一個典型問題的探究過程

1、一些典型問題的探究過程探究一：一個開放性問題的探究 過程及其反思（數(shù)學通訊2011 03 學生）。探究方法師生共同探究 探究過程從感性到理性。引題(2009浙江理7)設向量a,b滿足: |a|=3,|b|=4,a fc=0.以 a,b,a-b 的模為邊長 構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公 共點個數(shù)最多為(a).3(b).4(c).5(d).6分析：當圓與三角形的兩邊相交時，有4 個交點，本題新構造的三角形是三邊為3,4,5 的直角三角形，其內切圓半徑恰好為1.故它 的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為4 個，選b.此題講評后，我意猶未盡，于是提出了下 面的問題：直角三角形的三邊為3,4,

2、5,半徑為7?的 圓與三邊有6個交點，則尺的取值范圍 是-據問題情境提出恰當問題很重要）由于圓的圓心不定,半徑不斷變化，而且 又要與三角形的三邊相交,因此難度較大經過幾分鐘的思考、交流、討論后，課堂逐漸熱 鬧起來經過梳理，我把學生的思維過程概括 為如下的兩個階段:感性階段，思維螺旋上升學生一答案是恥理由:當圓心是二角形的內切圓國心/時，對應的尺是1；當心是三角形的外接圓圓心。時，對應的人是弓,此答案有一定的合理性,一部分學生表 示認同我對學生一的答案不予評價繼續(xù)提 問:還有其它答案嗎?過了兩分鐘.學生二答案是恥(l")u理由:當圓心是三角形的內切圓圓心/時，對應的 當圓心是三角形的外

3、接圓圓心0時, 對應的珂2身)結合題意恥(1")u(2,|)該答案很快被其他學生否定.cda 4 b給出了如下的圖形:當圓心是三角形的內切圓圓心/時,對應的當圓心是點d時,對應的學生三答案是肚(1,3)他r是3結合題意恥(1,3).這個答案出現(xiàn)后，大部分學生表示贊同. 我對學生的答案仍不予評價繼續(xù)提問:還有其它答案嗎?注在提出這個問題時，我認為的答案是 恥(3),解答過程和學生三相同.繼續(xù)提問, 一歹面是為了讓學生充分暴露思維過程;另 tj®5教學經驗告訴我，自己提出的問題, 難免k考慮不周，這一次又是如此.abchce診篇込卩當圓心又過了幾分鐘.學生四答案是肚卜勻他給 出

4、了如下的圖形:作bc的垂直平 分線交矩形的邊仞與點e ,由 是二角形的內切圓圓心/時，對應的r是1;當圓心是點e時,對應的r是豐結合題意o繼續(xù)提問:還有其它答案嗎?此時的學生很激動，也很困惑.總結提問:根據學生一，圓的圓心可以在 線段/0上,呵導 根據學生三，圓的圓心可 以在線段上，恥(1,3)；根據學生四，圓的 圓心可以在線段ie上,毗(點),圓的圓心到 底在什么范圍內？圓的半徑還可以繼續(xù)增大嗎？注這個問題是給學生的，也是給自己的.學生五 圓的圓心一定在矩形在內理由如下:二、理性階段,思維漸趨嚴謹 如果圓和線段ac有兩個交點, 則圓心必在兩條平行線ab,cd 所夾的區(qū)域內；如果圓和線段佔有兩

5、個交 點側圓心必在兩條平行線4c,妙所夾的區(qū) 域內；如果圓和線段cb有兩個交點,則圓心 必在過b,c且和直線bc垂直的兩條平行線 所夾的區(qū)域內，這三個區(qū)域的公共部分即為 矩形4bdc內.我對學生五的回答給予肯定因為該學生已經在理性地思考圓心所在的區(qū)域，為問 題的根本解決做了鋪墊同時繼續(xù)提問:圓心 所在的區(qū)域能否進一步縮小呢?又過了幾分鐘.學生六如圖所示，弧線g是 以a為焦點，以bc為準線的拋物焦點，以 ac 為準線的拋物線圓的線，弧線c2是以c為焦點，以為 準線的拋物線，弧線是以b為 圓心定在三條線段和三條拋物線弧圍成 的封閉區(qū)域內結合圖形，由拋物線的定義可 知gb-gc,點g在兀的垂直平分線

6、上，根據 學生四的求解，點g為圓心時對應的半徑尺 是¥，故珂1,豐）此時，再也沒有人懷疑答案的正確性，問題 終于得到了圓滿的解答.為a，半徑為r的圓與三邊有6個交點，則人的取值范圍是為了鞏固這種方法，我靈機一動，又 提出了如下的問題:正a5c的邊長此時學生輕車熟路,很快畫出圓心所在的 區(qū)域是由三條拋物線弧圍成的平面區(qū)域，如 圖所示，根據圖形可得耐些，制接著我又提出了如下的問題:通過此題的 探究，你有哪些收獲？下課的鈴聲響了，我們終止了討論我無法 了解學生會有怎樣精彩的回答滇的很可惜.教學反思本節(jié)課在引題的基礎上，通過提出問題, 組織討論，讓學生完整地經歷了問題的探究 過程，體驗了成功

