2022年2022年高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法三微元法

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三.微元法方法簡(jiǎn)介微元法為分析.解決物理問(wèn)題中的常用方法,也為從部分到整體的思維方法；用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟識(shí)的物理規(guī)律快速地加以解決,使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)潔化；在使用微元法處理問(wèn)題時(shí),需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”,而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律為相同的,這樣,我們只需分析這些“元過(guò)程”,然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行 必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理,進(jìn)而使問(wèn)題求解；使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再摸索,從而引起鞏固學(xué)問(wèn).加深熟識(shí)和提高才能的作用；賽題精講例 1：如圖 3 1 所示, 一個(gè)身高為h 的人在燈以悟空速度v 沿水平直線行走；設(shè)燈距地面高為

2、h,求證人影的頂端c 點(diǎn)為做勻速直線運(yùn)動(dòng)；解析 ：該題不能用速度分解求解,考慮采納 “微元法”；設(shè)某一時(shí)間人經(jīng)過(guò)ab 處,再經(jīng)過(guò)一微小過(guò)程t（t 0）,就人由ab 到達(dá) a b,人影頂端c 點(diǎn)到達(dá) c點(diǎn),由于 saa = v t 就人影頂端的移動(dòng)速度：hs精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載v c = limt 0scct= lim hht 0taah=vhh精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載可見(jiàn) vc 與所取時(shí)間t 的長(zhǎng)短無(wú)關(guān),所以人影的頂端c 點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)；例 2：如圖3 2 所示,一個(gè)半徑為r 的四分之一光滑球面放在水平桌面上,球面上放置一光滑勻稱(chēng)鐵鏈,其a 端

3、固定在球面的頂點(diǎn),b 端恰與桌面不接觸,鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ；試求鐵鏈a 端受的拉力t ；解析 ：以鐵鏈為討論對(duì)象,由由于整條鐵鏈的長(zhǎng)度不能忽視不計(jì),所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點(diǎn),要分析鐵鏈的受力情形,須考慮將鐵鏈分割,使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點(diǎn), 分析每一小段鐵邊的受力,依據(jù)物體的平穩(wěn)條件得出整條鐵鏈的受力情形；在鐵鏈上任取長(zhǎng)為 l 的一小段（微元）為討論對(duì)象,其受力分析如圖3 2甲所示；由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài),所以受力平穩(wěn),在切線方向上應(yīng)滿意：t + t = gcos+ t , t = gcos= glcos 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向

4、下的拉力大t ,所以整個(gè)鐵鏈對(duì)a 端的拉力為各段上t的和,即：t = t= glcos= glcos觀看 lcos的意義,見(jiàn)圖 3 2乙,由于 很小,所以 cd oc , oce = lcos表示 l 在豎直方向上的投影r ,所以 lcos= r ,可得鐵鏈a 端受的拉力：t = glcos = gr例 3：某行星環(huán)繞太陽(yáng) c 沿圓弧軌道運(yùn)行, 它的近日點(diǎn) a 離太陽(yáng)的距離為 a ,行星經(jīng)過(guò)近日點(diǎn) a 時(shí)的速度為 va ,行星的遠(yuǎn)日點(diǎn) b 離開(kāi)太陽(yáng)的距離為 b ,如圖 33 所示,求它經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn) b 時(shí)的速度 vb 的大小；解析： 此題可依據(jù)萬(wàn)有引力供應(yīng)行星的向心力求解；也可依據(jù)開(kāi)普勒其次定律

5、,用微元法求解；設(shè)行星在近日點(diǎn) a 時(shí)又向前運(yùn)動(dòng)了極短的時(shí)間t ,由于時(shí)間極短可 以認(rèn)為行星在t 時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),線速度為 va, 半徑為 a ,可以得到行星在t 時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sa =1 v a t a 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同理,設(shè)行星在經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)b 時(shí)也運(yùn)動(dòng)了相同的極短時(shí)間t ,就也有：sb = 1 v bt b2由開(kāi)普勒其次定律可知：sa = sb ；即得： vb = a vab（此題也可用對(duì)稱(chēng)法求解；）例 4： 如圖 3 4 所示,長(zhǎng)為l 的船靜止在安靜的水面上,立于船頭的人質(zhì)量為m ,船的質(zhì)量為m,不

