一個(gè)典型問題的探究過(guò)程

1、一些典型問題的探究過(guò)程探究一：一個(gè)開放性問題的探究 過(guò)程及其反思（數(shù)學(xué)通訊2011 03 學(xué)生）。探究方法師生共同探究 探究過(guò)程從感性到理性。引題(2009浙江理7)設(shè)向量a,b滿足: |a|=3,|b|=4,a fc=0.以 a,b,a-b 的模為邊長(zhǎng) 構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公 共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(a).3(b).4(c).5(d).6分析：當(dāng)圓與三角形的兩邊相交時(shí)，有4 個(gè)交點(diǎn)，本題新構(gòu)造的三角形是三邊為3,4,5 的直角三角形，其內(nèi)切圓半徑恰好為1.故它 的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為4 個(gè)，選b.此題講評(píng)后，我意猶未盡，于是提出了下 面的問題：直角三角形的三邊為3,4,

2、5,半徑為7?的 圓與三邊有6個(gè)交點(diǎn)，則尺的取值范圍 是-據(jù)問題情境提出恰當(dāng)問題很重要）由于圓的圓心不定,半徑不斷變化，而且 又要與三角形的三邊相交,因此難度較大經(jīng)過(guò)幾分鐘的思考、交流、討論后，課堂逐漸熱 鬧起來(lái)經(jīng)過(guò)梳理，我把學(xué)生的思維過(guò)程概括 為如下的兩個(gè)階段:感性階段，思維螺旋上升學(xué)生一答案是恥理由:當(dāng)圓心是二角形的內(nèi)切圓國(guó)心/時(shí)，對(duì)應(yīng)的尺是1；當(dāng)心是三角形的外接圓圓心。時(shí)，對(duì)應(yīng)的人是弓,此答案有一定的合理性,一部分學(xué)生表 示認(rèn)同我對(duì)學(xué)生一的答案不予評(píng)價(jià)繼續(xù)提 問:還有其它答案嗎?過(guò)了兩分鐘.學(xué)生二答案是恥(l")u理由:當(dāng)圓心是三角形的內(nèi)切圓圓心/時(shí)，對(duì)應(yīng)的 當(dāng)圓心是三角形的外

3、接圓圓心0時(shí), 對(duì)應(yīng)的珂2身)結(jié)合題意恥(1")u(2,|)該答案很快被其他學(xué)生否定.cda 4 b給出了如下的圖形:當(dāng)圓心是三角形的內(nèi)切圓圓心/時(shí),對(duì)應(yīng)的當(dāng)圓心是點(diǎn)d時(shí),對(duì)應(yīng)的學(xué)生三答案是肚(1,3)他r是3結(jié)合題意恥(1,3).這個(gè)答案出現(xiàn)后，大部分學(xué)生表示贊同. 我對(duì)學(xué)生的答案仍不予評(píng)價(jià)繼續(xù)提問:還有其它答案嗎?注在提出這個(gè)問題時(shí)，我認(rèn)為的答案是 恥(3),解答過(guò)程和學(xué)生三相同.繼續(xù)提問, 一歹面是為了讓學(xué)生充分暴露思維過(guò)程;另 tj®5教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我，自己提出的問題, 難免k考慮不周，這一次又是如此.abchce診篇込卩當(dāng)圓心又過(guò)了幾分鐘.學(xué)生四答案是肚卜勻他給 出

