固體物理答案第五章1

1、5.1 一維周期場(chǎng)，電子的波函數(shù)一維周期場(chǎng)，電子的波函數(shù) ;axsinxk ，電子的波函數(shù)為，電子的波函數(shù)為應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。 xk若晶格常數(shù)為若晶格常數(shù)為a ;axicosxk lklaxfx（1）（2）（3）f（ 為某一確定的函數(shù)）為某一確定的函數(shù)）試求電子在這些狀態(tài)的波矢。試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：解： 由式由式 rerrkrr inkn 可知，在一維周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)滿足可知，在一維周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)滿足 xeaxkiknak 由此得由此得（1） xasinaxasin xasinexasin1iknan 于是于是 nikna1e 因此得因此得

2、 n12skna 所以所以 0,1,2.s a12sk （2） axcosexaicosaxaicosikna 即即 niknaie 得得n232skna 所以所以 0,1,2.s a232sk （3） llka1lxflaaxfax令令1ll 得得 xexalxfaxkiknaklk 由上知由上知1eikna 可知可知2skna 所以所以 2.1,n 0,1,2.s na2sk 5.2 5.2 電子在周期場(chǎng)中得勢(shì)能電子在周期場(chǎng)中得勢(shì)能 0naxbm21xv222bnaxbna 當(dāng)當(dāng) bnaxba1-n 當(dāng)當(dāng)且且4b,a 是常數(shù)。是常數(shù)。 試畫(huà)出此勢(shì)能曲線，并求此勢(shì)能的平均值。試畫(huà)出此勢(shì)能曲線

3、，并求此勢(shì)能的平均值。解：解：oa2a3axv(x)如圖所示，由于勢(shì)能具有周期性，因此只在一個(gè)周期內(nèi)求平均如圖所示，由于勢(shì)能具有周期性，因此只在一個(gè)周期內(nèi)求平均即可，即可，于是得于是得 dxxv4b1dxxva1v2b2b2a2a dxxbm214b1222bb bb322x31xb8bm 22bm61 5.3 用近自由電子模型求解上題，確定晶體的第一及第二個(gè)禁帶用近自由電子模型求解上題，確定晶體的第一及第二個(gè)禁帶寬度。寬度。解：解： 在布里淵區(qū)邊界上，電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度的表示在布里淵區(qū)邊界上，電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度的表示式為式為ngv2e 其中其中nv是周期勢(shì)場(chǎng)是周期勢(shì)場(chǎng)v(

4、x)付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)， dxexva1vnxa2i2a2an 求得。求得。第一禁帶寬度為第一禁帶寬度為 dxexva12v2exa2i2a2a1g1 該系數(shù)可由式該系數(shù)可由式 dxexb2m4b12xa2ibb222 322bb222b8mdxx2bcosxb2m4b12 第二禁帶寬度為第二禁帶寬度為 dxexva12v2exa4i2a2a2g2 dxexb2m4b12xbibb222 222bb222bmdxxbcosxb2m4b12 5.4 用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體s態(tài)電子的能帶態(tài)電子的能帶 2akcos2akcos2akcos8jaeke

5、zyxats并求能帶寬度。并求能帶寬度。解：解： 用緊束縛方法處理晶格的用緊束縛方法處理晶格的s態(tài)電子，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)態(tài)電子，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，的相互作用時(shí)， 是最近鄰格矢是最近鄰格矢nrk inatsr,ejaeken 對(duì)體心立方晶格，取參考格點(diǎn)的坐標(biāo)為對(duì)體心立方晶格，取參考格點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，0）， 則則8個(gè)個(gè)最近鄰格點(diǎn)的坐標(biāo)為最近鄰格點(diǎn)的坐標(biāo)為 2a,2a,2a其能帶的表示式為其能帶的表示式為將上述將上述8組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得 nrk inatsejaeke zyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx

6、2aizyx2aiatskkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkejae 2akcose2akcose2akcose2akcose2jaezkk2aizkk2aizkk2aizkk2aiatsyxyxyxyx 2akcos2akcosee4jaezyk2aik2aiatsxx2akcos2akcos2ak8jcosaezyxats 由余弦函數(shù)的性質(zhì)，用觀察法即可斷定，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，用觀察法即可斷定，當(dāng)當(dāng)0kkkzyx 時(shí)，時(shí)，能帶中的能量取最小值能帶中的能量取最小值8jaee0min 當(dāng)當(dāng)a1k,a1k,a1kzyx 時(shí)，時(shí)，能量取最大值能量取最大值8jaee0max

