2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題(A)理(含解析)（精編版）

1、2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（a）理（含解析）一.選擇題（本大題共12 個(gè)小題.）1. 命題“”的否定為（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】【詳解】由特稱命題的否定可知，命題“”的否定為“”選c2. 設(shè)( 是虛數(shù)單位 )，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】 b【解析】【分析】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【詳解】由，得在第二象限【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3.已知橢圓的離心率為，且橢圓的長軸長與焦距之和為 6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】根據(jù)橢

2、圓的離心率為，橢圓的長軸長與焦距之和為6，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、 的方程組，求出、 ，即可得結(jié)果.【詳解】依題意橢圓：的離心率為得， 橢圓的長軸長與焦距之和為6，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故選 d【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓方程的求法，屬于簡 單題用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；作判斷：根據(jù) 條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、 、的方程組；得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.4. “”是此方程，表示橢圓的（）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分

3、也不必要條件【答案】 b【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓的充要條件解得或，再結(jié)合必要不充分條件的概念可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓的充要條件是即或，而“”是“或”的必要不充分條件，所以“”是此方程，表示橢圓的必要不充分條件.故選： b【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的概念，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，這里容易漏掉分母不能相等，屬于基礎(chǔ)題. 5.聊齋志異中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟. ”在這里，我們稱形如以下形式等式具有“穿墻術(shù)”：，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則 （）a.b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】通過觀察四個(gè)等式，

4、發(fā)現(xiàn)存在相同性質(zhì)，從而得出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選： c.【點(diǎn)睛】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（ 2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）6. 給出定義：若函數(shù)在 d 上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在 d 上也可導(dǎo)，則稱在 d 上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在 d 上恒成立，則稱在 d 上為凸函數(shù)以下四個(gè)函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】對(duì) a，b，c，d 四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷其在上的符號(hào)即可得選項(xiàng) .【詳解】若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有； 若，則.在上，恒有，故選 d

5、.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，充分理解凸函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題7. 若，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（ ）a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】由微積分基本定理求得值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求切線方程.【詳解】， 則切線方程為，即【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理和由導(dǎo)函數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題 .8. 設(shè)，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且（ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的圖象大致為 ()a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可求出，再利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，和函數(shù)的圖象的趨勢(shì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?即，所以.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以 c，d 錯(cuò)誤.又

6、，所以為極值點(diǎn)，即 b 錯(cuò)誤.故選： a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)圖象上的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 .9. 已知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)， 則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】分析】設(shè)，根據(jù)可得，再利用空間向量的數(shù)量積可得，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可得當(dāng)時(shí)， 取得最小值，【詳解】設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn) 在直線 上運(yùn)動(dòng)，所以 ，所以，即，所以， 所以所以當(dāng) 時(shí)， 取得最小值，此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為.故選： b【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量共線問題，考查了空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)的最值問題，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題 .10. 設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)， ，三點(diǎn)在拋物線

7、上， 且四邊形為平行四邊形，若對(duì)角線（點(diǎn)在第一象限），則對(duì)角線所在的直線方程為 ()a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義和性質(zhì)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)點(diǎn)差法可得，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果 .【詳解】如圖所示，設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以， 點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，.設(shè)，.有，且.所以，所以，所以.對(duì)角線所在的直線方程為故選： b.，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、性質(zhì)，以及點(diǎn)差法的應(yīng)用，屬于中檔題 .11. 已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意， 有，且.設(shè)，則（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】根據(jù)可構(gòu)造函數(shù),再利用單調(diào)性判

8、斷函數(shù)值的大小即可 .【詳解】構(gòu)造函數(shù),則,又,故.在上單調(diào)遞減 .又,故為奇函數(shù) ,故為偶函數(shù) .又.又偶函數(shù)在上單調(diào)遞減 .故.故.故選： d【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)值的大小問題,需要根據(jù)題意構(gòu)造合適的函數(shù),并分析單調(diào)性與奇偶性 ,從而求得函數(shù)值大小的關(guān)系等 .屬于中等題型 .12.已知橢圓+=1()的左、右焦點(diǎn)分別為f1(，0)，f2(，0)，若橢圓上存在點(diǎn)p，使，則該橢圓離心率的取值范圍為a (0 ，)b. (，1)c. (0 ，)d. (，1)【答案】 d【解析】【分析】【詳解】由已知及正弦定理知，即.即，又， 即，解得，選.考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)，正弦定理，雙曲線的第

