數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下相似教材內(nèi)容的比較研究

1、    數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下“相似”教材內(nèi)容的比較研究    楊怡 梁會(huì)芳 張定強(qiáng)【摘 要】 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，也是數(shù)學(xué)教材表征的主要維度.以人教版和北師大版初中數(shù)學(xué)教材“相似”內(nèi)容為研究對象，基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的視角對教材中“相似”概念和規(guī)則的獲得、命題和模型的提出、方法與思想的形成以及結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)知進(jìn)行對比分析，以期為數(shù)學(xué)教育工作者多角度研讀數(shù)學(xué)教材提供借鑒.【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)抽象;“相似”;教材比較1引言數(shù)學(xué)教育的開展依賴師生雙邊活動(dòng)的有效進(jìn)行，理解和運(yùn)用教材是其有效實(shí)施的基本保障.教材作為承載數(shù)學(xué)知識與思想方法的文本資源，是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的

2、直接材料，對其結(jié)構(gòu)的剖析與挖掘有助于教師深刻理解編者意圖，有效幫助學(xué)生減少學(xué)習(xí)認(rèn)知障礙，努力實(shí)現(xiàn)理想化的教學(xué).“數(shù)學(xué)抽象”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之首，是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級均依賴“數(shù)學(xué)抽象”發(fā)揮作用1.而“相似”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，是仿射變換的核心，是幾何變換在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的初步引入，也是后續(xù)“銳角三角函數(shù)”、“投影與視圖”以及未來建筑、繪圖等知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其本身蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)“相似”內(nèi)容有助于師生利用幾何變換的符號、性

3、質(zhì)為幾何論證提供新的途徑和表達(dá)方式，促進(jìn)學(xué)生問題解決能力的提升及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成2.基于此，本文以人教版和北師大版教材為例，從數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角對教材中“相似”內(nèi)容的呈現(xiàn)展開比較研究，以期為一線教師多角度分析數(shù)學(xué)教材提供一定借鑒.2研究對象義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）規(guī)定“圖形的相似”屬于第三學(xué)段學(xué)生所應(yīng)掌握與了解的“圖形的變化”內(nèi)容之一，簡單來說主要涵蓋比例、圖形的相似、相似三角形以及位似等內(nèi)容3.為描述簡潔、統(tǒng)一，選用人教版的“相似”章節(jié)命名（北師大版中用“圖形的相似”），對兩版教材中共有的“相似”內(nèi)容展開對比分析，具體章節(jié)詳見表1.從“相似”知識章節(jié)分布學(xué)段來看，兩版教材都將其放置于

4、九年級來學(xué)習(xí);從其章節(jié)設(shè)定位置來看，無論是人教版的二十七章還是北師大的第四章，均排列在圖形的全等和軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移等簡單的全等變換之后，符合知識發(fā)展的邏輯順序;從具體小節(jié)來看，人教版將相關(guān)知識劃分為3大節(jié)，而北師大版則將其細(xì)化為8小節(jié)，且將相似三角形判定定理的證明單獨(dú)列出.總體而言兩者都很好的體現(xiàn)了課標(biāo)所要求的內(nèi)容，但對于教材建構(gòu)的篇幅而言，北師大版較人教版多出12頁內(nèi)容.具體建構(gòu)思路本文將從數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的視角進(jìn)行對比剖析.3 研究結(jié)果及分析數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系1.“相似”學(xué)習(xí)中主要是關(guān)于圖形與圖形關(guān)系的抽象，是基于

5、現(xiàn)實(shí)與邏輯兩個(gè)階段進(jìn)行，據(jù)此從其數(shù)學(xué)抽象的四個(gè)表現(xiàn)形態(tài)進(jìn)行“相似”教材內(nèi)容的比較分析.3.1 數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的獲得概念是思維的細(xì)胞，認(rèn)知心理學(xué)將其定義為“符號所代表的具有標(biāo)準(zhǔn)共同屬性的對象、事物、情境或性質(zhì)”，現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)指出概念隨著知識結(jié)構(gòu)不斷發(fā)展，學(xué)生對其理解總是由具體向抽象、日常向科學(xué)發(fā)展4.數(shù)學(xué)因其是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，所以數(shù)學(xué)概念是在舍棄非本質(zhì)屬性后僅存留數(shù)量關(guān)系、形狀、大小、位置等本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)思維的基本單位.現(xiàn)就兩版教材“相似”主要概念和規(guī)則的獲得方式進(jìn)行對比，詳情見表2.從編排順序來看，兩版教材關(guān)于“相似”相關(guān)概念的呈現(xiàn)整體上屬于演繹思維，如表征完相似圖形的概念后，

