(完整word版)2013年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)卷2試題與答案word解析版(2),推薦文檔

1、2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 1頁(yè) 2013 年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類 (全國(guó)新課標(biāo)卷 II) 第I卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的. 1. (2013 課標(biāo)全國(guó) U,理 1)已知集合 M= x|( x 1)2v4, x R , N= 1,0,1,2,3，則 MH N 二( ). A. 0,1,2 B . 1,0,1,2 C . 1,0,2,3 D . 0,1,2,3 2. (2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 2)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足(1 i) z = 2i，則 z =( ). A. 1 + i B

2、 . 1 I C . 1+ i D . 1 i 3 . (2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 3)等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 S.已知 a?+ 10a1，as= 9,貝U a 二( ). 1111 3 C . 9 D . 9 4 . (2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 4)已知 m n 為異面直線，ml平面a, n 丄平面 丄 m l 丄n, I 芒 a , K- B,則( ). A.aB 且 l Ha B .a 丄B 且 l 丄B C.a與B相交，且交線垂直于 l D .a與B相交，且交線平 行于 l 5. (2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 5)已知(1 + ax)(1 + x)5的展開式中 x2的系數(shù)為 5,

3、則 a=( ). A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 6 . (2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 6)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的 N= 10,那么 輸出的 S=( ). 1 1 1 1 + - -L A 2 3 10 ,1 1 , 1 L B. 2! 3! 10! ,1 1 , 1 1 + - L C 2 3 11 1 1 1 1 + L D . 23! 1 7 . (2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 7) 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 O xyz 中的坐標(biāo)分別是 (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以 zOx 平面為投

4、 影面，則得到的正視圖可以為( ).B .直線 l 滿足 l A=ltS=0h7=l S=S+T k=k+l /輸出S 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 2頁(yè) 8. (2013 課標(biāo)全國(guó) n, 理 8)設(shè) a= log 36, b= log 5I0, c= Iog7l4,則( ). A. cba B . bca C . acb D . abc x 1, x y 3, 若 z= 2x + y 的最小 y ax 3 . 10. (2013 課標(biāo)全國(guó) n,理 10)已知函數(shù) f (x) = x3+ ax2 + bx+ c, A. x0 R, f(x0) = 0 B. 函數(shù) y= f(x)的圖像

5、是中心對(duì)稱圖形 C若 x0 是 f(x)的極小值點(diǎn)，貝 U f(x)在區(qū)間(一, x0)單調(diào)遞減 D.若 x0 是 f(x)的極值點(diǎn)，貝 U f (x0) = 0 11. (2013 課標(biāo)全國(guó) n,理 11)設(shè)拋物線 C: y2 = 2px(p 0)的焦點(diǎn)為 F,點(diǎn) M 在 C 上, | MFf = 5,若以 MF 為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則 C 的方程為( ). A. y2 = 4x 或 y2 = 8x B . y2 = 2x 或 y2 = 8x C. y2 = 4x 或 y2 = 16x D . y2 = 2x 或 y2 = 16x 12)已知點(diǎn) A - 1,0) , B(1,0) ,

6、C(0,1)，直線 y= ax+ b(a 0)將 13 題第 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。 第 22 題第 24 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分. uuu uuu 13. (2013 課標(biāo)全國(guó)n,理 13)已知正方形 ABCD 勺邊長(zhǎng)為 2, E 為 CD 的中點(diǎn)，貝U AE BD 14. (2013 課標(biāo)全國(guó)n,理 14)從 n 個(gè)正整數(shù) 1,2，n 中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若 取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為 丄，則 n= _ . 14 n 1 15. （2013 課標(biāo)全國(guó)U,理9. (2013 課標(biāo)全國(guó)n,理 9)已知 a 0

