2022年2022年高中數(shù)學(xué)基本不等式知識點歸納及練習(xí)題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1基本不等式：abab 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1基本不等式成立的條件：a 0, b 0. 2等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab 時取等號2 幾個重要的不等式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1a2 b2 2aba,br；2 ba2a,b 同號；3ab a b ab22a, br；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a2 b242ab 22a, br精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè) a0,b0

2、,就 a,b 的算術(shù)平均數(shù)為a b2,幾何平均數(shù)為ab,基本不等式可表達(dá)為兩個精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)4 利用基本不等式求最值問題已知 x0,y0,就1假如積 xy 為定值 p,那么當(dāng)且僅當(dāng) xy 時, x y 有最小值為 2p.簡記：積定和最小 p22假如和 xy 為定值 p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x y 時, xy 有最大值為 4 .簡記：和定積最大 一個技巧運用公式解題時,既要把握公式的正用,也要留意公式的逆用,例如a2b22ab 逆用就為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aba2 b22；ab2aba, b 0逆用就為 a

3、ba b 22a, b 0等仍要留意 “ 添.拆項 ”精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載技巧和公式等號成立的條件等精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載兩個變形a2 b212ab 2aba,br,當(dāng)且僅當(dāng) ab 時取等號 ； 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a2b222a b2ab121a0,b0,當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取等號 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ba這兩個不等式鏈用處很大,留意把握它們?nèi)齻€留意1使用基本不等式求最值,其失誤的真正緣由為其存在前提“一正.二定.三相等” 的忽精品學(xué)習(xí)資料精選

4、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點視要利用基本不等式求最值,這三個條件缺一不行2在運用基本不等式時,要特殊留意“ 拆”“ 拼”“ 湊”等技巧,使其滿意基本不等式中 “ 正 ”“ 定 ”“ 等 ” 的 條 件 3連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格,要求同時滿意任何一次的字母取值存在且一樣應(yīng)用一：求最值例 1：求以下函數(shù)的值域211精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1） y 3x解題技巧： 技巧一：湊項 2x 2（ 2） y x x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1：已知 x5,求函數(shù)y44x214x5的最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

5、迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載技巧二：湊系數(shù)例 1.當(dāng)時,求技巧三 ： 分別yx82x 的最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 3.求 yx27x10 x1 的值域；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1；技巧四 ：換元精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載技巧五：留意：在應(yīng)用最值定理求最值時,如遇等號取不到的情形,應(yīng)結(jié)合函數(shù)f xxa 的單調(diào)性；x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：求函數(shù)yx25x24的值域；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載練習(xí)求以下函數(shù)的

6、最小值,并求取得最小值時,x 的值 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1） yx23x x1 、 x0（2） y2x1、 xx333y2sin x1、 x sin x0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2已知 0x1,求函數(shù)yx1x 的最大值 . ；3 0x2 ,求函數(shù)3yx23x 的最大值 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載條件求最值1. 如實數(shù)滿意ab2 ,就3a3b 的最小值為.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

7、 - - 歡迎下載變式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11的最小值 . 并求 x、 y 的值xy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時,要留意取等號的條件的一樣性,否就就會出錯；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2：已知 x0、 y0 ,且 191,求 xy 的最小值；xy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式：（ 1）如x、 yr且 2 xy1 ,求 1 x1 的最小值y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 已知a、 b、 x、 yr且

8、 abxyy221 ,求 xy 的最小值2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載技巧七.已知x, y 為正實數(shù),且x 2 1,求 x1 y的最大值 .1技巧八：已知a, b 為正實數(shù), 2b ab a 30,求函數(shù)y ab 的最小值 .技巧九.取平方5.已知 x, y 為正實數(shù), 3x 2y 10,求函數(shù) w3x 2y 的最值 .應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1已知a、 b、 c 為兩兩不相等的實數(shù),求證：a 2b 2c 2abbcca精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1）正數(shù) a, b, c 滿意 a bc 1,求證： 1

9、a1 b1 c 8abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6：已知 a.b.cr ,且abc1；求證：1111118精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abc應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：已知 x0、 y0 且 191 ,求使不等式xym 恒成立的實數(shù)m 的取值范疇；xy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：1ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：如 ab1、 plg alg b 、qlg a2lg b、 rlg ,就2p、 q、 r 的大小關(guān)系為.精品學(xué)習(xí)資

10、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：（ 1） y 3x 212 23x 2x121· 26值域為 6 , +） 2x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）當(dāng) x 0 時, y xx 2x· x 2；111當(dāng) x0 時,y x x =（x x） 2x · x = 2值域為（,2 2 ,+）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 因 4x50 ,所以第一要 “調(diào)整” 符號, 又 4 x214x不為常數(shù), 所以對 4x52 要進(jìn)

11、行拆. 湊項,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x5 、54x0 ,y4 x2154x13231精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載44 x554x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)且僅當(dāng)54 x1,即 x54x1時,上式等號成立,故當(dāng)x 1 時,ymax1 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載評注：此題需要調(diào)整項的符號,又要配湊項的系數(shù),使其積為定值；解析：由知,利用基本不等式求最值,必需和為定值或積為定值,此題為兩個式子精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載積的形式, 但其和不為定值；留意到 2 x82x8 為定值, 故只需將y x8