6、計(jì)水的阻力, 人從船頭走到船尾的過(guò)程中,問(wèn)：船的位移為多大？解析： 取人和船整體作為討論系統(tǒng),人在走動(dòng)過(guò)程中,系統(tǒng)所受合外力為零,可知系統(tǒng)動(dòng)量守恒；設(shè)人在走動(dòng)過(guò)程中的t 時(shí)間內(nèi)為勻速運(yùn)動(dòng),就可運(yùn)算出船的位移；設(shè)v1 .v2 分別為人和船在任何一時(shí)刻的速率,就有：mv1 = mv 2兩邊同時(shí)乘以一個(gè)極短的時(shí)間t , 有： mv1t = mv 2t由于時(shí)間極短,可以認(rèn)為在這極短的時(shí)間內(nèi)人和船的速率為不變的,所以人和船位移大小分別為s1 = v 1t , s2 = v 2t由此將式化為：ms1 = m s2把全部的元位移分別相加有：ms1 = m s2即： ms1 = ms 2此式即為質(zhì)心不變?cè)恚?/p>

7、其中 s1 .s2 分別為全過(guò)程中人和船對(duì)位置移的大小,又由于：l = s1 + s2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由.兩式得船的位移：s2 =mlmm例 5： 半徑為r 的光滑球固定在水平桌面上,有一質(zhì)量為m 的圓環(huán)狀勻稱(chēng)彈性繩圈,原長(zhǎng)為r,且彈性繩圈的勁度系數(shù)為 k,將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上,使彈性繩圈水 平停留在平穩(wěn)位置上,如圖35 所示,如平穩(wěn)時(shí)彈性繩圈長(zhǎng)為2 r ,求彈性繩圈的勁度系數(shù)k ；解析： 由于整個(gè)彈性繩圈的大小不能忽視不計(jì),彈性繩圈不能看成質(zhì)點(diǎn),所以應(yīng)將彈性繩圈分割成很多小段,其中每一小段 m 兩端受的拉力就為彈性繩圈內(nèi)部的彈力f ；在彈性繩圈上任取

8、一小段質(zhì)量為m 作為討論對(duì)象,進(jìn)行受力分析；但為m 受的力不在同一平面內(nèi),可以從一個(gè)合適的角度觀看；選取一個(gè)合適的平面進(jìn)行受力分析,這樣可以看清晰各個(gè)力之間的關(guān)系；從正面和上面觀看,分別畫(huà)出正視圖的俯視圖,如圖3 5甲和 2 3 5乙；先看俯視圖3 5甲,設(shè)在彈性繩圈的平面上,m 所對(duì)的圓心角為,就每一小段的質(zhì)量： m =m2m 在該平面上受拉力f 的作用,合力為：t = 2fcos= 2fsin22由于當(dāng) 很小時(shí), sin ,所以： t = 2f= f2再看正視圖3 5乙, m 受重力mg ,支持力n,二力的合力與 t 平穩(wěn)；即： t = mgtan精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

9、下載現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為：r =2 r2=2 r2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以： sin = rr=2 , = 45°, tan= 12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此： t = mg =mg2將.聯(lián)立,有：mg = f ,解得彈性繩圈的張力2為： f = mg2設(shè)彈性繩圈的伸長(zhǎng)量為x ,就： x =2 rr = 2 1 r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以繩圈的勁度系數(shù)為：k = f =mg21mg22=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x221r2r例 6： 一質(zhì)量為

