《運(yùn)籌學(xué)》群決策

1、4上一章所研究的多屬性決策問(wèn)題是由單個(gè)決策者從有限個(gè)方案中，選擇一個(gè)決策者認(rèn)為滿意的方案。其決策行為主要表現(xiàn)在單一效用函數(shù)或單一優(yōu)先關(guān)系的構(gòu)造和分析，這一類決策是所謂的獨(dú)斷型決策。但在現(xiàn)代社會(huì)生活中，實(shí)際決策的形成往往不是一個(gè)人說(shuō)了算的。由于各種經(jīng)濟(jì)決策問(wèn)題變得越來(lái)越復(fù)雜，在許多情況下都有必要集中一群人的智慧來(lái)共同解決決策問(wèn)題。即使是人們每天碰到的日常決策，雖然本質(zhì)上不屬于群決策的范疇，但也會(huì)征求親友或同事們的意見，然后才作出決定。因此，根據(jù)群體各個(gè)成員的意見和偏好來(lái)制訂統(tǒng)一的決策是人類決策的普遍形式?，F(xiàn)代群決策(GDM)理論的研究范疇已經(jīng)從早期的社會(huì)選舉理論發(fā)展到近代的多屬性群決策理論，又從

2、多屬性群決策理論進(jìn)一步推廣到現(xiàn)代的專家系統(tǒng)理論和對(duì)策理論，并與模糊集理論結(jié)合在一起，形成了一個(gè)十分活躍而廣泛的研究領(lǐng)域。多屬性決策問(wèn)題從單個(gè)決策者的獨(dú)斷情形轉(zhuǎn)變到多個(gè)決策者集議的情形，給決策分析帶來(lái)許多復(fù)雜的因素，并提出一系列的新問(wèn)題。由于不同的決策者對(duì)同一問(wèn)題的理解和愿望彼此不同，甚至是相互抵觸和矛盾的，如何根據(jù)每個(gè)成員的偏好形成整個(gè)群體的偏好，即從單一優(yōu)先關(guān)系或單一效用函數(shù)形成群體優(yōu)先關(guān)系或群體效用函數(shù)，進(jìn)而排列方案的優(yōu)劣次序，便成為解決多屬性群決策問(wèn)題的關(guān)鍵。12.1 選舉函數(shù)和福利函數(shù)12.1.1 社會(huì)選舉理論選舉是民主社會(huì)中表達(dá)民眾意愿的基本形式，也是最典型的群決策方法之一。當(dāng)選民在

3、投票的時(shí)候，心中對(duì)候選人的各方面條件，如資格、能力、誠(chéng)信度等，都已經(jīng)作了綜合性的衡量與比較，才形成自己的選擇意愿。所以，選舉過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)多屬性的群決策過(guò)程，只是這里的決策屬性沒有以外在的形式表現(xiàn)出來(lái)而已。社會(huì)選舉方法的形成和發(fā)展可以劃分為三個(gè)主要的歷史時(shí)期。第一個(gè)歷史時(shí)期發(fā)生在十八世紀(jì)八十年代的法國(guó)，其代表人物為 Borda和Condorcet。第二個(gè)歷史時(shí)期發(fā)生在十九世紀(jì)六十年代和九十年代之間的英國(guó)，其代表人物為Dodgson和Nanson。第三個(gè)歷史時(shí)期發(fā)生在二十世紀(jì)五十年代至八十年代的美國(guó)，其代表人物為Arrow，Gibbard和 Satterthwaite。選舉需要解決的根本問(wèn)題是

4、如何在充分考慮個(gè)人意愿的基礎(chǔ)上形成合理的全社會(huì)的選舉結(jié)果。對(duì)于只有兩個(gè)候選人的選舉情況，簡(jiǎn)單多數(shù)的選舉原則被普遍認(rèn)為是公正可行的。但如果有多名候選人存在時(shí)，簡(jiǎn)單多數(shù)的選舉原則卻有可能導(dǎo)致矛盾荒謬的結(jié)果。譬如，設(shè)有三個(gè)選民甲、乙、丙和三個(gè)候選人，如果甲認(rèn)為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 ；乙認(rèn)為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 ；而丙認(rèn)為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 。那么兩兩比較的結(jié)果是： 優(yōu)于 有兩票贊成一票反對(duì)， 優(yōu)于 也有兩票贊成一票反對(duì)，但是 優(yōu)于 只有一票贊成兩票反對(duì)。因此，按簡(jiǎn)單多數(shù)原則得到的結(jié)果是不傳遞的，即 優(yōu)于 ， 優(yōu)于 ，但 卻不優(yōu)于 。這就是十八世紀(jì)末由Condorcet揭示的選舉問(wèn)題中的"多數(shù)悖

