2013年湖南省高考數(shù)學試卷（文科）

1、2013年湖南省高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）復數(shù)z=i（1+i）（i為虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）“1x2”是“x2”成立的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3（5分）某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數(shù)量分別為120件，80件，60件為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n=（）A9B10C12D134（5

2、分）已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，則g（1）=（）A4B3C2D15（5分）在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b若2asinB=b，則角A等于（）ABCD6（5分）函數(shù)f（x）=lnx的圖象與函數(shù)g（x）=x24x+4的圖象的交點個數(shù)為（）A0B1C2D37（5分）已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于（）AB1CD8（5分）已知，是單位向量，=0若向量滿足|=1，則|的最大值為（）ABCD9（5分）已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使APB

3、的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則=（）ABCD二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分10（5分）已知集合U=2，3，6，8，A=2，3，B=2，6，8，則（UA）B= 11（5分）在平面直角坐標系xOy中，若直線（s為參數(shù)）和直線（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為 12（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a=1，b=2，則輸出的a的值為 13（5分）若變量x，y滿足約束條件，則x+y的最大值為 14（5分）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a0，b0）的兩個焦點若在C上存在一點P使PF1PF2，且PF1F2=30°，則C的離心率為 15（5分）對于E=a1，a2，a100的子集X

4、=ai1，ai2，aik，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，x100，其中xi1=xi2=xik=1其余項均為0，例如子集a2，a3的“特征數(shù)列”為0，1，1，0，0，0（1）子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”的前3項和等于 ；（2）若E的子集P的“特征數(shù)列”P1，P2，P100 滿足p1=1，pi+pi+1=1，1i99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1j98，則PQ的元素個數(shù)為 三、解答題；本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（12分）已知函數(shù)f（x）=cosxcos（x）（1）求f（）的值（2）求使f

5、（x）成立的x的取值集合17（12分）如圖在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動（1）證明：ADC1E；（2）當異面直線AC，C1E 所成的角為60°時，求三棱錐C1A1B1E的體積18（12分）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經驗，一株該種作物的年收貨量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米（）完成下

6、表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4（）在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率19（13分）設Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a10，2ana1=S1Sn，nN*（）求a1，a2，并求數(shù)列an的通項公式；（）求數(shù)列nan的前n項和20（13分）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2關于直線x+y2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點（）求圓C的方程；（）設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b當ab最大時，求直線l的方程21（13分）已知函數(shù)f（x）=（）求f（x）的單調區(qū)間；（）證明：當f（x1）=f（x2）（x1x2）時，x

7、1+x202013年湖南省高考數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）復數(shù)z=i（1+i）（i為虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】化簡復數(shù)z，根據(jù)復數(shù)與復平面內點的對應關系可得答案【解答】解：z=i（1+i）=1+i，故復數(shù)z對應的點為（1，1），在復平面的第二象限，故選：B【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬基礎題2（5分）“1x2”是“x2”成立的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析

8、】設A=x|1x2，B=x|x2，判斷集合A，B的包含關系，根據(jù)“誰小誰充分，誰大誰必要”的原則，即可得到答案【解答】解：設A=x|1x2，B=x|x2，AB，故“1x2”是“x2”成立的充分不必要條件故選：A【點評】本題考查的知識點是必要條件，充分條件與充要條件判斷，其中熟練掌握集合法判斷充要條件的原則“誰小誰充分，誰大誰必要”，是解答本題的關鍵3（5分）某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數(shù)量分別為120件，80件，60件為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n=（）A9B10C12D13【分析】甲、乙

9、、丙三個車間生產的產品數(shù)量的比依次為6：4：3，求出丙車間生產產品所占的比例，從而求出n的值【解答】解：甲、乙、丙三個車間生產的產品件數(shù)分別是120，80，60，甲、乙、丙三個車間生產的產品數(shù)量的比依次為6：4：3，丙車間生產產品所占的比例，因為樣本中丙車間生產產品有3件，占總產品的，所以樣本容量n=3÷=13故選：D【點評】本題主要考查了分層抽樣方法，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關鍵是明確考查的對象總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小4（5分）已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，則g（1）=（）A

