2022年2022年八年級軸對稱與對稱軸提高壓軸題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載軸對稱壓軸題1問題背景：如圖（ a）,點(diǎn) a .b 在直線 l 的同側(cè),要在直線l 上找一點(diǎn)c,使 ac 與 bc 的距離之和最小,我們可以作出點(diǎn)b 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn)b,連接 a b 與直線 l 交于點(diǎn) c,就點(diǎn) c 即為所求（ 1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（ b）,已知, o 的直徑 cd 為 4,點(diǎn) a 在 o 上, acd=30 °,b 為弧 ad的中點(diǎn), p 為直徑 cd 上一動點(diǎn),就 bp+ap 的最小值為（ 2）學(xué)問拓展：如圖（ c）,在 rt abc 中, ab=10 , bac=45 °, bac 的平分線交bc 于

2、點(diǎn) d ,e.f 分別為線段ad 和 ab 上的動點(diǎn),求be+ef 的最小值,并寫出解答過程2（ 1）觀看發(fā)覺如圖（ 1）：如點(diǎn) a .b 在直線 m 同側(cè),在直線m 上找一點(diǎn)p,使 ap+bp 的值最小,做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于直線m 的對稱點(diǎn)b,連接 ab ,與直線m 的交點(diǎn)就為所求的點(diǎn)p,線段 ab 的長度即為ap+bp 的最小值如圖（ 2）：在等邊三角形abc 中, ab=2 ,點(diǎn) e 為 ab 的中點(diǎn), ad 為高,在ad 上找一點(diǎn)p,使 bp+pe 的值最小,做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)c 重合,連接ce 交 ad 于一點(diǎn),就這點(diǎn)就為所求的點(diǎn)p,故 bp+pe

3、 的最小值為（ 2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3）：已知 o 的直徑 cd 為 2,的度數(shù)為 60°,點(diǎn) b 為的中點(diǎn),在直徑cd 上作出點(diǎn)p,使 bp+ap的值最小,就bp+ap 的值最小,就bp+ap 的最小值為（ 3）拓展延長精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載如圖（ 4）：點(diǎn) p 為四邊形 abcd 內(nèi)一點(diǎn),分別在邊ab .bc 上作出點(diǎn)m ,點(diǎn) n ,使 pm+pn+mn的值最小,保留作圖痕跡,不寫作法如圖（ 1）,要在燃?xì)夤艿纋 上修建一個(gè)泵站,分別向a .b 兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短？你可以在l 上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)覺什么

4、規(guī)律？聰慧的小華通過獨(dú)立摸索,很快得出明白決這個(gè)問題的正確方法他把管道l 看成一條直線（圖（2） ,問題就轉(zhuǎn)化為,要在直線l 上找一點(diǎn)p,使 ap 與 bp 的和最小他的做法為這樣的： 作點(diǎn) b 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) b 連接 ab 交直線 l 于點(diǎn) p,就點(diǎn) p 為所求請你參考小華的做法解決以下問題如圖在 abc 中,點(diǎn) d .e 分別為 ab .ac 邊的中點(diǎn), bc=6 , bc 邊上的高為 4,請你在bc 邊上確定一點(diǎn)p,使 pde 得周長最小（ 1）在圖中作出點(diǎn)p（保留作圖痕跡,不寫作法）（ 2）請直接寫出pde 周長的最小值：4（ 1）觀看發(fā)覺：如（ a）圖,如點(diǎn)a , b 在直

5、線 l 同側(cè),在直線l 上找一點(diǎn)p,使 ap+bp 的值最小做法如下：作點(diǎn)b 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)b',連接 ab' ,與直線 l 的交點(diǎn)就為所求的點(diǎn)p再如（ b）圖,在等邊三角形 abc 中, ab=2 ,點(diǎn) e 為 ab 的中點(diǎn), ad 為高,在ad 上找一點(diǎn)p,使 bp+pe 的值最小做法如下： 作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對稱點(diǎn), 恰好與點(diǎn) c 重合, 連接 ce 交 ad 于一點(diǎn), 就這點(diǎn)就為所求的點(diǎn)p,故 bp+pe的最小值為（ 2）實(shí)踐運(yùn)用：如（ c）圖,已知 o 的直徑 cd 為 4, aod 的度數(shù)為60°,點(diǎn) b 為的中點(diǎn),在直徑cd 上找一點(diǎn)p,使

6、bp+ap的值最小,并求bp+ap 的最小值（ 3）拓展延長：如（ d）圖,在四邊形abcd 的對角線ac 上找一點(diǎn) p,使 apb= apd 保留作圖痕跡,不必寫出作法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載5幾何模型：條件：如下圖,a .b 為直線 l 同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線l 上確定一點(diǎn)p,使 pa+pb 的值最小方法：作點(diǎn)a 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)a ,連接 a b 交 l 于點(diǎn) p,就 pa+pb=a b 的值最?。ú槐刈C明） 模型應(yīng)用：（ 1）如圖 1,正方形 abcd的邊長為2,e 為 ab 的中點(diǎn), p 為 ac 上一動點(diǎn)連接bd ,由正方形對稱性可知

