自考線性代數(shù)重點總結(jié).doc

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載所以x 1第一章行列式.行列式的定義和性質(zhì) 1.余子式M j和代數(shù)余子式Aj的定義例1行列式011101110111第二行第一列元素的代數(shù)余子式A21(A.2B.1C. 1D. 2測試點余子式和代數(shù)余子式的概念解析答案B01111011110111102 1.A21( 1) M 212.行列式按一行或一列展開的公式n1) Aaij n aij Aj , j 1,2,L n;( Aaiji 1aij Aij , i j 11,2,L n)n2) aij Aiki 1kj nAk ikj; j 1 aj d0k i例2設(shè)某3階行列式的第二行元素分別為1,2,3,

2、對應(yīng)的余子式分別為3, 2,1則此行列式的值為.測試點 行列式按行（列）展開的定理2 12 22 3解 D ( 1) A21 2A22 3A23( 1)( 1) M21 2( 1) M22 3( 1) M 233 4 310例3已知行列式的第一列的元素為1,4, 3,2 ,第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4, x問x 測試點行列式的任意一行（歹U）與另一行（歹U）元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.解因第一列的元素為1,4, 3,2 ,第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4, x,故1 2 4 3 （ 3） 4 2x 0學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3.行列式的性質(zhì)1)ATA.2)3)互換行列式的任意兩行（列）所

3、得新行列式等于原行列式的相反數(shù).推論4)如果行列式中兩行（列）對應(yīng)元素成比例，則行列式值為0.5)行列式可以按任一行（列）拆開所得新行列式與原行列式的值相等而隊a132a112a122a13例4已知a21a22a233,那么a21a22a23a31a32a332a312 a322 a33行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上,6)(A.24B. 12用數(shù)k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的C.測試點解析2a112al22a13a11a12a13a21a22a232 ( 2)a21a22 a232a312a322a33a31a32a33行列式的性質(zhì)12.D. 12答案B例5設(shè)行

4、列式a1 b1a2b2=1a1a2C1C2=2,則a1a2b1b2C1C2A.3B.C. 1D.測試點行列式的性質(zhì)aia2bib2C1C2a1a2bib2a2C1C2故應(yīng)選 答案D二.行列式的計算1 .二階行列式和三角形行列式的計算2 .對一般數(shù)字行列式，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形行列式的計算3 .對行列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開4 .行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型5 .范德蒙行列式的計算公式例6求4階行列式1114113 112 111111的值.測試點行列式的計算(3)123233100233100203解249499(1)

5、 ( 1)(2)200499(1)(3)200409367677300677300607例7計算3階行列式367 67 70.123 23 3249 49 9xaaaaxaaaaxaaaax例8計算行列式:測試點各行元素之和為常數(shù)的行列式的計算技巧x 3ax 3ax 3a x 3a x 3a(x 3a)(x a)3.例9計算行列式Dn測試點行列式中有一行只有兩個元素不為零的行列式的計算和三角形行列式的計算解Dna b 0 L0 a b L0 0aLM M M O0 0 0 Lb 0 0 L=aA11n 1nn 1. nbAn1=aM11+b( 1) Mn1 a ( 1) b00L0100L20

6、例10計算行列式D6M M O MM05L0060L00解D60 0 L0 0 LM M N0 5 L6 0 L(6)(5)(4)1)3 M M O0 0 L0 0 L0 00 0M M 6!5 00 62231 x x x例11設(shè)D(x)12 481 3 9 271 4 16 64問(1) D(x)中，x3項的系數(shù)=?2)方程D(x) 0有幾個根？試寫出所有的根。測試點1.范德蒙行列式的判別和計算公式;2.行列式按行(歹U)展開的定理1 2 4解(1) x3項的系數(shù)A14 ( 1)5 1 3 91 4 16(3 2)(4 2)(4 3)2(2)因為 D(x) (2 x)(3 x)(4所以方程

7、D(x) 0有三個根：x1x)(3 2)(4 2)(4 3)2,x2 3,x34.第二章 矩陣一、矩陣的概念1 .要弄清矩陣與行列式的區(qū)別2 .兩個矩陣相等的概念3 .幾種特殊矩陣(0矩陣，單位陣,三角陣，對角陣，數(shù)量陣)二、矩陣的運算1.矩陣A, B的加、減、乘有意義的充分必要條件一一1 2例1設(shè)矩陣A (1,2), B, C3 4A. ACBC. BAC測試點：矩陣相乘有意義的充分必要條件答案：BB. ABCD. CAB,則下列矩陣運算中有意義的是(例2設(shè)矩陣A1 0 00 2 1 ，則 A 2B0 0 10 1 3測試點：矩陣運算的定義1 2 0解 A 2B 2 1 00 0 112例3

