lingo練習(xí)題目的答案（精編版）

1、2線性規(guī)劃習(xí)題答案1、試述線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的組成部分及其特性答：線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型由決策變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)三個(gè)部分組成。線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型特征：（ 1）用一組決策變量表示某一方案，這組決策變量均為非負(fù)的連續(xù)變量；（ 2）存在一定數(shù)量m的約束條件，這些約束條件可以用關(guān)于決策變量的一組線性等式或者不等式來加以表示；（ 3）有一個(gè)可以用決策變量加以表示的目標(biāo)函數(shù)，而該函數(shù)是一個(gè)線性函數(shù)。2、一家餐廳24 小時(shí)全天候營(yíng)業(yè)，在各時(shí)間段中所需要的服務(wù)員數(shù)量分別為：2： 006： 003 人6： 0010： 009 人10： 0014： 0012 人14： 0018： 005 人18： 0022： 001

2、8 人22： 00 2： 004 人設(shè)服務(wù)員在各時(shí)間段的開始時(shí)點(diǎn)上上班并連續(xù)工作八小時(shí)，問該餐廳至少配備多少服務(wù)員，才能滿足各個(gè)時(shí)間段對(duì)人員的需要。試構(gòu)造此問題的數(shù)學(xué)模型。2解：用決策變量x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 分別表示2： 006： 00， 6： 0010： 00 ， 10： 0014：00 ， 14： 0018： 00， 18： 0022： 00， 22： 00 2： 00 時(shí)間段的服務(wù)員人數(shù)。其數(shù)學(xué)模型可以表述為：min zx1x2x3x4x5x6x1x63x1x29x2x312x3x45x4x518x5x64x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,

3、 x603、現(xiàn)要截取2.9 米、 2.1 米和 1.5 米的元鋼各100 根，已知原材料的長(zhǎng)度是7.4 米，問應(yīng)如何下料，才能使所消耗的原材料最省。試構(gòu)造此問題的數(shù)學(xué)模型。方法一解：圓鋼的截取有不同的方案，用表示每種切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示：2.92.11.51'1110.92'2000.13'1200.34'10305'0130.86'0041.47'0220.28'0301.1目標(biāo)函數(shù)為求所剩余的材料最少，即min z0.9 x10.1x20.3x30 x40.8 x51.4x60.2x71.1x8x12x2x3

4、x4100x12x3x52 x73 x8100x1x23x43x54x62x7100規(guī)格2.9 米120102.1 米002211.5 米31203合計(jì)米7.47.37.27.16.6<6.6料頭米00.10.20.30.8>0.8x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6, x7 , x80方法二解：由題意，因?yàn)樗刑撞梅桨赣?1 種，全部寫出需考慮因素太多，故需先做簡(jiǎn)化。原材料合理利用簡(jiǎn)化圖表方案下料數(shù)不必考慮的其他16種方案又由于目標(biāo)是使所用原材料最少，所以，僅需考慮最省的五個(gè)方案即可。設(shè) xi是第i 種套裁方案所用的原材料根數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型如下：料頭最省minz=

5、 0 x1 +0.1 x2 +0.2 x3x1 +2x2+ x42x3+2x4 3x1 +x2 + 2x3+x5+3x5+0.3x 4 +0.8 x5100100100xj0(j=1,2,5)五種套裁方案實(shí)施后，可得的2.9 米鋼筋的根數(shù)。五種套裁方案實(shí)施后，可得的2.1 米鋼筋的根數(shù)。五種套裁方案實(shí)施后，可得的1.5 米鋼筋的根數(shù)。x1=30,x2=10,x3=0,x 4=50,x5 =0只需 90 根原材料，目標(biāo)函數(shù)值最小為90 即可。4、某糖果廠用原料a、b、c 加工成三種不同牌號(hào)的糖果甲、乙、丙。已知各種牌號(hào)糖果中a、b、c 三種原料的含量要求、各種原料的單位成本、各種原料每月的限制用

6、量、三種牌號(hào)糖果的單位加工費(fèi)及售價(jià)如表1 所示。問該廠每月生產(chǎn)這三種牌號(hào)糖果各多少千克，才能使該廠獲利最大？試建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型。表 1甲乙丙原料成本限制用量a60%以上15%以上2.002000b1.502500c加工費(fèi)20%以下0.5060%以下0.4050%以下0.301.001200售價(jià)3.402.852.25方法一解：設(shè)x 1， x 2， x3 分別為甲糖果中a,b,c的成分； x 4， x 5， x 6 分別為乙糖果中a,b,c的成分；x 7， x 8， x9 分別為丙糖果中a,b,c的成分。由題意，有max z(3.400.50)( x1x2x3 )(2.850.40)(

