2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)--與軸對(duì)稱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題及解析

1、與軸對(duì)稱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題及解析問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海 倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的 A地出發(fā)，到一條筆直的河邊I飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使 他所走的路線全程最短？解析：將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河 I抽象為一條直 線。I作法：(1) 作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'(2) 連接AB'，與直線I相交于點(diǎn)C。證明：如圖，在直線I上任取一點(diǎn)C'與點(diǎn)C不重合，連接AC', BC , B' C'。 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC =B C，BC =B' C . AC

2、 +BC = AC +BC = AB， AC +BC = AC +B ' C'.在厶AB' C中，AB' v AC +B ' C'， AC +BV AC' +BC .即 AC +BC最短.假設(shè)直線I上任意一點(diǎn)與點(diǎn)C不重合 和都大于AC +BC就說(shuō)明AC +BC最小.C大橋問(wèn)題2如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然 后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑。解析：考點(diǎn)：作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題專題：分析：根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短，和軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題解答.A'P解答：大橋解：1

3、 兩點(diǎn)之間，線段最短，連接PQ;2 作P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P1，連接QP1，交BC于M，再連接 MP .最短路線P-Q-M-P.點(diǎn)評(píng)：此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟悉軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.問(wèn)題3如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋 MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要 與河垂直解析：如圖，作BB'垂直于河岸GH，使BB '等于河寬，連接AB '，與河岸EF相交于M，作MN丄GH，貝U MN /BB '且MN=BB '，于是MNBB '為平行四邊形，故NB=MB根據(jù)"兩

4、點(diǎn)之間線段最短，AB '最短，即AM+BN 最短.問(wèn)題4 ABC中，D、E是邊AB AC邊上的點(diǎn)，在邊 BC上找一點(diǎn) M , 使厶DEM的周長(zhǎng)最小。解答：如圖作D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D',連接D'E,角BC與P,DE的周長(zhǎng)最小.問(wèn)題5如圖，如果我們把臺(tái)球桌做成等邊三角形的形狀，那么從AC的中點(diǎn)D處發(fā)出的球，能否依次經(jīng)BC,AB兩邊反射后回到D處？如果認(rèn)為不能，請(qǐng)說(shuō)明 理由；如果認(rèn)為能，請(qǐng)作出球的運(yùn)動(dòng)路線。解析：能,如上圖。E，F(xiàn)分別為AB，BC中點(diǎn)證明：因?yàn)榈冗呟藺BC，D，E，F(xiàn)為三邊中點(diǎn)所以，ADEF也是等邊中位線。又因?yàn)镃E丄AB，DF /AB，所以，CE丄DF所以EC平分

5、/DEF (三線合一)所以，球沿DE方向入射至AB，出射方向一定是 EF,即圖中的兩個(gè)a角。同理可證沿著EF方向入射至BC，出射方向一定是 FD，所以最終回到了 D點(diǎn)問(wèn)題6如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到 草地邊某一處牧馬，再到河邊飲 水，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最 短路線。t *AT+TR+BR = ET+TR+FR ,分祈：作子ONG辺渤點(diǎn)匕廿關(guān)制的対稱點(diǎn)E f連揺U交CHN于C .交OM子U ,連擺 AC、 ED *曰FjJ猖出答宴；根招對(duì)新點(diǎn)HjAC-EC f BD-FDFR-BR f AT-ET #根掲兩點(diǎn)之間曲鳩短即可求出答宰* 解：汨AC匚D-

6、網(wǎng)路疏走是良是匹姥戰(zhàn)幻圉(1 )所示:(1)證明：在O忡丄任意取一點(diǎn)T ,在O翔丄任意取 點(diǎn)R .莊按FRr 8亂El AT T /A. b其于0Z対稱.L-.ac-ec r同i!ED=FD FR=BR r AT=ET ./ AC+D + DB=EC + CD+FD=EF *- ETi-TR+FR > EF T的路W點(diǎn)評(píng);本麵土蠻考直尢稱魏段的性質(zhì)屜對(duì)稱的性質(zhì).軸對(duì)稱品短iS線訶題等知識(shí)點(diǎn)的理 鮎和寧握,自征誦直團(tuán)和根退畫(huà)圏字件進(jìn)彳推理是解此題的關(guān)鍵.問(wèn)題7，如圖，在直線I的同側(cè)有兩點(diǎn)A，B.J t圖iID2(1)在圖1的直線上找一點(diǎn)P,使PA+ PB最短;(2)在圖2的直線上找一點(diǎn)P,

7、使PA- PB最長(zhǎng).解：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交直線I于點(diǎn)P,連接BP.點(diǎn)P即為所求圖略.(2)連接AB并延長(zhǎng)，交直線I于點(diǎn)P圖略.,在的度問(wèn)題 8 如圖，四邊形 ABCD 中，/ BAD = 120° , / B=Z D = 90BC, CD上分別找一點(diǎn) M , N ,使厶AMN周長(zhǎng)最小，求/ AMN +Z ANMAN ,解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A ',A "，連接A 'A "，交BC于M，交CD于N，連接AM , 那么A A "即為ZAMN的周長(zhǎng)最小值.作 DA延長(zhǎng)線AH.VZDAB = 120 ° ,/ZHAA ' =60 °.A+ A "=/HAA ' =60 °.T 厶=MAA ' , NAD =AA "，且AC+AAA '