8、設(shè)矩陣A , B ，則A B23測試點：矩陣運算的定義丘 T2解 A B (1,2) 38.2.矩陣運算的性質(zhì)比較矩陣運算(包括加、減、數(shù)乘、乘法等)的性質(zhì)與數(shù)的運算性質(zhì)的相同點和不同點(加法的交換律和結(jié)合律；乘法關(guān)于加法的分配律；)重點是矩陣乘法沒有交換律(由此產(chǎn)生了矩陣運算公式與數(shù)的運算的公式的不同點.(A B)2 A2+ABBA B2 ;(A B)(A-B)A2 + BA-AB- B2;(AB)k ABABL AB AkBk;如果AB O ,可能A O, B O.例如A(A E)2 A2 2A E12 2上一，B都不為零，但AB O.11'2 23.轉(zhuǎn)置 對稱陣和反對稱陣1)轉(zhuǎn)置

9、的性質(zhì)(A B)T AT BT;( A)TAT;(ABC)T CTBTAT2)若AT A(ATA),則稱A為對稱(反對稱)陣例4矩陣A, B,C為同階方陣，則(ABC)T=()A. ATBTCTB. CTBTATC. CTATBTD. ATCT BT答案：B(1,2,3),(1, 1,1),令 A T,試求A5.測試點矩陣乘法的一個常用技巧解因為，所以A5T(T)(T)(T)(T)T)5(1,1,1)5(1, 1,1)25321答案 32 2例6A為任意n階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是(A. A ATB. AATC. AATD. ATA解析(a AT)TAT (AT)T AT A A AT

10、.故 AAT為對稱陣.答案B(A AT)T(AAT)T例7已知矩陣AAT A (A AT).故A AT為反對稱陣.AAT .故AAT為對稱陣.同理ATA也為對稱陣.E為2階單位矩陣，令BA23A 2E,求 B測試點方陣多項式的概念；B A23A2E4.方陣的行列式的性質(zhì)ATAkA；ABAB;1|A例7設(shè)A為n階方陣，為實數(shù)，則 A=(歡迎下載A.學(xué)習(xí)好資料B.C.D.答案：C例8矩陣A24，b2T,則行列式ATB5解析ATBATB1A1(©A答案5.逆矩陣1）方陣A可逆（也稱非異,A滿秩）的充分必要條件是A 0 .當A可逆時,1 AA.其中方陣A的伴隨陣A的定義An特別當adbc 0

11、 時,A.1A22MA2nAn1An2oMad bc重要公式AA A AAE； AA與A1的關(guān)系2）重要結(jié)論:若 n階方陣A, B滿足AB E ,則A,B都可逆,B, B 1 A.3）逆矩陣的性質(zhì):11(A 1) 1 A;當 0時,(A) 111_1_ 11-A 1;(AB) 1 B 1A (AT)(A1)T; A4）消去律：設(shè)方陣 A可逆，且ABAC(BA CA),則必有（若不知A可逆,僅知A 0結(jié)論不一定成立。）6.分快矩陣 矩陣運算時，分快的原則：保證運算能順利進行（包括分塊矩陣和子塊的運算）B1A % A2 A3 B B AB 入?yún)^(qū)A12B2A13B3A21A22A23 , D2 ,A

12、21B1A22B2A23B3B3學(xué)習(xí)好資料歡迎下載A11A21MAm1AI2 A22MAm2LL OLAkA2kMAmkTAT1A|2MAkA21LAm1Am2MAmkA22MA2kLOL準對角陣的逆矩陣：如果A,A2,l,Ak都是可逆陣，AO L1OA1O LOOa2 lOOA21LOMM OMMM OM分快矩陣的運算規(guī)則；特別是分快矩陣的轉(zhuǎn)置LOOAkOOL則二階矩陣，則 A =(A.B.C.D.測試點伴隨矩陣的定義,二階方陣的伴隨陣答案：A2 3例10三階陣A測試點重要公式1 0 02 2 0 ,則 A A3 3 3AA A A A E.例11 A解 A6 0 0答案6E0 6 00 0

