高二數(shù)學(xué)《圓與方程》師用教案

1、第四章圓與方程4 .2.2 圓與圓的位置關(guān)系【知識要點】兩圓的位置關(guān)系及其判定：設(shè)兩圓圓心分別為12,o o ，半徑分別為12,r r ，則：兩圓相交121212| |rro orr ；兩圓外切1212|o orr ；兩圓內(nèi)切1212| |o orr；【例題精講】【例 1】已知圓1c ：22660 xyx，圓2c ：22460 xyy（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求公共弦所在的直線方程解： （1）圓1c 的圓心為 （3，0），半徑為115r，圓2c 的圓心為 （0，2），半徑為210r，又12|13c c，12|rr12|c c12rr ，圓1c 與2c 相交（ 2）由，得公共弦所在的直線

2、方程為320 xy【例 2】求經(jīng)過兩圓22640 xyx和226280 xyy的交點，并且圓心在直線40 xy上的圓的方程解：設(shè)所求圓的方程為22628xyy22(64)0 xyx，即22(1)(1)662840 xyxy，則所求圓的圓心為33(,)11圓心在直線40 xy上，334011，解得17 所求圓的方程為2x 27320yxy【例 3】已知圓 c 與圓22(1)1xy關(guān)于直線yx對稱，則圓c 的方程為（）a22(1)1xyb221xyc22(1)1xyd22(1)1xy解：已知圓的半徑1r，圓心 (1,0) ，圓心 (1,0) 關(guān)于直線yx的對稱點為(0, 1)，則圓 c 的方程為2

3、2(1)1xy選 c點評 ：圓關(guān)于直線的對稱圖形仍然是圓，半徑不變，圓心關(guān)于直線對稱我們要掌握一些常見對稱問題的解答思路，例如點關(guān)于直線的對稱，曲線關(guān)于直線的對稱，曲線關(guān)于點的對稱等，解答理論基礎(chǔ)有中點坐標(biāo)公式、垂直時斜率乘積為1、代入法、轉(zhuǎn)化思想同時，我們也要掌握一些簡單對稱，如點( , )a b 關(guān)于直線yx的對稱點為( , )b a 【例 4】求圓2240 xy與圓2244120 xyxy的公共弦的長解：由題意，列出方程組22224044120 xyxyxy，消去二次項，得2yx把2yx代入2220 xyxy，得220 xx，解得122,0 xx，于是120,2yy，兩圓的交點坐標(biāo)是(

4、2,0)a，(0,2)b，所以，公共弦長|2 2ab另解 ：由題意，列出方程組22224044120 xyxyxy，消去二次項，得2yx，它即公共弦所在直線的方程圓2240 xy的圓心到直線20 xy的距離為| 002|22d所以，兩圓的公共線長為2222222(2)2 2rd點評 ：為何兩圓的方程消去二次項后，即為公共弦所在直線的方程，我們易由曲線系的知識可得比較方程思想與幾何方法求解兩圓的公共弦長，幾何方法更為簡捷先求公共弦所在直線，再求一圓心到直線的距離，通過公式222 rd求得弦長【基礎(chǔ)達標(biāo)】1圓221: ()(2)9cxmy與圓222: (1)()4cxym外切，則m 的值為（）a2

5、 b 5 c2 或 5 d不確定2圓2220 xyx和2240 xyy的公共弦所在直線方程為（）a20 xyb20 xyc 20 xyd 20 xy3若圓228xy和圓22440 xyxy關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為（）a0 xyb0 xyc20 xyd20 xy4圓 x2y22x0 和 x2y24y0 的位置關(guān)系是（）a相離b外切c相交d內(nèi)切5兩個圓221:2220cxyxy與222:4210cxyxy的公切線有且僅有（）a1 條b 2 條c3 條d4 條6兩圓： x2 + y2 + 6 x + 4y = 0 及 x2+y 2 + 4x + 2y 4 =0 的公共弦所在直線方程為7集合

6、a（ x，y）|x2y24， b（ x，y）|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 a b 中有且僅有一個元素，則r 的值是15 cbccb；6x+y+2=0；73 或 7 【能力提高】8求與圓222410 xyxy同心，且與直線210 xy相切的圓的方程解：將方程222410 xyxy配方，得22124xy（） （），所以所求圓的圓心為（1，2）又所求圓與直線210 xy相切，圓的半徑222121521r（），所求圓的方程22(1)(2)5xy9求圓22412390 xyxy關(guān)于直線3450 xy的對稱圓方程解：圓方程可化為22(2)(6)1xy， 圓心 c(2，6)， 半徑為 1設(shè)對稱