10、m.勻稱(chēng)分布的圓環(huán),其半徑為r ,幾何軸與水平面垂直,如它能經(jīng)受的最大張力為t ,求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析 ：由于向心力 f = mr 2 ,當(dāng) 肯定時(shí), r 越大,向心力越大,所以要想求最大張力 t 所對(duì)應(yīng)的角速度 , r 應(yīng)取最大值；如圖 3 6 所示, 在圓環(huán)上取一小段l ,對(duì)應(yīng)的圓心角為 ,其質(zhì)量可表示為m =m,受圓環(huán)對(duì)它的張力為2t ,就同上例分析可得：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2tsin2= mr2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 很

11、小,所以：sin2,即： 2t2=m r222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得最大角速度：=2 tmr例 7： 一根質(zhì)量為m,長(zhǎng)度為l 的鐵鏈條,被豎直地懸掛起來(lái),其最低端剛好與水平接觸,今將鏈條由靜止釋放,讓它落到地面上,如圖3 7 所示,求鏈條下落了長(zhǎng)度x時(shí),鏈條對(duì)地面的壓力為多大？解析： 在下落過(guò)程中鏈條作用于地面的壓力實(shí)質(zhì)就為鏈條對(duì)地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力；依據(jù)牛頓第三定律,這個(gè)沖力也就等于同一時(shí)刻地面對(duì)鏈條的反作用力,這個(gè)力的沖量,使得鏈條落至地面時(shí)的動(dòng)量發(fā)生變化；由于各質(zhì)元原先的高度不同,落到地面的速度不同,動(dòng)量轉(zhuǎn)變也不相同；我們?nèi)∧骋粫r(shí)刻一小

12、段鏈條（微元）作為討論對(duì)象,就可以將變速?zèng)_擊變?yōu)楹闼贈(zèng)_擊；設(shè)開(kāi)頭下落的時(shí)刻t = 0,在 t 時(shí)刻落在地面上的鏈條長(zhǎng)為x ,未到達(dá)地面部分鏈條的速度為v ,并設(shè)鏈條的線密度為；由題意可知,鏈條落至地面 后,速度立刻變?yōu)榱悖粡膖 時(shí)刻起取很小一段時(shí)間t ,在 t 內(nèi)又有 m = x 落到地面上靜止；地面對(duì)m 作用的沖量為：f mg t = i由于 mgt 0 ,所以： ft = mv 0 = vx ,解得沖力：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f = vx t,其中x t就為 t 時(shí)刻鏈條的速度v ,故 f = v2 ,鏈條在t 時(shí)刻的速度v精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

13、下載即為鏈條下落長(zhǎng)為x 時(shí)的即時(shí)速度,即：v 2 = 2gx代入 f 的表達(dá)式中,得：f = 2 gx此即 t 時(shí)刻鏈對(duì)地面的作用力,也就為t 時(shí)刻鏈條對(duì)地面的沖力；所以在 t 時(shí)刻鏈條對(duì)地面的總壓力為：n = 2 gx + gx = 3 gx = 3mgxl例 8： 一根勻稱(chēng)松軟的繩長(zhǎng)為l ,質(zhì)量為m ,對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上,其中一端突然從釘子上滑落,試求滑落的繩端點(diǎn)離釘子的距離為x 時(shí),釘子對(duì)繩子另一端的作精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載用力為多大？解析：釘子對(duì)繩子另一端的作用力隨滑落繩的長(zhǎng)短而變化, 由此可用微元法求解；如圖 38 所示, 當(dāng)左邊繩端離釘子的距離為 x

14、 時(shí),左邊繩長(zhǎng)為1 l x,速度 v =2gx ,右邊繩長(zhǎng)為21 l+x2又經(jīng)過(guò)一段很短的時(shí)間t 以后,左邊繩子又有長(zhǎng)度1 v t2的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了,我們就分析這一小段繩子,這一小段繩子受到兩力：上面繩子精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)它的拉力t 和它本身的重力1 vtg（ = m為繩子的線密度）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2l依據(jù)動(dòng)量定理,設(shè)向上方向?yàn)檎?有：t 1 vtg t = 0 1 v t v22由于 t 取得很小,因此這一小段繩子的重力相對(duì)于t 來(lái)說(shuō)為很小的,可以忽視,所以有： t = 1 v2= gx 2因此釘子對(duì)右邊繩端的作用力為：f =