4、了如下的圖形:作bc的垂直平 分線交矩形的邊仞與點(diǎn)e ,由 是二角形的內(nèi)切圓圓心/時(shí)，對(duì)應(yīng)的r是1;當(dāng)圓心是點(diǎn)e時(shí),對(duì)應(yīng)的r是豐結(jié)合題意o繼續(xù)提問:還有其它答案嗎?此時(shí)的學(xué)生很激動(dòng)，也很困惑.總結(jié)提問:根據(jù)學(xué)生一，圓的圓心可以在 線段/0上,呵導(dǎo) 根據(jù)學(xué)生三，圓的圓心可 以在線段上，恥(1,3)；根據(jù)學(xué)生四，圓的 圓心可以在線段ie上,毗(點(diǎn)),圓的圓心到 底在什么范圍內(nèi)？圓的半徑還可以繼續(xù)增大嗎？注這個(gè)問題是給學(xué)生的，也是給自己的.學(xué)生五 圓的圓心一定在矩形在內(nèi)理由如下:二、理性階段,思維漸趨嚴(yán)謹(jǐn) 如果圓和線段ac有兩個(gè)交點(diǎn), 則圓心必在兩條平行線ab,cd 所夾的區(qū)域內(nèi)；如果圓和線段佔(zhàn)有兩

5、個(gè)交 點(diǎn)側(cè)圓心必在兩條平行線4c,妙所夾的區(qū) 域內(nèi)；如果圓和線段cb有兩個(gè)交點(diǎn),則圓心 必在過(guò)b,c且和直線bc垂直的兩條平行線 所夾的區(qū)域內(nèi)，這三個(gè)區(qū)域的公共部分即為 矩形4bdc內(nèi).我對(duì)學(xué)生五的回答給予肯定因?yàn)樵搶W(xué)生已經(jīng)在理性地思考圓心所在的區(qū)域，為問 題的根本解決做了鋪墊同時(shí)繼續(xù)提問:圓心 所在的區(qū)域能否進(jìn)一步縮小呢?又過(guò)了幾分鐘.學(xué)生六如圖所示，弧線g是 以a為焦點(diǎn)，以bc為準(zhǔn)線的拋物焦點(diǎn)，以 ac 為準(zhǔn)線的拋物線圓的線，弧線c2是以c為焦點(diǎn)，以為 準(zhǔn)線的拋物線，弧線是以b為 圓心定在三條線段和三條拋物線弧圍成 的封閉區(qū)域內(nèi)結(jié)合圖形，由拋物線的定義可 知gb-gc,點(diǎn)g在兀的垂直平分線

6、上，根據(jù) 學(xué)生四的求解，點(diǎn)g為圓心時(shí)對(duì)應(yīng)的半徑尺 是¥，故珂1,豐）此時(shí)，再也沒有人懷疑答案的正確性，問題 終于得到了圓滿的解答.為a，半徑為r的圓與三邊有6個(gè)交點(diǎn)，則人的取值范圍是為了鞏固這種方法，我靈機(jī)一動(dòng)，又 提出了如下的問題:正a5c的邊長(zhǎng)此時(shí)學(xué)生輕車熟路,很快畫出圓心所在的 區(qū)域是由三條拋物線弧圍成的平面區(qū)域，如 圖所示，根據(jù)圖形可得耐些，制接著我又提出了如下的問題:通過(guò)此題的 探究，你有哪些收獲？下課的鈴聲響了，我們終止了討論我無(wú)法 了解學(xué)生會(huì)有怎樣精彩的回答滇的很可惜.教學(xué)反思本節(jié)課在引題的基礎(chǔ)上，通過(guò)提出問題, 組織討論，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷了問題的探究 過(guò)程，體驗(yàn)了成功

7、的快樂，感受了數(shù)學(xué)的美.本節(jié)課如果滿堂灌，把錯(cuò)誤的答案教給學(xué)生, 教學(xué)效果可想而知在上課時(shí),不可滿堂灌, 要讓學(xué)生充分暴露自己的思維過(guò)程，不斷修 正和完善自己的思維過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)成功 和失敗的感受，經(jīng)歷完整的教學(xué)過(guò)程.學(xué)生六的解法使我真正地認(rèn)識(shí)到學(xué)生 的智慧是無(wú)窮的，學(xué)生的智慧是教師成長(zhǎng)的 重要源泉他讓我又一次深刻領(lǐng)悟了“教學(xué)相 長(zhǎng)''這個(gè)道理.我喜歡變題對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，變題可以讓 教師不斷挑戰(zhàn)自己,永葆青春活力對(duì)于一部 分學(xué)生來(lái)說(shuō)，教材中準(zhǔn)備的教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)掌 握,教學(xué)時(shí)，要在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)提出恰當(dāng)?shù)木哂?挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生 開動(dòng)腦筋，積極參與，讓課堂動(dòng)起來(lái),