7、圓圓心為( , )c a b，則 c與 c 關(guān)于直線 3450 xy對稱，因此有263450226 312 4abba， 解得325265ab 所求圓的方程為223226()()155xy4 .2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用【知識要點】坐標(biāo)法：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，借助代數(shù)方法把要研究的幾何問題，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的運算，由此解決幾何問題【例題精講】【例 1】有一種大型商品，a、b 兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：每單位距離，a 地的運費是b 地運費的3 倍已知 a、b 兩地相距10 千米，顧客購物的標(biāo)準(zhǔn)是總費用較低，求a、b 兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，

8、并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地解 ：建立使a(5， 0)、b(5，0)的直角坐標(biāo)系，設(shè)單位距離的運費是a 元若在 a 地購貨費用較低，則：價格a 地運費 價格 b 地運費即22223(5)(5)axyaxya 0， 8x28y2100 x200y0 得(x254)2y2(154)2兩地購物區(qū)域的分界線是以點c(254，0)為圓心，154為半徑的圓所以，在圓c 內(nèi)的居民從a 地購物便宜，圓c 外的居民從b 地購物便宜，圓c 上的居民從a、b 兩地購物總費用相等m(x，y)q(4，0) o x y p 【例2】自點a(3，3)發(fā)出的光線l 射到x 軸上，被x 軸反射，其反射光線所

9、在的直線與圓224470 xyxy相切，求光線 l 所在的直線方程解：由已知可得圓c：22(2)(2)1xy關(guān)于 x 軸對稱的圓c的方程為22(2)(2)1xy，其圓心 c（2， 2），易知 l 與圓 c相切設(shè) l: y3=k(x+3)， 即 kxy+3k+3=025511kk，整理得12k2+ 25k+12=0，解得34k或43k所以，所求直線方程為y3=34(x+3)或 y 3=43(x+3)，即 3x+4y3=0 或 4x+3y+3=0點評 ：關(guān)于求切線問題，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑的條件，是解決圓的切線方程的常用方法如果由方程組思想，通過“0” 求切線方程也可，但過程要復(fù)雜些【

10、例 3】實數(shù), x y滿足222410 xyxy， 求下列各式的最大值和最小值：（1）4yx；（2） 2xy 解：原方程為22(1)(2)4xy，表示以( 1,2)p為圓心， 2為半徑的圓（1）設(shè)4ykx，幾何意義是：圓上點( , )m x y 與點(4,0)q連線的斜率由圖可知當(dāng)直線mq 是圓的切線時，k取最大值與最小值設(shè)切線0(4)yk x，即40kxyk圓心 p 到切線的距離2|24|21kkk，化簡為221200kk，解得0k或2021k4yx的最大值為0，最小值為2021（2）設(shè) 2xym ，幾何意義是：直線20 xym與圓有公共點 圓心 p 到直線的距離2|22|21m2 ，解得4

11、2 5 m 42 5 2xy 的最大值為42 5 ，最小值為42 5 點評 ：代數(shù)式最大值最小值的研究，常用數(shù)形結(jié)合思想方法，將要研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，關(guān)鍵是如何挖掘代數(shù)式的特點，利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化例如，由代數(shù)式22xydxeyf聯(lián)想到兩點的距離公式，或圓的方程；由代數(shù)式y(tǒng)bxa聯(lián)想到兩點的斜率，或直線的方程；由代數(shù)式axby 聯(lián)想到直線的方程；由代數(shù)式|xaxb 聯(lián)想到數(shù)軸上到兩點的距離之和，等等【基礎(chǔ)達標(biāo)】1實數(shù) x，y 滿足方程40 xy，則22xy 的最小值為（）a4 b6 c 8 d12 2若直線ax+by=1 與圓 x2+y2=1 相交，則點p(a，b)的位置是（）a在圓