6、再闡釋相似多邊形、相似三角形的概念，隨后是位似圖形，位似則是相似圖形的一種特殊形式;不同的是北師大版直接嵌入“成比例線段”，為相似知識的學(xué)習(xí)做好奠基.從概念的獲得方式來看，除“相似圖形”“相似三角形”兩版獲得方式一致外，人教版采用直接方式給出相似概念，北師大版則嘗試以問題啟發(fā)、操作試驗(yàn)等多種方式給出.從概念抽象的過程來看，“相似”概念是通過從現(xiàn)實(shí)世界中的具象出發(fā)到圖形語言概述，再到自然語言描述，然后到符號語言表征的抽象過程形成的.概念獲得追求的是其本質(zhì)特征的析出，兩版教材中體現(xiàn)明顯.如“相似三角形”概念抽象的三階段5就是例證，即簡約階段給予學(xué)生日常生活中的模式刺激，讓學(xué)生在知覺水平上感知，“相

7、似”指形狀相同的圖形;接著引入“相似多邊形”這一特殊的相似平面圖形，通過分化、類化尋找其本質(zhì)屬性，即“各角分別相等，各邊成比例”，“相似三角形”的定義可自然而然抽象為“三角分別相等、三邊成比例的兩個(gè)三角形”.符號階段是用數(shù)學(xué)符號語言表示兩個(gè)相似三角形及它們之間的邊角關(guān)系.普適階段則是逐漸完善對“相似三角形”判定、性質(zhì)的系統(tǒng)認(rèn)識，并采用其解決“測高”等實(shí)際問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理以及綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.3.2數(shù)學(xué)命題和模型的提出3.2.1 命題和模型提出路徑命題一般由若干概念組成，它揭示著概念之間的關(guān)系.美國心理學(xué)家安德森就認(rèn)為知識的最小單元是命題，而非單個(gè)的概念本身.數(shù)學(xué)模型在義

8、務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)中，是指用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等6，而“相似”教材內(nèi)容就蘊(yùn)藏著大量的數(shù)學(xué)命題和模型，是在抽象的過程中通過一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷、積累這種抽象的經(jīng)驗(yàn).因此對教材中相似相關(guān)命題和模型提出的建構(gòu)路徑分析可幫助學(xué)生更好地形塑數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，現(xiàn)將兩版教材中共有的“相似”命題及模型所涉及的提出路徑梳理如下，詳見表3.人教版通常專設(shè)“探究”欄目幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)命題和模型的提出，同時(shí)會(huì)借助實(shí)物啟發(fā)學(xué)生思考，如“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”這一判定定理就是借助學(xué)生身邊實(shí)物“三角板”來啟發(fā)探究;北師大版則以具體問題或“想一想”“做

9、一做”“議一議”來引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維.整體來看，無論“相似”命題和模型提出的路徑是什么，實(shí)質(zhì)上兩版教材均擅長通過類比全等三角形、實(shí)際問題以及實(shí)踐操作來啟發(fā)學(xué)生思維，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解決問題、提出數(shù)學(xué)命題，從而讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，形成良好的思維品質(zhì).3.2.2 命題和模型提出例析數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)命題和模型提出的最好素材，下面以“相似三角形的判定”提出為例，來對比分析活動(dòng)中的問題如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的不同階段，詳見表4.由上表可知，整體來看兩版教材“相似三角形判定定理”的提出均有類比全等三角形的思想，且通過具體問題啟發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手畫圖、觀察直觀的三角形來抽

10、離確定兩個(gè)三角形相似的條件;接著進(jìn)行精簡、高度的抽象概括，形成判定三角形相似的判定定理并加以證明;最后在相應(yīng)的定理后附帶例題，借助該定理并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號表示解決具體實(shí)際問題以拓展其適用范圍，至此數(shù)學(xué)命題、模型的提出完成.但從具體的每個(gè)定理提出來看不同版本教材存在著明顯的不同，從定理的順序來看，各版本均與其“全等三角形的判定定理”順序保持高度一致;從類比的詳細(xì)情況來看，人教版直接用“全等三角形的判定”結(jié)果進(jìn)行類比，對于不能直接引用的，如“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”則采用實(shí)物“三角板”來闡述;北師大版則借助“全等三角形的判定”探索過程，即“至少滿足哪些條件兩個(gè)三角形就能相似”.這兩種方式各有千秋