5、論"，稱為Condorcet現(xiàn)象，或Condorcet效應(yīng)。為了克服Condorcet 現(xiàn)象在選舉理論上造成的極大困擾，許多不同的群決策程序相繼提出，形成了社會(huì)選舉函數(shù)和社會(huì)福利函數(shù)兩大類別。前者主要用于政治選舉問(wèn)題，后者主要用于經(jīng)濟(jì)決策問(wèn)題。當(dāng)方案集為有限集時(shí)，社會(huì)選舉函數(shù)和社會(huì)福利函數(shù)是完全等價(jià)的，只有當(dāng)方案集為無(wú)限集時(shí)，社會(huì)福利函數(shù)才有別于社會(huì)選舉函數(shù)。社會(huì)選舉函數(shù)基于Condorcet倡議的簡(jiǎn)單多數(shù)原理，并由Borda (1784)，Copeland (1951)，Nanson (1883)，Dodgson (1876)，Kemeny (1959)，Cook和Seiford

6、(1978)，F(xiàn)ishburn (1977)，Bernardo (1981), Miller (1983)，Shepsle和Weingast (1984)，Banks (1985)，Mckelvey (1986)，F(xiàn)eld 及其合作者(1987)，Hartley和Kilgour (1987)，Dutta (1988)，Zavist 和Tideman (1989) 等人圍繞著Condorcet現(xiàn)象從不同角度對(duì)社會(huì)選舉函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)和推廣。Black (1958) 和 Fishburn (1977) 以及Gehrlein (1983) 對(duì)早期的這些方法進(jìn)行了總結(jié)，并從理論上作了詳細(xì)的比較性研究。社

7、會(huì)福利函數(shù)的概念由Bergson (1938) 提出，經(jīng)過(guò)Samuelson (1947)，Goodman- Markowits (1952) 的改進(jìn)和發(fā)展，并由Arrow (1963) 加以創(chuàng)新和推廣。此后，Kirkwood (1972)，Bowman-Colantoni (1973)，Gibbard (1973)，Blin-Whinston (1974)，Satterthwaite (1975)，F(xiàn)arris-Sage (1975)，Parks (1976)，Pollak (1979)，Dyer-Sarin (1979)，Mackay (1980)，Bowers (1981)，Grethe

8、r-Plott (1982)，F(xiàn)ishburn (1983, 1987)，Nurmi (1987)，Merrill (1988)，Enelow-Hinich (1989) 等人在Arrow 的不可能性定理的基礎(chǔ)上，提出了各種各樣的改進(jìn)方法。Luce-Raiffa (1957)，Rotheberg (1961)，Kelly (1978) 和Fishburn (1973, 1984, 1990) 對(duì)各種社會(huì)福利函數(shù)都有過(guò)精辟的論述。下面我們將扼要介紹社會(huì)選舉函數(shù)和社會(huì)福利函數(shù)的基本理論和方法。12.1.2 社會(huì)選舉函數(shù)在社會(huì)選舉問(wèn)題中，候選人集合是一個(gè)非空有限集合，記為A。設(shè)有n位選民參加投票，每

9、個(gè)人將按照自己的意愿對(duì)候選人進(jìn)行排隊(duì)。對(duì)于任何兩個(gè)候選人x, yA，采用符號(hào)# (i：x >i y) 表示x優(yōu)于y的票數(shù)，則有# (i：x >i y) + # (i：y >i x) = n, xy。那么簡(jiǎn)單多數(shù)原則可以被定義為：x > y 當(dāng)且僅當(dāng) # (i：x >i y) > # (i：y >i x)如果 # (i：x >i y) = # (i：y >i x)，則認(rèn)為x與y無(wú)差異。Condorcet認(rèn)為，在簡(jiǎn)單多數(shù)原則下，如果存在某一個(gè)候選人能夠擊敗所有的對(duì)手，則該候選人必然是最能代表大多數(shù)選民意愿的選舉結(jié)果。換言之，Condorcet原

10、則被定義為：2112.1 選舉函數(shù)和福利函數(shù)x = x* 當(dāng)且僅當(dāng)xA, x > y, yAx但是，當(dāng)選舉結(jié)果出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時(shí)，不存在以簡(jiǎn)單多數(shù)勝出的候選人。為此，許多學(xué)者對(duì)上述簡(jiǎn)單多數(shù)原則進(jìn)行了推廣，并由此產(chǎn)生了多種多樣的社會(huì)選舉函數(shù)?，F(xiàn)選擇其中有代表性的幾種社會(huì)選舉函數(shù)分別介紹如下。(1) Condorcet函數(shù)當(dāng)簡(jiǎn)單多數(shù)勝出的候選人不存在時(shí)，Condorcet提議采用下面的方法。設(shè)則候選人的優(yōu)先順序?qū)凑蘸瘮?shù)fC (x)的值來(lái)排列。這里，fC (x)的值表示x與其它候選人比較時(shí)所處的最不利情形。因此，fC (x)是一個(gè)極大極小型的保守函數(shù)。(2) Borda函數(shù)在包含m個(gè)候選人的選舉