7、 因而能帶的寬度為因而能帶的寬度為16jeeeminmax 5.5由由n格原子組成的三維晶體（簡(jiǎn)單晶格格原子組成的三維晶體（簡(jiǎn)單晶格),其孤立原子中的其孤立原子中的 ,e1xxat 為正的常數(shù)。為正的常數(shù)。（1）試寫(xiě)出該晶體的緊束縛近似波函數(shù)；）試寫(xiě)出該晶體的緊束縛近似波函數(shù)；（2）證明上面寫(xiě)出的緊束縛近似波函數(shù)具有布洛赫波函數(shù)）證明上面寫(xiě)出的緊束縛近似波函數(shù)具有布洛赫波函數(shù)（3）對(duì)比說(shuō)明孤立原子的電子和晶體中的電子的波函數(shù)及）對(duì)比說(shuō)明孤立原子的電子和晶體中的電子的波函數(shù)及電子基態(tài)波函數(shù)為電子基態(tài)波函數(shù)為的性質(zhì)；的性質(zhì)；能量的特征。能量的特征。解：解： （1）按緊束縛近似，三維晶體電子的波函數(shù)

8、為）按緊束縛近似，三維晶體電子的波函數(shù)為 latrk iratrken1r , kll 一維晶體情況下，晶格常數(shù)一維晶體情況下，晶格常數(shù)a，narl 所以所以 naxen1x, katnak in 又又 xate1x 得得 naxnak ineen1x, k （2） 按正交化平面波方法，三維晶體電子的波函數(shù)為按正交化平面波方法，三維晶體電子的波函數(shù)為 ren1xiikkj,ijm1jrkki derr1liirrkkilatjkk ,kij latjrk ilk jrren1l 對(duì)于一維晶體情況下，晶格常數(shù)對(duì)于一維晶體情況下，晶格常數(shù)a，narl ，a xena1xiikkj,ijm1jxkk

9、i dxenaxa1naxkkiaatjkk ,kijii 此處此處 xate1x dxeea1naxan2kianaxkk ,kiji naxiknanjkeen1 若只取一項(xiàng)，則若只取一項(xiàng)，則 nnaxeiknaedxnaxikeanaxena1ikxena10 x5.6 一矩形晶格，原胞邊長(zhǎng)一矩形晶格，原胞邊長(zhǎng) ma10102 ， mb10104 （1）畫(huà)出倒格子圖；）畫(huà)出倒格子圖；（2）以廣延圖和簡(jiǎn)約圖兩種形式，畫(huà)出第一布里淵區(qū)和）以廣延圖和簡(jiǎn)約圖兩種形式，畫(huà)出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；第二布里淵區(qū)；（3）畫(huà)出自由電子的費(fèi)密面。）畫(huà)出自由電子的費(fèi)密面。(設(shè)每個(gè)原胞有兩個(gè)電子。）設(shè)每個(gè)

10、原胞有兩個(gè)電子。）解：解：jajbbiaiaa0042 倒格子基矢為倒格子基矢為jabiaaoo4121* (1) 因?yàn)橐驗(yàn)橐砸?,ba如圖如圖6-11所示所示,圖中圖中“?！贝淼垢顸c(diǎn)。由圖可見(jiàn)，代表倒格點(diǎn)。由圖可見(jiàn)，矩形晶格的倒格子也是矩形晶格的倒格子也是矩形格子。矩形格子。為基矢構(gòu)成的倒格子為基矢構(gòu)成的倒格子第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)xkyk a bo1a2a3a4a1b2b3b4b（2）其結(jié)果如圖所示。其結(jié)果如圖所示。ia、次近鄰、次近鄰 ib的連線的中垂線可圍成第一、第二布里淵區(qū)的連線的中垂線可圍成第一、第二布里淵區(qū)(如上圖如上圖)，這，這是布里淵區(qū)的廣延圖。是布里淵區(qū)的廣延圖。取任意

11、倒格點(diǎn)取任意倒格點(diǎn)o作為原點(diǎn)，由原點(diǎn)至其最近鄰作為原點(diǎn)，由原點(diǎn)至其最近鄰如采用簡(jiǎn)約形式，將第二區(qū)移入第一區(qū)，如采用簡(jiǎn)約形式，將第二區(qū)移入第一區(qū)，xkyk（3）簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的面積簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的面積 便有便有2n個(gè)狀態(tài)。個(gè)狀態(tài)。2*)(81oabaa 而狀態(tài)密度而狀態(tài)密度2*)(162)(oanankg 當(dāng)每個(gè)原胞有兩個(gè)電子時(shí)，晶體電子的總數(shù)為當(dāng)每個(gè)原胞有兩個(gè)電子時(shí)，晶體電子的總數(shù)為 201622fkknkdkkgnf 設(shè)晶體共有設(shè)晶體共有n個(gè)原胞，計(jì)入自旋后，在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中個(gè)原胞，計(jì)入自旋后，在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中所以所以11112/11022 . 081 makof 這就是費(fèi)米圓的這就是費(fèi)米圓的半

