二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計

1、3.3 二元一次不等式 （ 組）與簡單的線性規(guī)劃問題教學(xué)目標1 、通過本節(jié)探究， 使學(xué)生了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等 式組表示平面區(qū)域；能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域2、通過學(xué)生的親身體驗，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù) 列結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力3、通過本節(jié)學(xué)習(xí)， 著重培養(yǎng)學(xué)生深刻理解 “數(shù)形結(jié)合” 的數(shù)學(xué)思想。 盡管側(cè)重于用 “數(shù)” 研究“形”，但同時也用“形”去研究“數(shù)” ，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等數(shù)學(xué)能力 重難點 教學(xué)重點：從實際問題中抽象出二元一次不等式（組） ，靈活運用二元一次不等式（來

2、）表 示平面區(qū)域 教學(xué)難點：二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定及怎樣確定不等式 Ax By C 0 （或 0） 表示 Ax By c 0 的哪一側(cè)區(qū)域第 1 課時導(dǎo)入新課出示課本給出的實例， “一家銀行的信貸部計劃年初投入25000000 元用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來 30000 元的效益，其中從企業(yè)貸款中獲益 12%，從個人貸 款中獲益 10%，那么，信貸部應(yīng)該如何分配資金呢？這個問題中存在一些不等關(guān)系，我們應(yīng) 該用什么不等式模型來刻畫它們呢” ？讓學(xué)生用不等式來刻畫資金分配的問題， 可得到不等 關(guān)系，由此引出二元一次不等式（組）的解集的概念展開新課一、提出問題讓學(xué)生閱讀

3、課本，什么是二元一次不等式（組）的解集？在直角坐標系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？怎樣判斷二元一次不等式 Ax By C 0 表示的是直線 Ax By C 0 哪一側(cè)的 平面區(qū)域？直線 Ax By C 0 將平面內(nèi)的點分成了哪幾類？學(xué)生活動通過代特殊點的方法檢驗滿足不等式 x y 2 0 的點的位置， 足不等式 x y 2 0 的點在直線 x y 2 0 的上方三建構(gòu)數(shù)學(xué)1進一步驗證結(jié)論的正確性：如圖，在直線 x y 2 0上方任取一點 P（x,y） ， 過 P作平行于 y軸的直線交直線 x y 2 0于點 A（x, x 2） ，點 P 在直線上方，點 P 在點 A 上方， y

4、x 2 ，即 x y 2 0 ，點 P 為直線 x y 2 0上方的任意一點，所以，直線 x y 2 0上方任意點 （x,y） ，都有 y x 2，即 x y 2 0； 同理，對于直線 x y 2 0左下方任意點 （x, y），都有 y x 2，即 x y 2 0 又平面上任意一點不在直線上即在直線上方或直線下方因此， 滿足不等式 x y 2 0 的點在直線的上方， 我們稱不等式 x y 2 0表示的是直 線 x y 2 0 上方的平面區(qū)域；同樣，不等式 x y 2 0 表示的是直線 x y 2 0 下 方的平面區(qū)域練習(xí)：判斷不等式 2x y 3 0 表示的是直線 2x y 3 0上方還是下方

5、的平面區(qū)域？（下 方）yy kx b上半平面y kx b下半平面y kx bOx2得出結(jié)論：一般地，直線 y kx b 把平面分成兩個區(qū)域（如圖） y kx b 表示直線上方的平面區(qū)域； y kx b 表示直線下方的平面區(qū)域說明：（1） y kx b 表示直線及直線上方的平面區(qū)域；y kx b 表示直線及直線下方的平面區(qū)域 （2）對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線四數(shù)學(xué)運用1例題：例 1 判斷下列不等式所表示的平面區(qū)域在相應(yīng)直線的哪個區(qū)域？（用“上方”或“下方”填 空）xx（ 1）不等式 y3 表示直線 y 3 的平面區(qū)域；22（2）不等式 x 2y 3 0 表示直線 x 2y 3 0 的平

6、面區(qū)域； （3）不等式 x 2y 0表示直線 x 2y 0 的平面區(qū)域；（ 4）不等式 x y 0 表示直線 x y 0 的平面區(qū)域說明：二元一次不等式 Ax By C 0在平面直角坐標系中表示 Ax By C 0 某一側(cè)所 有點組成的平面區(qū)域可以用“選點法”確定具體區(qū)域：任選一個不在直線上的點，檢驗它 的坐標是否滿足所給的不等式若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域； 否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域例 2畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域：（1） y2x 1；（2） x y 2 0 解：（1）（2）兩個不等式所表示的平面區(qū)域如下圖所示：例 3將下列各圖中的平面區(qū)域 （陰影部分）用

7、不等式表示出來 （其中圖（1）中區(qū)域不包括 y 軸）：解：1）x 0；（2）6x 5y 22；（3） y x新問題情境情境：通過前一課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了二元一次不等式的幾何意義4x y 10 （1）那么，二元一次不等式組 的幾何意義又如何呢？4x 3y 20 （2）根據(jù)前面的討論，不等式（ 1）表示直線 y 10 4x 及其下方的平面區(qū)域；不等式（ 2） 表示直線 4x 3y 20 0及其下方的平面區(qū)域 因此，同時滿足這兩個不等式的點 （x,y）的 集合就是這兩個平面區(qū)域的公共部分（如下圖所示） 如果再加上約束條件 x 0,y 0 ，那么，它們的公共區(qū)域為圖中的陰影部分圖圖例 4畫出下列不