11、問(wèn)題中，Borda提議對(duì)每一個(gè)候選人依據(jù)其排序名次分別記分，稱為Borda分。記分原則是排在第一位得m 1分，第二位得m 2分，這樣依次遞減，直到最后一位得0分。候選人的最終排名取決于Borda總分的高低，其數(shù)學(xué)表示式為(3) CookSeiford函數(shù)Cook和Seiford引進(jìn)了距離函數(shù)d以度量排序的不一致性，并將總距離最小的排序方式定義為一致性排序。設(shè)rij表示選民i對(duì)候選人j的排序結(jié)果，令rj*表示候選人j的一致性排序結(jié)果，那么選民i排序的不一致性可以表示為故排序的總偏差為因?yàn)閞j*只能等于序數(shù)1, 2, , m中的某一個(gè)，設(shè)rj* = k，則可定義從而假定每個(gè)候選人都有m個(gè)不同的k值

12、，則一共要計(jì)算m×m個(gè)距離系數(shù)djk , j, k = 1,2,m。顯然，尋找使總距離最小的一致性排序問(wèn)題等價(jià)于求解一個(gè)m×m的分配問(wèn)題。限于本教材的撰寫目的和篇幅，其它社會(huì)選舉函數(shù)不再一一列舉，有興趣的讀者可參閱書后所列的參考文獻(xiàn)。例12.1 假設(shè)某班級(jí)60位學(xué)生擬從3名任課教師中評(píng)選1名優(yōu)秀教師，投票結(jié)果為：23票：a > b > c17票：b > c > a 2票：b > a > c10票：c > a > b 8票：c > b > a(1) Condorcet函數(shù)：兩兩比較結(jié)果為# (i：a >i b)

13、 = 33，# (i：b >i a) = 27，# (i：a >i c) = 25，# (i：c >i a) = 35，# (i：b >i c) = 42，# (i：c >i b) = 18。顯然，這里不存在能以簡(jiǎn)單多數(shù)勝出的候選人。采用Condorcet函數(shù)的計(jì)算結(jié)果可表示為如下矩陣形式：abcfC a332525b274227c351818結(jié)論：b > a > c。(2) Borda函數(shù)：abcfB a332558b274269c351853結(jié)論：b > a > c。(3) CookSeiford函數(shù)：已知i = 1,2,60，j =

14、a, b, c，k = 1, 2, 3類似地，可算出：以上距離系數(shù)被總結(jié)在下面的矩陣表中： kj123a624858b512969c674353這是一個(gè)使總偏差達(dá)到最小的分配問(wèn)題，其求解過(guò)程為：62485814010000512969220408030674353240101000結(jié)論：a > b > c。12.1.3 社會(huì)福利函數(shù)福利經(jīng)濟(jì)學(xué)是西方的一種經(jīng)濟(jì)學(xué)派，主要研究社會(huì)資源和商品的分配理論與方法，旨在發(fā)現(xiàn)某種合理的社會(huì)結(jié)構(gòu)，以使由資源和商品產(chǎn)生的社會(huì)福利達(dá)到最大。福利經(jīng)濟(jì)學(xué)家從社會(huì)福利的觀點(diǎn)去評(píng)價(jià)各種可能的社會(huì)結(jié)構(gòu)，并用一個(gè)反映社會(huì)狀況的實(shí)值函數(shù) 福利函數(shù)去度量和判斷每種社會(huì)

15、結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣。早期的社會(huì)選舉函數(shù)和社會(huì)福利函數(shù)對(duì)候選人或事所處狀態(tài)的描述采用的都是序數(shù)型變量，即排序比較方法。針對(duì)這種情形，Arrow提出了滿足一致性要求的兩條公理和五項(xiàng)條件，并在此基礎(chǔ)上證明了著名的Arrow不可能性定理，即在一般情形下不可能找到一種程序或方法將所有社會(huì)成員的個(gè)人偏好集成為整個(gè)社會(huì)的群體偏好而不違背一致性原則。為此，其它學(xué)者作出了種種假設(shè)，旨在將序數(shù)型的社會(huì)福利函數(shù)改寫成基數(shù)型的效用函數(shù)，從而發(fā)展為現(xiàn)代的多屬性群決策理論與方法。在介紹Arrow的不可能性定理之前，我們先引進(jìn)二元關(guān)系和社會(huì)福利函數(shù)的定義與性質(zhì)：定義12. 1 集合A上的一個(gè)二元關(guān)系R是域A×A上的一個(gè)子

16、集，定義為 A上全部有序?qū)?(x, y) 的集合，記作x R y，并用符號(hào) , 和 分別表示x, y之間的強(qiáng)序關(guān)系，弱序關(guān)系和無(wú)差異關(guān)系，記作x y，x y和x y。定義12. 2 設(shè)R是集合A上的一個(gè)二元函數(shù)。則：(1) R是自反的當(dāng)且僅當(dāng)：x R x, xA。(2) R是連通的當(dāng)且僅當(dāng)：。式中是邏輯"或"的符號(hào)，即對(duì)于集合A中的任何x, y不是x R y，就是y R x。(3) R是不循環(huán)的當(dāng)且僅當(dāng)：不存在 ，使得式中是邏輯"與"的符號(hào)。(4) R是可傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)：，即如果，而且y R z，則x R z。(5) R是一個(gè)弱序關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)：R是連通的