7、,b與 d 關(guān)于直線ac 對稱連接ed 交 ac 于 p,就 pb+pe 的最小值為；（ 2）如圖 2, o 的半徑為2,點(diǎn) a .b.c 在 o 上, oa ob , aoc=60 °,p 為 ob 上一動點(diǎn),求pa+pc 的最小值；（ 3）如圖 3, aob=45 °, p 為 aob 內(nèi)一點(diǎn), po=10, q.r 分別為 oa .ob 上的動點(diǎn),求pqr 周長的最小值6如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,a .b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（ 2, 3）, b（ 4, 1）（ 1）如 p（ p, 0）為 x 軸上的一個(gè)動點(diǎn),就當(dāng)p= 時(shí), pab 的周長最短；（ 2）如 c（ a,

8、0）, d（ a+3, 0）為 x 軸上的兩個(gè)動點(diǎn),就當(dāng)a= 時(shí),四邊形abdc 的周長最短；（ 3）設(shè) m ,n 分別為 x 軸和 y 軸上的動點(diǎn),請問：為否存在這樣的點(diǎn)m （m, 0）.n（ 0, n）,使四邊形abmn的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載周長最短？如存在,懇求出m= , n= （不必寫解答過程） ；如不存在,請說明理由精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7需要在高速大路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場,使飛機(jī)場到a, b 兩個(gè)城市的距離之和最小,請作出機(jī)場的位置精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載8如下列圖,在一筆直的大路mn 的同一旁有

9、兩個(gè)新開發(fā)區(qū)a , b,已知 ab=10 千米,直線ab 與大路 mn 的夾角 aon=30 °,新開發(fā)區(qū)b 到大路 mn 的距離 bc=3 千米（ 1）新開發(fā)區(qū)a 到大路 mn 的距離為；（ 2）現(xiàn)要在 mn 上某點(diǎn) p 處向新開發(fā)區(qū)a ,b 修兩條大路pa,pb,使點(diǎn) p 到新開發(fā)區(qū)a ,b 的距離之和最短此精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載時(shí) pa+pb= （千米）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9.如圖：（ 1）如把圖中小人平移,使點(diǎn)a 平移到點(diǎn)b ,請你在圖中畫出平移后的小人；（ 2）如圖中小人為一名游泳者的位置,他要先游到岸邊l 上點(diǎn) p 處喝水

10、后,再游到b,但要使游泳的路程最短,試在圖中畫出點(diǎn)p 的位置10如圖,在直角坐標(biāo)系中,等腰梯形abb 1a 1 的對稱軸為y 軸（ 1）請畫出：點(diǎn)a .b 關(guān)于原點(diǎn)o 的對稱點(diǎn)a 2. b2（應(yīng)保留畫圖痕跡,不必寫畫法,也不必證明）；（ 2）連接 a 1a 2. b1b2（其中 a2 .b 2 為（ 1）中所畫的點(diǎn)） ,試證明： x 軸垂直平分線段a 1a 2.b1b2；（ 3）設(shè)線段 ab 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a （ 2,4）.b（ 4,2）,連接（ 1）中 a 2b2,試問在 x 軸上為否存在點(diǎn)c,使 a 1b 1c 與 a2b 2c 的周長之和最??？如存在,求出點(diǎn)c 的坐標(biāo)（不必說明周長之

11、和最小的理由）；如不存在, 請說明理由精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載11某大型農(nóng)場擬在大路 l 旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品貯存.加工廠,將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地 a .b 的水果集中進(jìn)行貯存和技術(shù)加工,以提高經(jīng)濟(jì)效益請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置 c,使 a .b 兩地到加工廠 c 的運(yùn)輸路程之和最短 （要求：用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明）12閱讀懂得如圖 1, abc 中,沿 bac 的平分線 ab 1 折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a 1c 的平分線a 1b2 折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿bna nc 的平分線a nbn+1 折疊,點(diǎn)b

12、n 與點(diǎn) c 重合,無論折疊多少次,只要最終一 次恰好重合,bac 為 abc 的好角小麗展現(xiàn)了確定bac 為abc 的好角的兩種情形情形一：如圖2,沿等腰三角形abc 頂角 bac 的平分線 ab 1 折疊, 點(diǎn) b 與點(diǎn) c 重合；情形二： 如圖 3,沿 bac 的平分線ab 1 折疊, 剪掉重復(fù)部分； 將余下部分沿b 1a1c的平分線 a 1b2 折疊,此時(shí)點(diǎn)b1 與點(diǎn) c 重合探究發(fā)覺（ 1） abc 中, b=2 c,經(jīng)過兩次折疊,bac 為不為 abc 的好角？ （填 “為 ”或“不為 ”）（ 2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)覺了bac 為 abc 的好角, 請?zhí)骄?b 與 c（不妨設(shè) b