7、 x4x5x6 )(2.250.30)( x7x8x9 )2.00( x1x4x7 )1.50(x2x5x8 )1.00( x3x1x1x2x3x3x1x2x3x4x4x5x6x6x4x5x6x9x6x9 )0.60.20.150.6x7x8x9x1x4x72000x2x5x82500x3x6x912000.5x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 , x6, x7 ,x8 , x90對(duì)上式進(jìn)行整理得到所求問題的線性規(guī)劃模型：max z0.9 x11.4x21.9 x30.45 x40.95x51.45 x60.05 x70.45 x80.95 x90.4 x10.2 x10.6x20.2 x2

8、0.6 x300.8x300.85x40.15 x50.15 x600.6 x40.5 x70.6 x50.5x80.4 x600.5x90x1x4x2x5x3x6x72000x82500x912003x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6, x7 , x8 , x90方法二解：以甲a 表示甲產(chǎn)品中的a 成分，甲b 表示甲產(chǎn)品中的b 成分，甲c 表示甲產(chǎn)品中的c7成分，依此類推。據(jù)表2-16，有：甲3甲 ， 甲1， 乙3 乙 ， 乙3 乙 ， 丙1 丙 5a5c甲a20c5a2其中：甲a +甲b甲c甲 ， 乙a +乙b乙c乙 ， 丙a +丙b丙c丙 把逐個(gè)代入并整理得：217甲a

9、 +甲b甲c30 ，甲a - 甲b4甲c0 ， -乙a +乙b乙c03- 乙 - 乙2 乙0 ， - 丙 - 丙丙0aabcbc3原材料的限制，有以下不等式成立：甲a +乙a丙a2000 ， 甲b +乙b丙b2500 ， 甲c +乙c丙c1200在約束條件中共有9 個(gè)變量，為方便計(jì)算，分別用x1, x2 x9 表示，即令x1 =甲a ，x2 =甲b ，x3 =甲c ， x4 = 乙a ，x5 = 乙b ，x6 =乙c ，x7 = 丙a， x8 = 丙b ，x9 = 丙c由此約束條件可以表示為：2-x13-x1-x 2x2x 304x 30456- 17 xxx034536-x 7 -x8x 9

10、0x1 +x 4x 72000x 2 +x5x82500x3 +x6x 91200-x -x2 x0x1 , x 2 , x 3, x 4 , x5 , x 6 , x 7 , x8 , x90我們的目的是使利潤(rùn)最大，即產(chǎn)品售價(jià)減加工費(fèi)再減去原材料的價(jià)格為最大。目標(biāo)函數(shù)為maxz0.9 x11.4 x21.9x30.45 x40.95 x51.45 x60.05 x70.45 x80.95 x95、某廠在今后 4 個(gè)月內(nèi)需租用倉庫存放物資，已知各個(gè)月所需的倉庫面積如表 2 所示。租金與租借合同的長(zhǎng)短有關(guān)，租用的時(shí)間越長(zhǎng)，享受的優(yōu)惠越大，具體數(shù)字見表 3。租借倉庫的合同每月初都可辦理， 每份合同

11、具體規(guī)定租用面積數(shù)和期限。 因此該廠可根據(jù)需要在任何一個(gè)月初辦理租借合同， 且每次辦理時(shí)， 可簽一份， 也可同時(shí)簽假設(shè)干份租用面積和租借期限不同的合同， 總的目標(biāo)是使所付的租借費(fèi)用最小。試根據(jù)上述要求，建立一個(gè)線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。表 2月份1234所需面積100m 215102012合同租借期限1 個(gè)月2 個(gè)月3 個(gè)月4 個(gè)月單位 100m 2租金元2800450060007300表 3解：設(shè)xiji 1,2,3,4;j=1,2 4-i+1 為第 i 個(gè)月初簽訂的租借期限為j 個(gè)月的合同租借面i積單位： 100 m2 ； r 表示第 i 個(gè)月所需的面積j 表示每 100 m2 倉庫面積租借期為