17、和可傳遞的。定義12. 3 設(shè)有一組方案 和決策群體D = (D1, D2, , Dm)。社會(huì)福利函數(shù)f是將決策者個(gè)人在方案集A上的獨(dú)立序關(guān)系合成為決策群體D在A上的總序關(guān)系R的法則，亦即f是從積空間R m到空間R的一個(gè)映射，記為, 或 定義12. 4 對(duì)于A中的任意方案x, y，當(dāng)決策者Di認(rèn)為x i y, x i y和x i y時(shí)，分別記 R i = 1, 0 和1。則由社會(huì)福利函數(shù) f 確定的群決策法則具有以下性質(zhì)：(1) 可決策性：；(2) 公正性：；(3) 平等性：如果是1,m上的任一排列，則 (4) 正相關(guān)性：；(5) 均分性：對(duì)于任意正整數(shù) m，；(6) 弱Pareto最優(yōu)性：；

18、(7) 強(qiáng)Pareto最優(yōu)性：如果中的某些值等于1，而其它值等于0，則 如果中的全部值等于0，則。對(duì)定義10.4中的有關(guān)性質(zhì)可作如下解釋，(1) 可決策性：指由社會(huì)福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則對(duì)于選民的每一種選擇意向都應(yīng)該能得到一個(gè)有意義的、唯一的決策結(jié)果。(2) 公正性：如果所有的人都改變?cè)瓉?lái)的選擇意向，則原決策的結(jié)果將會(huì)被推翻，其作用是防止任何候選人或候選方案被外部勢(shì)力內(nèi)定為決策的必然結(jié)果。(3) 平等性：避免某一個(gè)決策成員享有高于其它決策成員的權(quán)力，體現(xiàn)了一人一票的選舉原則。(4) 正相關(guān)性：如果一個(gè)或幾個(gè)決策成員的選擇意向朝著對(duì)方案x有利的方面轉(zhuǎn)化，而對(duì)其它方案的選擇意向保持不變，則方案x

19、所處的選舉地位只會(huì)變好，不會(huì)變差。(5) 均分性：當(dāng)某一個(gè)決策者認(rèn)為方案x和方案y無(wú)差異時(shí)，可設(shè)想該決策者被一分為二，其中的半個(gè)人投票贊成x，另外半個(gè)人投票贊成y。如果有多個(gè)方案被認(rèn)為無(wú)差異時(shí)，也可用類似的方式進(jìn)行處理。(6) Pareto最優(yōu)性(也稱為全體一致性)：當(dāng)所有的人都選擇x時(shí)，則x勝，當(dāng)所有的人都選擇y時(shí)，則y勝。容易想見，滿足上述定義的社會(huì)福利函數(shù)很多，有些是可以接受的，有些是不能接受的。Arrow 在群決策理論上的重大貢獻(xiàn)之一是為社會(huì)福利函數(shù)規(guī)定了一組看起來(lái)非?？尚诺墓砗蜅l件，從而導(dǎo)出了群決策理論上著名的"不可能性定理"。它們是：公理1 連通性：設(shè)有方案集

20、 和決策群 ，決策者對(duì)于A中任意方案的偏好，不是，就是，或者。公理2 傳遞性：對(duì)于方案集中的任意方案，如果決策者認(rèn)為，則必有。條件1 (完備性) 方案集A中至少有三個(gè)方案，決策群D中至少有二個(gè)決策人，由社會(huì)福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則必須考慮每一個(gè)決策者的選擇意愿。條件2 (正相關(guān)性) 如果社會(huì)福利函數(shù)f給出x優(yōu)于y的結(jié)果，則當(dāng)決策者對(duì)x以外的方案進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果不變，且對(duì)x與其它方案之間的比較結(jié)果對(duì)x而言沒有任何不利時(shí)，社會(huì)福利函數(shù)的結(jié)果將維持不變。條件3 (無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性) 設(shè)A 為方案集A中的一個(gè)子集，如果每一個(gè)決策者都保持對(duì)A 中方案兩兩比較的結(jié)果不變，而只改變A 以外方案的比較結(jié)果，則

21、對(duì)A 中的方案來(lái)說(shuō)，兩種情況下的決策次序是一樣的。條件4 (Pareto 最優(yōu)性) 對(duì)于A中的任意方案，必須有某些決策者認(rèn)為優(yōu)于時(shí)，才有可能導(dǎo)致群體的選擇結(jié)果是優(yōu)于。條件5 (非獨(dú)裁性) 對(duì)于A中的任意方案，沒有任何一個(gè)決策者可以為群體指定一個(gè)優(yōu)劣次序，或者，而不管其它決策者的意見如何。定理12. 1 沒有任何一個(gè)社會(huì)福利函數(shù) 能同時(shí)滿足上面的兩條公理和五個(gè)條件。在Arrow之后，許多其它形式的不可能性定理相繼提出。其中最有代表性的幾種形式是：Mass-Colell和Sonnenschein (1972), Gibbard (1973) 和Satterthwaite (1975), Parks