13、c）之間的等量關(guān)系 依據(jù)以上內(nèi)容猜想：如經(jīng)過n 次折疊 bac 為 abc 的好角,就 b 與 c（不妨設(shè) b c）之間的等量關(guān)系為 應(yīng)用提升（ 3）小麗找到一個(gè)三角形,三個(gè)角分別為15°. 60°.105°,發(fā)覺 60°和 105°的兩個(gè)角都為此三角形的好角 請你完成,假如一個(gè)三角形的最小角為4°,試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù),使該三角形的三個(gè)角均為此三角形的好角13如圖, abc 中 ab=ac ,bc=6 ,點(diǎn) p 從點(diǎn) b 動身沿射線ba 移動,同時(shí),點(diǎn)q 從點(diǎn) c 動身沿線段 ac 的延長線移動,已知點(diǎn)p.q 移動的速度相同

14、,pq 與直線 bc 相交于點(diǎn)d （ 1）如圖 ,當(dāng)點(diǎn) p 為 ab 的中點(diǎn)時(shí),求cd 的長；（ 2）如圖 ,過點(diǎn) p 作直線 bc 的垂線垂足為e,當(dāng)點(diǎn) p. q 在移動的過程中,線段be.de .cd 中為否存在長度保持不變的線段？請說明理由；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載14（ 2021.東城區(qū)二模）已知：等邊abc 中,點(diǎn) o 為邊 ac , bc 的垂直平分線的交點(diǎn),m ,n 分別在直線ac ,bc 上,且 mon=60 °（ 1）如圖 1,當(dāng) cm=cn 時(shí), m .n 分別在邊 ac .bc 上時(shí),請寫出am . cn.mn 三者之間的數(shù)

15、量關(guān)系；（ 2）如圖 2,當(dāng) cm cn 時(shí), m .n 分別在邊ac .bc 上時(shí),（1）中的結(jié)論為否仍舊成立？如成立,請你加以證明；如不成立,請說明理由；（ 3）如圖 3,當(dāng)點(diǎn) m 在邊 ac 上,點(diǎn) n 在 bc的延長線上時(shí),請直接寫出線段am .cn .mn 三者之間的數(shù)量關(guān)系15如圖,線段cd 垂直平分線段ab , ca 的延長線交bd 的延長線于e,cb 的延長線交ad 的延長線于f, 求證： de=df 16如圖,在 abc 和 dcb 中, ab=dc , ac=db ,ac 與 db 交于點(diǎn) m 求證：（ 1） abc dcb ；（ 2）點(diǎn) m 在 bc 的垂直平分線上17如

16、圖, abc 的邊 bc 的垂直平分線de 交 bac 的外角平分線ad 于 d, e 為垂足, df ab 于 f,且 ab ac ,求證： bf=ac+af 18已知 abc 的角平分線ap 與邊 bc 的垂直平分線pm 相交于點(diǎn)p,作 pk ab ,pl ac ,垂足分別為k .l ,求證： bk=cl 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載19某私營企業(yè)要修建一個(gè)加油站,如圖,其設(shè)計(jì)要求為,加油站到兩村a .b 的距離必需相等,且到兩條大路m.n 的距離也必需相等,那么加油站應(yīng)修在什么位置,在圖上標(biāo)出它的位置（要有作圖痕跡）20如圖,在 abc 中, ab=ac

17、 , a=120 °, bc=9cm , ab 的垂直平分線mn 交 bc 于 m ,交 ab 于 n ,求 bm的長21如圖,在 abc 中, bac 的平分線與bc 的垂直平分線pq 相交于點(diǎn)p,過點(diǎn) p 分別作 pn ab 于 n ,pm ac于點(diǎn) m ,求證： bn=cm 22如圖己知在 abc 中, c=90°, b=15 °,de 垂直平分ab , e 為垂足交bc 于 d, bd=16cm ,求 ac 長精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載2021 年 10 月中學(xué)數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共22 小題）1（ 20

18、21.日照）問題背景：如圖（ a）,點(diǎn) a .b 在直線 l 的同側(cè),要在直線l 上找一點(diǎn)c,使 ac 與 bc 的距離之和最小,我們可以作出點(diǎn)b 關(guān)于 l 的對稱點(diǎn)b,連接 a b 與直線 l 交于點(diǎn) c,就點(diǎn) c 即為所求（ 1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（ b）,已知, o 的直徑 cd 為 4,點(diǎn) a 在 o 上, acd=30 °,b 為弧 ad的中點(diǎn), p 為直徑 cd 上一動點(diǎn),就 bp+ap 的最小值為2（ 2）學(xué)問拓展：如圖（ c）,在 rt abc 中, ab=10 , bac=45 °, bac 的平分線交bc 于點(diǎn) d ,e.f 分別為線段ad 和 ab 上的動