7、, x, y 滿足約束條件 值為 1,則 a=( A. 4 B ). 2 C . 1 D . 2 ABC 分割為面積相等的兩部分，b 的取值范圍是( 2 1 A. (0,1) 2 2 32 F 列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( 12. (2013 課標(biāo)全國(guó)n,理 本卷包括必考題和選考題兩部分，第 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 3頁(yè) 15）設(shè)B為第二象限角，若tan ,則 sin 9 + cos 9 4 2 16. （2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 16）等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 S,已知 S = 0, $5= 25,則 nS的最小值為 _ . 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 1

8、7. （2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 17）（本小題滿分 12 分） ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 a= bcos C+ csin B. （1）求 B; 若 b= 2,求厶 ABCS積的最大值.2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 4頁(yè) 18. （2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 18） （本小題滿分 12 分） 如圖， 直三棱柱 是 AB, BB 的中點(diǎn)，AA=AO CB=二2 AB . 2 （1）證明：BG/平面 ACD 求二面角 D- AiC- E 的正弦值. 19. （2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 19）（本小題滿分 12 分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季

9、度 內(nèi)，每售出 1 t 該產(chǎn)品獲利潤(rùn) 500 元，未售出的產(chǎn)品，每 1 t 虧損 300 元.根據(jù)歷史資料, 得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了 130 t 該農(nóng)產(chǎn)品.以 X（單位：t,100 Xb0)右焦點(diǎn)的直線x y ,3 0交 M 于 A, B 兩點(diǎn)，P 為 AB 的中點(diǎn)，且 OP 的 b 斜率為-. 2 (1) 求 M 的方程； (2) C, D 為 M 上兩點(diǎn)，若四邊形 ACBD 勺對(duì)角線 CDLAB,求四邊形 ACB面積的最大值. 21. (2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 21)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f (x) = ex ln(

10、x + m). (1)設(shè) x = 0 是 f (x)的極值點(diǎn)，求 m,并討論 f (x)的單調(diào)性； 當(dāng) m 0.2 x 2 a 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 6頁(yè) 將 M 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d 表示為a的函數(shù)，并判斷 M 的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn). 請(qǐng)考生在第 22、23、24 題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng) 寫清題號(hào). 22. （2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 22）（本小題滿分 10 分）選修 4 1:幾何證明選講 如圖，ABC 外接圓的切線，AB 的延長(zhǎng)線交直線 CD 于點(diǎn) D, E, F 分別為弦 AB 與弦 AC 上的點(diǎn)，且BC- AE= DC- AF，

11、B, E，F(xiàn)，C 四點(diǎn)共圓. 證明：CA ABC 外接圓的直徑； 若 D 吐 BE= EA 求過(guò) B，E，F(xiàn)，C 四點(diǎn)的圓的面積與 ABC 外接圓面積的比值. 23. （2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 23）（本小題滿分 10 分）選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 x 2cos t 已知?jiǎng)狱c(diǎn) P, Q 都在曲線C: . ，（t 為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為 t =a與 t = 2 a （0 V a V2n ） , M 為 PQ 的中點(diǎn). （1）求 M 的軌跡的參數(shù)方程; 24. （2013 課標(biāo)全國(guó)U,理 24）（本小題滿分 10 分）選修 45:不等式選講 設(shè) a, b, c 均為正數(shù)，y 2sint

12、2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 7頁(yè) 且 a+ b+ c = 1,證明： 1 (1) ab+ bc + ac 3 1.2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 8頁(yè) 2013 年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類 (全國(guó)新課標(biāo)卷 II) 第I卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的. 1. 答案：A 2 解析：解不等式（X 1） 4,得一 1vxv3, 即卩 M= x| 1vxv3.而 N= 1,0,1,2,3, 所以 MA N= 0,1,2，故選 A. 2. 答A 解析： 2i 2i 1 i 2 2i z=