8、這樣才 能真正提高課堂效率這種做法學(xué)生很喜歡, 它使我在教學(xué)上獲得了成功在剛開始的時(shí) 候,這種做法經(jīng)常使我“掛黑板",如今隨著教 學(xué)經(jīng)驗(yàn)的不斷增多,教學(xué)機(jī)智的不斷增強(qiáng)，往 往能化險(xiǎn)為夷，并達(dá)到天衣無(wú)縫的妙境.探究二：對(duì)一道咼考試題的探究 （中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考下旬刊2011.1-2） 探究方法從特殊到一般2010高考四川卷第20題是一道有關(guān)直 線與圓錐曲線位置關(guān)系的解析幾何題：已知定點(diǎn) 4(-l,0),f(2,0), 定直線 小冷不在兀軸上的動(dòng)點(diǎn)p與點(diǎn)f 的距離是它到直線/的距離的2倍. 設(shè)點(diǎn)p的軌跡為e，過(guò)點(diǎn)f的直線交e與b,c兩點(diǎn)，直線a5ac分別交/與點(diǎn)m,n.(1) 求e的方程；

9、八斗"(2) 試判斷以線段mn為直徑的圓是否過(guò) 點(diǎn)f,并說(shuō)明理由.此題主要考查直線、軌跡方程、雙曲線 等基礎(chǔ)知識(shí),考查解決解析幾何題目的思想 方法及推理運(yùn)算能力同時(shí)第（2）小題還是一道值得探究的好題.探究1將問題一般化，設(shè)雙曲線e的方2 2程為令-* = 1仏：0）,點(diǎn)a，a是它的左右頂點(diǎn)，直線廠上是右準(zhǔn)線，點(diǎn)f（c,o）是右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)fc的直線交e與5c兩點(diǎn)，直線ab,ac分別交z 與點(diǎn)m,n,以線段mv為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn) f呢？探究如下：設(shè)嗆 ,yj,c（x2，兒 ），直線 bc 的方 程為x = ky + c，將它代人雙曲線的方程并整理 得（必2_/”2+2局幼 + /=0.

10、由題意知 ，b2k2-a2 0, a > 0 所以2bckb4yy2=b2k2-a)»»2/，兀1+兀2 =r(yi+)2)+ 2c = 2a2 c西兀2 =疋）卩2+辰+旳）+圧=疋頁(yè)"7 2h2ck o -/一加頁(yè)r + °a2h2k2+a2c2必2/又直線a的方程為尸亠（w，）,故點(diǎn)m的坐標(biāo)xi+aa2 a2 +ac ycc兀+ d，由對(duì)稱輪換可得點(diǎn)n的坐標(biāo)>1 >2為住 g-+ac y2(c c % + ax+a x2+a xjx2 + a (壬 + 兀?) + q?必2 _/a2b2k2 +a2c2 2a3c 2°_

11、 + acr b k-er2 a2 (a + c2+2b2k2fm fn(9ctc< c )b小故q2(d+c)2丿 )2兀1 + a x2-ab4 /(a + c)2 護(hù)= u c2c2q2+c)2所以fm丄fn,以線段mn為直徑的圓過(guò)點(diǎn)f.于是有如下的結(jié)論：結(jié)論1.1設(shè)雙曲線e的方程為手一卜1（恥0）,點(diǎn)a，a是它的左右頂點(diǎn)，直線 心=少是右準(zhǔn)線，點(diǎn)f（c,o）是右焦點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)fc的直線交e與肌兩點(diǎn)，直線ab, ac分別交i與 點(diǎn)un,則以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)f.探究2當(dāng)直線bc垂直于兀軸時(shí)，易知以線段為直徑的圓于直線bc相切于點(diǎn)f，當(dāng)直線bc是任意直線時(shí)，該結(jié)論是否成 立呢？探究如下