12、j 個(gè)月的租借費(fèi)；則線性規(guī)劃模型為：min z2800(x11x21x31x41 )4500(x12x22x32 )6000(x13x23 )7300x14x11x12 x12x13 x13 x13x14 x14 x14x21x22x22x23x23x311510x3220xij0, i , jx141,2,3, 4, ijx235x32 +x4112即44 i 1minzc j x iji 1j 1k4 i 1x ijrk ( k1,2,3, 4)i 1 j k i 1x ij0(i1,2,3, 4; j1,2.4i1)6、某農(nóng)場(chǎng)有100 公頃土地及25 萬元資金可用于發(fā)展生產(chǎn)。農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng)力情

13、況為秋冬季4500人日， 春夏季 6000 人日， 如勞動(dòng)力本身過?？赏獬龃蚬ぃ合募臼杖霝?0 元人日，秋冬季 12 元人日。該農(nóng)場(chǎng)種植三種作物：大豆、玉米和小麥，并飼養(yǎng)奶牛和雞。種作物不需要專門投資，而飼養(yǎng)動(dòng)物時(shí)每頭奶牛投資8000 元，每只雞投資2 元。養(yǎng)奶牛時(shí)每頭需撥出1.5 公頃土地種飼草，并占用人工秋冬季為100 人日，春夏季為50 人日，年凈收入3000 元每頭奶牛。養(yǎng)雞不占土地，需人工為每只雞秋冬季 0.3 人日，春夏季 0.1 人日，年凈收入為每只 8 元。農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有雞舍允許最多養(yǎng) 5000 只雞， 牛欄允許最多養(yǎng) 50 頭奶牛， 三種作物每年需要的人工及收入情況如表 4 所示

14、。試決定該農(nóng)場(chǎng)的經(jīng)營(yíng)方案，使年凈收入最大。表 4每公頃秋冬季所需人日數(shù)大豆20玉米35麥子10每公頃春夏季所需人日數(shù)507540年凈收入元 / 公頃11001500900解：設(shè)x1 , x2 , x3 分別代表大豆、玉米、麥子的種植數(shù)公頃；x4 , x5 分別代表奶牛和雞的飼養(yǎng)數(shù)；x6 , x7 分別代表秋冬季和春夏季多余的勞動(dòng)力人日數(shù)則有maxz1100 x11500 x2900 x33000 x48 x512 x620x7x1x21.5x4100(土地限制 )8000x42x5250000(資金限制）20x150x135x275x210x340x3100x450x40.3x5x60.1x5

15、x74500(勞動(dòng)力限制）4500(勞動(dòng)力限制）x450(牛欄限制）x5500（0 雞欄限制）x1 , x2 , x 3 , x 4, x 5, x6 , x 707、用圖解法求解以下線性規(guī)劃問題 1max z2 x1x22 max z3 x12 x24 x13 x212x12 x242 x1x283x12 x2144 x1x28x1x23x1 , x20x1 , x20 3max z2 x13 x24 max zx1x2x1x22x1x203 x1x243x1x23x1 , x20x1 , x20解：128844*9q (,1)4234此 題 有 唯 一 最 有 解 ，234此題有無窮多最有

16、解， 其*9t*tx(,1)4中一個(gè)是x(4,1)344324此題為無界解24找不到可行域， 此題為無可行解8、考慮線性規(guī)劃：max z2x1x2x3x4x1+x2+x3+x4=5x1 +x2+x5=22 x1+x2+x3+x6=6x1 , x60（ 1）通過觀察寫出初始的基可行解并構(gòu)造初始單純形表；（ 2）在保持x2 和x3 為零的情況下，給出非基變量x1 增加一個(gè)單位時(shí)的可行解，并指出目標(biāo)函數(shù)的凈增量是多少?（ 3）在模型約束條件的限制下，x1 的最大增量是多少？（ 4）在x1 有其最大增量時(shí)，給出一個(gè)新的基可行解。解：1 因存在初始可行基x4 , x5 , x6t，故可令x1 ,x2 ,

17、 x3 全為0, 則可得初始可行解為(0,0,0,5, 2,6) t ， z 5。cjcbxb2x1-1x21x31x40x50x6b(2) 非基變量x2 , x3 仍然取零，x1 由 0 變?yōu)?1,即 x1 1,x2 0, x3 =0,代入約束條件得一個(gè)可行解 x= (1,0,0,6,1, 4)t 。其目標(biāo)函數(shù)值為z 8因此，隨著x1 增加 1 個(gè)單位目標(biāo)函數(shù)值的凈增量為z 8-5=3.3因?yàn)闆Q策變量全非負(fù)所以由約束條件知x1 增加可以引起x2 , x3 , x4 增加， 即條件對(duì)x1 無約束； 由約束條件知x1 增加可引起x2 , x5 減少， 由非負(fù)約束知x1 最大增量為2；同理可得約束