9、二定義.二. 填空題（本大題共4 小題，請(qǐng)把答案填在題中橫線上）13. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則 【答案】【解析】分析：由題意先求出復(fù)數(shù)，然后再求 詳解：，點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算一是要注意運(yùn)算的順序，另外要注意 在運(yùn)算中的應(yīng)用，即遇到時(shí)要寫成求復(fù)數(shù)的模時(shí)，首項(xiàng)將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式后再根據(jù)公式求解14. 在直線，圍成的區(qū)域內(nèi)撒一粒豆子， 則落入，圍成的區(qū)域內(nèi)的概率為 【答案】【解析】由題意，直線所圍成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)長為，高為的矩形，所以其的面積為，又由，解得，所以由所圍成的區(qū)域的面積為，所以概率為.15. 設(shè)動(dòng)點(diǎn) p 在棱長為 1 的正方體 abcd a1b1c1d1的對(duì)角線 bd1上，記 . 當(dāng) ap為c鈍角

10、時(shí)， 的取值范圍是 【答案】 (，1)【解析】本題主要考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空間想象能力以及運(yùn)算求解能力以、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 dxyz ，則有 a(1,0,0) ，b(1,1,0) ，c(0,1,0) ，d1(0,0,1) ，則(1,1 ， 1)，得( ， ) ，所以(， (1) ,0 ， 1)(1，1)，(， (0) ,1 ， 1) (，1，1)，顯然 apc不是平角，所以apc為鈍角等價(jià)于· <0，即 (1 ) (1 )1)2(<0 ，即 ( 1)(31)<0 ，解得<<1，因

11、此的取值范圍是 (，1)16. 用符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，例如：；.設(shè)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍是 .【答案】【解析】【分析】由題意可知，得；令，可知單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為，作出的草圖，由圖可知，所以，而，所以，即，可得，由此即可求出結(jié)果 .【詳解】因?yàn)椋曰?由得，由得.令，則，所以.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 時(shí)，單調(diào)遞減 .事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.由圖顯然，所以， 而，所以，即.所以，即解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用，屬于難題.三.解答題（本大題共6 小題，共 70 分， 17 題滿分 10 分，其余滿分 12 分）17. 設(shè)實(shí)數(shù) x 滿足，其中，命題

12、實(shí)數(shù) x 滿足（1） 若，且為真，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍；（2） 若 p 是 q 的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍【答案】（ 1）；（ 2）.【解析】【分析】（1）為真,均為真命題，分別計(jì)算范圍得到答案.（2）p 是 q 的必要不充分條件，根據(jù)表示范圍關(guān)系解得答案.【詳解】解：實(shí)數(shù) x 滿足，其中，解得命題實(shí)數(shù) x 滿足，解得，即（1） 時(shí)，為真，可得 p 與 q 都為真命題，則解得所以實(shí)數(shù) x 的取值范圍是（2） p 是 q 的必要不充分條件， 解得.實(shí)數(shù) a 的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了命題與充分必要條件，屬于簡單題型. 18.觀察下面四個(gè)等式：第 1 個(gè)：，第 2 個(gè)：，第 3

13、個(gè)：第 4 個(gè)：（1） 按照以上各式的規(guī)律，猜想第n 個(gè)等式（）；（2） 用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想成立【答案】（ 1）； （2）見解析.【解析】【分析】(1) 由已知等式，觀察等式的左邊和右邊，可得猜想，；(2) 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，先檢驗(yàn)成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，再證，注意運(yùn)用假設(shè)，以及因式分解，可得證明【詳解】 (1)猜想第 n 個(gè)等式為：，.(2)證明：(1) 當(dāng)，左邊右邊，等式成立；(2) 假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)所以，當(dāng)時(shí)，等式成立由(1)和(2)可知等式對(duì)于任何都成立【點(diǎn)睛】本題考查歸納猜想，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明，考查推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題19. 已知四棱錐，底面為菱

14、形，,h 為上的點(diǎn)，過的平面分別交于點(diǎn)，且平面（1） 證明：；（2） 當(dāng)為的中點(diǎn)，與平面所成的角為，求二面角的余弦值【答案】（ 1）見解析； （2）.【解析】【分析】（1） 連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)由題意可證得平面，則由線面平行的性質(zhì)定理可得，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論；（2） 結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【詳解】（ 1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)闉榱庑危?，且為、的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面?因?yàn)槠矫妫砸驗(yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，所以?）由（ 1）知且，因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，所以平面，所以與平面所成的角為，所以