22、 (1976) 和Pollak (1979) 以及Grether和Plott (1982)。每一條不可能性定理的后面都伴隨著相應(yīng)的可能性定理和一系列相互可比的條件，這些條件都是通過(guò)松弛或弱化Arrow 定理中的一個(gè)或多個(gè)條件以達(dá)成一致而得到的。感興趣的讀者可以查閱后面的參考文獻(xiàn)或Kelly(1978) 和Fishburn (1987) 對(duì)此所作的精辟論述。社會(huì)福利函數(shù)之所以不能同時(shí)滿足Arrow定義的兩條公理和五個(gè)條件，有原理和方法兩方面的原因。從條件本身來(lái)說(shuō)，Goodman和Markowitz(1952) 曾用下面的例子說(shuō)明了Arrow條件的局限性。設(shè)主人擬用茶或咖啡中的一種同時(shí)招待兩位客人

23、，如果主人只知道客人甲對(duì)咖啡的喜好勝于茶，而客人乙對(duì)茶的喜好勝于咖啡，則主人會(huì)認(rèn)為以茶或咖啡待客是沒有區(qū)別的。但如果主人還進(jìn)一步知道甲的喜好是咖啡勝于茶，茶勝于可可，可可勝于牛奶；但乙的喜好是不僅茶勝于咖啡，而且可可、牛奶甚至白水都勝于咖啡。在這種情況下，主人要招待這兩位客人顯然是以茶為好。這說(shuō)明表面上看起來(lái)似乎無(wú)關(guān)的方案(在此為可可、牛奶和白水)對(duì)于群決策的集成法則并不是完全無(wú)關(guān)的，因而Arrow 定義的條件3 對(duì)社會(huì)福利函數(shù)而言并非絕對(duì)適當(dāng)。同時(shí)，F(xiàn)ishburn (1970) 已經(jīng)證明，當(dāng)問(wèn)題的決策集是無(wú)限集合時(shí)，Arrow 定義的五個(gè)條件將可以被滿足。這里，決策集有限和無(wú)限的差別在于，

24、原不可能性定理中獨(dú)裁者的角色可以從幕前轉(zhuǎn)到幕后。從方法上來(lái)看，序數(shù)型的社會(huì)福利函數(shù)僅僅給出了個(gè)人和群體對(duì)不同方案的偏好順序，但忽略了他們對(duì)不同方案的偏愛程度，因而缺乏對(duì)事物的分辨力。以Goodman和Markowitz的例子來(lái)說(shuō)，如果客人甲和乙各自對(duì)咖啡和茶的喜愛程度可以被量化，即用某種統(tǒng)一的尺度去衡量的話，譬如甲對(duì)咖啡的喜愛是8個(gè)單位，對(duì)茶的喜愛是6個(gè)單位，而乙對(duì)茶的喜愛是10個(gè)單位，對(duì)咖啡的喜愛是2個(gè)單位，則主人不難決定待客的飲料以茶為宜。這樣得到的社會(huì)福利函數(shù)被稱為基數(shù)型的社會(huì)福利函數(shù)。只要經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變換，基數(shù)型的社會(huì)福利函數(shù)很容易轉(zhuǎn)化成所謂的的效用函數(shù)。容易證明，在個(gè)人效用函數(shù)基礎(chǔ)上建

25、立的群效用函數(shù)可以滿足Arrow 提出的全部條件和公理。12. 2 群效用函數(shù)基于群效用函數(shù)作出的決策并不是一種簡(jiǎn)單的多數(shù)規(guī)則，它包含了更多個(gè)人效用的信息和人與人之間的效用的比較。群效用函數(shù)的一般形式為：式中代表第i個(gè)決策者對(duì)方案x的個(gè)人效用函數(shù)值。如果群效用函數(shù)為已知，則群決策問(wèn)題就可以寫成下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題：為了便于構(gòu)造群效用函數(shù)，Keeney和Raiffa(1976)為群效用函數(shù)的存在提出了某些必要的條件，并在此基礎(chǔ)上定義了群效用函數(shù)的加法模型和乘法模型?，F(xiàn)將這兩種模型分別介紹如下：(1) 加法模型條件1 個(gè)人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應(yīng)滿足關(guān)于效用的Neumann-Morgenstern

26、公理系統(tǒng)，即方案集A上的二元關(guān)系是完備的、傳遞的、獨(dú)立的、和連續(xù)的。條件2 如果群中每個(gè)決策成員都認(rèn)為某兩個(gè)方案是無(wú)差異的，則決策群也認(rèn)為這兩個(gè)方案是無(wú)差異的。條件3 個(gè)人效用函數(shù)的效用值是獨(dú)立可加的。定理12. 2 滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：式中是群中第i個(gè)成員的個(gè)人效用函數(shù)，而是的權(quán)值。(2) 乘法模型條件1 個(gè)人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應(yīng)滿足關(guān)于效用的Neumann-Morgenstern 公理系統(tǒng)，即方案集A上的二元關(guān)系是完備的、傳遞的、獨(dú)立的、和連續(xù)的。條件2 如果群中所有的決策成員除第i個(gè)成員外都認(rèn)為所有方案無(wú)差異，則群效用函數(shù)是第i個(gè)個(gè)人效用函數(shù)的正線性變換。換言之，此時(shí)