10、4B3C2D1【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性，化簡方程，解方程組即可【解答】解：f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，方程f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，化為：f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，兩式相加可得2g（1）=6，所以g（1）=3故選：B【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性的應用，函數(shù)的值的求法，基本知識的考查5（5分）在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b若2asinB=b，則角A等于（）ABCD【分析】利用正弦定理可求得sinA，結合題意可求得角A【解答】解：在ABC中，2asinB=b，由正弦定理=2R得：2sinAsinB=sinB，sinA=，又AB

11、C為銳角三角形，A=故選：A【點評】本題考查正弦定理，將“邊”化所對“角”的正弦是關鍵，屬于基礎題6（5分）函數(shù)f（x）=lnx的圖象與函數(shù)g（x）=x24x+4的圖象的交點個數(shù)為（）A0B1C2D3【分析】在同一個坐標系中，畫出函數(shù)f（x）=x 與函數(shù)g（x）=x24x+4=（x2）2 的圖象，數(shù)形結合可得結論【解答】解：在同一個坐標系中，畫出函數(shù)f（x）=x 與函數(shù)g（x）=x24x+4=（x2）2 的圖象，如圖所示：故函數(shù)f（x）=x的圖象與函數(shù)g（x）=x24x+4的圖象的交點個數(shù)為2，故選：C【點評】本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題7（5分

12、）已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于（）AB1CD【分析】通過三視圖判斷正視圖的形狀，結合數(shù)據(jù)關系直接求出正視圖的面積即可【解答】解：因為正方體的棱長為1，俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，說明側視圖是底面對角線為邊，正方體的高為一條邊的矩形，幾何體放置如圖：那么正視圖的圖形與側視圖的圖形相同，所以正視圖的面積為：故選：D【點評】本題考查幾何體的三視圖形狀，側視圖的面積的求法，判斷幾何體的三視圖是解題的關鍵，考查空間想象能力8（5分）已知，是單位向量，=0若向量滿足|=1，則|的最大值為（）ABCD

13、【分析】通過建立直角坐標系，利用向量的坐標運算和圓的方程及數(shù)形結合即可得出【解答】解：|=|=1，且，可設，即（x1）2+（y1）2=1的最大值=故選：C【點評】熟練掌握向量的坐標運算和圓的方程及數(shù)形結合是解題的關鍵9（5分）已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則=（）ABCD【分析】先明確是一個幾何概型中的長度類型，然后求得事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的線段長度，再利用兩者的比值即為發(fā)生的概率，從而求出【解答】解：記“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使APB的最大邊是AB”為事件M，試驗的全部

14、結果構成的長度即為線段CD，構成事件M的長度為線段CD其一半，根據(jù)對稱性，當PD=CD時，AB=PB，如圖設CD=4x，則AF=DP=x，BF=3x，再設AD=y，則PB=，于是=4x，解得，從而故選：D【點評】本題主要考查幾何概型，基本方法是：分別求得構成事件A的區(qū)域長度和試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度，兩者求比值，即為概率二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分10（5分）已知集合U=2，3，6，8，A=2，3，B=2，6，8，則（UA）B=6，8【分析】先求出集合A的補集，再利用交集的定義求（CUA）B【解答】解：由題意U=2，3，6，8，集合A=2，3，CUA=6，8，又B=2

15、，6，8，故（CUA）B=6，8故答案為：6，8【點評】本題考查交、并、補集的混合運算，正確解答本題關鍵是掌握并理解補集與交集的定義，并能根據(jù)所給的規(guī)則進行正確運算11（5分）在平面直角坐標系xOy中，若直線（s為參數(shù)）和直線（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為4【分析】先將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再利用兩條直線平行，直接求出a的值即可【解答】解：直線l1的參數(shù)方程為（s為參數(shù)），消去s得普通方程為x2y1=0，直線l2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t得普通方程為2xaya=0，l1l2，x2y1=0的斜率為k1=，2xaya=0的斜率k2=，解得：a=4故答案為：4【點評】本題是基礎題，考查

16、直線的平行條件的應用，注意直線的斜率是否存在是解題關鍵，考查計算能力12（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a=1，b=2，則輸出的a的值為32【分析】模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的a的值，當a=32時，滿足條件a31，退出循環(huán)，輸出a的值為32【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得a=1，b=2不滿足條件a31，a=2不滿足條件a31，a=4不滿足條件a31，a=8不滿足條件a31，a=16不滿足條件a31，a=32滿足條件a31，退出循環(huán)，輸出a的值為32故答案為：32【點評】本題主要考查了程序框圖和算法，正確寫出每次循環(huán)得到的a的值是解題的關鍵，屬于基本知識的考查13（5分）若變量x，