15、 1 l + x g + t = 1 mg1 + 3x 22l例 9： 圖 3 9 中,半徑為r 的圓盤(pán)固定不行轉(zhuǎn)動(dòng),細(xì)繩不行伸長(zhǎng) 但質(zhì)量可忽視,繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為m .m ；設(shè)圓盤(pán)與繩間光滑接觸,試求盤(pán)對(duì)繩的法向支持力線密度；解析：求盤(pán)對(duì)繩的法向支持力線密度也就為求盤(pán)對(duì)繩的法向單位長(zhǎng)度所受的支持力；由于盤(pán)與繩間光滑接觸,就任取一小段繩,其兩端受的張力大小相等,又由于繩上各點(diǎn)受的支持力方向不同,故不能以整條 繩為討論對(duì)象, 只能以一小段繩為討論對(duì)象分析求解；在與圓盤(pán)接觸的 半圓形中取一小段繩元l ,l 所對(duì)應(yīng)的圓心角為,如圖 3 9甲所示,繩元 l 兩端的張力均為t ,繩元所受圓盤(pán)法向

16、支持力為n,因細(xì)繩質(zhì)量可忽視,法向合力為零,就由平穩(wěn)條件得：n = tsin+ tsin= 2t222當(dāng) 很小時(shí),sin,故 n= t；又由于l= r, 22就繩所受法向支持力線密度為：n =n = t= tlrr以 m.m 分別為討論對(duì)象,依據(jù)牛頓定律有：mg t = mat mg = m a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由.解得：t = 2mmgmm將式代入式得：n =2mmgmmr例 10 ：粗細(xì)勻稱(chēng)質(zhì)量分布也勻稱(chēng)的半徑為分別為r 和 r 的兩圓環(huán)相切； 如在切點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn) m ,恰使兩邊圓環(huán)對(duì)m 的萬(wàn)有引力的合力為零,就大小圓環(huán)的線密度必需滿意什么條件？解析： 如要直接求

17、整個(gè)圓對(duì)質(zhì)點(diǎn)m 的萬(wàn)有引力比較難,當(dāng)如要用到圓的對(duì)稱(chēng)性及要求 所受合力為零的條件,考慮大. 小圓環(huán)上關(guān)于切點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的微元與質(zhì)量m 的相互作用, 然后推及整個(gè)圓環(huán)即可求解；如圖 3 10 所示,過(guò)切點(diǎn)作直線交大小圓分別于 p . q 兩點(diǎn),并設(shè)與水平線夾角為 ,當(dāng) 有微小增量時(shí),就大小圓環(huán)上對(duì)應(yīng)微小線元：l1 = r2, l 2 = r2其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為：m1 = 1l1 =1r2,m2 = 2l 2 =2r 2由于 很小,故m1 .m2 與 m 的距離可以認(rèn)為分別為：r1 = 2rcos ,r 2 = 2rcos所以 m1 .m2 與 m 的萬(wàn)有引力分別為：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

18、 歡迎下載f1 =gmm 1g2=1 r 2m2, f2 =gmm 2g2=2 r 2m2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載r12r cosr22r cos由于 具有任意性,如f1 與 f2 的合力為零,就兩圓環(huán)對(duì)m 的引力的合力也為零,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即： g1r 2mg2=2 r 2m2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2r cos2r cos解得大小圓環(huán)的線密度之比為：1 = r2r例 11： 一枚質(zhì)量為m 的火箭,依靠向正下方噴氣在空中保持靜止,假如噴出氣體的速度為 v ,那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為多少？解析 ：火箭噴氣時(shí),要對(duì)氣體做功

