2022年2022年高中數(shù)學復習專題講座不等式知識的綜合應用

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載題目高中數(shù)學復習專題講座不等式學問的綜合應用高考要求不等式為繼函數(shù)與方程之后的又一重點內容之一,作為解決問題的工具,與其他學問綜合運用的特點比較突出不等式的應用大致可分為兩類一類為建立不等式求參數(shù)的取值范疇或解 決一些實際應用問題；另一類為建立函數(shù)關系,利用均值不等式求最值問題.本難點供應相關的思想方法,使考生能夠運用不等式的性質.定理和方法解決函數(shù).方程.實際應用等方面的問題精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載重難點歸納1 應用不等式學問可以解決函數(shù).方程等方面的問題,在解決這些問題時,關鍵為把非不等式問題轉化為不等式問題,在化歸與轉化中,要留意等

2、價性2 對于應用題要通過閱讀,懂得所給定的材料,查找量與量之間的內在聯(lián)系,抽象出事物系統(tǒng)的主要特點與關系,建立起能反映其本質屬性的數(shù)學結構,從而建立起數(shù)學模型,然后利用不等式的學問求出題中的問題典型題例示范講解例 1 用一塊鋼錠燒鑄一個厚度勻稱,且表面積為2 平方米的正四棱錐形有蓋容器 如右圖 設容器高為h 米,蓋子邊長為a 米,1求 a 關于 h 的解析式；2設容器的容積為v 立方米, 就當 h 為何值時, v 最大？求出v 的最大值 求解此題時,不計容器厚度精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載命題意圖此題主要考查建立函數(shù)關系式,棱錐表面積和體積的運算及用均值定論求函數(shù)的最值學問依

3、靠此題求得體積v 的關系式后, 應用均值定理可求得最值錯 解 分 析在 求 得a的 函 數(shù) 關 系 式 時 易 漏h 0技 巧 與 方 法本 題 在 求 最 值 時 應 用 均 值 定 理精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解 設h 為 正 四 棱 錐 的 斜 高 , 由 題 設 可 得消去由 h 0得所以 v,當且僅當 h=即 h=1 時取等號精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故當h=1 米時, v 有最大值,v 的最大值為立方米+bx+c, gx=ax+b,當 1 x例 2 已知 a, b, c 為實數(shù),函數(shù)fx=ax2 1 時|fx| 11證明|c |1；2證明當

4、1 x1 時, |g x| 2；3設 a 0,有 1 x1 時, gx的最大值為2,求 f x命題意圖此題主要考查二次函數(shù)的性質.含有肯定值不 等 式 的性 質 ,以 及 綜合 應 用 數(shù)學 知 識分 析 問題 和 解 決問 題 的能 力精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學問依靠二次函數(shù)的有關性質.函數(shù)的單調性為藥引,而肯定值不等式的性質敏捷運用為此題的靈魂錯解分析此題綜合性較強, 其解答的關鍵為對函數(shù)fx 的單調性的深刻懂得,以及對條件“1 x1 時|f x| 1”的運用；肯定值 不等式的性質使用不當,會使解題過程空洞,缺乏嚴密, 從而使題目陷于僵局技巧與方法此題 2 問有三種證

5、法,證法一利用gx的單調性；證法二利用肯定值不等式|a| |b| |a± b|精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載|a|+|b|；而證法三就為整體處理gx與 f x的關系1證明由條件當 =1 x 1 時, |f x| 1,取 x=0 得 |c|=|f0| 1,即 |c| 12證法一依題設 |f0| 1 而 f0= c,所以 |c | 1當 a 0 時, gx= ax+b 在 1,1上為增函數(shù),于為 g 1 gxg1, 1 x 1 |fx| 1, 1 x 1, |c| 1, g1= a+b=f1 c |f1|+|c |=2,g 1= a+b= f 1+c |f 2|+|c|

6、2, 因此得 |gx|2 1 x 1；當 a0 時, gx=ax+b 在 1,1上為減函數(shù), 于為 g 1 gxg1, 1 x 1, |fx| 1 1 x 1, |c| 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 |g x|=|f1 c| |f1|+| c| 2綜合以上結果,當1x 1 時,都有 |gx| 2證法二 |fx| 11 x 1 |f 1| 1, |f1| 1, |f0| 1, fx=ax2+bx+c, |a b+c| 1, |a+b+c| 1, |c| 1,因此,依據肯定值不等式性質得|ab |=|a b+c c| |a b+c|+|c| 2,|a+b|=|a+b+c c|

