高考專題解析幾何常規(guī)題型及方法

1、高考專題：解析幾何常規(guī)題型及方法一、高考風(fēng)向分析：高考解析幾何試題一般共有3-4 題(1-2 個(gè)選擇題 , 0-1 個(gè)填空題 , 1 個(gè)解答題 ), 共計(jì) 20多分 , 考查的知識點(diǎn)約為20 個(gè)左右，其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn) , 全面考查。選擇題和填空題考查直線, 圓 , 圓錐曲線中的基礎(chǔ)知識，大多概念性較強(qiáng)，小巧靈活，思維多于計(jì)算；而解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識點(diǎn)及其綜合運(yùn)用,重在考察直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程，以向量為載體，立意新穎，要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)代數(shù)、三角、幾何的知識分析問題，解決問題。二、本章節(jié)處理方法建議：縱觀 20xx 年全國各省市18套文、理高考試卷，普

2、遍有一個(gè)規(guī)律：占解幾分值接近一半的填空、選擇題難度不大，中等及偏上的學(xué)生能將對應(yīng)分?jǐn)?shù)收入囊中；而占解幾分值一半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，解析幾何的問題可以涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向量等知識，形成了軌跡、最值、對稱、范圍、參系數(shù)等多種問題，因而成為高中數(shù)學(xué)綜合能力要求最高的內(nèi)容之一（2）解析幾何的計(jì)算量相對偏大（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大題的前三道成了兵家必爭之地，而排放位置比較尷尬的第21 題或 22 題（有時(shí) 20 題）就成了很多人遺忘的角落，加之時(shí)間的限制，此題留白的現(xiàn)象比較普遍。鑒于解幾的特

3、點(diǎn)，建議在復(fù)習(xí)中做好以下幾個(gè)方面1由于高考中解幾內(nèi)容彈性很大。有容易題，有中難題。因此在復(fù)習(xí)中基調(diào)為狠抓基礎(chǔ)。不能因?yàn)楦呖贾械慕鈳捉獯痤}較難，就拼命地去搞難題，套新題，這樣往往得不償失；端正心態(tài)：不指望將所有的題攻下，將時(shí)間用在鞏固基礎(chǔ)、對付“跳一跳便可夠得到”的常規(guī)題上，這樣復(fù)習(xí)，高考時(shí)就能保證首先將選擇、填空題拿下，然后對于大題的第一個(gè)小問爭取得分，第二小題能拿幾分算幾分。三、高考核心考點(diǎn)1、準(zhǔn)確理解基本概念（如直線的傾斜角、斜率、距離、截距等）2、熟練掌握基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、到角公式、夾角公式等）3、熟練掌握求直線方程的方法（如根

4、據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為0 等等）4、在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中，要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算5、了解線性規(guī)劃的意義及簡單應(yīng)用6、熟悉圓錐曲線中基本量的計(jì)算7、掌握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）8、掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見判定方法，能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見問題四、常規(guī)題型及解題的技巧方法a:常規(guī)題型方面（1）中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中

5、點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。典型例題給定雙曲線xy2221。過 a（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)p1及p2，求線段p1p2的中點(diǎn) p的軌跡方程。分析：設(shè)pxy111(,)，pxy222(,)代入方程得xy121221，xy222221。兩式相減得()()()()xxxxyyyy12121212120。又設(shè)中點(diǎn)p（x,y），將xxx122，yyy122代入，當(dāng)xx12時(shí)得22201212xyyyxx。又kyyxxyx121212，代入得24022xyxy。當(dāng)弦p p12斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)p（2，0）的坐標(biāo)也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是24022xyxy說明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必