13、- 1 + i. 1 i 1 i 1 i 2 3. 答C 解設(shè)數(shù)列an的公比為q,若q- 1,則由a5 9,得a1- 9,此時(shí)S3 27,而a2 + 10a1 99, 不滿足題意，因此 1. Tql 時(shí)，S3= a1(1_= a1 q+ 10a1， 1 q =q+ 10,整理得 q2= 9. a5= a1 q = 9， 即卩 81a1 = 9， a1 =-. 9 4. 答案：D 解析：因?yàn)閙l a，l 丄 m，l a,所以 I /a .同理可得 I . 又因?yàn)?m n 為異面直線，所以a與B相交，且 I 平行于它們的交線.故選 D. 5. 答案：D 解析：因?yàn)?1 + x)5的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

14、為 C；xr(0 r N,輸 當(dāng) k = 2 時(shí)，T 當(dāng) k二 37 1 10! 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 10頁(yè) 答案：A 解析：如圖所示，該四面體在空間直角坐標(biāo)系 O xyz 的圖像為下圖: 則它在平面 zOx 上的投影即正視圖為 8. ,故選 A. 答D 解析： 根據(jù)公式變形， a lg6 1 lg2， b gio 1 2 lg3 lg3 lg 5 lg5 lg 5 lg 3，所以 lg2 lg2 必，即 c v bv a. 故選 lg7 lg5 lg3 D. 9. 答案： B 解析： 由題意作:1, 所表示的區(qū)域如圖陰影部 （分 x y 3 所示， 作直線 2x+ y=

15、1,因?yàn)橹本€ 2x + y = 1 與直線 x = 1 的交點(diǎn) c 3 2 1 . 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué)第 11頁(yè) 坐標(biāo)為(1, -1)，結(jié)合題意知直線 10. 答案：C 解析： /X0是 f(x)的極小值點(diǎn)， 則 示，則在(s, Xo)上不單調(diào)，故 11. 答案：C 解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(Xo, yo)， + = 5，則 Xo= 5 P . 2 2 又點(diǎn) F 的坐標(biāo)為,0， 所以以 MF 為直徑的圓的方程為(Xxo) x - + (y yo)y = 0. 2 2 2 將 x = 0，y = 2 代入得 px+ 8 4y= 0，即卩生4y+ 8= 0，所以 y= 4. 2 由 y

16、。2 = 2px0，得 16 2p 5 p，解之得 p = 2，或 p = 8. 2 所以 C 的方程為 y2= 4x 或 y2= 16x.故選 C. 12. 答案：B 本卷包括必考題和選考題兩部分，第 13 題第 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。 第 22 題第 24 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分. 13. 答案：2 解析：以 AB 所在直線為 x 軸，AD 所在直線為 y 軸建立平面直角 坐標(biāo)系，如圖所示， 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)， 點(diǎn) B的坐標(biāo)為(2,0U商 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(0,2)uuU點(diǎn)店的坐標(biāo)為(1,2)，則AE =

17、(1,2)，BD =(2,2)，所以 AE BD 2. 14. 答案：8 解析：從 1,2，n 中任取兩個(gè)不同的數(shù)共有 Cn種取法，兩數(shù)1 1 y= a(x 3)過(guò)點(diǎn)(1， 1)，代入得a -，所以a -. 3 2 1 . 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué)第 12頁(yè) 16.答案：492 之和為 5 的有(1,4)，(2,3)2 種，所以 1 14 2 即一 n n 1 2 4 一4，解得 n = 8. 15.答案：蟲 5 解析：由ta n 4 1 tan 1 1 tan 2 將其代入 sin 2 9 + cos2 9 = 1，得 10 cos 9 得 tan 1 一，即 sin 3 1 co

18、s 9 . 因?yàn)?為第二象限角，所以 cos 9 = 3 10 10 ，sin 9 10 10 ， sin 、一0 5 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 13頁(yè) 解析：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為 a1，公差為 d,則 So=10a+ 15 14 S5= 15c d = 15a1+ 105d = 25. 解：(1)由已知及正弦定理得 sin A= sin Bcos C+ sin Csin B. 又 A=n (B+ C)，故 sin A= sin( B+ C = sin Bcos C+ cos Bsin C. 由，和 C (0 ,n )得 sin B= cos B, 又 B (0 ,n )，所以 B