12、：接上面，因?yàn)? 紬兒+（。+。）（） +力）x,x2 +g（x| +%2）+ q2斗設(shè)茁+ac線段mn的中點(diǎn)2a +ac/x十、 旳a2 +ac2c“+ d 丿q+d丿2c必i力 二兀2必+州兒+。（）1+力） x + q x2+a xx2 + q（x +） + q?（幼2 +c）x +（切 1 +c”2 +d（y】+ 兒）xx2 +d （兀+x2） + z2為戶（兀0，兒）j貝！j2h2k7c 廠 +dc2xo=5>ocpf 丄 bc. 由切線的判定定理可得 直線bc與p切與點(diǎn)f.于是我們又有：結(jié)論12設(shè)雙曲線e的方程為務(wù)* = l（a上0）,點(diǎn)a，4是它的左右頂點(diǎn)，直線上是右準(zhǔn)線，

13、點(diǎn)f（c，0）c是右焦點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)f的直線交e與5c兩點(diǎn)，直 線mac分別交/與點(diǎn)un,則以線段mn為直 徑的圓與直線bc相切與點(diǎn)f.探究3如圖，對(duì)于右頂點(diǎn)a,是否有類 似的結(jié)論呢？利用對(duì)稱輪換，將前面討論過(guò)程中的。 換為-q,同樣可得下面的結(jié)論：結(jié)論13設(shè)雙曲線e的方程為手一卜1（恥0）,點(diǎn)4,a是它的左右頂點(diǎn)，直線心=蘭是右準(zhǔn)線，點(diǎn)f（c,o）是右焦點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)尸的 c直線交e與5c兩點(diǎn)，直線aqac分別交/與 點(diǎn)m,n、，則以mn為直徑的圓與直線bc相切 與右焦點(diǎn)f.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)f和直線bc垂直的直線與準(zhǔn) 線/的交點(diǎn)是唯一的，所以由結(jié)論1.2和結(jié)論 1.3可知，以mv為直徑的圓和以為直徑 的圓是

14、同一個(gè)圓.于是我們還有：結(jié)論14設(shè)雙曲線e的方程為手一i0）,點(diǎn)a，a是它的左右頂點(diǎn)，直線 心斗是右準(zhǔn)線，點(diǎn)f（c,o）是右焦點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)f的 直線交e與5c兩點(diǎn)，直線aq4c相交于點(diǎn)m, 直線仙,ac相交于點(diǎn)n,則點(diǎn)m,n都在準(zhǔn)線/ 上.呢？探究4類比到橢圓，是否有相似的結(jié)論探究如下：如圖，設(shè)b（k，yj,c（x2，y2）, 直線bc的方程為（ “紗+ c,將它代人橢圓的方程合+ *i(°>b>0)并整理得(b2k2 +a2)y2 -2b2cky-b4 =0顯然，。所以b42b2ck一頁(yè)訂盯怙"央+2,禹+兀2=£(開 + 旳)+ 2。= 2a cb2

15、k2+a2'b42=疋牙旳+好（開+旳）+疋=-p匕2； * / _陽(yáng)：,+疋沱-加彳b2k2 +c又直線加的方程為"亠（“°）,故點(diǎn)m兀+ d的坐標(biāo)為任 a2+ac y,(c c£ + d 丿，由對(duì)稱輪換可得點(diǎn)n的坐標(biāo)為仔2d + ac y2 c *2 +ab4b2k2 +cr,所以亠亠-嚴(yán)l 丿x, + 67x2+a x兀2 +d(x +尤2)+ °b4a2c2 -a2b2k2 2a3c2 a2 (a + cb2k2a2b2k2a2b4 /(d + c)，/?4c2 c2 a2(a + cx2/ 2 、2 / 2aac + i c )d +