7、的快樂，感受了數(shù)學的美.本節(jié)課如果滿堂灌，把錯誤的答案教給學生, 教學效果可想而知在上課時,不可滿堂灌, 要讓學生充分暴露自己的思維過程，不斷修 正和完善自己的思維過程，讓學生體驗成功 和失敗的感受，經歷完整的教學過程.學生六的解法使我真正地認識到學生 的智慧是無窮的，學生的智慧是教師成長的 重要源泉他讓我又一次深刻領悟了“教學相 長''這個道理.我喜歡變題對于教師來說，變題可以讓 教師不斷挑戰(zhàn)自己,永葆青春活力對于一部 分學生來說，教材中準備的教學內容已經掌 握,教學時，要在恰當?shù)臅r機提出恰當?shù)木哂?挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生的學習興趣,讓學生 開動腦筋，積極參與，讓課堂動起來,

8、這樣才 能真正提高課堂效率這種做法學生很喜歡, 它使我在教學上獲得了成功在剛開始的時 候,這種做法經常使我“掛黑板",如今隨著教 學經驗的不斷增多,教學機智的不斷增強，往 往能化險為夷，并達到天衣無縫的妙境.探究二：對一道咼考試題的探究 （中學數(shù)學教學參考下旬刊2011.1-2） 探究方法從特殊到一般2010高考四川卷第20題是一道有關直 線與圓錐曲線位置關系的解析幾何題：已知定點 4(-l,0),f(2,0), 定直線 小冷不在兀軸上的動點p與點f 的距離是它到直線/的距離的2倍. 設點p的軌跡為e，過點f的直線交e與b,c兩點，直線a5ac分別交/與點m,n.(1) 求e的方程；

9、八斗"(2) 試判斷以線段mn為直徑的圓是否過 點f,并說明理由.此題主要考查直線、軌跡方程、雙曲線 等基礎知識,考查解決解析幾何題目的思想 方法及推理運算能力同時第（2）小題還是一道值得探究的好題.探究1將問題一般化，設雙曲線e的方2 2程為令-* = 1仏：0）,點a，a是它的左右頂點，直線廠上是右準線，點f（c,o）是右焦點，過點fc的直線交e與5c兩點，直線ab,ac分別交z 與點m,n,以線段mv為直徑的圓是否過點 f呢？探究如下：設嗆 ,yj,c（x2，兒 ），直線 bc 的方 程為x = ky + c，將它代人雙曲線的方程并整理 得（必2_/”2+2局幼 + /=0.

10、由題意知 ，b2k2-a2 0, a > 0 所以2bckb4yy2=b2k2-a)»»2/，兀1+兀2 =r(yi+)2)+ 2c = 2a2 c西兀2 =疋）卩2+辰+旳）+圧=疋頁"7 2h2ck o -/一加頁r + °a2h2k2+a2c2必2/又直線a的方程為尸亠（w，）,故點m的坐標xi+aa2 a2 +ac ycc兀+ d，由對稱輪換可得點n的坐標>1 >2為住 g-+ac y2(c c % + ax+a x2+a xjx2 + a (壬 + 兀?) + q?必2 _/a2b2k2 +a2c2 2a3c 2°_

11、 + acr b k-er2 a2 (a + c2+2b2k2fm fn(9ctc< c )b小故q2(d+c)2丿 )2兀1 + a x2-ab4 /(a + c)2 護= u c2c2q2+c)2所以fm丄fn,以線段mn為直徑的圓過點f.于是有如下的結論：結論1.1設雙曲線e的方程為手一卜1（恥0）,點a，a是它的左右頂點，直線 心=少是右準線，點f（c,o）是右焦點,過焦點fc的直線交e與肌兩點，直線ab, ac分別交i與 點un,則以線段為直徑的圓過點f.探究2當直線bc垂直于兀軸時，易知以線段為直徑的圓于直線bc相切于點f，當直線bc是任意直線時，該結論是否成 立呢？探究如下

12、：接上面，因為2 紬兒+（。+。）（） +力）x,x2 +g（x| +%2）+ q2斗設茁+ac線段mn的中點2a +ac/x十、 旳a2 +ac2c“+ d 丿q+d丿2c必i力 二兀2必+州兒+。（）1+力） x + q x2+a xx2 + q（x +） + q?（幼2 +c）x +（切 1 +c”2 +d（y】+ 兒）xx2 +d （兀+x2） + z2為戶（兀0，兒）j貝！j2h2k7c 廠 +dc2xo=5>ocpf 丄 bc. 由切線的判定定理可得 直線bc與p切與點f.于是我們又有：結論12設雙曲線e的方程為務* = l（a上0）,點a，4是它的左右頂點，直線上是右準線，