12、徑，據(jù)此做出半徑，據(jù)此做出費(fèi)米圓如圖所示。費(fèi)米圓如圖所示。xkykofk5.7 有一平面正六角形晶格，六角形兩個(gè)平行對(duì)邊的間距為有一平面正六角形晶格，六角形兩個(gè)平行對(duì)邊的間距為a（見(jiàn)圖），試畫(huà)出此晶體的第一、第二、第三布里淵區(qū)。若（見(jiàn)圖），試畫(huà)出此晶體的第一、第二、第三布里淵區(qū)。若每個(gè)原胞有每個(gè)原胞有2個(gè)電子試畫(huà)出其費(fèi)米圓周。個(gè)電子試畫(huà)出其費(fèi)米圓周。解：解： 如圖所示，平面六角晶格如圖所示，平面六角晶格1a2aoxya取六角形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，取六角形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，原胞也如圖中畫(huà)出。原胞也如圖中畫(huà)出。每個(gè)原胞中包含有兩個(gè)原子。每個(gè)原胞中包含有兩個(gè)原子。是一個(gè)復(fù)式格子。是一個(gè)復(fù)式格子。基矢基

13、矢可由下式給出可由下式給出21a,a j a23i a23aj a23i a23a21，可得到倒格基矢，可得到倒格基矢 j a23i a232aa2bj a23i a232aa2b132321在二維晶格下，取在二維晶格下，取ka3 其中其中由由 2321a233aaa 給出。給出。所以所以 j31i33a2bj31i33a2b21根據(jù)倒格基矢就可以根據(jù)倒格基矢就可以畫(huà)出個(gè)倒格點(diǎn)，從而畫(huà)出個(gè)倒格點(diǎn)，從而畫(huà)出布里淵區(qū)如圖。畫(huà)出布里淵區(qū)如圖。當(dāng)每個(gè)原子有當(dāng)每個(gè)原子有2個(gè)電子個(gè)電子時(shí)，則二維晶格的價(jià)時(shí)，則二維晶格的價(jià)電子面密度為電子面密度為1b2b可算出費(fèi)米圓的半徑可算出費(fèi)米圓的半徑a3.1a3316

14、n2k2f 由此可以畫(huà)出自由電子的由此可以畫(huà)出自由電子的費(fèi)米圓，如圖中的所示。費(fèi)米圓，如圖中的所示。2ca338a4n 考慮周期勢(shì)場(chǎng)的微擾，對(duì)考慮周期勢(shì)場(chǎng)的微擾，對(duì)自由電子的費(fèi)米圓作兩點(diǎn)自由電子的費(fèi)米圓作兩點(diǎn)修正：修正：（1）在布里淵區(qū)）在布里淵區(qū)的邊界線處發(fā)生分裂。的邊界線處發(fā)生分裂。（2）費(fèi)米圓與布里淵區(qū)）費(fèi)米圓與布里淵區(qū)邊界線間的交角進(jìn)行鈍化。邊界線間的交角進(jìn)行鈍化。1b2b5.8 平面正三角形晶格（見(jiàn)圖），相鄰原子間距為平面正三角形晶格（見(jiàn)圖），相鄰原子間距為a。試求。試求（1）正格矢和倒格矢；）正格矢和倒格矢；（2）畫(huà)出第一布里淵區(qū)，并求此區(qū)域的內(nèi)接圓的半徑。）畫(huà)出第一布里淵區(qū)，并求

15、此區(qū)域的內(nèi)接圓的半徑。1a2aa解：解：（1） 正格原胞的基矢正格原胞的基矢如圖所示取為如圖所示取為j23i2aa, i aa21 其中其中 和和 是相互垂直的是相互垂直的單位矢量。單位矢量。ij取單位矢量取單位矢量 垂直于垂直于 和和 ，則，則 和和 構(gòu)成的體積構(gòu)成的體積ijk21a,ak3a23 倒格原胞的基矢為倒格原胞的基矢為 ja34ak2bja32ia2ka2b1221 （2） 選定一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)的最近鄰倒格矢有選定一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)的最近鄰倒格矢有6個(gè)，它們個(gè)，它們是是 2121bb,b,b 這這6個(gè)倒格矢的中垂線圍個(gè)倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間構(gòu)成了兩部分，成的區(qū)間構(gòu)成了兩部