27、的群偏好等價(jià)于第i個(gè)成員的偏好。條件3 如果群中所有的決策成員除第i個(gè)和第j個(gè)成員外都認(rèn)為所有方案無(wú)差異，則決策群體對(duì)這些方案的偏好僅取決于第i和第j個(gè)成員的偏好。定理12. 3 滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：式中為標(biāo)度常數(shù)，, i = 1,2,m。Keeney(1974)已經(jīng)證明：當(dāng)時(shí)，群效用函數(shù)應(yīng)采用加法模型；當(dāng)時(shí)，群效用函數(shù)應(yīng)采用乘法模型。群效用函數(shù)的存在性表明，可以由群中每個(gè)成員的偏好形成整個(gè)群體的偏好，并根據(jù)群體的偏好排列方案的順序。這為解決群決策問(wèn)題提供了重要的理論基礎(chǔ)。但在實(shí)際決策中，直接構(gòu)造群效用函數(shù)有諸多不便，故很少應(yīng)用。我們?cè)谙乱还?jié)將介紹如何將已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的多屬性決策方

28、法移植過(guò)來(lái)，用以解決群決策問(wèn)題。12.3 多屬性群決策方法在前面討論的群決策模式中，事物的屬性并沒有以外在的形式表現(xiàn)出來(lái)。群效用函數(shù)的集成對(duì)象是所有個(gè)人效用函數(shù)的效用值，但個(gè)人效用的獲取過(guò)程并沒有涉及。這里，我們將在本書第九章的基礎(chǔ)上，介紹有多個(gè)決策者存在時(shí)多屬性決策問(wèn)題的解決方法。設(shè)有方案集A = A1, A2, , Am和決策群體D = D1, D2, ., Dn。每一位決策者將依據(jù)自己選定的一組屬性C = C1, C2,Cl 對(duì)每一個(gè)方案獨(dú)立地進(jìn)行評(píng)價(jià)，并用權(quán)向量w = w1, w2, wl 表示各屬性的重要程度，符合歸一化條件w1 + w2 + + wn = 1。不同決策者考察的屬性及

29、采用的權(quán)值可以相同，也可以不同。其決策模式寫為： C1 C2 - Cl 與多屬性決策一樣，決策者采用的評(píng)價(jià)方式有序數(shù)型和基數(shù)型兩種：前者只給出每一屬性上各方案的排列順序；后者則度量各方案每一屬上的實(shí)際水平，并以數(shù)值形式表明其結(jié)果。不同之處在于多屬性決策的決策矩陣是唯一的，它反映了決策者對(duì)多個(gè)屬性的偏好結(jié)構(gòu)；而群決策的決策矩陣有許多個(gè)，分別代表了不同決策者的決策意愿，其偏好結(jié)構(gòu)互不相同，但都應(yīng)受到尊重，不能厚此薄彼，或有所偏廢。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，假定個(gè)人效用函數(shù)的效用值是獨(dú)立可加的。那么，求解群決策問(wèn)題的關(guān)鍵在于：(1) 如何表示每一位決策者的個(gè)人優(yōu)先關(guān)系；(2) 如何將個(gè)人優(yōu)先關(guān)系合成為群優(yōu)先關(guān)

30、系；(3) 是先合成、后評(píng)價(jià)，還是先評(píng)價(jià)、后合成？這里，前者是先將不同決策者就方案屬性作出的評(píng)價(jià)綜合到一起，然后選用已知的多屬性決策方法統(tǒng)一求解，其實(shí)質(zhì)是將一個(gè)群決策問(wèn)題整體轉(zhuǎn)化為一個(gè)獨(dú)裁決策問(wèn)題，它要求所有的決策者采用相同的屬性和屬性權(quán)值以方便合成；后者是由每一位決策者先按照自己的意愿分別對(duì)相應(yīng)的多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行求解，其結(jié)果歸結(jié)為社會(huì)選舉問(wèn)題，然后采用本章討論的社會(huì)選舉函數(shù)作出最終的選擇，其實(shí)質(zhì)是將一個(gè)群決策問(wèn)題分解成若干個(gè)獨(dú)裁決策問(wèn)題，該方法對(duì)不同決策者考察的屬性和采用的屬性權(quán)值不強(qiáng)求一致。綜上所述，求解一個(gè)效用值獨(dú)立可加的群決策問(wèn)題，關(guān)鍵在于怎樣合成和什么時(shí)候合成。因?yàn)樯婕皟煞N數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