19、點(diǎn),求be+ef 的最小值,并寫出解答過程考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題分析：（1）找點(diǎn) a 或點(diǎn) b 關(guān)于 cd 的對稱點(diǎn),再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn),和mn 的交點(diǎn) p 就為所求作的位置依據(jù)題意先求出cae ,再依據(jù)勾股定理求出ae ,即可得出pa+pb 的最小值；（2）第一在斜邊ac 上截取 ab =ab ,連結(jié) bb ,再過點(diǎn)b作 bf ab ,垂足為f,交 ad 于 e,連結(jié) be,就線段b f 的長即為所求解答：解：（ 1）作點(diǎn) b 關(guān)于 cd 的對稱點(diǎn)e,連接 ae 交 cd 于點(diǎn) p此時(shí) pa+pb 最小,且等于ae 作直徑 ac ,連接 ce依據(jù)垂徑定理得弧bd= 弧 d

20、e acd=30 °, aod=60 °, doe=30 °, aoe=90 °, cae=45 °,又 ac 為圓的直徑,aec =90 °, c= cae=45 °,ce=ae=ac =2,即 ap+bp 的最小值為2故答案為： 2；（2）如圖,在斜邊ac 上截取 ab =ab ,連結(jié) bb ad 平分 bac ,點(diǎn) b 與點(diǎn) b關(guān)于直線 ad 對稱過點(diǎn) b 作 bf ab ,垂足為f,交 ad 于 e,連結(jié) be,就線段 bf 的長即為所求 （點(diǎn)到直線的距離最短）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡

21、迎下載在 rt afb 中, bac=45 °, ab =ab=10 ,b f=ab s.in45°=ab .sin45°=10 ×=5,be+ef 的最小值為點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等學(xué)問,依據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn)p位置為解題關(guān)鍵2（ 2021.六盤水）（1）觀看發(fā)覺如圖（ 1）：如點(diǎn) a .b 在直線 m 同側(cè),在直線m 上找一點(diǎn)p,使 ap+bp 的值最小,做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于直線m 的對稱點(diǎn)b,連接 ab ,與直線m 的交點(diǎn)就為所求的點(diǎn)p,線段 ab 的長度即為ap+bp 的最小值如圖（ 2）：在等邊三角形a

22、bc 中, ab=2 ,點(diǎn) e 為 ab 的中點(diǎn), ad 為高,在ad 上找一點(diǎn)p,使 bp+pe 的值最小,做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)c 重合,連接ce 交 ad 于一點(diǎn),就這點(diǎn)就為所求的點(diǎn)p,故 bp+pe 的最小值為（ 2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3）：已知 o 的直徑 cd 為 2,的度數(shù)為 60°,點(diǎn) b 為的中點(diǎn),在直徑cd 上作出點(diǎn)p,使 bp+ap的值最小,就bp+ap 的值最小,就bp+ap 的最小值為（ 3）拓展延長精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載如圖（ 4）：點(diǎn) p 為四邊形 abcd 內(nèi)一點(diǎn),分別在邊ab .bc

23、上作出點(diǎn)m ,點(diǎn) n ,使 pm+pn+mn的值最小,保留作圖痕跡,不寫作法考點(diǎn) ：圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題專題 ：壓軸題分析：（1）觀看發(fā)覺：利用作法得到ce 的長為 bp+pe 的最小值；由ab=2 ,點(diǎn) e 為 ab 的中點(diǎn),依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ce ab , bce= bca=30 °, be=1 ,再依據(jù)含30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得ce=；（2）實(shí)踐運(yùn)用：過b 點(diǎn)作弦 be cd ,連結(jié) ae 交 cd 于 p 點(diǎn),連結(jié) ob .oe .oa . pb,依據(jù)垂徑定理得到cd 平分 be,即點(diǎn) e 與點(diǎn) b 關(guān)于 cd 對稱,就ae 的長就為bp+ap 的最

24、小值；由于的度數(shù)為60°,點(diǎn) b 為的中點(diǎn)得到boc=30 °,aoc=60 °,所以 aoe=60 °+30°=90°,于為可判定 oae 為等腰直角三角形,就ae=oa=；（3）拓展延長：分別作出點(diǎn)p 關(guān)于 ab 和 bc 的對稱點(diǎn) e 和 f,然后連結(jié)ef, ef 交 ab 于 m .交 bc 于 n解答：解：（ 1）觀看發(fā)覺如圖（ 2）,ce 的長為 bp+pe 的最小值,在等邊三角形abc 中, ab=2 ,點(diǎn) e 為 ab 的中點(diǎn)ce ab , bce= bca=30 °,be=1 ,ce=be=；故答案為；（2

25、）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3）,過 b 點(diǎn)作弦 be cd ,連結(jié) ae 交 cd 于 p 點(diǎn),連結(jié) ob .oe.oa .pb,be cd ,cd 平分 be,即點(diǎn) e 與點(diǎn) b 關(guān)于 cd 對稱,的度數(shù)為60°,點(diǎn) b 為的中點(diǎn), boc=30 °, aoc=60 °, eoc=30 °, aoe=60 °+30 °=90 °,oa=oe=1 ,ae=oa=,ae 的長就為bp+ap 的最小值故答案為；（3）拓展延長如圖（ 4）點(diǎn)評：此題考查了圓的綜合題：弧.弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中常常用到,同時(shí)嫻