13、 62 0 03 6 3 ,則 A5 3 2A316236例12設(shè)A為2階可逆矩陣，且已知(2A)，則 A =(B.1A. 23學(xué)習(xí)好資料歡迎下載551C. 23D.測試點逆矩陣的性質(zhì)解由(2A) 1，所以2A答案 D例13設(shè)A測試點求逆矩陣的方法AE101100+(- 2)(1)101100210010(3)+3(1)0122103250010223011(2)(2)02所以A 15例14 已知A2 2A8EO,則（AE) 1測試點關(guān)于逆矩陣的重要推論若A,B都是n階矩陣，且滿足ABEn，則A,B都可逆，且AB,B 1A.解由 A2 2A 8E 。得 A2 A3A 3E 5E 0,即(AE)

14、(A3E)即（A E）(A 3E)11E) 1 (A 3E).學(xué)習(xí)好資料歡迎下載1答案(A E)(A 3E).5例15設(shè)A是n階方陣，且(A E)2 O ,證明A可逆.測試點 若AB E則A,B都可逆，且A 1 B,B 1 A.22證因為(A E)。，即 A 2A E 0,所以 A(A 2E) E故A可逆，且A1 (A 2E).例16設(shè)n階方陣A滿足Am O,其中m為正整數(shù)，證明E A可逆，且(E A) 1 E A A2 L Am 1分析只要檢查(E A)( E A A2 L Am1) E即可證因為(E A)(E A A2 L Am1)EA AA2A2 LAmE Am E.故 (E A) 1E

15、 AA2LAm 1三、矩陣的初等變換和初等矩陣1 .初等變換的定義和性質(zhì)稱矩陣的下列三種變換為初等行變換：(1)兩行互換；(2)某一行乘一個非零的數(shù)；(3)某一行的k倍加到另一行上。類似地可定義初等列變換，初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為初等變換方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？(分別就三種初等變換說明行列式變化的情況)初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換Er O必能將矩陣 A化為標準形r ,其中r為矩陣A的秩.O O如果矩陣A經(jīng)過有限次的初等變換變成B,則稱矩陣A與B等價.等價矩陣有相等的秩，從而有相等的等價標準形.2 .初等矩陣的定義和

16、性質(zhì)1)初等矩陣的定義；初等陣都可逆，且其逆也是同類型的初等陣.2)初等變換和矩陣乘法之間的關(guān)系3)對任意m n階矩陣A,總存在一系列 m階初等陣P1,P2,L ,Pk和一系列n階初等陣Q1,Q2,L ,Qi,使得PP2L PkAQ1Q2L QlEr OO O4）矩陣m n階A與B等價的充分必要條件是存在一系列m階初等陣Pi,P2,L ,Pk和一系列n階初等陣Qi,Q2,L ,Q1,使得 P1P2L RAQ1Q2L QiB.例17下列矩陣中，是初等矩陣的為（）011A. 1 0B.1 0 10 0 0 0 1100010C.0 1 0D.0 0 3101100測試點初等矩陣的定義和性質(zhì)1 0解

17、析C. 0 11 000是由單位矩陣經(jīng)第三行加第一行得到的，故是初等矩陣。1答案C例18設(shè)三階矩陣A.叫a13a21a22a23，若存在初等矩陣P,使得a31a32a33paa112 a31a21a31a122 a32a22a32a132 a33a23,貝u Pa33100A.010B.2011 02010C.0 01D.測試點矩陣的初等變換和用初等矩陣乘的關(guān)系 答案B四、矩陣的k階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法1矩陣的k階子式的概念2矩陣秩的概念 定義。矩陣的秩為0,對于非零矩陣 A,如果有一個r階子式不等于0,而所有的r 1階子式（如果有的話）都等于 0,則稱矩陣A的秩為r .顯然n階

18、可逆矩陣的秩等于 n ,故可逆陣又稱是滿秩的.階 梯形矩陣的秩等于其非零行的個數(shù).3 .等價矩陣有相等的秩（初等變換不改變矩陣的秩）；從而矩陣A左乘（右乘）可逆陣其秩不變 .反之兩個同形矩陣只要秩相等，則二者必等價.4 .求矩陣秩的方法例19設(shè)矩陣A101 0023 4 ,則人中(A.所有2階子式都不為零C.所有3階子式都不為零B.所有2階子式都為零D.存在一個3階子式不為零測試點矩陣的k階子式的概念答案D例20設(shè)矩陣AA E ,則矩陣B的秩r（B）測試點矩陣秩的概念0 0 1解 B A E 0 100 0 0答案 r（B） 21 2例21設(shè)矩陣A 4 83 6（1）秩（A） 1;（2）秩（A