16、分，以原點(diǎn)為對(duì)稱心的正六邊以原點(diǎn)為對(duì)稱心的正六邊形是第一布里淵區(qū)。形是第一布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)內(nèi)切圓的半第一布里淵區(qū)內(nèi)切圓的半徑為徑為a322bk2 21bb 21bb- 1b1b-2b2b-5.9 證明：體心立方晶格第一布里淵區(qū)的界面對(duì)應(yīng)于證明：體心立方晶格第一布里淵區(qū)的界面對(duì)應(yīng)于 110晶面的布拉格反射。晶面的布拉格反射。證明：證明： , 3 , 2 , 1sin2 nnd 對(duì)于一級(jí)反射，對(duì)于一級(jí)反射，n=1,則有則有 sin2d (1) 式中，式中，d為反射晶面族的面間距，為反射晶面族的面間距， 為布拉格角。為布拉格角。在第一布里淵區(qū)邊界面上，必有在第一布里淵區(qū)邊界面上，必有 2sin

17、nkk 根據(jù)布拉格衍射公式根據(jù)布拉格衍射公式此處此處nk為被界面垂直平分的倒格矢，為被界面垂直平分的倒格矢，nkk sin21 (2) 令令(1)(2)兩式右邊相等，便得兩式右邊相等，便得2221lkhakdn (3) 式中式中a為立方晶系的晶格常數(shù)，為立方晶系的晶格常數(shù)，h,k,l為晶面指數(shù)。為晶面指數(shù)。 對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu)，其倒格子原胞是邊長(zhǎng)為對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu)，其倒格子原胞是邊長(zhǎng)為2/a的面心立方的面心立方格子，布里淵區(qū)則是從坐標(biāo)原點(diǎn)到最近鄰的格子，布里淵區(qū)則是從坐標(biāo)原點(diǎn)到最近鄰的12個(gè)面心的倒個(gè)面心的倒格矢的中垂面圍成的十二面體，這些倒格矢的長(zhǎng)度格矢的中垂面圍成的十二面體，這些倒格矢的長(zhǎng)度

18、nk由此得由此得正好等于面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，正好等于面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半， 即即 aakn22221 于是從于是從(3)式給出式給出21akdn (4) 根據(jù)衍射理論，對(duì)于體心立方格子，只有晶面指數(shù)之和為偶數(shù)根據(jù)衍射理論，對(duì)于體心立方格子，只有晶面指數(shù)之和為偶數(shù)的晶面族才能產(chǎn)生的晶面族才能產(chǎn)生1級(jí)反射，因此從級(jí)反射，因此從(3)(4)兩式容易看出，與布兩式容易看出，與布里淵區(qū)邊界面相對(duì)應(yīng)的反射晶面族的面指數(shù)為里淵區(qū)邊界面相對(duì)應(yīng)的反射晶面族的面指數(shù)為 . 110解：解： snrrrki0jeaekensn 最最近近臨臨(1) 式中式中sr和和nr分別為參考原子及其最近鄰的位矢。分別為參考原子及其最

19、近鄰的位矢。 在面心立方格子中，有在面心立方格子中，有12個(gè)最近鄰。個(gè)最近鄰。=0,12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)分別是個(gè)最近鄰的坐標(biāo)分別是sr5.10 用緊束縛方法處理面心立方晶格的用緊束縛方法處理面心立方晶格的s態(tài)電子，若只計(jì)最態(tài)電子，若只計(jì)最近鄰的相互作用，試導(dǎo)出其能帶表達(dá)式。近鄰的相互作用，試導(dǎo)出其能帶表達(dá)式。原點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)時(shí)，晶體中晶體中s態(tài)電子的能量表示為態(tài)電子的能量表示為若只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似所得的結(jié)果，若只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似所得的結(jié)果，當(dāng)取參考原子為坐標(biāo)當(dāng)取參考原子為坐標(biāo)對(duì)于對(duì)于s態(tài)電子，原子與各個(gè)最近鄰的交迭積分皆相等，態(tài)電子，原子與各個(gè)最近鄰的交迭積分

20、皆相等，jjsn ，則從，則從(1)式得式得 1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 1, 02,1 , 1, 02,1, 1 , 02,1 , 1 , 02,0 , 1, 12,0 , 1 , 12,0 , 1, 12,0 , 1 , 12aaaaaaaaaaaa )kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai0zxzxzxzxzyzyzyzyyxyxyxyxeeeeeeeeeeeejaeke令令 zyzxyx0k2aco

21、sk2acosk2acosk2acosk2acosk2acos4jae zzyyxxzzyyxxk2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2ai0eeeeeeeeeeeejae5.11 證明：在三維晶格中，電子的能量在證明：在三維晶格中，電子的能量在k空間中具有空間中具有 hkkeke , ,式中式中hk為任一倒格矢。為任一倒格矢。周期性：周期性：證明：證明： ruerkrkik 2(1) 波函數(shù)波函數(shù) rk 具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)： retrrtktkikk 2(2) 代表平移算符。代表平移算符。 t顯然，平面波顯然，平面波可寫(xiě)成可寫(xiě)成按照

