2016高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算教師用書理蘇教版

1、§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小稱為向量的長度(或稱為模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又稱為共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)c

2、a(bc).減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)a0時，a0；當(dāng)0時，a0(a)()a；() aaa；(ab)ab3.向量共線定理如果有一個實(shí)數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個實(shí)數(shù)，使ba.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量(×)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的

3、方向無關(guān)()(3)已知兩向量a，b，若|a|1，|b|1，則|ab|2.(×)(4)ABC中，D是BC中點(diǎn)，則()()(5)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上(×)(6)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()1設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是_答案3解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是

4、假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.2在ABC中，若3，12(其中1，2為實(shí)數(shù))，則12_.答案1解析由題意可得()，所以121.3已知D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足0，則實(shí)數(shù)的值為_答案2解析如圖所示，由，且0，則P是以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)，因此2，則2.4在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_.(用a，b表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.題型一平面向量的概念例1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab

5、.其中正確命題的序號是_答案解析不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.故“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件正確ab，a，b的長度相等且方向相同；又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是.思維升華(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)共線向量即為平行向量，

6、它們均與起點(diǎn)無關(guān)(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談(4)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量下列命題中，正確的是_(填序號)有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；向量與向量共線，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；如果ab，bc，那么ac；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小答案解析不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；不正確，

7、如果b0，則a與c不一定平行；正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大?。幌蛄康哪＞鶠閷?shí)數(shù)，可以比較大小題型二平面向量的線性運(yùn)算例2(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若a，b，則_.(用a，b表示)(2)在ABC中，c，b，若點(diǎn)D滿足2，則_(用b，c表示)答案(1)ab(2)bc解析(1)如圖，由題意知，DEBE13DFAB，ab(ab)ab.(2)2，22()，32，bc.思維升華(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位

8、置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果(1)在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_.(用a，b表示)(2)(2013·江蘇)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_答案(1)ab(2)解析(1)由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.(2)由題意，得()，則1，2，即12.題型三共線定理的應(yīng)用例3設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線(1)證明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(a

9、b)5.、共線，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線(2)解kab和akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是兩個不共線的非零向量，kk10，k210.k±1.思維升華(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當(dāng)且僅當(dāng)120時成立，否則向量a、b不共線如圖，在ABC中，點(diǎn)D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，則_. (2)已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若430，則_.答案(1)(2

10、)3解析(1)由平面向量的三角形法則，得.又因?yàn)辄c(diǎn)D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn)，所以().(2)4303()03，所以3.方程思想在平面向量的線性運(yùn)算中的應(yīng)用典例：(14分)如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)a，b.試用a和b表示向量.思維點(diǎn)撥(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出manb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解規(guī)范解答解設(shè)manb，則manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t，使得t，即(m1)anbt.6分(m1)anbtatb

11、.消去t得，m12n，即m2n1.9分又manbaanb，baab.又C、M、B三點(diǎn)共線，與共線12分存在實(shí)數(shù)t1，使得t1，即(m)anbt1.anbt1at1b，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.14分溫馨提醒(1)本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識要點(diǎn)清楚，但解題過程復(fù)雜，有一定的難度(2)易錯點(diǎn)是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧如本題易忽視A、M、D三點(diǎn)共線和B、M、C三點(diǎn)共線這個幾何特征(4

12、)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會方法與技巧1向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”2證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線3對于三點(diǎn)共線有以下結(jié)論：對于平面上的任一點(diǎn)O，不共線，滿足xy(x，yR)，則P，A，B共線xy1.失誤與防范1解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；

13、二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性2在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1下列說法正確的個數(shù)是_溫度、速度、位移、功這些物理量都是向量；零向量沒有方向；向量的模一定是正數(shù)；非零向量的單位向量是唯一的答案0解析錯誤，只有速度和位移是向量；錯誤，零向量是有方向的，它的方向是任意的；錯誤，|0|0；顯然錯誤2已知向量a(2,4)，b(1,1)，則2ab_.答案(5,7)解析2ab(4,8)(1,1)(5,7)3設(shè)a，b不共線，2apb，ab，a2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值是_答案1解析ab，a2b

14、，2ab.又A，B，D三點(diǎn)共線，共線設(shè)，2apb(2ab)，22，p，1，p1.4已知點(diǎn)O為ABC外接圓的圓心，且0，則ABC的內(nèi)角A_.答案60°解析由0，知點(diǎn)O為ABC的重心，又O為ABC外接圓的圓心，ABC為等邊三角形，A60°.5在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若，則_.答案解析，2，即.故.6下列命題：如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么ab的方向必與a，b之一方向相同；三角形ABC中，必有0；若0，則A，B，C為三角形的三個頂點(diǎn)；若a，b均為非零向量，則|ab|與|a|b|一定相等其中假命題的序號為_答

15、案解析若a與b長度相等，方向相反，則ab0；A，B，C三點(diǎn)可能在一條直線上；|a|b|ab|.7設(shè)O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且2，則AOB與AOC的面積之比為_答案12解析設(shè)D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)OD，則2.又2，所以，即O為BD的中點(diǎn)，從而容易得AOB與AOC的面積之比為12.8在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若2，則_.答案解析由圖知，且20.×2得：32，.9已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共線，向量c2e19e2.問是否存在這樣的實(shí)數(shù)、，使向量dab與c共線？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使dkc

16、，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在這樣的實(shí)數(shù)、，只要2，就能使d與c共線10.如圖所示，在ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a、b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(1)解延長AD到G，使，連結(jié)BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)ba(b2a)(2)證明由(1)可知，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線B組專項(xiàng)能力提升(時間：25分鐘)1已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且22，則下列結(jié)論正確的是_點(diǎn)P在線段AB上；點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上；點(diǎn)P在線段AB的延長線上；點(diǎn)P不在直線AB上答案解析因?yàn)?2，所以2，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上2如圖，經(jīng)過OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)m，n，m，nR，則的值為_答案3解析設(shè)a，b，由題意知×()(ab)，nbma，(m)ab，由P、G、Q三點(diǎn)共線得，存在實(shí)數(shù)，使得，即nbma(m)ab，從而消去得3.3O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足： ，0，)，則P的軌跡一定通過ABC的_心(填“外”“內(nèi)”“重”“垂”)答案內(nèi)解析作BAC的平分線AD.，· (0，)，·，.P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心4.如圖所示，在AB