31、(序數(shù)型和基數(shù)型)和兩種合成順序(先合成和后合成)，兩兩組合共有四種不同的決策程序，現(xiàn)通過(guò)實(shí)例分別介紹如下。例12. 2 NASA為宇宙飛船的科學(xué)實(shí)驗(yàn)擬定了六個(gè)可能的實(shí)驗(yàn)方案，它們分別是：通訊與航行實(shí)驗(yàn)(A1)，地面觀測(cè)實(shí)驗(yàn)(A2)，物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)(A3)，微生物實(shí)驗(yàn)(A4)，系統(tǒng)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)(A5) 和環(huán)境效應(yīng)實(shí)驗(yàn)(A6)。對(duì)每一實(shí)驗(yàn)都要從需要性(C1)、研究性(C2)和發(fā)展性(C3)三個(gè)方面進(jìn)行評(píng)價(jià)。NASA組織了六位專家(D1, D2, D3, D4, D5, D6)對(duì)方案實(shí)施考察，后因?qū)嶒?yàn)時(shí)間和條件的限制，通訊航行實(shí)驗(yàn)的方案被先行淘汰而退出了選擇程序。其評(píng)定結(jié)果為：D1C1C2C3D2C1C

32、2C3D3C1C2C3A2533A2344A2344A3212A3221A3112A4344A4535A4535A5455A5452A5451A6121A6113A6223D4C1C2C3D5C1C2C3D6C1C2C3A2413A2444A2155A3231A3122A3312A4545A4555A4544A5324A5332A5433A6152A6213A6221顯然，這是一個(gè)序數(shù)型的多屬性群決策問(wèn)題，下面是兩種不同的決策程序。(1) 先綜合意見，后統(tǒng)一求解對(duì)于被考察的每一種屬性Cj，j = 1,2,l，我們有以下序列矩陣其中矩陣元素1,2,n表示決策者k對(duì)方案Ai在屬性 j上所排的名次。

33、采用任何一種社會(huì)選舉方法，如Borda方法，可確定各方案關(guān)于屬性j 的優(yōu)劣次序。本例中，屬性C1的序列矩陣為：C1D1D2D3D4D5D6A2533441A3221213A4355555A5444334A6112122現(xiàn)采用Borda記分法求解，令排名第一至第五位的分值分別為4, 3, 2, 1, 0，可得分值矩陣C1D1D2D3D4D5D6C1DA2022114A210A3334342A319A4200000A42A5111221A58A6443433A621故各方案關(guān)于屬性C1的優(yōu)劣次序?yàn)椋?。類似地，可求得各方案關(guān)于屬性C2和C3的優(yōu)劣次序分別為：，。故各方案的綜合序列矩陣為：C1C2C3

34、A2334A3211A454.55A544.53A6122矩陣中的分值4.5表示方案4和方案5在屬性C2上并列第四和第五的位置。然后計(jì)算加權(quán)的一致性矩陣，式中當(dāng)方案排在第j位時(shí)，；否則。從而有： ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w1+w2w30A3w2+w3w1000A40000.5w2w1+0.5w2+w3A500w3w1+0.5w20.5w2A6w1w1+w2000設(shè)w = (0.2, 0.3, 0.5)，則 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000采用

35、匈牙利方法可解得其最大分配為： ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000結(jié)論：A3 > A6 > A5 > A2 > A4。(2) 先個(gè)別求解，后綜合決策每一位決策者Dk 將采用自己選定的考察屬性(C1,C2,Clk )和屬性權(quán)值 (w1,w2,wlk )對(duì)方案進(jìn)行獨(dú)立評(píng)價(jià)。本例中考察屬性已被確定為(C1,C2,C3)，但權(quán)向量可以自由設(shè)計(jì)。設(shè)決策者D1選用的權(quán)向量為w1 = (0.2, 0.3, 0.5)，則其個(gè)人的序列矩陣、加權(quán)一致性矩陣和排序結(jié)果分別

36、為：D1C1C2C3A2533A3212A4344A5455A6121 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w2+w30w1A3w2w1+w3000A400w1w2+w30A5000w1w2+w3A6w1+w3w2000 ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.800.2A30.30.7000A4000.20.80A50000.20.8A60.70.3000故決策者D1的排序結(jié)果為：A6 > A3 > A2 > A4 > A5。類似地，我們有D2：w2 = (0.3, 0.3, 0.4) A6 > A3 > A2 > A5 >

37、A4 或 A6 > A3 > A4 > A2 > A5。D3：w3 = (0.2, 0.4, 0.4) A3 > A6 > A4 > A2 > A5D4：w4 = (0.3, 0.4, 0.3) A2 > A5 > A3 > A4 > A6D5：w5 = (1/3, 1/3, 1/3) A3 > A6 > A5 > A2 > A4D6：w6 = (0.3, 0.2, 0.5) A6 > A3 > A5 > A4 > A2因?yàn)闆Q策者D2 給出了兩個(gè)不同的排隊(duì)順序，故分別綜合如下