22、布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)按照布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù) rikkhkkhcer 2滿足滿足(2)式，式， hk為任意倒格矢。為任意倒格矢。 因此，電子波函數(shù)應(yīng)當(dāng)是所有因此，電子波函數(shù)應(yīng)當(dāng)是所有 rhkk 的線性疊加，即的線性疊加，即 rarhhhkkkkkk rki2kkkrki2rkki2kkkhhhhhhebeeb (3) 其中其中 hhkkkkcab 。 對(duì)比對(duì)比(1)(3)兩式可知兩式可知 rkikkkkhhhebru 2(4) 容易看出，容易看出， ruk具有晶格的周期性。具有晶格的周期性。 由由(4)式還可得到式還可得到 rkikkkkkkhh

23、mhmebru 2其中其中 mk也為任一倒格矢。也為任一倒格矢。 令令 hmlkkk ， 則上式可以寫(xiě)成則上式可以寫(xiě)成 r)k(ki2kkkkkmlllmebru rki2kkkrki2lllmebe ruekrki2m (5) 由由(1)(5)式，有式，有 ruerhhhkkrkki2kk rueekrki2rkki2hh rruekkrki2 (6) 即電子波函數(shù)在即電子波函數(shù)在k空間具有平移對(duì)稱性。空間具有平移對(duì)稱性。由薛定諤方程由薛定諤方程 rkerhkk rkkerhhhkkhkk 結(jié)合結(jié)合(6)式，立即得到式，立即得到 hkkeke 5.12 證明在任何能帶中，波矢為證明在任何能帶

24、中，波矢為k和波矢為和波矢為k的狀態(tài)有相同的狀態(tài)有相同的能量，即的能量，即 kekenn ken這里這里 代表簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中第代表簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中第n個(gè)能帶的態(tài)能量。個(gè)能帶的態(tài)能量。 證明：證明： rv表示，電子波函數(shù)用表示，電子波函數(shù)用 rnk 表示，表示， 則薛定諤方程為則薛定諤方程為 rkerrvrmhnknnknk 222從布洛赫定理知道，波函數(shù)從布洛赫定理知道，波函數(shù) ruernkrkink 2若周期性勢(shì)場(chǎng)用若周期性勢(shì)場(chǎng)用代入薛定諤方程，并由代入薛定諤方程，并由 zkykxkrkzyxzyx2222222便可得到?jīng)Q定函數(shù)便可得到?jīng)Q定函數(shù) runk的方程：的方程： rukerurvruk

25、k imhnknnknk 2222442 (1) 取取(1)式的共軛復(fù)式，得式的共軛復(fù)式，得 rukerurvrukk imhnknnknk*2222442 (2) 若在若在(1)式中用式中用 k 代替代替 k，則有，則有 rukerurvrukk imhknnknkn ,2222442 (3) 比較比較(2)(3)式可知，除了滿足式可知，除了滿足 ruruknnk ,*之外，之外， 顯然有顯然有 kekenn 可見(jiàn)，在任一能帶可見(jiàn)，在任一能帶 ne中，波矢為中，波矢為 k k相同的能量。相同的能量。和和 的兩狀態(tài)具有的兩狀態(tài)具有5.13 證明：二維正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個(gè)自由證明：

26、二維正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個(gè)自由電子的動(dòng)能，比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動(dòng)能大倍。電子的動(dòng)能，比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動(dòng)能大倍。 對(duì)三維簡(jiǎn)單立方晶格，其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？對(duì)三維簡(jiǎn)單立方晶格，其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？證明：證明：角隅處角隅處c和側(cè)邊中點(diǎn)處和側(cè)邊中點(diǎn)處a的的波矢分別為波矢分別為acoxkyka1akakca22,21 k空間空間 中一個(gè)邊長(zhǎng)為中一個(gè)邊長(zhǎng)為1/a的正方形的正方形(如圖如圖 )。 對(duì)邊長(zhǎng)為對(duì)邊長(zhǎng)為a的二維正方格子的二維正方格子, 其第一布里淵區(qū)是其第一布里淵區(qū)是相應(yīng)的自由電子能量為相應(yīng)的自由電子能量為222222224282mahmkhemahmkheccaa 可見(jiàn)，可見(jiàn)

27、， acee2 對(duì)于三維簡(jiǎn)單立方對(duì)于三維簡(jiǎn)單立方晶格，若晶格常數(shù)為晶格，若晶格常數(shù)為a，第一布里淵區(qū)是一個(gè)邊第一布里淵區(qū)是一個(gè)邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為1/a的立方體的立方體(如圖如圖)，akakca23,21 。acoxkykzka1此時(shí)此時(shí)相應(yīng)的自由電子能量為相應(yīng)的自由電子能量為2222222283282mahmkhemahmkheccaa 可見(jiàn)，可見(jiàn)， acee3 即對(duì)簡(jiǎn)單立方晶格，第一布里淵區(qū)角隅即對(duì)簡(jiǎn)單立方晶格，第一布里淵區(qū)角隅 處一個(gè)自由電子的能量等于側(cè)面中點(diǎn)處能量的處一個(gè)自由電子的能量等于側(cè)面中點(diǎn)處能量的3倍。倍。5.14 應(yīng)用緊束縛近似證明，正交晶系的能帶可表示為應(yīng)用緊束縛近似證明，正交晶系的