19、） 2.測試點求矩陣秩的方法134 12 ,問a為何值時,3 a1213(2) ( 4)(1)A 4 84 12(3) ( 3)(1)363a12130 0000 0 0 a 912130 0 0 a 90 000所以當a 9時，秩（A） 1;當a9時，秩（A）AC的秩為例22設(shè)A為m< n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣 A的秩為r ,則矩陣B測試點用可逆矩陣左（右）乘任意矩陣 A,則A的秩不變.答案 r例23設(shè)3階方陣A的秩為2,則與A等價的矩陣為（）111111A.0 0 0B.0 1 1000000111C. 222000答案 B111D. 222333測試點 矩陣等價的概念；等價矩

20、陣有相等的秩；反之同形的兩個矩陣只要其秩相等，必等價 解 因為A,C,D的矩陣的秩都為1, B的矩陣的秩等于 2.故答案應(yīng)為B.五、矩陣方程的標準形及解的公式_1 _AX BX A B;_1XA BX BA ;11A1XA2 B X A11BA21.2 1例24設(shè)矩陣A, B5 3測試點解矩陣方程的方法,求矩陣方程XAB的解X .X BA13 1312 0 A' 5 212 562驗算!例25設(shè)A,B均為3階矩陣，E為3階單位矩陣，且滿足：ABEA2 B .若已知A10 ，求矩陣1B.測試點解矩陣方程的方法 解因為 AB E A2 B,故 AB B A2 E 從而(A E)B A2 E

21、 (A E)(A E),又0 01010 ,顯然A E可逆，應(yīng)用消去律得1 0 0201BAE 0301 0 2101201驗算 AB E0 200301 011 02學(xué)習(xí)好資料歡迎下載30310040 30600 1 00 7 03 030 0 13 042022014032_-A B 0400300702 021 023 04所以確有 AB E A2 B,.2 33101 1120 八-、，例 26 已知 ABCD矩陣X滿足萬程10'21'120'101'AX BX D C ,求 X。測試點求矩陣方程的解解由 AX BX DC 得（A B）X D C故 X

22、(A B) 1(D C)其中A B1 1，D12 1311102 11213 11102 11213 10115 21213 10 115210 1730 1152所以 X驗算第三章 向量空間一、n維向量線性運算的定義和性質(zhì)；例 1.已知 1 5 2 2 3 其中，1(3,4, 1), 2則3.測試點n維向量線性運算的定義和性質(zhì)解因為1 5 2 2 3，所以031T 2( T1T5 T) 2 245 0513一一 .11故 3 (1, 1,萬)(請驗算)入11答案 3 (1, 1,萬).例 2 設(shè)向量 1(1,1,1T, 2(1,1,0)T, 3 (1,0,0)T,(1,0,3),(0,2,

23、5),11112(0,1,1)T,則由1, 2, 3線性表出的表示式為測試點向量由向量組線性表示；組合系數(shù)的求法解考慮X1 1 X2 2X3 3該線性方程組的增廣矩陣11100 1110 0 111110110 110 0 111010 10 00 0 1111100 01 1011110 010 1000 0 11所以答案13(驗算!)二、n維向量組的線性相關(guān)性1.向量組的線性相關(guān)性的定義和充分必要條件:1)定義：設(shè)1, 2,L , m是一組n維向量.如果存在m個不全為零的數(shù)1, 2,L , m ,使得學(xué)習(xí)好資料歡迎下載112 2 L mm 0，則稱向量組1, 2,L , m線性相關(guān)，否則，

24、即如果 112 2 L m m 0,必有12 L m 0,則稱向量組 1, 2,L , m線性無關(guān).2） m個n維向量1, 2,L , m（m 2）線性相關(guān)的充分必要條件是至少存在某個i是其余向量的線性組合即1, 2,L , m（m 2）線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意一個向量都不能表示為其余向量的線性組合例3設(shè)向量組1, 2,L , s線性相關(guān)，則必可推出（）A. 1,2,L,s中至少有一個向量為零向量B. 1,2,L,s中至少有兩個向量成比例C. 1,2,L,s中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合D. 1,2,L,s中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合測試點向量組線性相關(guān)的概