6、須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。變式練習(xí)：給定雙曲線2x2 - y2 = 2 ，過點(diǎn) b(1,1) 能否作直線l,使 l 與所給雙曲線交于兩點(diǎn)q1、q2 兩點(diǎn)，且點(diǎn)b 是線段 q1q2的中點(diǎn)？如果直線l 存在，求出它的方程;如果不存在 ,說明理由 .（2）焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)p，與兩個(gè)焦點(diǎn)f1、f2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典 型 例 題設(shè)p(x,y) 為 橢 圓xayb22221上 任 一 點(diǎn) ，fc10(, )，fc20( , )為 焦 點(diǎn) ，pf f12，pf f21。（ 1）求證離心率sinsin)sin(e；（ 2）求|pfpf1323的最值。分析：（ 1）設(shè)

7、|pfr11，|pfr22，由正弦定理得rrc122sinsinsin()。得rrc122sinsinsin()，sinsin)sin(ace（2）()()aexaexaae x3332226。當(dāng)x0時(shí)，最小值是23a；當(dāng)ax時(shí)，最大值是26323ae a。變式練習(xí)：設(shè)f1、f2分別是雙曲線12222byax（ a0,b0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，p 是雙曲線上的一點(diǎn)，若 p=,求證：s=b2cot2（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法典型例題拋物線方程，直線與 軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。yp x

8、pxytx210() ()（ 1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（ 2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為a、b，且 oaob，求 p關(guān)于 t 的函數(shù) f(t) 的表達(dá)式。（1）證明：拋物線的準(zhǔn)線為114：xp由直線 x+y=t 與 x 軸的交點(diǎn)（ t， 0）在準(zhǔn)線右邊，得tptp14440，而由消去 得xytyp xy21()xtp xtp2220()()()()2422tptpptp()440故直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。（ 2）解：設(shè)點(diǎn)a(x1，y1)，點(diǎn) b(x2，y2) xxtpx xtp121222，oaobkkoaob，1則 x xy y12120又 y ytxtx1212()()x xy

9、 yttp1212220()pf ttt( )22又，得函數(shù)的定義域是ptpf t0440( )()()200，變式練習(xí)：直線 y=ax+1 與雙曲線3x2y2=1 交于兩點(diǎn)a、 b 兩點(diǎn)(1)若 a、b 都位于雙曲線的左支上，求a的取值范圍(2)當(dāng) a為何值時(shí)，以ab 為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？（4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)

10、 ，過m（a,0）且斜率為1 的直線l 與拋物線交于不同的兩點(diǎn)a、b，|ab|2p （1）求 a的取值范圍；（2）若線段ab 的垂直平分線交x 軸于點(diǎn)n，求 nab 面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a 的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a 表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對于（2）首先要把nab的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“ 最值問題，函數(shù)思想”。解： (1)直線 l 的方程為： y=x-a,將 y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線l 與拋物線兩

11、交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（x1,y1）,b(x2,y2)，則221212)(204)(4axxpaxxapa,又 y1=x1-a,y2=x2-a, ,2)2(80, 0)2(8,2|0)2(84)(2)()(|21221221221pappapppabappxxxxyyxxab解得 :.42pap(2)設(shè) ab 的垂直平分線交ab 與點(diǎn) q，令其坐標(biāo)為（x3,y3），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：paxxx2213, .2)()(221213paxaxyyy所以 |qm|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又 mnq 為等腰直角三角形，所以|qm|=|qn|=p2，所以snab=22222|22|21

12、pppabpqnab,即 nab面積的最大值為p22。變式練習(xí)：雙曲線12222byax（a0,b0）的兩條準(zhǔn)線間的距離為3，右焦點(diǎn)到直線x+y-1=0 的距離為22（1）求雙曲線的方程（ 2）設(shè)直線y=kx+m(k0且 m0)與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)c、 d，若a(0,-1) 且ac=ad，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知- 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線l 過原點(diǎn)，拋物線c 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸正半軸上。若點(diǎn)a（-1，0）和點(diǎn) b（0，8）關(guān)于 l 的對稱點(diǎn)都在c 上，求直線l 和拋物線c 的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)