15、，所以，因?yàn)?，所以分別以，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以記 平 面 的 法 向 量 為 ，則， 令 ， 則 ， 所 以 ，記平面的法向量為，則， 令，則，所以，記二面角的大小為，則 所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理，利用空間直角坐標(biāo)系求二面角的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力 .20. 已知函數(shù)在 與 時(shí)都取得極值（1） 求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2） 若對(duì),不等式恒成立，求的取值范圍【答案】解：（ 1），遞增區(qū)間是（， ）和（ 1，+），遞減區(qū)間是（，1）（ 2）【解析】【分析】（1） 求出 f （x），由題意得 f （） 0 且 f

16、 （1） 0 聯(lián)立解得與 b 的值，然后把、b 的值代入求得 f（x）及 f （x）， 討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間；（2） 根據(jù)（ 1）函數(shù)的單調(diào)性，由于x1 ，2 恒成立求出函數(shù)的最大值為 f（2），代入求出最大值，然后令f（2） c2 列出不等式，求出 c 的范圍即可【詳解】（ 1），f （x） 3x2+2ax+b由解得，f （x） 3x2 x2（ 3x+2 ）（ x1），函數(shù) f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：（,x（1），（1，+）1）f（x +00+）f極大極?。▁值值）所以函數(shù) f（x）的遞增區(qū)間是（， ）和（ 1，+），遞減區(qū)間是（，1）（2）因?yàn)?，根?jù)（ 1）函數(shù) f（x）的單

17、調(diào)性，得 f（x）在（1，）上遞增，在（，1）上遞減，在（ 1， 2）上遞增，所以當(dāng) x時(shí)， f（x）為極大值，而 f（2），所以 f（2） 2+c 為最大值要使 f（x）對(duì) x 1，2恒成立，須且只需f（2） 2+c 解得 c1 或 c2【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題21. 已知橢圓 ：過點(diǎn) ，且離心率為 .（1） 求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 設(shè)過點(diǎn)為 的直線 與橢圓交于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 （點(diǎn) 與點(diǎn) 不重合），證明：直線 恒過定點(diǎn)， 并求該定點(diǎn)的坐標(biāo) .【答案】（ 1） (2) 見證明【解析】【分析】(1) 由題意知

18、，解出即可；（ 2）設(shè)，則，聯(lián)立直線和橢圓，得到韋達(dá)定理，直線的方程為：，令 y=0 即可得到定點(diǎn)坐標(biāo) .【詳解】（ 1）由題意知，解得，則橢圓的方程是.（2）設(shè)，則，由已知得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線 的方程為：，由，得，所以，直線的方程為：， 所以，令，則，所以直線與 軸交于定點(diǎn).【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是考查的重點(diǎn)，一般難度較大，計(jì)算較復(fù)雜，考查較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.求定值問題常見的方法：（ 1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān)；（ 2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時(shí)，要將問題合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成易于計(jì)算的方向.22

19、. 已知函數(shù).（1） 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2） 若在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn).（ ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求證：.【答案】（）；（）（i）；（ ii）詳見解析 .【解析】【分析】（）求出，列表討論的單調(diào)性，問題得解（）（i）由在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)， 求出，討論的單調(diào)性，問題得解（ii）由得，將轉(zhuǎn)化成，由得單調(diào)性可得，討論在的單調(diào)性即可得證【詳解】解：（）當(dāng)時(shí)，令，得.的單調(diào)性如下表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增易知.（）（i）令，則.令，得.的單調(diào)性如下表：-0+單調(diào)遞單調(diào)遞減增在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性可知，且，即且.所以，即的取值范圍是.

20、（ii）由（ i）知，所以又，結(jié)合的單調(diào)性可知，.令，則.當(dāng)時(shí)，所 以 在 上 單 調(diào) 遞 增 ， 而 ， ， 因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，考查了極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于難題2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（a）理（含解析）一.選擇題（本大題共12 個(gè)小題.）1. 命題“”的否定為（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】【詳解】由特稱命題的否定可知，命題“”的否定為“”選c2. 設(shè)(是虛數(shù)單位 )，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【