19、,取一個(gè)很短的時(shí)間,求出此時(shí)間內(nèi),火箭對(duì)氣體做的功,再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率；選取在 t 時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為討論對(duì)象,設(shè)火箭推氣體的力為f ,依據(jù)動(dòng)量定理,有： ft= mv由于火箭靜止在空中,所以依據(jù)牛頓第三定律和平穩(wěn)條件有：f = mg即： mgt= m v ,或者： t=m vmg對(duì)同樣這一部分氣體用動(dòng)能定理,火箭對(duì)它做的功為：w = 1 mv 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率：p = w =t1mv22mv mg= 1 mgv2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 12 ：如圖 311 所示, 小環(huán) o 和 o分別套在不動(dòng)

20、的豎直桿 ab 和 a b上, 一根不行伸長(zhǎng)的繩子穿過(guò)環(huán)o,繩的兩端分別系在a 點(diǎn)和 o 環(huán)上, 設(shè)環(huán) o以恒定速度v 向下運(yùn)動(dòng),求當(dāng) aoo = 時(shí),環(huán) o 的速度；解析 ：o.o之間的速度關(guān)系與o.o的位置有關(guān),即與 角有關(guān),因此要用微元法找它們之間的速度關(guān)系；設(shè)經(jīng)受一段極短時(shí)間t , o環(huán)移到c, o 環(huán)移到 c ,自 c與 c 分別作為o o 的垂線 cd 和 cd,從圖中看出；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oc =odcos,oc = o dcos,因此：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oc + o c = odo dcos因 微小,所以ec ed, e

21、c ed,從而：od + o d oo cc由于繩子總長(zhǎng)度不變,故：oocc = o c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由以上三式可得：oc + o c = o ccos,即： oc = o c 1cos1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載等式兩邊同除以t 得環(huán) o 的速度為： v 0 = v1cos 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 13： 在水平位置的干凈的平玻璃板上倒一些水銀,由于重力和表面張力的影響,水銀近似出現(xiàn)圓餅外形（側(cè)面對(duì)外凸出）,過(guò)圓餅軸線的豎直截面如圖3 12 所示,為了運(yùn)算便利,水銀和

22、玻璃的接觸角可按180°運(yùn)算；已知水銀密度 =13.6× 103kg/m 3 ,水銀的表面張力系數(shù)= 0.49n/m；當(dāng)圓餅的半徑很大時(shí),試估算其厚度h 的數(shù)值大約為多少？（取1 位有效數(shù)字即可）解析 ：如以整個(gè)圓餅狀水銀為討論對(duì)象,只受重力和玻璃板的支持力,在平穩(wěn)方程中,液體的體積不為h 的簡(jiǎn)潔函數(shù),而且支持力n 和重力 mg 都為未知量,方程中又不行能出 現(xiàn)表面張力系數(shù),因此不行能用整體分析列方程求解h ；現(xiàn)用微元法求解；在圓餅的側(cè)面取一個(gè)寬度為x ,高為 h 的體積元,如圖 3 12甲所示,該體積元受重力g .液體內(nèi)部作用在面積 xh 上的壓力f ,就：f = p s

23、 = 1 gh xh = 1 gh2 x22仍有上表面分界線上的張力f1 = x 和下表面分界線上的張力f2 = x ；作用在前.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載后兩個(gè)側(cè)面上的液體壓力相互平穩(wěn),作用在體積元表面兩個(gè)彎曲分界上的表面張力的合力,當(dāng)體積元的寬度較小時(shí),這兩個(gè)力也為平穩(wěn)的,圖中都未畫(huà)出；由力的平穩(wěn)條件有：f f1cos f2 = 0即： 1 gh2 x x cos x = 0 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得： h =21cosg= 2.7× 3101cos精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

24、歡迎下載由于 0 ,所以： 11cos2 ,故： 2.7×10 3m h3.8×2 310m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題目要求只取1 位有效數(shù)字, 所以水銀層厚度h 的估算值為3× 103 m 或 4×10 3m ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 14：把一個(gè)容器內(nèi)的空氣抽出一些,壓強(qiáng)降為p ,容器上有一小孔,上有塞子,現(xiàn)把塞子拔掉,如圖313 所示；問(wèn)空氣最初以多大初速度沖進(jìn)容器？（外界空氣壓強(qiáng)為 p0 .密度為）解析： 該題由于不知開(kāi)頭時(shí)進(jìn)入容器內(nèi)分有多少,不知它們?cè)谌萜魍馊绾畏植?也不知空氣分子進(jìn)入容器后壓強(qiáng)如