28、能帶可表示為 3322110coscoscos2akjakjakjaekezyx 式中，式中， 3210，、 ijaei對(duì)已知晶體可視為常數(shù)；對(duì)已知晶體可視為常數(shù)； 321 ， iai是晶格常數(shù)。是晶格常數(shù)。證明：證明： snrrrkijeaekensn 最近臨 20 (1) 式中式中 nsrr,分別代表參考原子及其最近鄰原子的位矢，分別代表參考原子及其最近鄰原子的位矢， snj是位矢為是位矢為 nsrr,兩原子兩原子s態(tài)電子波函數(shù)的交迭積分。態(tài)電子波函數(shù)的交迭積分。 在緊束縛近似條件下，在緊束縛近似條件下，s態(tài)布洛赫電子的能帶可表示為態(tài)布洛赫電子的能帶可表示為取取 0 sr，即以參考原子為坐

29、標(biāo)原點(diǎn)，即以參考原子為坐標(biāo)原點(diǎn)，其六個(gè)最近鄰的坐標(biāo)分別為其六個(gè)最近鄰的坐標(biāo)分別為 332211, 0 , 0, 0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0 ,0 , 0 ,aaaaaa 代入代入(1)式，得式，得 1120, 120, 10akiakixxejejaeke 332220,320,320,220,2akiakiakiakizzyyejejejej (2) 注意到注意到 0 , 0 ,1a和和 0 , 0 ,1a 兩原子與原點(diǎn)距離相等，兩原子與原點(diǎn)距離相等， 應(yīng)有應(yīng)有 則對(duì)于簡(jiǎn)單正交晶系，則對(duì)于簡(jiǎn)單正交晶系， 10, 10, 1jjj 同理同理 20,20,2jjj 30,30

30、,3jjj 代入代入(2)式，并應(yīng)用尤拉公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即得式，并應(yīng)用尤拉公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即得 33221102cos2cos2cos2akjakjakjaekezyx 或統(tǒng)一表示為或統(tǒng)一表示為 iiiiakjaeke 2cos2310 5.15 設(shè)電子能譜仍和自由電子一樣，試采用簡(jiǎn)約能區(qū)圖形式，設(shè)電子能譜仍和自由電子一樣，試采用簡(jiǎn)約能區(qū)圖形式，粗略畫(huà)出簡(jiǎn)單立方晶格第一布里淵區(qū)及其六個(gè)近鄰倒格點(diǎn)區(qū)域粗略畫(huà)出簡(jiǎn)單立方晶格第一布里淵區(qū)及其六個(gè)近鄰倒格點(diǎn)區(qū)域內(nèi)沿內(nèi)沿 100方向的電子的方向的電子的 ke圖。圖。 解：解：k空間中一個(gè)邊長(zhǎng)為空間中一個(gè)邊長(zhǎng)為1/a的的簡(jiǎn)單立方格子，如圖所示。簡(jiǎn)單立方格子，如圖所

31、示。6個(gè)最近鄰的倒格點(diǎn)，分別位于各鄰近區(qū)域內(nèi)，它們對(duì)應(yīng)的倒格個(gè)最近鄰的倒格點(diǎn)，分別位于各鄰近區(qū)域內(nèi)，它們對(duì)應(yīng)的倒格矢分別為矢分別為 0 , 0 ,1,1, 0 , 0,1, 0 , 0,0 ,1, 0,0 ,1, 0,0 , 0 ,1aaaaaa簡(jiǎn)單立方晶格的第一布里淵區(qū)是簡(jiǎn)單立方晶格的第一布里淵區(qū)是取立方體中心的倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，它有取立方體中心的倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，它有在簡(jiǎn)約能區(qū)圖式表示法中，在簡(jiǎn)約能區(qū)圖式表示法中，所有的電子波矢所有的電子波矢k都要變都要變 換到第一布里淵區(qū)內(nèi)。換到第一布里淵區(qū)內(nèi)。 為簡(jiǎn)為簡(jiǎn) 單計(jì)，本題的計(jì)算只取原點(diǎn)單計(jì)，本題的計(jì)算只取原點(diǎn)o和界面上的點(diǎn)和界面上的點(diǎn)a,b。 這樣，