19、 n. 4 ABC 的面積 S - acsin B 2ac . 2 4 由已知及余弦定理得 4= a + c 2accos. 4 又 a2+ c22ac,故ac 4 ，當(dāng)且僅當(dāng) a= c 時(shí)，等號(hào)成立. 2 V2 因此 ABC 面積的最大值為.2+1 . 18. 解：連結(jié) AG 交 AC 于點(diǎn) F,則 F 為 AG 中點(diǎn). 又 D 是 AB 中點(diǎn)，連結(jié) DF,貝 U BG/ DF 因?yàn)?DF?平面 ACD BG 平面 ACD 所以 BG/平面 ACD 2 由 AC= CB= AB 得，AC 丄 BC 2 以 G 為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA的方向?yàn)?x 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 G xyz.

20、 uuu uu LLIIT 設(shè) G/= 2,則 D(1,1,0) ,E(0,2,1) ,A1(2,0,2) , CD = (1,1,0) , CE = (0,2,1) , CA = (2,0,2) 設(shè)門=(X1 , y1 , 10 9d = 10ai + 45d = 0, 2 聯(lián)立，得 a1 = 所以S= 3n n(n 1) 令 f( n) = nSn, 則 f(n) 3 1 n 3 2 3， 1 2 n 3 10 (n) = 0, 10 n . 3 石 n2, f(n) 3 20 20 n. 3 3 20 20 20 一時(shí)，f (n) 0, 0n 時(shí)，f (n) v0,所以當(dāng) 3 3 + ,

21、則 f(6) = 48, f=49,所以當(dāng) n = 7 時(shí)，f(n)取最小值49. 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 17. 20 n 時(shí)，f (n)取最小值，而 n N 3 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 14頁(yè) z”是平面 ACD 的法向量，2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 15頁(yè) uuu 則n cur0，即xi yi ， n CA1 0, 2xi 2zi 0. 可取 n= (1 , - 1,- 1). 同理，設(shè) m 是平面 AiCE 的法向量， uur m CE 0, 則 cur 可取 m= (2,1，- 2). m CA| 0, 從而 cos n, n

22、= 3 , |n|m| 3 故 sin n, m 6. 3 即二面角 D- AC- E 的正弦值為-6. 3 19. 解： 當(dāng) X 100,130)時(shí)，T= 500X- 300(130 X) = 800X- 39 000 , 當(dāng) X 130,150時(shí)，T= 500X 130= 65 000. 800X 39000,100 X 130, 所以 T 65000,130 X 150. 由(1)知利潤(rùn) T 不少于 57 000 元當(dāng)且僅當(dāng) 120 X 0. 所以 f(x)在(1,0)單調(diào)遞減，在(0 ,+)單調(diào)遞增. 當(dāng) me2, x ( m, +x)時(shí)，In( x + m) 0, 故 f(x) 0 在(一 2,+)有唯一實(shí)根 Xo,且 Xo ( 1,0). 當(dāng) x ( 2, Xo)時(shí)，f (x) V 0; 當(dāng) x (x,+x)時(shí)，f(x) 0,從而當(dāng) X X0時(shí)，f(x)取得最小值.4 、3 m 2 時(shí)，f (x) 0. x 2013 全國(guó)新課標(biāo)卷 2理科數(shù)學(xué) 第 17頁(yè) 1 x 1 故 f (x) f (x) + x 0. x 2 x 2 綜上，當(dāng) m0. 請(qǐng)考生在第 22、23、24 題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng) 寫清題號(hào). 22. 解： 因?yàn)?CD*ABC 外接圓的切線, 所以/ DCz A,由題設(shè)知BC DC， FA EA 故厶