38、(a) 故方案的排列順序?yàn)椋篈3 > A6 > A2 > A5> A4。(b) 故方案的排列順序?yàn)椋篈3 > A6 > A2 > A4 A5。例12. 3 某專家組正負(fù)責(zé)優(yōu)秀論文的審評(píng)與選拔工作。該專家組由三位專家組成，記為D1, D2, D3，待審的論文為五篇，記為A1, A2, A3, A4, A5。評(píng)選工作分兩步進(jìn)行：第一步由每一位專家對(duì)論文獨(dú)立考核，考核指標(biāo)為理論價(jià)值、實(shí)用價(jià)值和難易程度三個(gè)方面，記為C1, C2, C3，其相對(duì)重要性商定為0.4, 0.4, 0.2?？己私Y(jié)果以計(jì)分的形式(而不是以排序的形式)給出。計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)為10分制：非常好計(jì)1

39、0分，優(yōu)秀計(jì)9分，良好計(jì)7分，一般計(jì)5分，較差計(jì)3分，很差計(jì)1分，非常差計(jì)0分。第二步由專家組集中各位專家的意見，以形成最后的決議。專家的計(jì)分結(jié)果如下表所示：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A1579A1559A1777A27107A2977A29105A3753A3535A3535A4355A4157A4559A5997A5975A5977規(guī)范方式為：規(guī)范矩陣為：D1C1C2C3D2C1C2C3A10.34260.41830.6167A10.34260.39900.5947A20.47960.59760.4796A20.61670.55870.4626A30.47960.29

40、880.2056A30.34260.23940.3304A40.20560.29880.3426A40.06850.39900.4626A50.61670.53780.4796A50.61670.55870.3304D3C1C2C3A10.43330.45960.4626A20.55710.65650.3304A30.30950.19690.3304A40.30950.32830.5947A50.55710.45960.4626(1) 先綜合意見，后統(tǒng)一求解首先計(jì)算綜合的規(guī)范性決策矩陣：其結(jié)果為DC1C2C3A10.37280.42560.5580A20.55110.60420.4927A30

41、.37720.24500.2888A40.19450.34200.4666A50.59680.51870.4242然后計(jì)算加權(quán)的規(guī)范性決策矩陣：D = dij = wjdij，w = (0.4, 0.4, 0.2)，其結(jié)果為 DC1C2C3A10.14910.17020.1116A20.22040.24170.0985A30.15080.09800.0578A40.07780.13680.0933A50.23870.20750.08481簡(jiǎn)單加權(quán)平均法： DC1C2C3A10.14910.17020.11160.4309A20.22040.24170.09850.5606A30.15080.0

42、9800.05780.3066A40.07780.13680.09330.3079A50.23870.20750.08480.5310結(jié)論：A2 > A5 > A1 > A4 > A3。2折衷算法：理想解： A+ = () = (0.2390, 0.2417, 0.1116)；反理想解：A= () = (0.0778, 0.0980, 0.0578)；與理想解距離：= (0.1149, 0.0228, 0.1770, 0.1932, 0.0434)；與反理想解距離：= (0.1149, 0.2065, 0.0730, 0.0526, 0.1965)；綜合效用值：= (0

43、.5000, 0.9005, 0.2920, 0.2140, 0.8191)。結(jié)論：A2 > A5 > A1 > A3 > A4。(2) 先個(gè)別求解，后綜合決策1簡(jiǎn)單加權(quán)平均法：首先由每位專家獨(dú)立評(píng)價(jià)，其中對(duì)D1而言，其評(píng)價(jià)過(guò)程為D1C1(0.4)C2(0.4)C3(0.2)A10.34260.41830.61670.4277A20.47960.59760.47960.5268A30.47960.29880.20560.3525A40.20560.29880.34260.2703A50.61670.53780.47960.5577 D1：A5 > A2 >

44、A1 > A3 > A4類似地，可以求出D2：A2 > A5 > A1 > A3 > A4D3：A2 > A5 > A1 > A4 > A3然后采用社會(huì)選舉方法，如Borda方法，求出專家組綜合排序結(jié)果。其過(guò)程為DD1D2D3A12226A234411A31102A40011A543310結(jié)論：A2 > A5 > A1 > A3 > A42折衷算法：專家D1的加權(quán)規(guī)范矩陣及評(píng)價(jià)過(guò)程為D1C1C2C3A10.13700.16730.1233A20.19180.23900.0959A30.19180.11950.0

45、411A40.08220.11950.0685A50.24670.21510.0959理想解： A+ = (0.2467, 0.2390, 0.1233)；反理想解：A= (0.0822, 0.1195, 0.0411)；與理想解距離：= (0.1311, 0.0584, 0.1551, 0.2106, 0.0364)；與反理想解距離：= (0.1097, 0.1711, 0.1096, 0.0274, 0.1980)；綜合效用值：= (0.4556, 0.7455, 0.4140, 0.1151, 0.8447)。D1：A5 > A2 > A1 > A3 > A4。類似地，可以求出專家D2和D3的排序結(jié)果為：D2：A2 > A5 > A1 > A3 > A4；D3：A2 > A5 > A1 > A4 > A3。然后采用Borda的記分法綜合三位專家的意見，其決策過(guò)程為：DD1D2D3A12226A234411A31102A40011A543310故導(dǎo)致結(jié)論：A2 > A5 > A1 > A3 > A4。顯然，上述