12、上b在圓外c在圓內(nèi)d都有可能3如果實數(shù)滿足22(2)3xy，則yx的最大值為（）a3b3c33d334一輛卡車寬2.7 米，要經(jīng)過一個半徑為4.5 米的半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距離地面的高度不得超過（）a1.4 米b3.0 米c3.6 米d 4.5 米5過原點的直線與圓x2y2 4x30 相切，若切點在第三象限，則該直線方程是（）ay=3 xby=3xcy=33xdy=33x6由動點p 向圓221xy引兩條切線pa、pb，切點分別為a、b， apb=60 ，則動點 p 的軌跡方程為7已知直線20 xyc與曲線21yx 有兩個公共點，則c 的取值范圍15 cbac

13、c；6224xy；7(5,2【能力提高】8已知實數(shù), x y滿足22430 xyx，求21yx的值域解：方程22430 xyx化為22(2)1xy，其幾何意義為： 以(2,0)c為圓心， 1 為半徑的圓設(shè)21ykx，其幾何意義為：圓c 上的點( , )p x y 與點(1,2)q連線的斜率將21ykx變形為:20pq kxyk，則圓心到直線pq 的距離2|22 |11kkdk，解得333344k21yx的值域為33 33,449在直徑為ab 的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，使三角形的一邊為ab，頂點 c 在半圓上，其它兩邊分別為6 和 8，現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于abc 的矩形水池defn ，其中，

14、de 在 ab 上，如圖的設(shè)計方案是使ac8， bc6（ 1）求 abc 中 ab 邊上的高h；（ 2）設(shè) dn x，當(dāng) x 取何值時，水池defn 的面積最大 ? （ 3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在ab 上距 b 點 1.85 的 m 處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上? 如果在，為保護大樹，請設(shè)計出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹解： (1)由1122sab hab bc，得6 84.810ac bchab（ 2） nfab， cnf cab，hdnnfhab10(4.8)4.8xnf，210(4.8)25104.812defnxsxxx 當(dāng) x

15、24 時，defns的值最大（ 3）當(dāng)defns最大時 x=24，此時 f 為 bc 中點在 rtfeb 中， ef24，bf3， 222232.41.8bebfef又 bm=185be，故大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計方案又當(dāng) x24 時， de5， ad3 2由圓的對稱性知滿足題設(shè)條件的另外設(shè)計方案是如圖（2）， 此時，ac6， ad18， bd82，此方案滿足條件且能避開大樹10 船行前方的河道上有一座圓拱橋，在正常水位時， 拱圈最高點距水面為9m， 拱圈內(nèi)水面寬22m 船只在水面以上部分高6.5m、船頂部寬4m，故通行無阻近日水位暴漲了2.7m，船已經(jīng)不能通過橋洞了船員必須加重

16、船載，降低船身試問船身必須降低多少，才能順利地通過橋洞? 解：畫出正常水位時的橋、船的示意圖如圖1；漲水后橋、船的示意圖如圖2以正常水位時河道中央為原點，建立如圖2 所示的坐標(biāo)系設(shè)橋拱圓頂?shù)膱A心o1(0，y1)，橋拱半徑為r，則橋拱圓頂在坐標(biāo)系中的方程為x2+(y y1)2=r2橋拱最高點b 的坐標(biāo)為 (0，9)，橋拱與原始水線的交點a 的坐標(biāo)為(11，0)圓 o1過點 a，b，因此02+(9y1)2=r2，112+(0y1)2=r2，兩式相減后得121+18y181=0，y1=209222；回代到兩個方程之一，即可解出r 1122所以橋拱圓頂?shù)姆匠淌莤2+(y+222)2=12594當(dāng)船行駛

17、在河道的正中央時，船頂最寬處角點c 的坐標(biāo)為 (2，y)使船能通過橋洞的最低要求，是點c 正好在圓o1上，即 22+(y+222)2=12594，解出y 882扣除水面上漲的270， 點 c 距水面為 882270=612船身在水面以上原高65，為使船能通過橋洞，應(yīng)降低船身65612=038(m)以上4 .3.1 空間直角坐標(biāo)系【知識要點】1空間直角坐標(biāo)系：從空間某一個定點o 引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸ox、oy、oz， 這樣的坐標(biāo)系叫做空間直角坐標(biāo)系oxyz，點 o 叫做坐標(biāo)原點， x 軸、y 軸、z 軸叫做坐標(biāo)軸 通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xoy 平面、 yoz