26、熟把握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱最短路徑問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載3（ 2021.涼山州）在學(xué)習(xí)軸對稱的時(shí)候,老師讓同學(xué)們摸索課本中的探究題如圖（ 1）,要在燃?xì)夤艿纋 上修建一個(gè)泵站,分別向a .b 兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短？你可以在l 上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)覺什么規(guī)律？聰慧的小華通過獨(dú)立摸索,很快得出明白決這個(gè)問題的正確方法他把管道l 看成一條直線（圖（2） ,問題就轉(zhuǎn)化為,要在直線l 上找一點(diǎn)p,使 ap 與 bp 的和最小他的做法為這樣的： 作點(diǎn) b 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) b 連接 ab 交直線 l 于點(diǎn) p,就點(diǎn)

27、 p 為所求請你參考小華的做法解決以下問題如圖在 abc 中,點(diǎn) d .e 分別為 ab .ac 邊的中點(diǎn), bc=6 , bc 邊上的高為 4,請你在bc 邊上確定一點(diǎn)p,使 pde 得周長最?。?1）在圖中作出點(diǎn)p（保留作圖痕跡,不寫作法）（ 2）請直接寫出pde 周長的最小值：8考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：壓軸題分析：（1）依據(jù)供應(yīng)材料de 不變, 只要求出dp+pe 的最小值即可,作d 點(diǎn)關(guān)于 bc 的對稱點(diǎn)d,連接 de,與 bc 交于點(diǎn) p, p 點(diǎn)即為所求；（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出de 的值,即可得出答案 解答：解：（ 1）作 d 點(diǎn)關(guān)于 bc 的對稱點(diǎn)d,

28、連接 de,與 bc 交于點(diǎn) p,p 點(diǎn)即為所求；（2）點(diǎn) d .e 分別為 ab .ac 邊的中點(diǎn),de 為 abc 中位線,bc=6 , bc 邊上的高為4,de=3 , dd =4,d e=5, pde 周長的最小值為：de+d e=3+5=8 ,故答案為： 8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的學(xué)問,依據(jù)已知得出要求 pde 周長的最小值,求出 dp+pe 的最小值即可為解題關(guān)鍵4（ 2021.淮安）（ 1）觀看發(fā)覺：如（ a）圖,如點(diǎn)a , b 在直線 l 同側(cè),在直線l 上找一點(diǎn)p,使 ap+bp

29、的值最小做法如下：作點(diǎn)b 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)b',連接 ab' ,與直線 l 的交點(diǎn)就為所求的點(diǎn)p再如（ b）圖,在等邊三角形 abc 中, ab=2 ,點(diǎn) e 為 ab 的中點(diǎn), ad 為高,在ad 上找一點(diǎn)p,使 bp+pe 的值最小做法如下： 作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對稱點(diǎn), 恰好與點(diǎn) c 重合, 連接 ce 交 ad 于一點(diǎn), 就這點(diǎn)就為所求的點(diǎn)p,故 bp+pe的最小值為（ 2）實(shí)踐運(yùn)用：如（ c）圖,已知 o 的直徑 cd 為 4, aod 的度數(shù)為60°,點(diǎn) b 為的中點(diǎn),在直徑cd 上找一點(diǎn)p,使 bp+ap的值最小,并求bp+ap 的最小值（ 3）

30、拓展延長：如（ d）圖,在四邊形abcd 的對角線ac 上找一點(diǎn) p,使 apb= apd 保留作圖痕跡,不必寫出作法考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題分析：（1）第一由等邊三角形的性質(zhì)知,ce ab ,在直角 bce 中, bec=90 °bc=2 , be=1 ,由勾股定理可求出 ce 的長度,從而得出結(jié)果；（2）要在直徑cd 上找一點(diǎn) p,使 pa+pb 的值最小, 設(shè) a 為 a 關(guān)于 cd 的對稱點(diǎn), 連接 a b ,與 cd的交點(diǎn)即為點(diǎn)p此時(shí) pa+pb=a b 為最小值,可證 oa b 為等腰直角三角形,從而得出結(jié)果（3）畫點(diǎn) b 關(guān)于 ac 的對稱點(diǎn)b ,延長 db 交

31、ac 于點(diǎn) p就點(diǎn) p 即為所求解答：解：（ 1） bp+pe 的最小值 =（2）作點(diǎn) a 關(guān)于 cd 的對稱點(diǎn)a ,連接 a b,交 cd 于點(diǎn) p,連接 oa , aa , ob 點(diǎn) a 與 a 關(guān)于 cd 對稱, aod 的度數(shù)為60°, a od= aod=60 °, pa=pa,點(diǎn) b 為的中點(diǎn), bod=30 °, a ob= a od+ bod=90 °,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載 o 的直徑 cd 為 4,oa=oa =2,a b=2pa+pb=pa +pb=a b=2（3）如圖 d：第一過點(diǎn)b 作 b