32、這樣， 設(shè)設(shè) k可取可取 100方向上所有方向上所有可能的值，其對(duì)應(yīng)的能量為可能的值，其對(duì)應(yīng)的能量為 222kkmhe 1e2e6543eeee,7e ke2a1 2a1ko02040608于是，第一區(qū)及其鄰近區(qū)域內(nèi)沿于是，第一區(qū)及其鄰近區(qū)域內(nèi)沿 100方向的方向的ek圖可分別求出圖可分別求出 如下：如下： (1)第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)0 k2222008,0 , 0 ,218,0 , 0 ,210, 0maheakmaheakekbbaa 據(jù)此可作略圖，如圖中的據(jù)此可作略圖，如圖中的 1e曲線。曲線。 圖中圖中 2208/ mah 取作能量的單位。取作能量的單位。(2)各鄰近區(qū)域各鄰近區(qū)域

33、當(dāng)當(dāng) 0 , 0 ,1ak時(shí)，則時(shí)，則 22222222222002089,0 , 0 ,238,0 , 0 ,212,0 , 0 ,1maheakkkmaheakkkmaheakkkbbbaaa 作略圖如曲線作略圖如曲線 2e。 當(dāng)當(dāng) 0 ,1, 0ak時(shí)，則時(shí)，則 22332233223003085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0maheaakkkmaheaakkkmaheakkkbbbaaa 作略圖如曲線作略圖如曲線 3e。 當(dāng)當(dāng) 0 ,1, 0ak時(shí)，則時(shí)，則 22442244224004085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0maheaakkkmah

34、eaakkkmaheakkkbbbaaa 作略圖如曲線作略圖如曲線 4e。 當(dāng)當(dāng) ak1, 0 , 0和和 ak1, 0 , 0時(shí)，時(shí)， 所得曲線所得曲線 65,ee與曲線與曲線 43,ee重合。重合。 當(dāng)當(dāng) 0 , 0 ,1ak時(shí)，有時(shí)，有 2277227722700708,0 , 0 ,2189,0 , 0 ,232,0 , 0 ,1maheakkkmaheakkkmaheakkkbbbaaa 作略圖如曲線作略圖如曲線 7e。 5.16 設(shè)有晶格常數(shù)為設(shè)有晶格常數(shù)為a、2a、3a的簡(jiǎn)單正交晶格，試求：的簡(jiǎn)單正交晶格，試求：（1）簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的圖形及體積；）簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的圖形及體積；（2）在

35、自由電子近似下，費(fèi)密面與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各邊）在自由電子近似下，費(fèi)密面與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各邊界面相切時(shí)所對(duì)應(yīng)的價(jià)電子數(shù)與原子數(shù)之比；界面相切時(shí)所對(duì)應(yīng)的價(jià)電子數(shù)與原子數(shù)之比；（3）若該晶體的費(fèi)密面正好是與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各邊界面）若該晶體的費(fèi)密面正好是與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各邊界面相切的橢球面，求該晶體的價(jià)電子數(shù)與原子數(shù)之比。相切的橢球面，求該晶體的價(jià)電子數(shù)與原子數(shù)之比。解：解：（1）令簡(jiǎn)單正交晶格的三個(gè)晶軸分別為）令簡(jiǎn)單正交晶格的三個(gè)晶軸分別為x、y、z軸，則軸，則它的基矢可寫(xiě)成它的基矢可寫(xiě)成 k3aaj2aai aa321可求出它的倒格子基矢可求出它的倒格子基矢 k3a2bjabi2b321a由此倒格矢

36、可寫(xiě)成由此倒格矢可寫(xiě)成 kh31jh21iha2bhbhbhk321332211h而布里淵區(qū)邊界面由式而布里淵區(qū)邊界面由式02kkkhh 給出給出0k3ahkj2ahkiahkkh31jh21iha23z2y1x321 即即03ahkh312ahkh21ahkh3z32y21x1 取最短的幾個(gè)倒格矢，得到的相應(yīng)邊界面可列表如下：取最短的幾個(gè)倒格矢，得到的相應(yīng)邊界面可列表如下：邊界面方程邊界面方程邊界面方程邊界面方程 321h,h,h 321h,h,h 1,0,0 1,00, 10,0, 1,01, 11,0, 11,0, akx 2aky 3akz 2a5k2kyx 3a10k3kzx 6a1