18、 平面、 zox 平面2右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x 軸的正方向，食指指向y 軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系3空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：對于空間任一點m，作出 m 點在三條坐標(biāo)軸ox 軸、 oy 軸、 oz軸上的射影，若射影在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z，則把有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做 m 點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作m(x， y，z)，其中 x 叫做點 m 的橫坐標(biāo)， y 叫做點m 的縱坐標(biāo)， z叫做點 m 的豎坐標(biāo)4在 xoy 平面上的點的豎坐標(biāo)都是零，在yoz 平面上的點的橫坐標(biāo)都是零，在zox 平面上的點的縱坐標(biāo)都是

19、零；在ox 軸上的點的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都是零，在oy 軸上的點的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都是零，在oz 軸上的點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是零【例題精講】【例 1】在空間直角坐標(biāo)系中，作出點m(6， 2，4)解：點 m 的位置可按如下步驟作出：先在 x 軸上作出橫坐標(biāo)是6 的點1m ，再將1m 沿與 y 軸平行的方向向左移動2 個單位得到點2m， 然后將2m 沿與 z 軸平行的方向向上移動4個單位即得點m m 點的位置如圖所示【例 2】在長方體1111abcda bc d 中， ab=12，ad=8，1aa =5，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點的坐標(biāo)解：以 a 為原點，射線ab、ad、1aa 分別為 x

20、軸、 y 軸、 z 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 a(0，0，0)、 b(12，0，0)、c(12，8，0)、d(0，8，0)、1a (0，0， 5)、1b (12，0，5)、1c (12，8，5)、1d (0，8，5)【例 3】已知正四棱錐pabcd 的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點的坐標(biāo)分析 ：先由條件求出正四棱錐的高，再根據(jù)正四棱錐的對稱性，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系解：正四棱錐pabcd 的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，正四棱錐的高為2 23 以正四棱錐的底面中心為原點，平行于ab、bc 所在的直線分別1m2mm（ 6， 2，4）o x y z 6

21、 2 4 為 x 軸、 y 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則正四棱錐各頂點的坐標(biāo)分別為a(2， 2，0)、b(2，2，0)、c(2，2， 0)、d(2， 2，0)、p(0， 0， 2 23 )點評 ：在求解此類問題時，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，從而便于計算所需確定的點的坐標(biāo)【例 4】在空間直角坐標(biāo)系中，求出經(jīng)過a(2，3， 1)且平行于坐標(biāo)平面yoz 的平面的方程分析 ：求與坐標(biāo)平面yoz 平行的平面的方程，即尋找此平面內(nèi)任一點所要滿足的條件，可利用與坐標(biāo)平面yoz 平行的平面內(nèi)的點的特點來求解解：坐標(biāo)平面yozx軸，而平面與坐標(biāo)平面yoz 平行，平面也與 x 軸垂直

22、，平面內(nèi)的所有點在x 軸上的射影都是同一點，即平面與 x 軸的交點，平面內(nèi)的所有點的橫坐標(biāo)都相等平面過點 a(2，3，1)，平面內(nèi)的所有點的橫坐標(biāo)都是2，平面的方程為x=2點評 ：對于空間直角坐標(biāo)系中的問題，可先回憶與平面直角坐標(biāo)系中類似問題的求解方法，再用類比方法求解空間直角坐標(biāo)系中的問題本題類似于平面直角坐標(biāo)系中，求過某一定點且與x 軸(或y 軸)平行的直線的方程【基礎(chǔ)達標(biāo)】1點(2,0,3)a在空間直角坐標(biāo)系的位置是（）ay 軸上b xoy 平面上cxoz平面上d yoz 平面上2在空間直角坐標(biāo)系中，下列說法中： 在 x 軸上的點的坐標(biāo)一定是(0, , )b c ；在 yoz 平面上的點

23、的坐標(biāo)一定可寫成(0, , )b c ；在 z軸上的點的坐標(biāo)可記作(0,0, )c ；在xoz平面上的點的坐標(biāo)是( ,0, )ac 其中正確說法的序號依次是（）abcd3結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖其中實點 代表鈉原子，黑點 代表氯原子建立空間直角坐標(biāo)系o xyz后，圖中最上層中間的鈉原子所在位置的坐標(biāo)是（）a1 1(,1)2 2b (0,0,1)c1(1,1)2d1 1(1,)2 24點( 1,2,1)a在 x 軸上的射影和在xoy 平面上的射影點分別為（）a ( 1,0,1)、 ( 1,2,0)b ( 1,0,0) 、 ( 1,2,0)c ( 1,0,0) 、 ( 1,0,0)d ( 1