21、答案】 b【解析】【分析】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【詳解】由，得在第二象限【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3. 已知橢圓的離心率為，且橢圓的長軸長與焦距之和為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】根據(jù)橢圓的離心率為，橢圓的長軸長與焦距之和為6，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、的方程組，求出、，即可得結(jié)果 .【詳解】依題意橢圓：的離心率為得， 橢圓的長軸長與焦距之和為6 ，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故選 d【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓方程的求法，屬于簡單題用待定系數(shù)法求橢圓方程 的一般步驟；作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在

22、軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、的方程組；得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求 .4. “”是此方程，表示橢圓的（）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】 b【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓的充要條件解得或，再結(jié)合必要不充分條件的概念可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓的充要條件是即或，而“”是“或”的必要不充分條件，所以“”是此方程，表示橢圓的必要不充分條件.故選： b【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的概念，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，這里容易漏掉分母不能相

23、等，屬于基礎(chǔ)題.5. 聊齋志異中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟 . ”在這里，我們稱形如以下形式 等式具有“穿墻術(shù)”：，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】通過觀察四個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)存在相同性質(zhì)，從而得出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選： c.【點(diǎn)睛】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）6. 給出定義：若函數(shù)在 d 上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在 d 上也可導(dǎo)，則稱在 d 上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在 d 上恒成立，則稱在

24、 d上為凸函數(shù)以下四個(gè)函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】對(duì) a， b， c，d 四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷其在上的符號(hào)即可得選項(xiàng) .【詳解】若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有； 若，則.在上，恒有，故選 d.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，充分理解凸函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題7. 若，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】由微積分基本定理求得值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求切線方程.【詳解】， 則切線方程為，即【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理和由導(dǎo)函數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.8. 設(shè)，分別為定義在上

25、的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的圖象大致為 ()a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可求出，再利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，和函數(shù)的圖象的趨勢(shì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?即，所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以 c，d 錯(cuò)誤.又，所以為極值點(diǎn)，即 b 錯(cuò)誤.故選： a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)圖象上的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9. 已知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】分析】設(shè)，根據(jù)可得，再利用空間向量的數(shù)量積可得，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，【詳解】設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所

26、以，所以，即，所以，所以所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選： b【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量共線問題，考查了空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)的最值問題，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10. 設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，三點(diǎn)在拋物線上，且四邊形為平行四邊形，若對(duì)角線（點(diǎn)在第一象限），則對(duì)角線所在的直線方程為 ()a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義和性質(zhì)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)點(diǎn)差法可得，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則， 所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，.有，且.所以，所以，所以.對(duì)角線所在的直線方程為

27、，即.故選： b.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、性質(zhì)，以及點(diǎn)差法的應(yīng)用，屬于中檔題.11. 已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意，有，且.設(shè)，則（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】根據(jù)可構(gòu)造函數(shù),再利用單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則,又,故.在上單調(diào)遞減 .又,故為奇函數(shù) ,故為偶函數(shù) .又.又偶函數(shù)在上單調(diào)遞減 .故.故.故選： d【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)值的大小問題,需要根據(jù)題意構(gòu)造合適的函數(shù),并分析單調(diào)性與奇偶性 ,從而求得函數(shù)值大小的關(guān)系等.屬于中等題型 .12. 已知橢圓+=1(點(diǎn) p，使)的左、右焦點(diǎn)分別為f1(，0)， f2(，0

28、)，若橢圓上存在，則該橢圓離心率的取值范圍為a (0，)b. (，1)c. (0 ，)d. (【答案】 d， 1)【解析】【分析】【詳解】由已知及正弦定理知，即.即，又， 即，解得，選.考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)，正弦定理，雙曲線的第二定義.二. 填空題（本大題共4 小題，請(qǐng)把答案填在題中橫線上）13. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則 【答案】【解析】分析：由題意先求出復(fù)數(shù)，然后再求 詳解：，點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算一是要注意運(yùn)算的順序，另外要注意在運(yùn)算中的應(yīng)用，即遇到時(shí)要寫成求復(fù)數(shù)的模時(shí)，首項(xiàng)將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式后再根據(jù)公式求解14. 在直線，圍成的區(qū)域內(nèi)撒一粒豆子，則落入，圍成的區(qū)域內(nèi)的概率為 【答案】【解析】由題