32、b ac 于 o,且 ob=ob ,連接 db 并延長交ac 于 p（由 ac 為 bb 的垂直平分線,可得apb= apd ）點(diǎn)評：此題主要考查軸對稱最短路線問題,解決此類問題,一般都為運(yùn)用軸對稱的性質(zhì),將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題,其說明最短的依據(jù)為三角形兩邊之和大于第三邊5（ 2021.漳州）幾何模型：條件：如下圖,a .b 為直線 l 同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線l 上確定一點(diǎn)p,使 pa+pb 的值最小方法：作點(diǎn)a 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)a ,連接 a b 交 l 于點(diǎn) p,就 pa+pb=a b 的值最小（不必證明） 模型應(yīng)用：（ 1）如圖 1,正方形 abcd的邊長為2,e 為 a

33、b 的中點(diǎn), p 為 ac 上一動點(diǎn)連接bd ,由正方形對稱性可知,b與 d 關(guān)于直線ac 對稱連接ed 交 ac 于 p,就 pb+pe 的最小值為；（ 2）如圖 2, o 的半徑為2,點(diǎn) a .b.c 在 o 上, oa ob , aoc=60 °,p 為 ob 上一動點(diǎn),求pa+pc 的最小值；（ 3）如圖 3, aob=45 °, p 為 aob 內(nèi)一點(diǎn), po=10, q.r 分別為 oa .ob 上的動點(diǎn),求pqr 周長的最小值考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：壓軸題；動點(diǎn)型分析：（1）由題意易得pb+pe=pd+pe=de ,在 ade 中,依據(jù)勾股定理求

34、得即可；（2）作 a 關(guān)于 ob 的對稱點(diǎn)a ,連接 a c,交 ob 于 p,求 a c 的長,即為pa+pc 的最小值；（3）作出點(diǎn) p 關(guān)于直線oa 的對稱點(diǎn)m ,關(guān)于直線ob 的對稱點(diǎn)n ,連接 mn ,它分別與oa ,ob的交點(diǎn) q.r,這時(shí)三角形pef 的周長 =mn ,只要求mn 的長就行了解答：解：（ 1）四邊形abcd 為正方形,ac 垂直平分bd ,pb=pd ,由題意易得： pb+pe=pd+pe=de ,在 ade 中,依據(jù)勾股定理得,de=；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）作 a 關(guān)于 ob 的對稱點(diǎn)a ,連接 a c,交 ob 于

35、 p,pa+pc 的最小值即為a c 的長, aoc=60 ° a oc=120 °作 od ac 于 d,就 a od=60 °oa =oa=2a d=；（3）分別作點(diǎn)p 關(guān)于 oa .ob 的對稱點(diǎn)m .n,連接 om .on .mn , mn 交 oa .ob 于點(diǎn) q. r,連接 pr.pq,此時(shí) pqr 周長的最小值等于mn 由軸對稱性質(zhì)可得,om=on=op=10 , moa= poa , nob= pob, mon=2 aob=2 ×45°=90 °,在 rt mon 中, mn=10即 pqr 周長的最小值等于10點(diǎn)評

36、：此題綜合性較強(qiáng),主要考查有關(guān)軸對稱最短路線的問題,綜合應(yīng)用了正方形.圓.等腰直角三角形的有關(guān)學(xué)問6（ 2006.湖州）如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,a .b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a （2, 3）, b（4, 1）（ 1）如 p（ p, 0）為 x 軸上的一個(gè)動點(diǎn),就當(dāng)p=時(shí), pab 的周長最短；（ 2）如 c（ a, 0）, d（ a+3, 0）為 x 軸上的兩個(gè)動點(diǎn),就當(dāng)a=時(shí),四邊形abdc的周長最短；（ 3）設(shè) m ,n 分別為 x 軸和 y 軸上的動點(diǎn),請問：為否存在這樣的點(diǎn)m （m, 0）.n（ 0, n）,使四邊形abmn的周長最短？如存在,懇求出m=,n=（不必寫解答過程） ；如不存

37、在,請說明理由考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)專題 ：壓軸題分析：（1）依據(jù)題意,設(shè)出并找到b（ 4, 1）關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為b',其坐標(biāo)為（ 4,1）,進(jìn)而可得直線 ab' 的解析式,進(jìn)而可得答案；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）過 a 點(diǎn)作 ae x 軸于點(diǎn) e,且延長ae ,取 a'e=ae 做點(diǎn) f（ 1, 1）,連接 a'f 利用兩點(diǎn)間的線段最短,可知四邊形abdc 的周長最短等于a'f+cd+ab ,從而確定c 點(diǎn)的坐標(biāo)值（3）依據(jù)對稱軸的性質(zhì),可得存在使四邊形abmn周長最短的點(diǎn)m .n

