作是數(shù)列的函數(shù)解析式,要明確的是數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)。二、應(yīng)用函數(shù)思想掌握數(shù)列知識在講解數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),舉例:如數(shù)列1,2,3,4,5,的通項(xiàng)公式是,類似于正比例函數(shù)。如數(shù)列的通項(xiàng)公式是,類似于反比例函數(shù)。數(shù)列其通項(xiàng)公式,也可以寫成這兩個(gè)通項(xiàng)
3、公式形式上雖然不同,但表示同一個(gè)數(shù)列。正像每個(gè)函數(shù)關(guān)系不能都用解析式表達(dá)出來一樣,也不是每個(gè)數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式,這種形式類似于分段函數(shù)。三、利用例題滲透函數(shù)思想例題:已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中p、q為常數(shù),且p0,那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法:如果數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次函數(shù),那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列。因而把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與一次函數(shù)聯(lián)系起來。形如,一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差,首項(xiàng)是。若,是公差為0的等差數(shù)列,即為常數(shù)列。等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)定義在正整數(shù)集上對應(yīng)的點(diǎn)的集合。一次函數(shù)或常函數(shù)的圖象是一條直線,而等差數(shù)列的圖象則是這
4、條直線上的離散的點(diǎn)。等差數(shù)列的增減性:當(dāng)時(shí), 是遞增數(shù)列;當(dāng)時(shí), 是遞減數(shù)列;當(dāng)時(shí), 是常數(shù)列。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和中的例題:已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求使得最大的序號n的值。分析方法一:通項(xiàng)公式求前幾項(xiàng)和最大,就是考察從哪項(xiàng)開始不為正。解得。也就是說因此,這個(gè)數(shù)列第8項(xiàng)為0對和的大小不產(chǎn)生影響,數(shù)列的第7項(xiàng)或第8項(xiàng)和最大。方法二:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫成,所以可以看成函數(shù)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值。另一方面,容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點(diǎn)。因此,我們可以利用二次函數(shù)來求n的值。解:由題意知,等差數(shù)列的公差為,所以于是,當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí),取最大值。四、總結(jié)等差數(shù)列的前n項(xiàng)
5、和公式是關(guān)于n的二次函數(shù),但要注意這里的n屬于正整數(shù)。點(diǎn)是在常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上。如果二次函數(shù)的對稱軸橫坐標(biāo)是正整數(shù),在頂點(diǎn)處取得最值;如果二次函數(shù)的對稱軸橫坐標(biāo)不是正整數(shù),在最接近對稱軸橫坐標(biāo)的正整數(shù)處取得最值。解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最大(最?。﹩栴}的常用方法有:(1)二次函數(shù)法:可用二次函數(shù)的最值來確定的最值,(2)圖象法:可利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值,使達(dá)到最大(或最?。S煤瘮?shù)觀點(diǎn)解決等差數(shù)列的一些問題,可以起到意想不到的效果,尤其是在求最值得問題時(shí),利用函數(shù)的圖象及性質(zhì),能使問題很容易的解決。通過上述分析與說明,在數(shù)列的教學(xué)中,把函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)有機(jī)地融入到數(shù)列中,通過數(shù)列與函數(shù)知識的相互交匯,使學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完善,同時(shí)也使學(xué)生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高。不管是數(shù)學(xué)概念的建立,數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn),還是數(shù)學(xué)問題的解決都離不開數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)和建立,因此,在教學(xué)中要重視發(fā)掘在數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成、發(fā)展和應(yīng)用中所蘊(yùn)含的重要思想方法,尤其是函數(shù)思想貫穿于高中整個(gè)階段,溶于數(shù)學(xué)知識的體系中,寓函數(shù)思想方法
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