29、意，直線所圍成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)長為，高為的矩形，所以其的面積為，又由，解得，所以由所圍成的區(qū)域的面積為，所以概率為.15. 設(shè)動(dòng)點(diǎn) p 在棱長為 1 的正方體 abcd a1b1c1d1的對(duì)角線 bd1 上，記 . 當(dāng) apc為鈍角時(shí)，的取值范圍是 【答案】 (，1)【解析】本題主要考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空間想象能力以及運(yùn)算求解能力以、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d xyz，則有a(1,0,0) ， b(1,1,0) ， c(0,1,0) ， d1(0,0,1) ，則 (1,1 ， 1)，得( ， ) ，所以(， (1),0， 1) (

30、1，1) ，(， (0),1 ， 1) (，1，1)，顯然 apc不是平角，所以apc為鈍角等價(jià)于·<0，即 (1 ) (1 )1)2(<0 ，即 ( 1)(3 1)<0，解得<<1，因此的取值范圍是 (， 1)16. 用符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，例如：；.設(shè)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍是 .【答案】【解析】【分析】由題意可知，得；令，可知單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為，作出的草圖，由圖可知，所以，而，所以，即，可得，由此即可求出結(jié)果 .【詳解】因?yàn)?，所以?由得，由得.令，則，所以.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減 .事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.由圖顯然，所以，

31、而，所以，即.所以，即解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用，屬于難題.三.解答題（本大題共6 小題，共 70 分， 17 題滿分 10 分，其余滿分 12 分）17. 設(shè)實(shí)數(shù) x 滿足，其中，命題實(shí)數(shù) x 滿足（1） 若，且為真，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍；（2） 若 p 是 q 的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍【答案】（ 1）；（ 2）.【解析】【分析】（1）為真,均為真命題，分別計(jì)算范圍得到答案.（2）p 是 q 的必要不充分條件，根據(jù)表示范圍關(guān)系解得答案.【詳解】解：實(shí)數(shù) x 滿足，其中，解得命題實(shí)數(shù) x 滿足，解得，即（1） 時(shí)，為真，可得 p 與 q 都

32、為真命題，則解得所以實(shí)數(shù) x 的取值范圍是（2） p 是 q 的必要不充分條件， 解得.實(shí)數(shù) a 的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了命題與充分必要條件，屬于簡單題型.18. 觀察下面四個(gè)等式：第 1 個(gè)：，第 2 個(gè)：，第 3 個(gè)：第 4 個(gè)：（1） 按照以上各式的規(guī)律，猜想第n 個(gè)等式（）；（2） 用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想成立【答案】（ 1）； （2）見解析 .【解析】【分析】(1) 由已知等式，觀察等式的左邊和右邊，可得猜想，；(2) 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，先檢驗(yàn)成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，再證，注意運(yùn)用假設(shè)，以及因式分解，可得證明【詳解】 (1) 猜想第 n 個(gè)等式為：，.(2)證明：(1) 當(dāng)，

33、左邊右邊，等式成立；(2) 假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)所以，當(dāng)時(shí)，等式成立由(1) 和(2) 可知等式對(duì)于任何都成立【點(diǎn)睛】本題考查歸納猜想，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明，考查推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題19. 已知四棱錐，底面為菱形，,h 為上的點(diǎn)，過的平面分別交于點(diǎn)，且平面（1） 證明：；（2） 當(dāng)為的中點(diǎn)，與平面所成的角為，求二面角的余弦值【答案】（ 1）見解析； （2）.【解析】【分析】（1） 連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)由題意可證得平面，則由線面平行的性質(zhì)定理可得，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論；（2） 結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可 .【詳解

34、】（ 1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)闉榱庑?，所以，且為、的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，所以?）由（ 1）知且，因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，所以平面，所以與平面所成的角為，所以，所以，因?yàn)?，所以分別以，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以記平面的法向量為，則， 令，則，所以，記平面的法向量為，則，令，則，所以，記二面角的大小為，則所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理，利用空間直角坐標(biāo)系求二面角的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20. 已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值（1） 求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2） 若對(duì),不等式恒成立，求的取值范圍【答案】解：（ 1），遞增區(qū)間是（，）和（ 1，+），遞減區(qū)間是（， 1）（ 2）【解析】【分析】（1） 求出 f （x），由題意得 f （） 0 且 f （1） 0 聯(lián)立解得與 b 的值，然后把、b 的值代入求得 f（ x）及 f （ x），討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間；（2） 根據(jù)（ 1）函數(shù)的單調(diào)性，由于x 1，2恒成立求出函數(shù)的最大值為f（2），代入求出最大值，然后令 f（2 ）c2 列出不等式，求出c 的范圍即可【詳解】（