【數學】第十八屆華杯賽初賽試卷_小學高年級組解析

1、第十八屆華羅庚金杯少年數學邀請賽第十八屆華羅庚金杯少年數學邀請賽 初初賽賽試題試題 c（小學高年級組）（小學高年級組） （時間: 2013 年 3 月 23 日） 一、選擇題一、選擇題 (每小題 10 分, 滿分 60 分. 以下每題的四個選項中, 僅有一個是正確的, 請將表示正確答案的英文字母寫在每題的圓括號內.) 1. 如果（其中 m與n 為互質的自然數） , 那么 m+n 的值是 （ ） . （a）1243 （b）1343 （c）4025 （d）4029 解答：b。 在考試中，選擇恰當的方法很重要。這道題，看到這道題后，我第一個想法就是歸納。 、寫完前三個，發(fā)現第二個算式很不和諧，又寫出

2、了第四個，仔細一想，原來第二個可以寫成，規(guī)律找到了，分子是原式中分子部分的一個因數，分母比分子大 3！答案一定是，很簡單，第一題是很容易的年份題，等等，年份 2013 這個數是我們非常熟悉的，2013=31161，是 3 的倍數，那么加 3 不還是 3 的倍數么？可以約分，所以最后的答案是所以選 b！ 如果本題需要詳細的過程，那么用規(guī)納的方法是不合適的，因為這是不完全歸納法，你這么知道前幾個適用的情況下，最后的 2013 也適用呢，所以最正確的方法是這樣思考：如果這道題直接計算，分別算出分子分母，然后必然需要一個約分的過程（從選項可以看出） ，那么就太麻煩了，如果不計算出最后結果就可以約分，是

3、件好事兒，那么轉化分子還是轉化分母呢？我們都知道，當分子分母都是乘法的形式，是比較好約分的，所以要轉化分母，要在分母中“湊”出 2013.具體過程是這樣的： 這個題做完了，很容易得分的一道題，也是容易馬虎的一個題，如果不仔細讀題，忽略了“m與n 為互質的自然數” ，那么就容易把答案寫成 d。 2. 甲、 乙、 丙三位同學都把 25 克糖放入 100 克水中混合成糖水, 然后他們又分別做了以下事情: 最終,（ ）得到的糖水最甜. （a）甲 （b）乙 （c）丙 （d）乙和丙 解答：c。 根據題意和我們所學過的公式，可以分別求出三人得到的糖水的最終濃度！ (1) 甲配得的糖水含糖率：; (2) 乙配

4、得的糖水含糖率：; (3) 丙配得的糖水含糖率：. 所以，丙最甜！其實我們還可以用另一種方法來解答，如果對概念理解的比較清晰的話，我們可以知道，向共同的糖水中加另一種糖水，加的糖水的濃度越大，糖水質量越多就越甜。甲又加入的是濃度為：20%的糖水 50 克 乙又加入的是濃度為 20（20+30）=40%的糖水 50 克 丙又加入的是濃度為 2（2+3）=40%的糖水 100 克 很明顯，丙往里面加的糖水更甜，更多，所以最甜的一定是丙。 3. 一只青蛙 8 點從深為 12 米的井底向上爬, 它每向上爬 3 米, 因為井壁打滑, 就會下滑 1米, 下滑 1 米的時間是向上爬 3 米所用時間的三分之一

5、. 8 點 17 分時, 青蛙第二次爬至離井口 3 米之處, 那么青蛙從井底爬到井口時所花的時間為（ ）分鐘. （a）22 （b）20 （c）17 （d）16 解答：a。 無論上還是下，每一米所用的時間都是一樣的，根據題意，每向上爬 3 米會下降 1 米，我們列一個表格。 青蛙實際高度 3 2 5 4 7 6 9 8 9 11 10 12 向上爬 3 0 3 0 3 0 3 0 1 2 0 2 向下滑 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 從上表可以看出，當第二次到達了離井口 3 的地方的時候，青蛙運動了，34+1+14=17米。而當這只青蛙跳出井口的時候共走了 35+2+15=22

6、 米。根據題意 171722=22 分鐘。 再加入 50 克含糖率 20%的糖水. 再加入 20 克糖和 30 克水. 再加入 100 克糖與水的比是2:3 的糖水. 4. 已知正整數 a 分解質因數可以寫成, 其中、 是自然數. 如果a的二分之一是完全平方數, a的三分之一是完全立方數, a的五分之一是某個自然數的五次方, 那么 的最小值是（ ）. （a）10 （b）17 （c）23 （d）31 解答：d。 根據“a 的二分之一是完全平方數”可以知道， （-1） 、都是 2 的倍數。 根據“a 的三分之一是完全立方數”可以知道，、 （-1） 、都是 3 的倍數。 根據“a 的五分之一是某個自