38、,當(dāng)且僅當(dāng)m=,n=；時(shí)成立解答：解：（ 1）設(shè)點(diǎn) b （4, 1）關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為b',其坐標(biāo)為（4, 1）,設(shè)直線 ab' 的解析式為y=kx+b ,把 a （ 2, 3）,b'（ 4, 1）代入得：,解得,y=2x 7, 令 y=0 得 x=,即 p=（2）過 a 點(diǎn)作 ae x 軸于點(diǎn) e,且延長ae ,取 a'e=ae 做點(diǎn) f（ 1, 1）,連接 a'f 那么 a'（2, 3）直線 a'f 的解析式為,即 y=4x 5,c 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ a, 0）,且在直線a'f 上,a=（3）存在使四邊形abmn周長最短的點(diǎn)m

39、 .n,作 a 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)a ,作 b 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)b,連接 a b ,與 x 軸. y 軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)m . n,a （ 2, 3）, b（4, 1）,直線 a b的解析式為： y=x ,m （, 0）, n（ 0,）m=, n=點(diǎn)評：考查圖形的軸對稱在實(shí)際中的運(yùn)用,同時(shí)考查了依據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式,運(yùn)用解析式求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等學(xué)問精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載7（ 2007.慶陽）需要在高速大路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場,使飛機(jī)場到a ,b 兩個(gè)城市的距離之和最小,請作出機(jī)場的位置考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：作圖題分析：利用軸對稱圖

40、形的性質(zhì)可作點(diǎn)a 關(guān)于大路的對稱點(diǎn)a ,連接 a b,與大路的交點(diǎn)就為點(diǎn)p 的位置解答：解：點(diǎn) p 就為飛機(jī)場所在的位置（ 5 分）點(diǎn)評：此題主要為利用軸對稱圖形來求最短的距離用到的學(xué)問：兩點(diǎn)之間線段最短8（ 2006.貴港）如下列圖,在一筆直的大路mn 的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū)a , b ,已知 ab=10 千米,直線ab 與大路 mn 的夾角 aon=30 °,新開發(fā)區(qū)b 到大路 mn 的距離 bc=3 千米（ 1）新開發(fā)區(qū)a 到大路 mn 的距離為8；（ 2）現(xiàn)要在mn上某點(diǎn) p 處向新開發(fā)區(qū)a ,b修兩條大路pa,pb,使點(diǎn) p 到新開發(fā)區(qū)a ,b 的距離之和最短此時(shí) pa+p

41、b=14（千米）考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：運(yùn)算題；壓軸題分析：（1）先求出ob 的長,從而得出oa 的長,再依據(jù)三角函數(shù)求得到大路的距離（2）依據(jù)切線的性質(zhì)得ef=cd=bc=3 ,af=ae+ef=ae+bc=11,再依據(jù)余弦概念求解解答：解：（ 1） bc=3 , aoc=30 °,ob=6 過點(diǎn) a 作 ae mn 于點(diǎn) e, ao=ab+ob=16,ae=8 即新開發(fā)區(qū)a 到大路的距離為8 千米；（2）過 d 作 df ae 的延長線（點(diǎn)d 為點(diǎn) b 關(guān)于 mn 的對稱點(diǎn)）,垂足為f 就 ef=cd=bc=3 , af=ae+ef=ae+bc=11,過 b 作 b

42、g ae 于 g,bg=df ,bg=ab .cos30°=5,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載,連接 pb,就 pb=pd ,pa+pb=pa+pd=ad=14 （千米）點(diǎn)評：此題主要考查同學(xué)利用軸對稱的性質(zhì)來綜合解三角形的才能9（ 2006.巴中）如圖：（ 1）如把圖中小人平移,使點(diǎn)a 平移到點(diǎn)b ,請你在圖中畫出平移后的小人；（ 2）如圖中小人為一名游泳者的位置,他要先游到岸邊l 上點(diǎn) p 處喝水后,再游到b,但要使游泳的路程最短,試在圖中畫出點(diǎn)p 的位置考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換專題 ：作圖題分析：依據(jù)平移的

43、規(guī)律找到點(diǎn)b,再利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì),找到點(diǎn)a 的對稱點(diǎn),連接 a 1b 與 l 相交于點(diǎn)p,即為所求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解答：學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：點(diǎn)評：此題考查的為平移變換與最短線路問題最短線路問題一般為利用軸對稱的性質(zhì)解題,通過作軸對稱圖形,利用軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可求出所求的點(diǎn)作平移圖形時(shí),找關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也為關(guān)鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離,先確定一組對應(yīng)點(diǎn)； 確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)； 利用第一組對應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中全部關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)； 按原圖形次序依次連接對應(yīng)點(diǎn)

44、,所得到的圖形即為平移后的圖形10（ 2003.泉州）如圖,在直角坐標(biāo)系中,等腰梯形abb 1a 1 的對稱軸為y 軸（ 1）請畫出：點(diǎn)a .b 關(guān)于原點(diǎn)o 的對稱點(diǎn)a 2. b2（應(yīng)保留畫圖痕跡,不必寫畫法,也不必證明）；（ 2）連接 a 1a 2. b1b2（其中 a2 .b 2 為（ 1）中所畫的點(diǎn)） ,試證明： x 軸垂直平分線段a 1a 2.b1b2；（ 3）設(shè)線段 ab 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a （ 2,4）.b（ 4,2）,連接（ 1）中 a 2b2,試問在 x 軸上為否存在點(diǎn)c,使 a 1b 1c 與 a2b 2c 的周長之和最??？如存在,求出點(diǎn)c 的坐標(biāo)（不必說明周長之和最小的理