11、，人教版方法多樣且省時(shí)省力，北師大版雖耗時(shí)但通過這一類數(shù)學(xué)活動(dòng)探究卻能幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識與技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).3.3 數(shù)學(xué)方法和思想的形成“相似”的教學(xué)除了要讓學(xué)生抽象出基本的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、命題和模型之外，更為重要地是滲透數(shù)學(xué)思想方法，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)方法和思想，這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后真正伴隨其一生的寶貴財(cái)富.通常認(rèn)為“數(shù)學(xué)思想方法”可從“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)方法”兩個(gè)角度來闡述，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想時(shí)常以前者命名，強(qiáng)調(diào)具體的操作過程時(shí)則以后者命名.數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)的精髓，蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展與應(yīng)用過程中，是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象與概括9.這就要求教師在

12、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)前要有主動(dòng)挖掘教材中數(shù)學(xué)思想方法的意識，在教學(xué)實(shí)踐中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.“相似”知識在數(shù)學(xué)抽象的過程中主要涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有一般與特殊、類比、化歸、數(shù)形結(jié)合以及模型等，兩版教材均有不同程度的體現(xiàn).其中從“全等三角形”到“相似三角形”是一個(gè)從“特殊”到“一般”的過程，從“相似圖形”“相似多邊形”“相似三角形”則遵循從“一般”到“特殊”的順序，幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)抽象;以類比“全等三角形”來完成“相似三角形”判定定理的抽象;以化歸將“相似三角形”判定定理的證明轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)熟悉的“全等三角形”問題，完成證明;以“數(shù)形結(jié)合”使得

13、幾何直覺、合情推理易于轉(zhuǎn)化為程序化操作的代數(shù)運(yùn)算，使得學(xué)生對“相似”的理解更加理性化;以具體的例題、習(xí)題等實(shí)際問題的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.3.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)識“相似”是學(xué)生在第三學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域中“圖形的變化”中繼軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移之后的第四種變化，其中從“全等三角形”到“相似三角形”是一種從特殊到一般的認(rèn)識過程，同時(shí)“相似”也是后續(xù)“投影與視圖”“銳角三角函數(shù)”等知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如圖1.兩版教材均在“相似”知識的學(xué)習(xí)過程中通過相關(guān)概念和規(guī)則的獲得、命題和模型的提出以及數(shù)學(xué)思想方法的形成逐漸完善學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)，遵循的建構(gòu)路徑基本相同，核心知識點(diǎn)一致，

14、只不過語言表征、素養(yǎng)闡述各有不同的風(fēng)格.啟示我們在理解和掌握教材中要明晰其宏觀結(jié)構(gòu)上的一致性與微觀表述上的差異性，從而深度學(xué)習(xí)和掌握教材建構(gòu)的特點(diǎn)，做到對“相似”知識從建構(gòu)系統(tǒng)上整體把握，從建構(gòu)動(dòng)態(tài)上精確理解.圖 1 “相似”數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系認(rèn)識4結(jié)語學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以說是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的抽象形式、方法和語言，通過經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象活動(dòng)有助于學(xué)生學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式和語言來表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界10.數(shù)學(xué)教師要善于對比分析現(xiàn)有教材中對同一知識的數(shù)學(xué)抽象方式，即數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的獲得、數(shù)學(xué)命題和模型的提出、數(shù)學(xué)方法與思想的形成以及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)識等具體的呈現(xiàn)方式，從中觸摸數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具”或“方

15、法”，也是一種思維模式;數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化;數(shù)學(xué)不僅是一些知識，也是一種素質(zhì)的內(nèi)涵.具體在“相似”內(nèi)容本質(zhì)理解的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生通過多種方式體驗(yàn)數(shù)學(xué)的方法性和抽象性、科學(xué)性和文化性、知識性和素養(yǎng)性;并以探究活動(dòng)為載體，類比“全等圖形”讓學(xué)生經(jīng)歷探索抽象數(shù)學(xué)命題和模型的過程;以數(shù)學(xué)思想方法為核心，讓學(xué)生感悟類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的精妙;以教材的數(shù)學(xué)抽象之美為靈魂，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索“圖形變化”的奧秘，從中體悟數(shù)學(xué)抽象的機(jī)制系統(tǒng)5.最終幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).參考文獻(xiàn)1中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）s.北京：人民教育出版社，2018：42丁爾升.現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程論m.南京：江蘇教育出版社，1997：372-3793中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）s.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：37-384曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)m.北京：北京師范大學(xué)出版社，2017：101-1125鄧翰香，吳立寶，沈婕.指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教材分析框架與案例剖析以人教a版“函數(shù)單調(diào)性”為例j.數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（10）：33-386史寧中.