25、念答案C 例4向量組1, 2,L , s線性無關(guān)的充分條件是A. 1,2,L,s都不是零向量B. 1,2,L,s中任意兩個向量都不成比例C. 1,2,L,s中任意一個向量都不能表為其余向量的線性組合D. 1,2,L,s中任意s 1個向量都線性無關(guān)測試點向量組線性相關(guān)的概念；充分條件；必要條件；充分必要條件八12 上 ，解 1,2都不是零向量，但1, 2線性相關(guān).12，且其中任意3 12個向量都線性無關(guān)131中任意兩個向量都不成比例30但1, 2, 3線性相關(guān).故A,B,D都不正確.答案C例5.設(shè)向量組1, 2線性無關(guān)，證明向量組112, 212也線性無關(guān)測試點向量組線性無關(guān)的定義；證設(shè) k1

26、1 k2 2 0因為112, 212則k1（ 12）k2（ 12）0即（k1 k2）1 （k1 k2）2 0k1 k20因為1, 2線性無關(guān)，故,所以只能k1k20.k1 k20例6.若向量組1(3,1,a), 2這表明若k1 1k2 20,必有k1k20 .據(jù)向量組線性無關(guān)的定義，知1, 2也線性無關(guān)（4, a,0）, 3（1,0, a）線性無關(guān)，則a可能的取值應(yīng)滿足測試點n個n維向量線性無關(guān)0;3 4 1341(3) ( a)(1)1 a 01a 0a 0 a2a 4a 0相應(yīng)的行列式T34a 2a22a(a 2) 0所以0,2.答案a 0,且 a2.2.關(guān)于線性相關(guān)的幾個定理1）如果向量

27、組m線性無關(guān)m,線性相關(guān)，則可由 1, 2,L , m線性表示，且表示法唯一.2）線性相關(guān)的向量組再增加向量所彳#的新向量組必線性相關(guān).（部分相關(guān)，則整體相關(guān)；或整體無關(guān)，則部分無關(guān)）3）若向量組i （ai1,ai2,L ,ain）,i 1,2,L ,m線性無關(guān)，則接長向量組i (ai1 ,ai2 ,L , ain , ai(n 1) ), i 1,2,L ,m必線性無關(guān).3.判斷向量組線性相關(guān)性的方法1） 一個向量 線性相關(guān)0;2）含有零向量的向量組必線性相關(guān)；3）向量個數(shù)=向量維數(shù)時，n維向量組1, 2,L , n線性相關(guān)A | 12 L n|0.4）向量個數(shù)向量維數(shù)時，向量組必線性相關(guān)；

28、5）部分相關(guān)，則整體必相關(guān)；（整體無關(guān)，則部分必?zé)o關(guān)） .6）若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；7）向量組線性無關(guān)向量組的秩=所含向量的個數(shù)，向量組線性相關(guān)8）向量組1, 2,L n線性相關(guān)（無關(guān)）的充分必要條件是齊次方程組向量組的秩所含向量的個數(shù)有（沒有）非零解.X1 1X2 2 L Xn n 0例7.設(shè)n維向量組1, 2,L , m（m 2）線性無關(guān)，則A.組中減少任意一個向量后仍線性無關(guān)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載B.組中增加任意一個向量后仍線性版 mC.存在不全為零的數(shù) k1,k2,L ,km,使 ki i 0 i 1D.組中至少有一個向量可以由其余向量線性表出 解析 因為若向量組線性

29、相關(guān)，則增加任何一個向量后仍線性相關(guān)，其等價的定理是向量組相性無關(guān)，則組(a2,b2,C2, d2),下列命題中正確的是中減少任意一個向量后仍線性無關(guān)答案A例8設(shè)向量i由。)，2( )A若1, 2線性相關(guān)，則必有B.若1, 2線性無關(guān)，則必有C.若1, 2線性相關(guān)，則必有D.若1, 2線性無關(guān)，則必有答案B(a2, b2,C2), 1 (a1,bi,C1,d1), 21, 2線性相關(guān)1, 2線性無關(guān)1, 2線性無關(guān)1, 2線性相關(guān)例9.設(shè)向量組1, 2, 3線性無關(guān)，而向量組 2, 3, 4線性相關(guān).證明：向量4必可表為1, 2, 3的線性組合.測試點 關(guān)于線性相關(guān)性的幾個定理證1因為2, 3