8、等式組所表示的平面區(qū)域：1）y 2x 1x 2y 4x02) y 04x 3y 8 0解：（ 1）不等式 y 2x 1表示直線 y 2x 1及其下方的平面區(qū)域； 不等式 x 2y 4表示直線 x 2y 4 上方的平面區(qū)域； 因此，這兩個平面區(qū)域的公共部分就是原不等式組所表示的平面區(qū)域 （2）原不等式組所表示的平面區(qū)域即為不等式4x 3y 8 0所表示的平面區(qū)域位于第一象限內(nèi)的部分思考：如何尋找滿足( 2)中不等式組的整數(shù)解？(要確定不等式組的整數(shù)解，可以畫網(wǎng)格，然后按順序找出在不等式 組表示的平面區(qū)域內(nèi)的格點，其坐標即為不等式組的整數(shù)解)例 5 ABC三個頂點坐標為 A(0,4), B( 2,

9、0), C(2,0) ，求 ABC內(nèi)任一點 (x, y)所滿足 的條件解： ABC 三邊所在的直線方程：AB：2x y 4 0；AC：2x y 4 0；BC： y 0ABC內(nèi)任意一點都在直線 AB,AC 下方，且在直線 BC的上方，2x y 4 0故 (x,y)滿足的條件為 2x y 4 0 y0例 6原點和點 (1,1)在直線 x y a 0的兩側(cè)，則實數(shù) a 的取值范圍是 提示：將點 (0,0) 和(1,1)的坐標代入 x y a的符號相反，即 a (2 a) 0 ，0 a 2例 7(1)若點 ( 2,t) 在直線 2x 3y 6 0下方區(qū)域，則實數(shù) t 的取值范圍為(2)若點 (0,0)

10、 在直線 3x 2y a 0的上方區(qū)域，則點 (1,3)在此直線的下方還是上方區(qū)域？2 22解：(1)直線 2x 3y 6 0下方的點的坐標滿足 y x 2， t ( 2) 2 3 333a(2)直線 3x 2y a 0 的上方區(qū)域的點的坐標滿足 y x ，22 點 (0,0) 在直線 3x 2y a 0的上方區(qū)域， a 0， a 02a a 3又 3 1 30，點 (1,3) 在此直線的上方區(qū)域22五回顧小結(jié)：1二元一次不等式的幾何意義；2二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定六課外作業(yè)：課本第 86頁 練習(xí) 第 14題課本第 93頁 A組 第1，2題，B組第 1，2題簡單的線性規(guī)劃問題教學(xué)目標

11、1、使學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基 本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題 2、通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié) 合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力重點難點教學(xué)重點：求線性目標函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識 教學(xué)難點：把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答【教學(xué)過程】第 1 課時導(dǎo)入新課（選）由身邊的線性規(guī)劃問題導(dǎo)入課題，同時闡明其重要意義。如 6枝玫瑰花與 3 枝康 乃馨的價格之和大于 24 元，而 4 枝玫瑰與 5 枝康乃馨的價格之和小于 22 元

12、。如果想買 2 枝玫瑰或 3 枝康乃馨， 那么價格比較結(jié)果是怎樣的呢？可由學(xué)生列出不等關(guān)系，并畫出平面區(qū)域，由此引入新課一問題情境4x y 104x 3y 201問題：在約束條件下，如何求目標函數(shù) P 2x y 的最大值？x0y0二建構(gòu)數(shù)學(xué)首先，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，這一區(qū)域稱為 可行域 ，如圖（ 1）所示 其次，將目標函數(shù) P 2x y 變形為 y 2x P的形式，它表示一條直線，斜率為， 且在 y 軸上的截距為 P 5 平移直線 y 2x P ，當(dāng)它經(jīng)過兩直線 4x y 10與 4x 3y 20 的交點 A（ ,5）4 時，直線在 y 軸上的截距最大，如圖（ 2）所示55因此，當(dāng)

13、x, y 5時，目標函數(shù)取得最大值 2 5 7.5 ，即當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品445 分別生產(chǎn) t 和 5t時，可獲得最大利潤 7.5萬元4 這類求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，通常稱為 線性規(guī)劃 問5題其中 (5,5) 使目標函數(shù)取得最大值， 它叫做這個問題的 最優(yōu)解對于只含有兩個變量的4 簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決 說明：平移直線 y 2x P 時，要始終保持直線經(jīng)過可行域(即直線與可行域有公共點) 三數(shù)學(xué)運用1例題：x 4y 3 例 1設(shè) z 2x y ，式中變量 x, y滿足條件 3x 5y 25，求 z 的最大值和最小值x1解：由題意， 變量 x, y所滿足的每個