7、然數的五次方”可以知道，、 （-1）都是 5 的倍數。 同時滿足三個條件的的最小值恰好是3,5=15；的最小值恰好是2,5=10； 的最小值恰好是2,3=6。所以， 的最小值是 15+10+6=31。 5. 今有甲、乙兩個大小相同的正三角形, 各畫出了一條兩邊中點的連線. 如圖, 甲、乙位置左右對稱, 但甲、乙內部所畫線段的位置不對稱. 從圖中所示的位置開始, 甲向右水平移動, 直至兩個三角形重疊后再離開. 在移動過程中的每個位置, 甲與乙所組成的圖形中都有若干個三角形. 那么在三角形個數最多的位置, 圖形中有（ ）個三角形. （a）9 （b）10 （c）11 （d）12 解答：c。 可以把所

8、有的情況都畫出來然后通過比較找出三角形最多的圖形， 再仔細的數一下，發(fā)現有 11 個，所有的圖如下： 還有一種辦法， 如果沒有三角形內部的兩條線搗亂的話， 那么這個題就簡單多了，我們從簡單的情況入手！當沒有三角形內部的兩條線時， 這兩個三角形在移動的過程中， 最多可以有8 個三角形（如圖 1） ，在這種情況下再按照題中條件，再添兩條線，在不與已有邊重合的情況下，至少多 2 個三角形（如圖 2） ，而最多只能多 3 個（如圖 3） 。 6. 從 111 這 11 個整數中任意取出 6 個數, 則下列結論正確的有（ ）個. 其中必有兩個數互質; 其中必有一個數是其中另一個數的倍數; 其中必有一個數

9、的 2 倍是其中另一個數的倍數. （a）3 （b）2 （c）1 （d）0 解答：b。 對于“任意必有”這樣的語句，應該考慮到“抽屜原理” 。如果需要證明結論正確的話，那就要構造抽屜，而抽屜的個數，應該是小于 6 的！看題： 第一句說必有兩個數互質，如果這是正確的話，那么就要構造出小于 6 的抽屜，且每一組抽屜中的數一定是兩兩互質的，而很容易想到，每相鄰的兩個數都是互質的，所以可以這樣構造（1,2,3） （4,5） （6,7） （8,9） （10,11）其實構造的方法不是唯一的，還有很多構造方法如： 【 （1,3,4） （2,9） （8，11） （5，6） （7,10） 】 ； 第二句很容易舉出

10、反例， （6、7、8、9、10、11）最大的六個數就沒有倍數關系，同樣的還有： （4、5、6、7、9、11） ； 第三句，根據第二句話的反例，可以看出，第三句話是成立的，那么就要嚴謹的證明一下，還是要構造抽屜，按照什么構造呢，可以按照 1 到 11 中的 5 個質因數來構造 5 個抽屜，1 放在哪個抽屜里都可以,（1,2,4,8） （3,6,9） （5,10） （7） （11）這五個抽屜中，要任意取6 個數，必有兩個數在同一個抽屜中，就必滿足其中一個數的 2 倍是另一個數的倍數。 所以有兩句是正確的，最后的答案是 b。 二、填空題二、填空題 (每小題 10 分, 滿分 40 分) 7. 有四個

11、人去書店買書, 每人買了 4 本不同的書, 且每兩個人恰有 2 本書相同, 那么這 4個人至少買了_種書. 解答：7。 從簡單的情況思考，若只有兩個人，那么為了符合題意，一定有 6 本不同的書，我們可以給這 6 本數編號為 1、2、3、4、5、6，那么設甲買的是 1、2、3、4，乙買的是 1、2、5、6.這時候又來了第三個人，我們稱呼他為丙，這是丙為了符合題意，他可以選擇不買其他的書，他買編號為 3、4、5、6 也符合題意，這時要注意的是，當三個人，只買 6 本書的時候，當甲、乙買的書確定之后，丙購買的編號是唯一的，就是丙不能買甲、乙都買的書，如果他買了一本甲乙都買的書，那么他就必須再買一本他

12、自己“獨有”的書！列一個表格讓我剛才說的更清晰： 1 2 3 4 5 6 甲 乙 丙 把 3 個人的情況弄明白之后，看四個人的，這時丁來了，站在剛才丙的角度思考，他至少要有一本“獨有”的書了，所以 4 個人的時候至少是 7 本，可以給出構造如下： 1 2 3 4 5 6 7 甲 乙 丙 丁 即甲買的書編號為（1, 2, 3, 4）, 那么乙買的書的編號為（1, 2, 5, 6）, 為使種數最少, 丙買的書的編號為（3, 4, 5, 6）, 此時丁可以買（1, 3, 5, 7）. 8. 每天, 小明上學都要經過一段平路 ab、 一段上坡路 bc 和一段下坡路 cd （如右圖） . 已知 ab:b