18、條件的x1 最大增量為3，綜合得x1的最大增量為2。4 x 2，非基變量1x =0, x 0,代入約束條件得基可行解23x= (2,0,0,7,2, 2)t ，目標(biāo)函數(shù)值為 z 11。9、將線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式max z2 x1x23 x3x4x1x22 x3x4102 x13x25 x3x48x1x26 x34 x4128初始單純行表為：1x4-11110050x511001020x62110016j3-20000z=0x1 , x2 , x30 ， x4 無約束13解：1令x4 x5 x6 并代入模型，這里x5 >=0,x6 >=0；2第二個(gè)約束條件方程兩側(cè)同乘“-1”；

19、3第一個(gè)約束條件引入松弛變量x7 ，第三個(gè)約束條件引入x8 作為松弛變量。4目標(biāo)函數(shù)同乘“-1”，即可實(shí)現(xiàn)最少化。min z2 x1x23x3x5x6x1x22 x3x53x25x3x6x6x78102 x1x1x26 x34 x54 x6x1, x2, x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8x812010、用單純形法求解下述線性規(guī)劃問題1 min w3x1x2x3x42 max z4 x15 x2x32 x12 x2x343x1+ 2 x2+x313 x1x2x462x1+x2x1 , x2 , x3 , x40x1 +x2x3x1 , x2 , x301解：構(gòu)造初始單純行表

20、，并進(jìn)行初等變換，得：845cj3111bcbxbx1x2x3x41x3-221041x431016j2-200w=101x2-111/2021x440-1/214j0010w=6最優(yōu)解x *(0, 2,0, 4)t ，由非基變量x1 的檢驗(yàn)數(shù)為0,知此問題有無窮多最有解，所以該解為無窮多最優(yōu)解中的一個(gè)，最優(yōu)值為w 6。2解：此問題用大m 法求解，先把問題標(biāo)準(zhǔn)化為：min z4 x15 x2x3mx6mx73 x1 2 x1 x12x2x3x4x618x2x54x2x3x75x1 , x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x70構(gòu)造初始單純行表，并進(jìn)行初等變換，得：cj-4-5-10

21、0mmbcbxbx1x2x3x4x5x6x7mx60x5mx7321-101018(2)100100411-100015j-4-4m-5-3m-1m000mx6-4x1mx701/21-1-2/310121(1/2 )001/200201/2-10-1/2013j0-5-1m2m+200mx6-5x2mx7-10(1)-1-2101021001004-10-10-1011j2m-40-1m3m+500-1x3-5x2mx7-101-1-2101021001004-200-1-31111j2m+500m-13m+310因?yàn)樗袡z驗(yàn)數(shù)均為非負(fù)，但人工變量x7 仍為基變量，故此問題無解。11、求解線

22、性規(guī)劃問題并給出其中三個(gè)最優(yōu)解：min w3x1x2x3x42 x12 x2x343x1x2x46x1 , x2 , x3 , x40解：構(gòu)造初始單純行表，并進(jìn)行初等變換，得：cj3111cbxbx1x2x3x41x3-221041x431016j2-200w=101x2-111/2021x4(4 )0-1/214j0010w=61x2013/81/433x110-1/81/41b*1*2j0010w=6從單純形表可以找到兩個(gè)頂點(diǎn)，x(0, 2,0, 4)t ， x(1,3,0,0) t。可以找到變量之間存在以下關(guān)系：x2 x1 2； x4 4 x1 4；x30*令 x1 1/2 則有 x 3

23、(1/ 2,5 / 2,0, 2)t ，從而找到了lp 問題的三個(gè)最優(yōu)解。12、1如為唯一最優(yōu)解則要求非基變量的檢驗(yàn)數(shù)全少于零，從而有1 <0，2 <0。并且要令表中的解為最優(yōu)解，則要求原問題可行，這只要滿足0 即可。2要令表中解為無窮多最優(yōu)解中的一個(gè)，則有以下關(guān)系成立：1 <=0，2 <=0，且12 =0假設(shè)2 =0，則10 。3要使表中的解為退化的基可行解，則必有0 ；當(dāng)2 >1 且2 >0 時(shí)，10 。4假設(shè)為無界解， 則滿足能找到入基變量，但找不到出基變量的條件。即滿足：0 ；2 >1，且2 >0；10 。5以 x1 代替x6 ，即x1 入基，x6 出基， 則有以下關(guān)系成立：1 >2 ，且1 >0；30 ；0 ，且 03