17、y滿足約束條件，則x+y的最大值為6【分析】先畫出線性約束條件表示的可行域，再將目標函數(shù)賦予幾何意義，最后利用數(shù)形結合即可得目標函數(shù)的最值【解答】解：畫出可行域如圖陰影部分，由得A（4，2）目標函數(shù)z=x+y可看做斜率為1的動直線，其縱截距越大z越大，由圖數(shù)形結合可得當動直線過點A時，z最大=4+2=6故答案為：6【點評】本題主要考查了線性規(guī)劃，以及二元一次不等式組表示平面區(qū)域的知識，數(shù)形結合的思想方法，屬于基礎題14（5分）設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a0，b0）的兩個焦點若在C上存在一點P使PF1PF2，且PF1F2=30°，則C的離心率為【分析】根據(jù)題意可知F1PF2=90

18、76;，PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，進而利用雙曲線定義建立等式，求得a和c的關系，則離心率可得【解答】解：依題意可知F1PF2=90°|F1F2|=2c，|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由雙曲線定義可知|PF1|PF2|=2a=（1）ce=故答案為：【點評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質特別是雙曲線定義的運用，屬于基礎題15（5分）對于E=a1，a2，a100的子集X=ai1，ai2，aik，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，x100，其中xi1=xi2=xik=1其余項均為0，例如子集a2，a3的“特征數(shù)

19、列”為0，1，1，0，0，0（1）子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”的前3項和等于2；（2）若E的子集P的“特征數(shù)列”P1，P2，P100 滿足p1=1，pi+pi+1=1，1i99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1j98，則PQ的元素個數(shù)為17【分析】（1）利用“特征數(shù)列”的定義即可得出；（2）利用“特征數(shù)列”的定義分別求出子集P，Q的“特征數(shù)列”，再找出相同“1”的個數(shù)即可【解答】解：（1）子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”為：1，0，1，0，1，0，0故前三項和等于1+0+1=2；（2）E的子集P的“特征數(shù)列”P1，P2，P100

20、 滿足Pi+Pi+1=1，1i99，P的特征數(shù)列為1，0，1，0，1，0其中奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為0則P=a1，a3，a5，a99有50個元素，又E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1j98，可知：j=1時，q1+q2+q3=1，q1=1，q2=q3=0；同理q4=1=q7=q3n2子集Q的“特征數(shù)列”為1，0，0，1，0，0，1，1，0，0，1則Q=a1，a4，a7，a100則PQ的元素為a1，a7，a13，a91，a9797=1+（171）×6，共有17相同的元素故答案分別為2，17【點評】正確理解“特征數(shù)列”的定義是解題的關鍵三

21、、解答題；本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（12分）已知函數(shù)f（x）=cosxcos（x）（1）求f（）的值（2）求使f（x）成立的x的取值集合【分析】（1）將x=代入f（x）解析式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡即可得到結果；（2）f（x）解析式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，變形后，利用余弦函數(shù)的圖象與性質即可得到滿足題意x的集合【解答】解：（1）f（）=coscos（）=coscos=cos2=；（2）f（x）=cosxcos（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=

22、（1+cos2x）+sin2x=cos（2x）+，f（x），化為cos（2x）+，即cos（2x）0，2k+2x2k+（kZ），解得：k+xk+（kZ），則使f（x）成立的x取值集合為x|k+，k+（kZ）【點評】此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵17（12分）如圖在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動（1）證明：ADC1E；（2）當異面直線AC，C1E 所成的角為60°時，求三棱錐C1A1B1E的體積【分析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質，得ADBB1，等腰A

23、BC中利用“三線合一”證出ADBC，結合線面垂直判定定理，得AD平面BB1C1C，從而可得ADC1E；（2）根據(jù)ACA1C1，得到EC1A1（或其補角）即為異面直線AC、C1E 所成的角由A1C1A1B1且A1C1AA1，證出A1C1平面AA1B1B，從而在RtA1C1E中得到EC1A1=60°，利用余弦的定義算出C1E=2A1C1=2，進而得到A1B1E面積為，由此結合錐體體積公式即可算出三棱錐C1A1B1E的體積【解答】解：（1）直棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，AD平面ABC，ADBB1ABC中，AB=AC，D為BC中點，ADBC又BC、BB1平面BB1C1C，BC