7、|a+b+c|+|c| 2, gx=ax+b, |g ±1|=|± a+b|=|a± b| 2, 函數(shù) gx=ax+b 的圖象為一條直線,因此 |gx|在 1,1上的最大值只能在區(qū)間的端點x= 1 或 x=1 處取得,于為由 |g± 1| 2 得|gx| 2, 1 x 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當 1 x1 時,有 0 1, 10, |fx| 1, 1 x 1, |f| 1,|f|1；因此當1 x 1時, |gx| |f|+|f| 2(3) 解由于 a0,gx在 1,1上為增函數(shù),當x=1 時取得最大值2,即 g1= a+b=f1

8、f0=2 1 f0= f1 21 2= 1, c=f0= 1由于當 1 x 1 時, f x 1,即 fx f0,依據二次函數(shù)的性質,直線x=0 為 f x的圖象的對稱軸,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由此得 0 ,即 b=0由得 a=2,所以 fx=2x2 1例 3 設二次函數(shù)fx =ax2+bx+ca 0,方程fx x=0 的兩個根x1 .x2滿意 0 x1 x21當 x 0, x1時,證明 x f x x1；2設函數(shù)fx的圖象關于直線x=x0 對稱,證明x0 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解1令 fx=fx x,由于 x1,x2 為方程 fx x=0 的根

9、,所以fx=ax x1x x2當 x 0, x1時,由于x1 x2,得 xx1 x x2 0,又 a0,得 fx=axx1x x2 0,即 xfxx1 fx= x1 x +f x=x1 x+ax1 xxx2=x1 x 1+ ax x2 0 x x1 x2, x1 x 0, 1+ax x2=1+ axax2 1 ax2 0 x1 fx0,由此得fx x12依題意x0=,由于x1.x2 為方程f x x=0 的兩根,即x1, x2 為方程 ax2+b1 x+c=0 的根精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 x1+x2= x0=,由于 ax2 1, x0同學鞏固練習1 定義在r 上的奇函數(shù)

10、fx為增函數(shù),偶函數(shù)g x在區(qū)間 0,+ 的圖象與 fx的圖象重合,設a b0,給出以下不等式,其 中正確不等式的序號為 fb f aga g b f b f a gag b fa f bgb g a f a f b gbg aab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載cd2 下 列 四 個 命 題 中 a+b 22 sin x+ 4設x, y 都為正數(shù),如=1,就 x+y 的最小值為12如 |x 2| ,|y 2| ,就|x y| 2 ,其中全部真命題的序號為 3 某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1 與車庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2 與到車站的距離成正比,假如 在

11、距車站10 公里處建倉庫, 這兩項費用y1 和 y2 分別為 2 萬元和 8 萬元, 那么 要 使 這 兩 項 費 用 之 和 最 小 , 倉 庫 應 建 在 離 車 站 公 里 處精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4 已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+1 a,br ,a 0,設方程 fx=x 的兩實數(shù)根為x1, x2 1假如 x1 2 x24,設函數(shù)fx的對稱軸為x=x0,求證 x0 1；2假如 |x1| 2, |x2 x1|=2,求 b 的取值范疇5 某種商品原先定價每件p 元,每月將賣出n 件,假如 定 價 上 漲x成 這 里x成 即, 0 x 10每月賣出數(shù)量將削減y 成,而

12、售貨金額精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載變成原先的z 倍1設 y=ax,其中 a 為滿意 a1 的常數(shù),用a 來表示當售貨金額最大時的x 的值；2如 y=x,求使售貨金額比原先有所增加的x 的取值范圍6 設函數(shù)fx 定義在r上,對任意m . n 恒有f m+n=fm·fn,且當 x 0 時, 0 f x 11求證f0=1 ,且當 x 0 時, fx 1；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2求證fx在 r 上單調遞減；3設集合 a= x, y|fx2 · fy2 f1 ,集合 b= x, y|f ax g+2=1 ,a r ,如 a b=,求 a 的

13、取值范疇7 已知函數(shù)fx=b 0的值域為 1,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3,論；1求 b.c 的值；2判定函數(shù)f x=lg fx,當 x 1, 1時的單調性,并證明你的結精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(3) 如t r , 求 證lg f|t | |t+| lg參考答案精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1解析由題意fa=ga 0, fb= g b 0,且 fa f b, ga gb f b f a=fb+fa=ga+ g b而 ga g b=ga gb ga+gb ga gb=2gb 0, fb f a ga g b同理可證fa f b gb g