16、c)2一-=塔-半匕_ = 0故fm丄fn,以mn為直 西+q x2+a cc /(q+c)徑的圓過(guò)點(diǎn)f又因?yàn)閥 , y2 _ 兀2x + + q ()i + 力)_ (6 + c) x + (幼 + c)力 + g (開 + 力)x+a x2+a 兀兀2+d(*i+兀2)+ °2xxx2 +q(x +x2 + a2_ 2幼兒+（。+ 0）（）1 + ），2）2b? kxx2 + a(x十兀2) + /a2 + ac設(shè)線段的中點(diǎn)為p(wo)，貝u ()= y° = dc2c2a +ac2b2k26t +ac所以 kff = = k, kpp 1（bc = k = 1，pf

17、丄 bc. 由切線的判 兀0-。k定定理可得直線bc與p切與點(diǎn)f.于是我們又有結(jié)論：結(jié)論2設(shè)橢圓e的方程為令+斧1（說(shuō)>0），點(diǎn)4a是它的左右頂點(diǎn),直線小工是右準(zhǔn)線,c點(diǎn)f（c，0）是右焦點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)f的直線交e與5c兩點(diǎn)，直線a5ac分別交/與點(diǎn)m,n,則以 線段mn為直徑的圓與直線相切與點(diǎn)f.對(duì)于結(jié)論13、結(jié)論14,橢圓有完全類 似的結(jié)論.雙曲線和橢圓都是有心曲線，是中心對(duì) 稱圖形對(duì)于拋物線這個(gè)無(wú)心曲線，我們也有 下面類似的結(jié)論：結(jié)論3設(shè)拋物線e的方程為 y2=2px（p>0）,原點(diǎn)。為e的頂點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)f 的直線交e與5c兩點(diǎn)，直線ob,oc分別交其 準(zhǔn)線與點(diǎn)m,n,則以mn為直

18、徑的圓與直線 bc相切與點(diǎn)f.y2 -2pky-p1 =0. 顯然，()所以 yl + y2=2pk, yxy2=-px + 兀2 = k( )?| + 歹2 ) + = + p, x" =v- = -v-又直線 ab的方2p 2p 4程為"s,故點(diǎn)m的坐標(biāo)為,凹,同理可得ki 22西丿fmfn點(diǎn)、n的坐標(biāo)為冷-劉，所以劊r徑的圓過(guò)點(diǎn)f.設(shè)線段wv的中點(diǎn)為p(s)，則xa=-p y0=_p.( a + a24 i x x.-p2x2x2/*舉 04兀兀2故 fm 丄 fn、 以為直n 2幼旳+£（必+旳）=7±",所以 kpf =- = _k,

19、kpfkbc=_k丄=_1，pf 丄 bc. 以線段慟為 r pkx°2直徑的圓與直線bc相切與點(diǎn)f事實(shí)上，對(duì)于圓錐曲線，我們還有下面更 一般的的結(jié)論：結(jié)論4設(shè)曲線e的極坐標(biāo)方程為p=-1-wcos&，極點(diǎn)0是e的一個(gè)焦點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為 /： pcos® = _p、 過(guò)焦點(diǎn)0的直線交e與b，c 兩點(diǎn)，點(diǎn)a是e上的任意一點(diǎn)，直線454c分 別交/與點(diǎn)則以線段mn為直徑的圓過(guò) 點(diǎn)f證明：設(shè) agm),b(p2，02)，c(q3，&3)(注 1)， 則過(guò)x兩點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為 qsin0(/?2 cosg p cos0|) = /?cos-(x?2 sing p sinj + pp2