30、, 4線性相關(guān)，故 1, 2, 3, 4線性相關(guān)，又因為 1, 2, 3線性無關(guān)，所以4必可表為1, 2, 3的線性組合.證畢.證2因為1, 2, 3線性無關(guān)，故2, 3必線性無關(guān)，又因為2, 3, 4線性相關(guān)故4必能由2, 3線性表示，當然可表為 1, 2, 3的線性組合.證畢.三、向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩1 .極大無關(guān)組的定義：設(shè)1, 2,L ,r是向量組T的一個部分組.如果(1) 1, 2,L , r線性無關(guān)；(2)任給 T ,都有,1, 2,L , r線性相關(guān)，則稱 1, 2,L , r是向量組T的一個極大無關(guān)組.2 .向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組，并將

31、其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法1 0例10 A 13的行向量組的秩 .16測試點矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系答案 2例11設(shè)1, 2, 3, 4是一個4維向量組，若已知4可以表為 1, 2,3的線性組合，且表示法惟一，則向量1, 2, 3, 4的秩為(A. 1B.C. 3D.測試點(1)向量組的秩的概念;(2)向量由向量組線性表示的概念(3)向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念因為4可以表為3的線性組合，且表示法惟一，必有1,3線性無關(guān)，因為0，由4可以表為1,2,3的線性組合，即k1 1 k2 2k3 30k1 1k22k3(K1) 1 (k2(k3由表示法惟一，有k1k1, k2k2,

32、 卜3k3于是有10，故3線性無關(guān)，又4可以表為1,2,3的線性組合，所以1 , 2, 3為向量組1, 2,4的一個極大無關(guān)組，故向量組2, 3, 4的秩為3.答案C例12設(shè)向量組1(1, 1,2,1)T, 2(2, 2,4, 2)T,3(3,0,6,1)T,4(0,3,0, 4)T(1)求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組;(2)將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合測試點求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法(2) (1)(3) ( 2)(1)(4) ( 1)(1)所以(3)(3)(1)(3)2)(2)原向量組的秩為32, 3為所求的極大無關(guān)組學(xué)習(xí)好資料歡迎下載四、

33、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一紐靠示而巫標1 . n維向量空間的定義：n維實向量的全體構(gòu)成的集合稱為n維向量空間，記為 Rn.2 .子空間的定義：設(shè) V是Rn的一個非空子集，且滿足對加法運算和數(shù)乘運算封閉，則稱V是Rn的一個子空間，簡稱為向量空間V .3.生成子空間的定義：設(shè)1, 2,L , m Rn,則由它們的所有線性組合構(gòu)成Rn的一個子空間，稱它為由1, 2 , L , m生成的子空間例 13 設(shè) Vi x (Xi,X2,X3,0) Xi,X2,X3V3 X (x1，X2,L ,Xn) X1 X2 LXn解析 在V1中，任取(X1,X2,X3,0),R, V2 X(X1,X2,X3,1)

34、X1 ,X2,X3 R0,說明哪個是子空間，那個不是.(y1，y2, y3,0) (,k為任意數(shù),都有(X1 y1, X2 y2, X3 y3,0) Vk(kX1, kX2, kX3,0) V1所以V1是子空間.類似地，可以證明 V3 x (X1, x2,L , Xn) X1 x2 L Xn 0也是子空間.但對 V2 x (X1，X2，X3,1)X1，X2，X3R,取 (1,0,0,1),(0,1,0,1)都屬于 V2,而(1,1,0,2) V2.這表明V2對加法運算不封閉，故 V2不是子空間4.向量空間的基和維數(shù)的定義向量空間V的一個向量組1, 2,L , r線性無關(guān)，且V中每個向量都能由它

