2000年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題理科數(shù)學(xué)(江西、天津)卷

1、2000年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題(新課程/理工農(nóng)醫(yī)類(lèi))江西、天津卷一、選擇題：本大題共12小題；每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）設(shè)集合a和b都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集，映射把集合a中的元素映射成集合b中的元素，則在映射下，象的原象是 （ ）（a） （b） （c） （d）（2）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 （ ）（a）2 （b） （c） （d）3（3）一個(gè)長(zhǎng)方體共一項(xiàng)點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體 對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)是 （ ）（a）2 （b）3 （c）6 （d）（4）設(shè)、是任意的非零平面向量，且相互不共線(xiàn)，則 （ ）； 不與垂

2、直 中，是真命題的有（a） （b） （c） （d）（5）函數(shù)的部分圖象是 （ ）（6）中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過(guò) 800元的部分不必納稅，超過(guò)800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額。此項(xiàng)稅 款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過(guò)500元的部分5%超過(guò)500元至2000元的部分10%超過(guò)2000元至5000元的部分15%某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于（ ）（a） 800900元 （b）9001200元（c）12001500元 （d）15002800元（7）若，p=，q=，r=，則（a）rpq （b）pq r （c）q pr

3、 （d）p rq（8）右圖中陰影部分的面積是 （a） （b） （c） （d）（9）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是 （ ） （a） （b） （c） （d）（10）過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直 線(xiàn)的方程是 （ ）（a） （b） （c） （d）（11）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)f作一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于p、q兩點(diǎn)，若線(xiàn) 段pf與fq的長(zhǎng)分別是、，則等于 （ ）（a） （b） （c） （d） （12）如圖，oa是圓錐底面中心o到母線(xiàn)的垂線(xiàn)，oa繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線(xiàn)與軸的夾角為（a） （b）（c） （d）二填空題：本大題共4小題；每小

4、題4分，共16分，把答案填在題中橫線(xiàn)上。（13）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，其中次品的概率分布是（14）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)p為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角 時(shí)，點(diǎn)p橫坐標(biāo)的取值范圍是_.（15）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項(xiàng)公式是=_。（16）如圖，e、f分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是_。（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）三、解答題：本大題共6小題；共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿(mǎn)分10分） 甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷

5、題4個(gè)。甲、乙二人依次各抽一題。 （i）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？ （ii）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？（18甲）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，直三棱柱abc-，底面abc中，ca=cb=1，bca=，棱=2，m、n分別是、的中點(diǎn)。（i）求的長(zhǎng)；（ii）求，的值；（iii）求證。（18乙）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知平行六面體abcd-的底面abcd是菱形，且=。（i）證明：bd；（ii）假定cd=2，=，記面為，面cbd為，求二面角 的平面角的余弦值； （iii）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？請(qǐng)給出證明。（19）（本小題滿(mǎn)分12分） 設(shè)函數(shù)，其中。（i）解不等式；（

6、ii）求的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。（20）（本小題滿(mǎn)分12分） 用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積。（21）（本小題滿(mǎn)分12分）（i）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)。（ii）設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，證明數(shù)列不是等比數(shù)列。（22）（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，已知梯形abcd中，點(diǎn)e分有向線(xiàn)段所成的比為，雙曲線(xiàn)過(guò)c、d、e三點(diǎn)，且以a、b為焦點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍。參考答案一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿(mǎn)分60分。（1）b （2）

7、b （3）c （4）d （5）d （6）c （7）b （8）c （9）a （10）c （11）c （12）d 二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿(mǎn)分16分。（13）0120.90250.0950.0025 （14） （15） （16）三、解答題（5）本小題主要考查等可能事件的概率計(jì)算及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿(mǎn)分10分。解：（i）甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結(jié)果有個(gè)；又甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有概率為個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為，所求概率為； 5分（ii）甲、乙二人依次

8、都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為，所求概率為。 或 ，所求概率為。10分（18甲）本小題主要考查空間向量及運(yùn)算的基本知識(shí)。滿(mǎn)分12分。 如圖，以c為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系o。 （i）解：依題意得b，n， 2分 （ii）解：依題意得，b，c，。 ，。 。， 5分 9分（iii）證明：依題意得，m ， ， ， 12分（18乙）本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面的關(guān)系，邏輯推理能力。滿(mǎn)分 12分。 （i）證明：連結(jié)、ac，ac和bd交于o，連結(jié)。 四邊形abcd是菱形， acbd，bc=cd。又 ， ， ， do=ob， bd， 2分但 acbd，ac=o， bd平

9、面。又 平面， bd。 4分（ii）解：由（i）知acbd，bd， 是平面角的平面角。在中，bc=2， 。 6分 ocb=， ob=bc=1。 ， 即。作oc，垂足為h。 點(diǎn)h是oc的中點(diǎn)，且oh，所以 。 8分（iii）當(dāng)時(shí)，能使平面。證明一： ， bc=cd=，又 ，由此可推得bd=。 三棱錐c- 是正三棱錐。 10分設(shè)與相交于g。 ac，且oc=21， go=21。又 是正三角形的bd邊上的高和中線(xiàn)， 點(diǎn)g是正三角形的中心， cg平面。即 平面。 12分證明二：由（i）知，bd平面， 平面， bd。 10分當(dāng) 時(shí) ，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，同bd的證法可得。又 bd=b，平面。

10、12分 （19）本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)、分類(lèi)討論的 數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算、推理能力。滿(mǎn)分12分。 解：（i）不等式即 ， 由此可得，即，其中常數(shù)。 所以，原不等式等價(jià)于 即 3分 所以，當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為。 6分 （ii）在區(qū)間上任取，使得<。 。 8分（i） 當(dāng)時(shí)， ， ， 又 ， ， 即 。 所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 10分（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在兩點(diǎn)，滿(mǎn)足 ，即，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)。綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。12分（20）本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的

11、能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)。滿(mǎn)分12分。 解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為 m，高為 由和，得，設(shè)容器的容積為，則有 整理，得 ， 4分 6分令，有 ，即 ，解得 ，（不合題意，舍去）。 8分從而，在定義域（0，1，6）內(nèi)只有在處使。由題意，若過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大（接受1.6）時(shí)，值很?。ń咏?），因此，當(dāng)時(shí)取得最大值 ， 這時(shí)，高為。答：容器的高為1.2m時(shí)容積最大，最大容積為。 12分（21）本小題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。滿(mǎn)分12 分。 解：（i）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故有 ，將代入上式，得 =， 3分 即 =， 整理得 ， 解得 =2或=3。 6分 （ii）設(shè)、的公比分別為、， 為證不是等比數(shù)列只需證。 事實(shí)上， ， 。 由于 ，又、不為零， 因此，故不是等比數(shù)列。 12分（22）本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線(xiàn)的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。滿(mǎn)分14分。 解：如圖，以ab為垂直平分線(xiàn)為軸，直線(xiàn)ab為軸，建立直角坐標(biāo)系，則cd軸。因