13、出它們的方程，l：y=kx(k 0),c:y2=2px(p0) 設(shè) a、b 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn)分別為a/、b/，則利用對稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：a/（12,11222kkkk）， b（1) 1(8,116222kkkk）。因?yàn)閍、b 均在拋物線上，代入，消去p，得： k2-k-1=0. 解得： k=251,p=552. 所以直線l 的方程為： y=251x,拋物線 c 的方程為y2=554x. 變式練習(xí)：在面積為1 的 pmn 中， tanm=21,tann=-2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以m、n 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) p的橢圓方程。2曲線的形狀未知- 求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)q（ 2

14、，0）和圓c：x2+y2=1, m n q o 動(dòng)點(diǎn) m 到圓 c 的切線長與 |mq|的比等于常數(shù)（0）,求動(dòng)點(diǎn)m 的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)mn 切圓 c 于點(diǎn) n，則動(dòng)點(diǎn)m 組成的集合是：p=m|mn|=|mq| ，由平面幾何知識可知：|mn|2=|mo|2-|on|2=|mo|2-1，將m 點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0. 當(dāng)=1 時(shí)它表示一條直線；當(dāng)1 時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。變式練習(xí)：過拋物線y2=4x 的焦點(diǎn)f 作斜率為k 的弦ab，且ab8，此外，直線ab 和橢圓3x2+2y2=2 交于不同的兩點(diǎn)。（1）求直線

15、ab 的斜率 k 的取值范圍（2）設(shè)直線ab 與橢圓相交于c、d 兩點(diǎn)，求cd 中點(diǎn) m 的軌跡方程（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題已知橢圓c 的方程xy22431，試確定m 的取值范圍，使得對于直線yxm4，橢圓 c 上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。分析：橢圓上兩點(diǎn)(,)xy11，(,)xy22，代入方程，相減得31212()()xxxx412()yy()yy120。又xxx122，yyy122，kyyxx121214，代入得yx

16、3。又由yxyxm34解得交點(diǎn)(,)mm3。交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有()()mm224331，得2 13132 1313m。變式練習(xí)：為了使拋物線()yx112上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ymx對稱，求m 的取值范圍。（7）兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用kkyyxx1212121來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。典型例題已知直線l的斜率為k，且過點(diǎn)p(, )2 0，拋物線c yx:()241，直線l與拋物線 c 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖）。（ 1）求k的取值范圍；（ 2）直線l的傾斜角為何值時(shí)， a、b 與拋物線c 的焦點(diǎn)連線互相垂直。分析：（ 1）直線yk x()2代入拋物線方程得k xkxk

17、222244440()，由0，得110kk()。（ 2）由上面方程得x xkk122244，y ykxx12212224()()，焦點(diǎn)為o( , )0 0。由kky yx xkkoaob12122211，得k22，22arctan或22arctan變式練習(xí)：經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓()xy362122相交于a、 b 兩點(diǎn)，若以ab 為直徑的圓恰好通過橢圓左焦點(diǎn)f，求直線l的傾斜角。b:解題的技巧方面在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析

18、幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計(jì)算量。典型例題設(shè)直線340 xym與圓xyxy2220相交于 p、q 兩點(diǎn)， o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若opoq，求m的值。解：圓xyxy2220過原點(diǎn)，并且op oq，pq是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為m ()121，又m ()121，在直線340 xym上，31241052()mm，即為所求。y b a p (-2,0) o x 評注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點(diǎn)并且opoq，pq 是圓的直徑，圓心在直線340 xym上，而是設(shè)p xyq xy()()112

19、2，、，再由op oq和韋達(dá)定理求m，將會(huì)增大運(yùn)算量。變式練習(xí)：已知點(diǎn)p（5，0）和圓o：xy2216，過 p 作直線l與圓 o 交于 a、b 兩點(diǎn)，求弦ab 中點(diǎn) m 的軌跡方程。評注：此題若不能挖掘利用幾何條件omp90，點(diǎn) m 是在以 op 為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，計(jì)算量將很大，并且比較麻煩。二. 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線yx1相交于p、q 兩點(diǎn)，且op oq，|pq102，求此橢圓方程。解 ： 設(shè) 橢 圓 方 程