13、點f（c，0）c是右焦點,過焦點f的直線交e與5c兩點，直 線mac分別交/與點un,則以線段mn為直 徑的圓與直線bc相切與點f.探究3如圖，對于右頂點a,是否有類 似的結論呢？利用對稱輪換，將前面討論過程中的。 換為-q,同樣可得下面的結論：結論13設雙曲線e的方程為手一卜1（恥0）,點4,a是它的左右頂點，直線心=蘭是右準線，點f（c,o）是右焦點,過焦點尸的 c直線交e與5c兩點，直線aqac分別交/與 點m,n、，則以mn為直徑的圓與直線bc相切 與右焦點f.因為過點f和直線bc垂直的直線與準 線/的交點是唯一的，所以由結論1.2和結論 1.3可知，以mv為直徑的圓和以為直徑 的圓是

14、同一個圓.于是我們還有：結論14設雙曲線e的方程為手一i0）,點a，a是它的左右頂點，直線 心斗是右準線，點f（c,o）是右焦點,過焦點f的 直線交e與5c兩點，直線aq4c相交于點m, 直線仙,ac相交于點n,則點m,n都在準線/ 上.呢？探究4類比到橢圓，是否有相似的結論探究如下：如圖，設b（k，yj,c（x2，y2）, 直線bc的方程為（ “紗+ c,將它代人橢圓的方程合+ *i(°>b>0)并整理得(b2k2 +a2)y2 -2b2cky-b4 =0顯然，。所以b42b2ck一頁訂盯怙"央+2,禹+兀2=£(開 + 旳)+ 2。= 2a cb2

15、k2+a2'b42=疋牙旳+好（開+旳）+疋=-p匕2； * / _陽：,+疋沱-加彳b2k2 +c又直線加的方程為"亠（“°）,故點m兀+ d的坐標為任 a2+ac y,(c c£ + d 丿，由對稱輪換可得點n的坐標為仔2d + ac y2 c *2 +ab4b2k2 +cr,所以亠亠-嚴l 丿x, + 67x2+a x兀2 +d(x +尤2)+ °b4a2c2 -a2b2k2 2a3c2 a2 (a + cb2k2a2b2k2a2b4 /(d + c)，/?4c2 c2 a2(a + cx2/ 2 、2 / 2aac + i c )d +

16、c)2一-=塔-半匕_ = 0故fm丄fn,以mn為直 西+q x2+a cc /(q+c)徑的圓過點f又因為y , y2 _ 兀2x + + q ()i + 力)_ (6 + c) x + (幼 + c)力 + g (開 + 力)x+a x2+a 兀兀2+d(*i+兀2)+ °2xxx2 +q(x +x2 + a2_ 2幼兒+（。+ 0）（）1 + ），2）2b? kxx2 + a(x十兀2) + /a2 + ac設線段的中點為p(wo)，貝u ()= y° = dc2c2a +ac2b2k26t +ac所以 kff = = k, kpp 1（bc = k = 1，pf

17、丄 bc. 由切線的判 兀0-。k定定理可得直線bc與p切與點f.于是我們又有結論：結論2設橢圓e的方程為令+斧1（說>0），點4a是它的左右頂點,直線小工是右準線,c點f（c，0）是右焦點,過焦點f的直線交e與5c兩點，直線a5ac分別交/與點m,n,則以 線段mn為直徑的圓與直線相切與點f.對于結論13、結論14,橢圓有完全類 似的結論.雙曲線和橢圓都是有心曲線，是中心對 稱圖形對于拋物線這個無心曲線，我們也有 下面類似的結論：結論3設拋物線e的方程為 y2=2px（p>0）,原點。為e的頂點，過焦點f 的直線交e與5c兩點，直線ob,oc分別交其 準線與點m,n,則以mn為直

18、徑的圓與直線 bc相切與點f.y2 -2pky-p1 =0. 顯然，()所以 yl + y2=2pk, yxy2=-px + 兀2 = k( )?| + 歹2 ) + = + p, x" =v- = -v-又直線 ab的方2p 2p 4程為"s,故點m的坐標為,凹,同理可得ki 22西丿fmfn點、n的坐標為冷-劉，所以劊r徑的圓過點f.設線段wv的中點為p(s)，則xa=-p y0=_p.( a + a24 i x x.-p2x2x2/*舉 04兀兀2故 fm 丄 fn、 以為直n 2幼旳+£（必+旳）=7±",所以 kpf =- = _k,

19、kpfkbc=_k丄=_1，pf 丄 bc. 以線段慟為 r pkx°2直徑的圓與直線bc相切與點f事實上，對于圓錐曲線，我們還有下面更 一般的的結論：結論4設曲線e的極坐標方程為p=-1-wcos&，極點0是e的一個焦點，其對應的準線為 /： pcos® = _p、 過焦點0的直線交e與b，c 兩點，點a是e上的任意一點，直線454c分 別交/與點則以線段mn為直徑的圓過 點f證明：設 agm),b(p2，02)，c(q3，&3)(注 1)， 則過x兩點的直線的極坐標方程為 qsin0(/?2 cosg p cos0|) = /?cos-(x?2 sing p sinj + pp2