24、BB1=BAD平面BB1C1C，結合C1E平面BB1C1C，可得ADC1E；（2）直棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，EC1A1（或其補角）即為異面直線AC、C1E 所成的角BAC=B1A1C1=90°，A1C1A1B1，又AA1平面A1B1C1，可得A1C1AA1，結合A1B1AA1=A1，可得A1C1平面AA1B1B，A1E平面AA1B1B，A1C1A1E因此，RtA1C1E中，EC1A1=60°，可得cosEC1A1=，得C1E=2A1C1=2又B1C1=2，B1E=2由此可得V=S×A1C1=×=【點評】本題給出直三棱柱的底面是等腰直角三角

25、形，在已知側棱長和底面邊長的情況下證明線線垂直并求錐體的體積，著重考查了直棱柱的性質、空間線面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題18（12分）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經驗，一株該種作物的年收貨量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米（）完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4（）在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率【分析】（）根據(jù)題意可知

26、所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5，其中“相近”作物株數(shù)為1的有2株，“相近”作物株數(shù)為2的有4株，“相近”作物株數(shù)為3的有6株，“相近”作物株數(shù)為4的有3株，據(jù)此列表，且可得出所種作物的平均所收獲量（）由（）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，從而根據(jù)互斥事件的概率加法公式得出在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率【解答】解：（）所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15，建立如圖所示直角坐標系，其中“相近”作物株數(shù)為1的植株有2株，植株坐標分別為（4，0），（0，4），“相近”作物株數(shù)為2的植株有4株，植株坐標分別為（0，0），（1，3），（2，2），（3，1）

27、，“相近”作物株數(shù)為3的植株有6株，植株坐標分別為（1，0），（2，0），（3，0），（0，1），（0，2），（0，3），“相近”作物株數(shù)為4的植株有3株，植株坐標分別為（1，1），（1，2），（2，1）列表如下：Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均所收獲量為：（51×2+48×4+45×6+42×3）=46；（）由（）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，故在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率為P（Y48）=P（Y=51）+P（Y=48）=+=【點評】本題考查互斥事件的概率加法公式，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和利用圖表獲取信

28、息的能力利用圖表獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究圖表，才能作出正確的判斷和解決問題19（13分）設Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a10，2ana1=S1Sn，nN*（）求a1，a2，并求數(shù)列an的通項公式；（）求數(shù)列nan的前n項和【分析】（）令n=1和2，代入所給的式子求得a1和a2，當n2時再令n=n1得到2an11=Sn1，兩個式子相減得an=2an1，判斷出此數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出通項公式；（）由（）求出nan=n2n1，再由錯位相減法求出此數(shù)列的前n項和【解答】解：（）令n=1，得2a1a1=，即，a10，a1=1，令n=2，得2a21=1（1+a2），解得a2=2，當n2時，

29、由2an1=Sn得，2an11=Sn1，兩式相減得2an2an1=an，即an=2an1，數(shù)列an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，an=2n1，即數(shù)列an的通項公式an=2n1；（）由（）知，nan=n2n1，設數(shù)列nan的前n項和為Tn，則Tn=1+2×2+3×22+n×2n1，2Tn=1×2+2×22+3×23+n×2n，得，Tn=1+2+22+2n1n2n=2n1n2n，Tn=1+（n1）2n【點評】本題考查了數(shù)列an與Sn之間的轉化，以及由錯位相減法求出數(shù)列的前n項和的應用20（13分）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2關于直線x+y2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點（）求圓C的方程；（）設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b當ab最大時，求直線l的方程【分析】（I）由題意可知：F1（2，0），F(xiàn)2（2，0），可得C的半徑為2，圓心為原點O關于直線x+y2=0的對稱點設圓心的坐標為（m，n）利用線段的垂直平行的性質可得，解出即可得到圓的方程；（II）由題意，可設直線l的方程為x=my+2，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離d=，再利用弦長公式即可得到b=把直線l的方程為x=my+2與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系