35、線性表示，則稱它為向量空間的一個基.零空間0沒有基，定義它為0維，否則，稱向量空間的基所含向量個數(shù)r為該空間的維數(shù).設(shè)X1 1 X2 2 LXr r稱(x1,x2,L ,xr)為 在這組基下的坐標.例14向量空間V X (X1,X2,0) X1,X2為實數(shù)的維數(shù)為.測試點向量空間維數(shù)的概念解容易看出(1,0,0),(0,1,0)是V的一個基。答案 2例15證明向量組1(1,1,1), 2 (1,2,0), 3 (3,0,0)是R3的一組基，則向量 (8,7,3)在這組基下的坐標是.測試點向量在一組基下的坐標學(xué)習(xí)好資料歡迎下載解因為3線性無關(guān)，所以它是R3的一組基.考慮TTx1 1 X2 2X3

36、該線性方程組的增廣矩陣為所以答案例16X13, X22, X31.(8,7,3)在這組基下的坐標是(3,2,1).求由向量組1(1,1,1), 2(3,2,1)(1,2,0),(即3 (2,3,1)生成的子空間的一個基，并說明該生成子空間的維解析顯然 1(1,1,1), 2 (1,2,0)是 1(1,1,1), 2 (1,2,0), 3 (2,3,1)的一個極大無關(guān)組，故是由向量組 1(1,1,1), 2 (1,2,0),(2,3,1)生成的子空間的一個基，所以該子空間的維數(shù)等于2.第四章線性方程組、線性方程組的三種表示方法1.a21X1a12X2a21X2An%a2nXnb2a11a12La

37、nbiK2. Axb,其中Aa21a22La2n ,bb22 ,XX2MMOMMMam1am2LannbmXnam1X1am2X2LamnXnbm其中j沏a2jM(jZL,n)amj二、齊次線性方程組1 .齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組AX 0有非零解的充分必要條件是 r（A）未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣 A的列數(shù)）.2 ） n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組 AX 0有非零解的充分必要條件是 A 0.3）設(shè)A是mn階矩陣.若m n ,則齊次方程組 AX 0必有非零解.（這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要）例1.設(shè)A為m n矩陣，齊次線性方程組 Ax 0有非零解的充分必要條件是A. A的列向

38、量組線性相關(guān)B. A的列向量組線性無關(guān)C. A的行向量組線性相關(guān)D. A的行向量組線性無關(guān)測試點齊次方程組有非零解與列向量組線性相關(guān)的關(guān)系 答案A 例2.設(shè)A是4X3矩陣，若齊次線性方程組 Ax 0只有零解，則矩陣 A的秩r（A）測試點1.齊次方程組只有零解的充分必要條件；2根據(jù)系數(shù)矩陣的階數(shù)，確定方程的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù)解析 線性方程組 Ax b的系數(shù)矩陣A的行數(shù)等于方程的個數(shù)，列數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)因為A是4X3矩陣,故方程組 Ax 0的未知數(shù)的個數(shù)n 3 ,故方程組Ax 0只有零解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩n 3.答案 r(A) 3例3.齊次線性方程組XiX2解析X1X22X1X2XiX2

39、X3X12x1X2X2X3X3X3X3X300有非零解00有非零解，則4)故因為答案X1X12x1X2X2X2X3X3X31或 4.00有非零解，則4.(2) (1)(3) ( 1)(1)1)(例4 3元齊次方程組X2X3測試點齊次方程組的基礎(chǔ)解系(定義；含幾個解向量；求法)解因為齊次方程組的系數(shù)矩陣為1 0，= 一人的秩為2,未知數(shù)的個數(shù)為3,所以其基礎(chǔ)解系含3 2 1個11解.答案 1例5已知1, 2,3,4是齊次方程組Ax0的一個基礎(chǔ)解系，則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以選用2.齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1)齊次方程組解的性質(zhì)設(shè),者B是Ax 0的解，則C1C2也是Ax 0的解(G,。為任意常數(shù))2)齊

40、次方程組AX 0的基礎(chǔ)解系的概念設(shè)1, 2,L , s是齊次方程組 AX 0的一組解.如果它滿足：(1) 1, 2,L , s線性無關(guān)；(2) AX 0的任何一個解都可以表示為 1, 2,L , s的線性組合，則稱1, 2,L , s為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系.如果齊次方程組有非零解(即r(A) n),則它有基礎(chǔ)解系.重要結(jié)論：齊次方程組 AX 0的基礎(chǔ)解系含n r( A)個線性無關(guān)的解；齊次方程組 AX 0的任意n r(A) 個線性無關(guān)的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎(chǔ)解系；3)齊次方程組AX 0的基礎(chǔ)解系的求法 =0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為0A. 12 , 2B. 12, 23, 34, 41