12、2x 湊上一個系數(shù)即可；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng),即 x2 時取等號當(dāng) x2 時,yx82 x的最大值為8；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載評注： 此題無法直接運用基本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求最大值；解析一：此題看似無法運用基本不等式,不妨將分子配方湊出含有（x 1）的項,再將其分別；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)、 即時、 y2 （ x14x159 （當(dāng)且僅當(dāng)x 1 時取“”號）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析二：此題看似無法運用基本不等式,可先換元,令t =x 1,化簡原式在分別求

13、最值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載yt127t1）+10t 25t=4t45精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ttt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)、 即 t =時、 y2t459 （當(dāng) t =2 即 x 1 時取“”號）；t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載評注：分式函數(shù)求最值,通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載值；即化為ymg xag xb a0、 b0 ,g x 恒正或恒負(fù)的形式,然后運用基本不等式來求最值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

14、下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：令x24t t2 ,就 yx5x411t t2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22x24x24t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因 t0、 t11 ,但 t t11解得 tt1 不在區(qū)間2、,故等號不成立,考慮單調(diào)性；5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 yt在區(qū)間1、單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間2、為單調(diào)遞增函數(shù),故y；t2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以,所求函數(shù)的值域為5 、；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：“和”到“積”為一個縮小的過程,而且3a3b 定

15、值,因此考慮利用均值定理求最小值,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：3a 和3b 都為正數(shù),3 a3b 23a3b23a b6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) 3a3b 時等號成立,由ab2 及 3a3b 得 ab1即當(dāng) ab1時, 3 a3b 的最小值為6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯解：x0、 y0 ,且 191 ,xy19xy22xy12故xy12；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9xyxyxymin精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯因：解法中兩次

16、連用基本不等式,在xy2xy 等號成立條件為xy ,在 1929等號成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載條件為 19 即 yxyxyxy9 x 、 取等號的條件的不一樣,產(chǎn)生錯誤；因此,在利用基本不等式處理問題時,列出精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載等號成立條件為解題的必要步驟,而且為檢驗轉(zhuǎn)換為否有誤的一種方法；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正解 ：x0、 y0、 191,xyxy19y9 x1061016精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xyxyxy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y當(dāng)且僅當(dāng)9x時,上式等號成立,又191,

17、可得 x4、 y12 時,xy16；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xyxya2 b 2min精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：因條件和結(jié)論分別為二次和一次,故采納公式ab2；22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22121 y1y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同時仍應(yīng)化簡1 y2中 y 前面的系數(shù)為,x1y2 x2·2 x·222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載下面將 x,1 y分別看成兩個因式：22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22y121y 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

18、- 歡迎下載1y 2x·2 22x 2 22x 2 232 4即 x1 y 2 2 · x1y 232 2 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：這為一個二元函數(shù)的最值問題,通常有兩個途徑,一為通過消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題,再用單調(diào)性或基本不等式求解,對此題來說,這種途徑為可行的；二為直接用基本不等式,對此題來說,因已知條 件中既有和的形式,又有積的形式,不能一步到位求出最值,考慮用基本不等式放縮后,再通過解不等式的途徑進(jìn)行；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載法一： a30 2bb1,ab30 2bb 1·b 2 b2 30b b 1精

19、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2由 a 0 得, 0 b 152t 34t 31161616精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令 t b+1, 1 t 16, ab1 2（ t t） 34 t t 2t · 8tt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ab 18 y當(dāng)且僅當(dāng)t 4,即 b3, a 6 時,等號成立；18精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載法二：由已知得：30 ab a2b a2b 22 ab 30 ab 22 ab令 uab就 u222 u30 0, 52 u 321ab 32 ,ab 18, y 18精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

20、資料 - - - 歡迎下載點評： 此題考查不等式ab2ab（ a、 br ）的應(yīng)用. 不等式的解法及運算才能；如何由已知不等精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載式 aba2b30（ a 、br ）動身求得 ab 的范疇, 關(guān)鍵為查找到ab與ab 之間的關(guān)系, 由此想到不等精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載式 ab 2ab（a 、 br ）,這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab 的不等式,進(jìn)而解得ab 的范疇 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式： 1. 已知 a>0,b

21、>0, ab a b 1,求 a b 的最小值；2. 如直角三角形周長為1,求它的面積最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解法一：如利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,a b2a 2 b22,此題很簡潔精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點3x 2y2（3x ） 2（2y ） 2 23x 2y 25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式,設(shè)法直接用基本不等式,應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式,再向“和為定值”條件靠攏；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2w 0, w 3x 2y 23x ·2y 10 23x ·2y 10 3x w20 252· 2y 2 10 3 x 2y 20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 :求函數(shù) y2x152 x 1x5 的最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：留意到2 x221與 52x 的和為定值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y 22 x152 x 2422 x152x42 x152 x8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 y0 ,所以 0y22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載