37、32k3kzy 從上面的平面方程中，可以看到離原點(diǎn)最近的幾個(gè)面是上表中從上面的平面方程中，可以看到離原點(diǎn)最近的幾個(gè)面是上表中列出的最前面三個(gè)方程所表示的六個(gè)平面。列出的最前面三個(gè)方程所表示的六個(gè)平面。 這六個(gè)平面圍成這六個(gè)平面圍成一個(gè)長(zhǎng)方體如圖所示，這就是該晶格的第一布里淵區(qū)，一個(gè)長(zhǎng)方體如圖所示，這就是該晶格的第一布里淵區(qū)， 它的它的體積是體積是 3321a34bbb xkzkyk（2）在自由電子近似下，費(fèi)米面為球面。）在自由電子近似下，費(fèi)米面為球面。當(dāng)費(fèi)米面與第一布里淵區(qū)的當(dāng)費(fèi)米面與第一布里淵區(qū)的三對(duì)平面相切時(shí)的半徑分別為三對(duì)平面相切時(shí)的半徑分別為 3ak2akak321fff（1）由由 3

38、12312fn3vn3h 式可得各情況下的相應(yīng)電子密度式可得各情況下的相應(yīng)電子密度 332f223332f322332f32181a3a31k31n24a2a31k31n3aa31k31n321每個(gè)原胞的體積每個(gè)原胞的體積 33216aaaa 根據(jù)以上幾式可求出各個(gè)原胞內(nèi)所含的自由電子數(shù)根據(jù)以上幾式可求出各個(gè)原胞內(nèi)所含的自由電子數(shù)（2）0.2327281a6ann0.79424a6ann6.323a6ann333333223311 因?yàn)楹?jiǎn)單正交格子是簡(jiǎn)單格子，所以每個(gè)原胞中只包含一個(gè)因?yàn)楹?jiǎn)單正交格子是簡(jiǎn)單格子，所以每個(gè)原胞中只包含一個(gè)原子，因而上面算得的原子，因而上面算得的即分別是三種情況下的

39、即分別是三種情況下的321n,n,n自由電子數(shù)與原子數(shù)之比。自由電子數(shù)與原子數(shù)之比。（3） 如果費(fèi)米面是與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各個(gè)邊界面相切的橢球如果費(fèi)米面是與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各個(gè)邊界面相切的橢球面，則它的費(fèi)米面方程可寫(xiě)成面，則它的費(fèi)米面方程可寫(xiě)成1kkkkkk2f2z2f2y2f2x321 這里的這里的321fffk,k,k分別是橢球的三個(gè)主軸長(zhǎng)度，由（分別是橢球的三個(gè)主軸長(zhǎng)度，由（2）給出。）給出。橢球橢球 v中可以有中可以有 v2v3 個(gè)軌道狀態(tài)。個(gè)軌道狀態(tài)?？紤]自旋，則在橢球費(fèi)米面內(nèi)可容納的電子數(shù)為考慮自旋，則在橢球費(fèi)米面內(nèi)可容納的電子數(shù)為 v22vn3因此晶體的電子密度為因此晶體的電子密度為

40、 v22vnn3（3）每個(gè)原胞所含的電子數(shù)即為每個(gè)原胞所含的電子數(shù)即為 v22nn3c因?yàn)楹?jiǎn)單正交格子是簡(jiǎn)單格子，每個(gè)原胞只含一個(gè)原子，所以因?yàn)楹?jiǎn)單正交格子是簡(jiǎn)單格子，每個(gè)原胞只含一個(gè)原子，所以cn也即是自由電子數(shù)與原子數(shù)之比。也即是自由電子數(shù)與原子數(shù)之比。為了得到為了得到cn值，必須值，必須知道橢球的體積知道橢球的體積 。 v為此。令為此。令 zrkkyrkkxrkk321fzfyfx（5）由（由（3）、（）、（5）兩式可知）兩式可知（4）2222rzyx 即變成一個(gè)半徑為即變成一個(gè)半徑為r的球面方程，它的體積為的球面方程，它的體積為3r34v 在作（在作（5）式的變換時(shí)，相對(duì)應(yīng)的體積變換關(guān)

41、系為）式的變換時(shí)，相對(duì)應(yīng)的體積變換關(guān)系為3fff3fffzyxrkkkxyzrxyzkkkxyzkkkvv321321 所以所以321321fff3fffkkk34vrkkkv 把上式代入（把上式代入（4）式，并利用（）式，并利用（1）、（）、（2）式，即可得晶體中）式，即可得晶體中自由電子數(shù)與原子數(shù)之比自由電子數(shù)與原子數(shù)之比 321fff333ckkk346a2222n 3a2aa2akkk2a23fff23321 1.053 5.17 體心立方晶格，原子總數(shù)為體心立方晶格，原子總數(shù)為n 。假設(shè)電子等能面為球面，。假設(shè)電子等能面為球面，試求：當(dāng)費(fèi)密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時(shí)，第一布里試求：當(dāng)費(fèi)密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時(shí)，第一布里淵區(qū)實(shí)際填充的電子數(shù)。淵區(qū)實(shí)際填充的電子數(shù)。解：解：因此，在第一布里淵區(qū)內(nèi)實(shí)