14、不等式都表示一個平面區(qū)域， 不等式組則表示這些平面 區(qū)域的公共區(qū)域 由圖知， 原點 (0,0) 不在公共區(qū)域內(nèi)， 當(dāng) x 0, y 0 時， z 2x y 0 ，即點 (0,0) 在直線 l0： 2x y 0 上， 作一組平行于 l0的直線 l：2x y t ，t R， 可知：當(dāng) l在l0的右上方時，直線 l上的點 (x,y) 滿足 2x y 0 ，即 t 0， 而且，直線 l 往右平移時， t 隨之增大 由圖象可知，當(dāng)直線 l 經(jīng)過點 A(5, 2)時，對應(yīng)的 t最大， 當(dāng)直線 l 經(jīng)過點 B(1,1)時，對應(yīng)的 t最小， 所以， zmax 2 5 2 12 ， zmin 2 1 1 3x

15、4y 3例 2設(shè) z 6x 10 y ，式中 x,y滿足條件 3x 5y 25，求 z 的最大值和最小值 x1解：由引例可知：直線 l0與 AC所在直線平行， 則由引例的解題過程知，當(dāng)l與AC所在直線3x 5y 25 0重合時 z最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個， 當(dāng) l 經(jīng)過點 B(1,1)時，對應(yīng) z 最小， zmax 6x 10y 50， zmin 6 1 10 1 16說明： 1線性目標函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得； 2線性目標函數(shù)的最大值、最小值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu) 解有無數(shù)多個2練習(xí)：課本第 91頁 練習(xí) 第 1，2題1 a b 2 例 3

16、(1)已知，求 t 4a 2b 的取值范圍；2ab4(2)設(shè) f(x) ax2 bx，且1 f ( 1) 2，2 f(1) 4，求 f ( 2)的取值范圍。解：(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作直線 l0： 4a 2b 0 ， 作一組平行線 l ：4a 2b t ， 由圖知 l 由 l0 向右下方平移時， t 隨之增大，反之減小， 當(dāng) l 經(jīng)過 A點時 t 取最小值，當(dāng)l經(jīng)過 C點時 t取最大值，ab1ab23 1由 ab1和ab2分別得A( 3 , 1 ) ， C (3,1) ，ab4ab22 231 tmin 4 25 ， tmax 4 3 2 1 10 ，22所以， t 5,10

17、(2) f( 1) a b， f (1) a b， f( 2) 4a 2b， 由( 1)知， f ( 2) 5,10 例 4(備用題)已知 ABC的三邊長 a,b,c滿足b c 2a，c a 2b，求 b的取值范圍。解：設(shè) x b ， y ac，則 a1 x y 2x y 1 2x ， y x 1x 0,y 0作出平面區(qū)域，21 由圖知： A( ,33)，31C(32,12)，23x32，即 23b3a2四回顧小結(jié)：鞏固圖解法求線性目標函數(shù)的最大值、最小值的方法 五課外作業(yè)：另行補充第 2 課時問題情境1情境： 前面我們用圖解法解決了一些求線性目標函數(shù)最大值、最小值的問題在現(xiàn)實生活中， 我們還

18、會遇到什么樣的與線性規(guī)劃有關(guān)的問題呢？數(shù)學(xué)運用1例題：例 1投資生產(chǎn) A 產(chǎn)品時，每生產(chǎn) 100 噸需要資金 200 萬元，需場地 200 平方米，可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn) B 產(chǎn)品時，每生產(chǎn) 100 米需要資金 300萬元，需場地 100 平方米，可獲 利潤 200 萬元現(xiàn)某單位可使用資金 1400 萬元，場地 900 平方米，問：應(yīng)作怎樣的組合投 資，可使獲利最大？分析：這是一個二元線性規(guī)劃問題，可先將題中數(shù)據(jù)整理成下表，以方便理解題意：資金（百萬元）場地（平方米）利潤（百萬元）A 產(chǎn)品223B 產(chǎn)品312限制149然后根據(jù)此表數(shù)據(jù)，設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件和目標函數(shù)，最后用圖解法求解

19、解：設(shè)生產(chǎn) A 產(chǎn)品 x 百噸，生產(chǎn) B 產(chǎn)品 y 米，利潤為 S百萬元，2x 3y 142x y 9則約束條件為 ，目標函數(shù)為 S 3x 2y x0y0作出可行域（如圖） ，3S3S將目標函數(shù)變形為 y x ，它表示斜率為 ，在 y 軸上截距為 的直線，平移直2 2223 S13 5S線 y x ，當(dāng)它經(jīng)過直線與 2x y 9和 2x 3y 14的交點 （ , ） 時， 最大，224 2213 5也即 S最大此時， S 3 2 14.75 42因此，生產(chǎn) A 產(chǎn)品 3.25百噸，生產(chǎn) B產(chǎn)品 2.5米，利潤最大為 1475 萬元 說明：（1）解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件（要注意考慮數(shù) 據(jù)、變量、 不等式的實際含義及計量單位的統(tǒng)一） ；建立目標函數(shù)； 求最優(yōu)解（ 2）對于有實際背景的線性規(guī)劃問題， 可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形 區(qū)域，此時變動直線