41、, 2 , 3,4等秩的向量組1,2, 3 , 41,2,3,4等價的向量組1,2 , 3, 4測試點1.齊次方程組的基礎(chǔ)解系特別是若齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系含4個解，則它的任意4個線性無關(guān)的解都是它的基礎(chǔ)解系；2.判斷向量組線性無關(guān)的方法；3.等價的向量組有相等的秩；等價與等秩的區(qū)別4, 齊次方程組解的性質(zhì).解 因為1, 2, 3, 4是齊次方程組 AX 0的一個基礎(chǔ)解系，故1, 2, 3, 4都是齊次方程組 AX 0的解， 因為1, 2,3, 4與1, 2,3,4等價，故1, 2 , 3 , 4能由1, 2 , 3 , 4線性表不，故1, 2, 3 ,4也都是Ax 0的解.又因為1, 2,

42、3,4線性無關(guān)，所以該向量組的秩 =4,又因為等價的向量組有相等的秩 ，所以1, 2, 3, 4的秩也等于4,所以1, 2, 3, 4也線性無關(guān).故1, 2, 3, 4也是AX 0的基礎(chǔ)解系.所以D正確.答案D例6.設(shè)m< n矩陣A的秩r(A) n 3(n 3),是齊次線性方程組Ax 0的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系為()A.,B.,C.,D.,知識點齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念及所含解向量的個數(shù)；向量組線性相關(guān)性的判別解顯然A,B,C選項中的三個向量都是線性相關(guān)的，而齊次方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)由線性無關(guān)的向量組組成答案 D3)齊次方程組AX 0的通解公式 如果1, 2,

43、L , nr是AX 0基礎(chǔ)解系，則它的通解為xCi1C22 LCnr n r ,其中C1,C2,L,Cn.為任意數(shù).x1x2x5 0例6求齊次線性方程組x1x2x30的基礎(chǔ)解系及通解x3x4 x50測試點求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法110 0 1解 A 1 110 00 0111110 010 01010 0 111110 0 10 0 10 10 0 0 1 011取 10 . 200取x1，x3,x4為約束未知數(shù)，x2，x5為自由未知數(shù)10該齊次方程組的通解為1為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系0111100 k21 （k1,k2為任意數(shù)）00三.非齊次方程組1.非齊次方程組解的性質(zhì)1)設(shè)1,

44、2都是Axb的解，則i2是它的導(dǎo)出組Ax 0的解.2)設(shè)1, 2都是Axb的解，則當kik2 1時，kii k2 2也是Axb的解.3)設(shè) 是Ax b的一個解，是它的導(dǎo)出組 Ax 0的解，則 是Ax b的解.例7已知x1 (1,0, 1)T,x2 (3,4,5)T是3元非齊次線性方程組 Ax b的兩個解向量，則對應(yīng)齊次線性方程組Ax 0有一個非零解向量 .測試點線性非齊次方程組解的性質(zhì)解x2 x1 (2,4,6) T答案(2,4,6)T例8設(shè)齊次線性方程 Ax 0有解，而非齊次線性方程且 Ax b有解，則是方程組 的解。測試點線性方程組解的性質(zhì)答案 Ax b2.關(guān)于非齊次方程組解的討論Ab是增

45、廣矩陣定理n個未知數(shù)，m個方程的線性方程組 AX b中，(系數(shù)矩陣A是m n階矩陣)A則1)當且僅當r(A)r(A)n(未知數(shù)的個數(shù))時，方程組AXb有惟一解；2)當且僅當r(A)r(A)n(未知數(shù)的個數(shù))時，方程組AXb有無窮多解;3)當且僅當r(A) r( A)時，方程組 AX b無解.從以上定理可見1)線性方程組AXb有解的充分必要條件是 r(A) r(A).2)當線性方程組 AX b,方程的個數(shù)=未知數(shù)的個數(shù)時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式1231021200 a(a 1) a 1A 0.例9已知某個3元非齊次線性方程組 Ax b的增廣矩陣 A經(jīng)初等行變換化為：A若方程組無解，則 a的取值為.測試點1.增廣矩陣A經(jīng)初等行變換變成 B,則以B為增廣矩陣的線性方程組與原方程組通解2.非齊次方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩學(xué)習(xí)好資料歡迎下載解 當a 0時，r(A) 2,r(A) 3,故