25、何變化,使我們難以找到解題途徑；留意到題目中 “最初” 二字, 可以這樣考慮：設(shè)小孔的面積為s ,取開(kāi)頭時(shí)位于小孔外一薄層氣體 為討論對(duì)象,令薄層厚度為l,因 l 很小,所以其質(zhì)量m 進(jìn)入容器過(guò)程中,不轉(zhuǎn)變?nèi)萜鲏簭?qiáng),故此薄層所受外力為恒力,由以上分析,得：f = p 0 ps對(duì)進(jìn)入的m 氣體,由動(dòng)能定理得：f l = 1 mv2而 m = sl該問(wèn)題就可以解決了；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載聯(lián)立.式可得：最中學(xué)進(jìn)容器的空氣速度：v =2p 0p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 15：電量q 勻稱(chēng)分布在半徑為r 的圓環(huán)上（如圖 3 14 所示）,求在圓環(huán)軸線上

26、距圓心o 點(diǎn)為 x 處的 p點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；解析 ：帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)不能看做點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),故采納微元法,用點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)結(jié)合對(duì)稱(chēng)性精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求解；選電荷元q = r q2 r,它在 p 點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載場(chǎng)強(qiáng)的 x 重量為：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ex = kq cos= k r2rqx22222 rrx rx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依據(jù)對(duì)稱(chēng)性： e = ex =kqx22 32rx =kqx22 32rx 2=kqx22 3rx 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

27、 歡迎下載由此可見(jiàn),此帶電圓環(huán)在軸線p 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相當(dāng)于帶電圓環(huán)帶電量集中在圓環(huán)的某一點(diǎn)時(shí)在軸線p 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小,方向?yàn)檠剌S線的方向；例 16 ：如圖 3 15 所示,一質(zhì)量勻稱(chēng)分布的細(xì)圓環(huán),其半徑 為 r ,質(zhì)量為 m ；令此環(huán)勻稱(chēng)帶正電,總電量為q ；現(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光滑水平桌面上,并處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為b 的勻稱(chēng)磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向豎直向下；當(dāng)此環(huán)繞通過(guò)其中心的豎直軸以勻角速度 沿圖示方向旋轉(zhuǎn)時(shí),環(huán)中的張力等于多少？（設(shè)圓環(huán)的帶電量不削減,不考慮環(huán)上電荷之間的作用）解析 ：當(dāng)環(huán)靜止時(shí),因環(huán)上沒(méi)有電流,在磁場(chǎng)中不受力,就環(huán)中也就沒(méi)有因磁場(chǎng)力引起的張力；當(dāng)環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),環(huán)上電荷也隨環(huán)一

28、起轉(zhuǎn)動(dòng),形成電流,電流在磁場(chǎng)中受力導(dǎo)致環(huán)中存在張力,明顯此張力肯定與電流在磁場(chǎng)中受到的安培力有關(guān)；由題意可知環(huán)上各點(diǎn)所受安培力方向均不同,張力方向也不同,因而只能在環(huán)上取一小段作為討論對(duì)象,從而求出環(huán)中張力的大小；在圓環(huán)上取 l= r圓弧元,受力情精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載況如圖 315甲所示；因轉(zhuǎn)動(dòng)角速度而形成的電流：i = q2,電流元 i l 所受的安培精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載力 ： f = i lb = r2qb 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓環(huán)法線方向合力為圓弧元做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所

29、需的向心力,故：2tsin f = m2 r 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) 很小時(shí), sin2,故有：r2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載t rqb2m= m2rqbm 2 r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 m =2, t2=2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得圓環(huán)中張力為：t = r2qb + m 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 17 ：如圖 3 16 所示,一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為 m 的金屬桿, 導(dǎo)軌間距為l ,導(dǎo)軌的一端連接一阻值為r 的電阻,