14、a答案a2 解析不滿意均值不等式的使用條件“正.定.等”式|x y|=|x 2 y 2| |x 2 y 2| |x 2|+|y 2| + =2 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載答案3 解 析由 已 知y1=；y2=08xx 為倉庫與車站距離費用之和y=y1 +y2=08x+2=8當且僅當08x=即 x=5 時“ =”成立答案5 公里處精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4證 明1 設gx=fx x=ax2+ b 1x +1,且 x 0 x1 2 x2 4, x1 2x2 2 0,即 x1x2 2x1+x2 4,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 解由方

15、程gx=ax2+b 1x+1=0可知精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x1·x2=0,所以 x1, x21°如 0x 12,就 x2 x1=2 , x2=x1+2 2, g2 0,即 4a+2b 10又x2 x12= 2a+1=a 0代入式得,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 3 2b解得 b2°如 2 x1 0,就 x2 = 2+ x1 2 g 2 0,即 4a 2b+3 0又 2a+1=,代入式得2 2b 1解得 b綜上,當0 x1 2時, b ,當2 x1 0 時, b 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5解1 由題意

16、知某商品定價上漲x成時,上漲后的定價.每月賣出數(shù)量.每月售貨金額分別為p1+元. n1元. npz 元,因而,+100+在 y=ax 的條件下, z= ax2x 10精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由于 a1,就 0 10要使售貨金額最大,即使 z 值最大, 此時 x=2 由 z=10+ x10 x 1 ,解得0 x 561 證 明令m 0 , n=0得f m= fm ·f0 fm 0, f0=1取 m=m,n= m, m 0,得 f 0= fmfm f m=, m 0, m 0, 0f m 1, fm 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學

17、習資料 - - - 歡迎下載2 證明任取 x1,x2 r,就 fx1 fx2= fx1 f=fx1 fx2x1· fx1= fx1 1 f x2 x1, f x1 0, 1fx2 x1 0, fx1 fx2,函數(shù) fx在 r 上為單調減函數(shù)(3) 由,x2 x1+x 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由題意此不等式組無解,數(shù)形結合得 1,解得 a2 3 a,71 解設 y=,就y 2x2 bx+y c=0 x r,的判別式 0,即b2 4y 2 y c 0,即 4y2 42+ cy+8c+b2 0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由條件知,不等式的解集為1,

18、 3 1, 3 為方程 4y2 42+ cy+8c+b2=0 的兩根 c=2, b= 2, b=2舍）2 任取 x1, x2 1,1,且 x2 x1,就 x2 x1 0,且 x2 x11 x1x2 0, f x2 fx1= 0, f x2 fx1, lgfx2 lgfx1,即 fx2 fx1 f x為增函數(shù)即 u,依據 fx的單調性知f f u f ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 lg f |t | |t+| lg對任意實數(shù)t 成立課前后備注數(shù)學中的不等式關系數(shù)學為爭論空間形式和數(shù)量關系的科學,恩格斯在 自然辯證法 一書中指出, 數(shù)學為辯證的幫助工具和表現(xiàn)形式,數(shù)學中包蘊著極

19、為豐富的辯證 唯物主義因素, 等與不等關系正為該點的生動表達,它們?yōu)閷α⒔y(tǒng)一的,又為相互聯(lián)系.相互影響的；等與不等關系為中學數(shù)學中最基本的關系等的關系表達了數(shù)學的對稱美和統(tǒng)一美,不等關系就猶如仙苑奇葩出現(xiàn)出了數(shù)學的奇特美不等關系起源于實數(shù)的性質,產生了實數(shù)的大小關系, 簡潔不等式, 不等式的基本性質,假如把簡潔不等式中的實數(shù)抽象為用各種數(shù)學符號集成的數(shù)學式,不等式進展為一個人丁興盛的大家精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載族, 由簡到繁, 形式各異假如給予不等式中變量以特定的值.特定的關系,又產生了重要不等式.均值不等式等不等式為永恒的嗎？明顯不為,由此又產生明白不等式與證明不等式兩個極為重要的問題解不等式即尋求不等式成立時變量應滿意的 范疇或條件