45、由）；如不存在, 請說明理由考點(diǎn) ：作圖 -軸對稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題專題 ：作圖題；證明題；壓軸題；探究型分析：（1）依據(jù)中心對稱的方法,找點(diǎn)a 2, b2,連接即可（2）設(shè) a（ x1,y1）.b （x 2, y2）依題意與（ 1）可得 a 1（ x 1, y 1）,b 1（ x2, y2）, a2（ x 1,y 1）,b2（ x2, y2）,得到 a 1.b1 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為a 2.b2,所以 x 軸垂直平分線段a1a 2.b1b 2（3）依據(jù) a 1 與 a 2, b1 與 b2 均關(guān)于 x 軸對稱,連接a 2b 1 交 x 軸于 c,點(diǎn) c 為所求

46、的點(diǎn)依據(jù)題意得 b 1（4, 2）, a 2（ 2, 4）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載設(shè)直線 a 2b 1 的解析式為y=kx+b 就利用待定系數(shù)法解得,所以可求直線a 2b1 的解析式為 y=3x 10令 y=0 ,得 x=,所以 c 的坐標(biāo)為（,0）即點(diǎn) c（,0）能使 a 1b 1c 與 a2b2c的周長之和最小解答：解：（ 1）如圖, a 2.b2 為所求的點(diǎn)（2）設(shè) a（ x1,y1）.b （x 2, y2）依題意與（ 1）可得 a 1（ x1, y 1）, b1（ x2,y 2）, a 2（ x1 , y 1）, b2（ x 2, y2）a 1.b

47、 1 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為a 2.b2,x 軸垂直平分線段a 1a 2.b1 b2（3）存在符合題意的c 點(diǎn)由（ 2）知 a 1 與 a 2, b1 與 b2 均關(guān)于 x 軸對稱,連接 a 2b 1 交 x 軸于 c,點(diǎn) c 為所求的點(diǎn)a （ 2, 4）, b（ 4, 2）依題意及（1）得： b1（ 4, 2）, a2（ 2, 4）設(shè)直線 a 2b 1 的解析式為y=kx+b 就有解得直線 a 2b 1 的解析式為y=3x 10,令 y=0 ,得 x=,c 的坐標(biāo)為（, 0）綜上所述,點(diǎn)c（,0）能使 a 1b1c 與 a 2b 2c 的周長之和最小點(diǎn)評：主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì),以及垂

48、直平分線的性質(zhì)要知道對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線會依據(jù)此性質(zhì)求得對應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式為解題的關(guān)鍵11（2001.宜昌）某大型農(nóng)場擬在大路l 旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品貯存.加工廠,將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地a .b 的水果集中進(jìn)行貯存和技術(shù)加工,以提高經(jīng)濟(jì)效益請你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置c,使 a. b 兩地到加工廠 c 的運(yùn)輸路程之和最短 （要求：用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點(diǎn) ：軸對稱 -最短路線問題專題 ：作圖題分析：作 a 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)e,連接 be 交直線 l 于 c,就 c 為所求

49、解答：答：如圖：點(diǎn)評：此題主要考查對軸對稱最短路線的問題的懂得和把握,依據(jù)題意正確畫出圖形為解此題的關(guān)鍵,12（ 2021.淮安）閱讀懂得如圖 1, abc 中,沿 bac 的平分線 ab 1 折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿b1a 1c 的平分線a 1b2 折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿bna nc 的平分線a nbn+1 折疊,點(diǎn)bn 與點(diǎn) c 重合,無論折疊多少次,只要最終一 次恰好重合,bac 為 abc 的好角小麗展現(xiàn)了確定bac 為abc 的好角的兩種情形情形一：如圖2,沿等腰三角形abc 頂角 bac 的平分線 ab 1 折疊, 點(diǎn) b 與點(diǎn) c 重合；情形二： 如圖 3,沿

50、bac 的平分線ab 1 折疊, 剪掉重復(fù)部分； 將余下部分沿b 1a1c的平分線 a 1b2 折疊,此時(shí)點(diǎn)b1 與點(diǎn) c 重合探究發(fā)覺（ 1） abc 中, b=2 c,經(jīng)過兩次折疊,bac 為不為 abc 的好角？為（填 “為”或“不為 ”）（ 2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)覺了bac 為 abc 的好角, 請?zhí)骄?b 與 c（不妨設(shè) b c）之間的等量關(guān)系 依據(jù)以上內(nèi)容猜想：如經(jīng)過n 次折疊 bac 為 abc 的好角,就 b 與 c（不妨設(shè) b c）之間的等量關(guān)系為 b=n c應(yīng)用提升（ 3）小麗找到一個(gè)三角形,三個(gè)角分別為15°. 60°.105°,發(fā)覺 60°和 105°的兩個(gè)角都為此三角