13、c:cd = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比為 3:2:4. 如果小明上學與放學回家所用的時間比是(其中 m 與 n 是互質的自然數)，那么 m+n的值是 . 解答：35。 簡單的賦值法可以計算出結果，設 ab 是 100 米，那么 bc 的路程就是 200 米，cd 的路程就是 100 米；設小明平路的速度是 3 米/秒，那么他上坡路、下坡路上的速度就分別是 2米/秒、4 米/秒.根據賦值來計算， 小明上學的時間是： 小明放學回家的時間是： 所以時間比為！ 如果覺得賦值法不夠嚴謹的話，那么可以設, 則, ; 設 , 則 , . 可以計算這些算式得： , , 所以 ，m

14、+n=35。 9. 黑板上有 11 個 1, 22 個 2, 33 個 3, 44 個 4. 做以下操作: 每次擦掉 3 個不同的數字,并且把沒擦掉的第四種數字多寫 2 個. 例如: 某次操作擦掉 1 個 1, 1 個 2, 1 個 3, 那就再寫上2 個 4. 經過若干次操作后, 黑板上只剩下 3 個數字, 而且無法繼續(xù)進行操作, 那么最后剩下的三個數字的乘積是 . 解答：12。 仔細閱讀題中所說的操作，會發(fā)現無論如何操作，任意兩種數的個數的差只有不變，加3 和減 3 三種情況！ （比如說 1 和 2 的個數，無論怎樣操作，對于這兩個數的個數只有 3 類情況，要么同時減少一個；要么 1 的個

15、數加 2 個，2 的個數少一個；要么 1 的個數少 1 個，2 的個數加 2 個） 。那么繼續(xù)，看 1 的個數和 2 的個數，用 2 的個數減去 1 的個數，他們的差是 22-11=11，11 除以 3 的余數是 2，那就是說當數字 2 的個數比 1 的個數多時，他們的差一定是除以 3 余 2 的； 但如果數字 1 的個數比 2 多的話， 那么這個差除以 3 的余數一定是 1，（可以試著操作幾次，讓 1 的個數多與 2 的個數） 。這樣都算下來比較麻煩，觀察一些特殊的，不用分類討論的，可以發(fā)現 1 的個數和 4 的個數，它們的差是 33，正好是 3 的倍數，也就是說，操作到最后，剩下的 1 的

16、個數和 4 的個數要么一樣多，要么個數差 3。再根據題意，最后只剩下 3 個數，如果 1 的個數為 3，那么 2 的個數必然為 2，不合題意。如果的個數為 3，而 1 和 2 不可能都為 0 個，所以操作到最后時 1 的個數和 4 的個數都只能為 0，而2 的個數一定是 2，那么 3 的個數就是 1，所以剩下的三個數是 2 個 2 和 1 個 3，他們乘積是12. 這個題， 說了好多， 其實就是考察模 3 同余的問題。 同余是數論問題中比較難的一部分，而華杯中的數論問題是不可缺少的，看完答案的同學，如果你可以走進決賽，那就一定要在數論中再下一番功夫， 功夫的重點在用代數式的形式解決數論問題，

17、還有就是同余的應用等。 10. 如右圖, 正方形 abcd 被分成了面積相同的 8 個三角形, 如果dg = 5, 那么正方形 abcd 面積是 . 解答：64。 題中只給出了一個具體數據 dg=5，要求出正方形的面積，我們可以用一個未知數 x 作為過渡，找到 dg 和正方形邊長的關系，關系有了，就可以求出邊長，進而求出面積。設邊長是 8x。 所以 bi=ah， 若整個正方形的面積是 8 份的話， adh的面積是 1 份，ah 是 ab 的，即 ah=bi=2x，hi=4x，如果連接 ch，那么chi 的面積是cbi 的 2 倍，就是 2 份，而fhi 的面積是 1 份，所以 cf=fi，進行不下去了，要向 dg 靠攏，所以做條輔助線：延長 fg交 dh 于 n, da 于 m （如右圖） 根據燕尾模型， dn=nh， 在梯形 cdhi中，cf=fi,dn=nh，所以 fn 與 cd、hi 平行（平行線分線段成比例） ，所以 dm=ma 平行后，fg 與 hi 之間的距離相等，而所以 fg=hi=4x 又因為三角形 fdg 的面積是三角形 dgn 面積的