20、為axbyab2210()， 直 線yx1與 橢 圓 相 交 于p()xy11，、q xy()22，兩點(diǎn)。由方程組yxaxby1122消去y后得()ab xbxbxxbabx xbab2121221021，由kkopoq1，得y yx x1212（1）又 p、q 在直線yx1上，yxyxy yxxx xxx1122121212121213111，( )( )()()()把（ 1）代入，得2101212x xxx()，即21210()babbab化簡后，得ab2（ 4）由|pq102，得()()xxyy12212252()()()()xxxxx xbabbab122122122544542415

21、4，把（ 2）代入，得48302bb，解得b12或b32代入（ 4）后，解得a32或a12由ab0，得ab3212，。所求橢圓方程為322122xy評注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計(jì)算。變式練習(xí)：若雙曲線方程為xayb22221，ab 為不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦，m 為 ab 中點(diǎn)，設(shè) ab、om 的斜率分別為kkabom、，則kkbaabom22三. 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓cxyxy122420：和cxyy22224：0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2410 xy上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為

22、：xyxyxyy222242240()即()()()1142 14022xyxy，其圓心為c（2111，）又c 在直線l上，22141110，解得13，代入所設(shè)圓的方程得xyxy22310為所求。評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡化了計(jì)算。變式練習(xí)：某直線l 過直線l1： x-y-12=0 和 l2： 7x-y+28=0 的交點(diǎn)，且傾斜角為直線l1的傾斜角的一半，求此直線l 的方程四、充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題p為橢圓22221xyab上一動(dòng)點(diǎn)， a 為長軸的右端點(diǎn)，b

23、 為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形 oapb 面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)p 的坐標(biāo)。變式練習(xí)：已知 p(x， y)是橢圓 x24y2=1 上任一點(diǎn)，試求p到直線 x + y 2 = 0的最小值及此時(shí)p的坐標(biāo)。五、線段長的幾種簡便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦ab 長的方法是：把直線方程ykxb代入圓錐曲線方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的兩根設(shè)為xa，xb，判別式為，則|abkxxab12|12ak，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程。例求直線xy10被橢圓xy22416所截得的線段ab 的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦

24、長時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例f1、f2是橢圓xy222591的兩個(gè)焦點(diǎn)，ab 是經(jīng)過f1的弦，若|ab8，求值|22bfaf 利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例點(diǎn) a（3， 2）為定點(diǎn)，點(diǎn)f 是拋物線yx24的焦點(diǎn)，點(diǎn)p在拋物線y24x上移動(dòng)，若| |papf取得最小值，求點(diǎn)p的坐標(biāo)。五、高考試題選編1. 過拋物線 yx26 的焦點(diǎn) f，作弦 abx 軸于 a、b 兩點(diǎn)，則弦長ab 等于（） a. 6 b. 18 c. 6 2 d. 36 2. 若直線 ykx1與焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓xym2251總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m 的

25、取值范圍是（） a. （0，5） b. （ 1，5） c. )15， d. 15，3. 直線 yx1被橢圓 341222xy所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（） a. ()4737， b. ()47117， c. ()8717， d. ()87157，4. 過點(diǎn) a ()152，引拋物線 yx24的一條弦，使該弦被a 點(diǎn)平分，則該弦所在直線方程為（） a. 4210 xy b. xy240 c. 4290 xy d. xy2605. 設(shè) xyr，且 341222xy，則 xy22的最大值與最小值分別是（） a. 23， b. 42 3， c. 4，3 d. 8，6 6. p 是拋物線 yx2上的點(diǎn)， f是拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)p到 f 與 p到 a()31，的距離之和的最小值是（） a. 3 b. 134 c. 4 d. 727.已知圓截得被當(dāng)直線及直線clyxlaxaxc.03:)0(4)2()(:22的弦長為32時(shí)，則 a=（）a2 b22 c12 d128(03 全國 )已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)與其相交于直線1),0,7(xyfm、 n兩點(diǎn)， mn 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,32則此雙曲線的方程是（）a14322yxb134