30、其他電阻不計(jì),磁感應(yīng)強(qiáng)度為b 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌 平面； 現(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度v 0 ,然后任其運(yùn)動(dòng), 導(dǎo)軌足夠長(zhǎng),試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離為多少？解析 ：水平地從a 向 b 看,桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力分析如圖3 16甲所示, 這為一個(gè)典型的在變力作用下求位移的題,用我精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載們已學(xué)過(guò)的學(xué)問(wèn)似乎無(wú)法解決,其實(shí)只要采納的方法得當(dāng)仍舊可以求解；設(shè)桿在減速中的某一時(shí)刻速度為v ,取一極短時(shí)間t ,發(fā)生了一段微小的位移x ,在 t 時(shí)間內(nèi),磁通量的變化為：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載= bl x , i =rr t= blx

31、rt22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載金屬桿受到安培力為：f 安 = bil =b lx rt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于時(shí)間極短, 可以認(rèn)為f 安為恒力, 選向右為正方向,在 t 時(shí)間內(nèi),安培力f 安的沖量為：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載i = f 安 t =b2 l2x r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)全部的位移求和,可得安培力的總沖量為：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載i = b2 l2rx = b lx22r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中 x 為桿運(yùn)動(dòng)的最大距離,對(duì)金屬桿用動(dòng)量定

32、理可得：i = 0 mv0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由.兩式得：x =mv0 r b2 l2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 18：如圖 317 所示, 電源的電動(dòng)熱為e ,電容器的電容為c , s 為單刀雙擲開(kāi)關(guān),mn.pq 為兩根位于同一水平面上的平行光滑長(zhǎng)導(dǎo)軌,它們的電阻可以忽視不計(jì),兩導(dǎo)軌間距為l ,導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 b 的勻稱(chēng)磁場(chǎng)中, 磁場(chǎng)方向垂直于兩導(dǎo)軌所在的平面并指向圖中紙面對(duì)里的方向；l1 和 l 2 為兩根橫放在導(dǎo)軌上的導(dǎo)體小棒,質(zhì)量分別為m1 和 m2 , 且m 1 m2 ；它們?cè)趯?dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)與導(dǎo)軌保持垂直并接觸良好,不計(jì)摩擦,兩小棒

33、的電阻相同,開(kāi)頭時(shí)兩根小棒均靜止在導(dǎo)軌上；現(xiàn)將開(kāi)關(guān)s 先合向 1 ,然后合向2 ；求：（ 1）兩根小棒最終速度的大?。唬?2）在整個(gè)過(guò)程中的焦耳熱損耗；（當(dāng)回路中有電流時(shí),該電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)可忽視不計(jì)）解析： 當(dāng)開(kāi)關(guān) s 先合上 1 時(shí),電源給電容器充電,當(dāng)開(kāi)關(guān)s再合上 2 時(shí),電容器通過(guò)導(dǎo)體小棒放電,在放電過(guò)程中,導(dǎo)體小棒受到安培力作用,在安培力作用下,兩小棒開(kāi)頭運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度最終均達(dá)到最大； （ 1）設(shè)兩小棒最終的速度的大小為別為 l 1 .l 2 為討論對(duì)象得：v,就分fit i = m 1 v1 m1v 1 ,有： fi1ti1 = m 1v同理得： fi2ti2 = m 2v由.得：

34、 fi1 ti1 + fi2t i2 = m 1 + m 2v精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于fi1 = bli 1 , fi1 = bli 1 , ti1 =t i2 , i 1 + i 2 = i所以： bli 1ti1 + bli 2ti2 = bl i 1 + i 2 ti = bl i ti = blq q = m 1 + m 2v而 q = ce, q = cu = cblv精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以解得小棒的最終速度：v =blce22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m 1m 2 cb l精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

35、- 歡迎下載2（ 2）由于總能量守恒,所以：1ce 2 = 1q+ 1 m 1 + m 2 v 2+ q 熱精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22121q2c212精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即產(chǎn)生的熱量：q 熱 =ce 22 m1 + m 2v c2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載= 1 ce22 121 cblv c2 12 m 1 + m 2v 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12 1 cb 22 mblce精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=ce22l1 + m 2m

36、1m 2 cb l精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 22m 1m 2 ce精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=2m 1m 2b l c22針對(duì)訓(xùn)練精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1某地強(qiáng)風(fēng)的風(fēng)速為v ,設(shè)空氣的密度為,假如將通過(guò)橫截面積為s 的風(fēng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電能,就其電功率為多少？2如圖 3 19 所示,山高為h,山頂 a 和水平面上b 點(diǎn)的水平距離為s ；現(xiàn)在修一條冰道acb,其中 ac 為斜面,冰道光滑,物體從a 點(diǎn)由靜止釋放,用最短時(shí)間經(jīng)c 到 b ,不計(jì)過(guò)c 點(diǎn)的能量缺失；問(wèn)ac 和水平方向的夾角多大？最短時(shí)間為多少？3如圖 3 21 所示

37、,在繩的 c 端以速度v 勻速收繩從而拉動(dòng)低處的物體m 水平前進(jìn),當(dāng)繩 ao 段也水平恰成角時(shí),物體m 的速度多大？4如圖 3 22 所示,質(zhì)量相等的兩個(gè)小球a 和 b 通過(guò)輕繩繞過(guò)兩個(gè)光滑的定滑輪帶動(dòng) c 球上升,某時(shí)刻連接c 球的兩繩的夾角為,設(shè) a.b 兩球此時(shí)下落的速度為v,就 c 球上升的速度多大？5質(zhì)量為m 的平板小車(chē)在光滑的水平面上以v0 向左勻速運(yùn)動(dòng),一質(zhì)量為m 的小球從高 h 處自由下落, 與小車(chē)碰撞后反彈上升的高度仍為h ； 設(shè) mm ,碰撞彈力 ng ,球與車(chē)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ,就小球彈起后的水平速度可能為（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a .2ghb

38、.0c.2 2ghd. v06半徑為 r 的剛性球固定在水平桌面上；有一質(zhì)量為m 的圓環(huán)狀勻稱(chēng)彈性細(xì)繩圈,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載原長(zhǎng) 2a, a = r2,繩圈的彈性系數(shù)為k（繩伸長(zhǎng) s 時(shí),繩中彈性張力為ks）；將繩圈從球精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的正上方輕放到球上,并用手扶著繩圈使其保持水平,并最終停留在某個(gè)靜力平穩(wěn)位置；考慮重力,忽視摩擦；（1）設(shè)平穩(wěn)時(shí)彈性繩圈長(zhǎng)2b ,b =2 a ,求彈性系數(shù)k ；（用 m.r .g 表示, g為重力加速度）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）設(shè) k =mg,求繩圈的最終平穩(wěn)位置及長(zhǎng)度；精

39、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 2 r7一截面呈圓形的細(xì)管被彎成大圓環(huán),并固定在豎直平面內(nèi),在環(huán)內(nèi)的環(huán)底a 處有一質(zhì)量為m .直徑比管徑略小的小球,小球上連有一根穿過(guò)環(huán)頂b 處管口的輕繩,在外力f 作用下小球以恒定速度 v 沿管壁做半徑為r 的勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖 3 23 所示；已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè)部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ,而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁為光滑的；忽視大環(huán)內(nèi). 外側(cè)半徑的差別,認(rèn)為均為r ；試求小球從 a 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b 點(diǎn)過(guò)程中f 做的功 w f ；8如圖324,來(lái)自質(zhì)子源的質(zhì)子（初速度為零）, 經(jīng)一加速電壓為800kv的直線加速器加速,形成電流為1.0ma 的細(xì)柱形質(zhì)子流； 已知質(zhì)子電荷e = 1.60× 1019c ；這束質(zhì)子流每秒打到靶上的質(zhì)子數(shù)為；假設(shè)分布在質(zhì)子源到