微積分下學期末試卷及答案26頁

1、微積分下期末試題（一）一、填空題(每小題3分,共15分)1、 已知,則_.2、 已知, 則_.3、函數(shù)在 點取得極值.4、已知,則_1_.5、以(為任意常數(shù))為通解的微分方程是_.二、選擇題(每小題3分,共15分6 知與均收斂,則常數(shù)的取值范圍是( C ).(A) (B) (C) (D) 7 數(shù)在原點間斷,是因為該函數(shù)( B ).(A) 在原點無定義 (B) 在原點二重極限不存在 (C) 在原點有二重極限,但無定義 (D) 在原點二重極限存在,但不等于函數(shù)值8、若,則下列關(guān)系式成立的是( A). (A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解(D ). (A) (B) (C) (D) 10、

2、設收斂，則(D ).(A) 絕對收斂 (B) 條件收斂 (C) 發(fā)散 (D) 不定11、求由,所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：的函數(shù)為。且時，。于是 12、求二重極限 . 解：原式 (3分) (6分)13、由確定，求.解：設，則 ， ， ， (3分) (6分)14、用拉格朗日乘數(shù)法求在條件下的極值.解： 令,得,為極小值點. (3分)故在下的極小值點為,極小值為 (6分)15、計算.解： (6分)16、計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.解： (6分)17、解微分方程.解：令,方程化為,于是 (3分) (6分)18、判別級數(shù)的斂散性.解： (3分) 因為 19、將函數(shù)

3、展開成的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間.解：由于,已知 , (3分)那么 ,. (6分20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)的及報紙廣告費用(萬元)之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式:，求最優(yōu)廣告策略 解：公司利潤為令即得駐點,而 (3分),所以最優(yōu)廣告策略為：電臺廣告費用(萬元),報紙廣告費用(萬元). (6分)四、證明題(每小題5分,共10分)21、設，證明：.證：22、若與都收斂,則收斂.證：由于, (3分)并由題設知與都收斂,則收斂,從而收斂。 (6分)微積分下期末試題（二）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設，且當時，則

4、 。答案（）2、計算廣義積分= 。答案（）3、設，則 。答案（）4、微分方程具有 形式的特解. 答案（）5、設，則_。答案（1）二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函數(shù)在點可微的 （ A ）。 A.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （D）。A. ； B. ；C、； D. 4、設二階常系數(shù)非齊次線性方程有三個特解，則其通解為 （C ）。 A.； B.； C.； D.5、無窮級數(shù)(為任意實數(shù)) （D）A、收斂 B、絕對收斂 C、發(fā)散 D、無

5、法判斷 三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分）2、求由與直線、所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解： （4分） （6分）3、求由所確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)。解：方程兩邊對求導得:,有 （3分）方程兩邊對求導得:,有 （6分）4、求函數(shù)的極值。解：，則， 求駐點，解方程組得和. （2分）對有，于是，所以是函數(shù)的極大值點，且 （4分）對有，于是， 不是函數(shù)的極值點。 6、計算積分,其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域；解：. （4分） （6分）7、已知連續(xù)函數(shù)滿足，且，求。解：關(guān)系式兩端關(guān)于求導得：即 （2分）這是關(guān)于的一階線性微分方程，其通解為： = （5分）又，即，故，

6、所以 （6分）8、求解微分方程=0 。解：令，則，于是原方程可化為： （3分） 即，其通解為 （5分） 即故原方程通解為： （6分）9、求級數(shù)的收斂區(qū)間。解：令,冪級數(shù)變形為,. （3分）當時,級數(shù)為收斂；當時,級數(shù)為發(fā)散. 故的收斂區(qū)間是, （5分）那么的收斂區(qū)間為. （6分）10、 判定級數(shù)是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂。解：因為 （2分）由比值判別法知收斂()， （4分）從而由比較判別法知收斂，所以級數(shù)絕對收斂. （6分）四、證明題(每小題5分,共10分)1、設正項級數(shù)收斂,證明級數(shù)也收斂。證：， （3分）而由已知收斂，故由比較原則，也收斂。 （5分）2、設,其中

7、為可導函數(shù), 證明.證明：因為, （2分） （4分）所以. （5分）微積分下期末試題（三）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設，且當時，則 。答案（）2、計算廣義積分= 。答案（）3、設，則 。答案（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、級數(shù)的和為 。答案（）二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 （ B ）A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且連續(xù)是函數(shù)在點可微的 （ B ） A.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （ B）A. ； B. ；C、； D. 4、設二階常系數(shù)非齊次微

8、分方程有三個特解，則其通解為 （D） A、； B、； C、 ； D、5、無窮級數(shù)(為任意實數(shù)) （A）A、無法判斷 B、絕對收斂 C、收斂 D、發(fā)散三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分） 2、求由在區(qū)間上,曲線與直線、所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。 解： （4分） （6分）3、求由所確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)。解：（一）令則 ， ， 利用公式，得 （3分） （6分）（二）在方程兩邊同時對x求導，得 解出 ， （3分）同理解出 （6分）4、求函數(shù)的極值。解：，則，求駐點，解方程組得和. （2分）對有，于是，所以點不是函數(shù)的極值點. （4分）對有，于是，且，所以函

9、數(shù)在點取得極小值, （6分） （5分）6、計算二重積分,其中是由及所圍成的閉區(qū)域；解： （4分） （6分）7、已知連續(xù)函數(shù)滿足，求。解：關(guān)系式兩端關(guān)于求導得：即 （2分）這是關(guān)于的一階線性微分方程，其通解為： （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求微分方程的通解。解 這是一個不明顯含有未知函數(shù)的方程作變換 令 ，則，于是原方程降階為 （3分）， 分離變量，積分得 即 ，從而 （5分）再積分一次得原方程的通解 y （6分）9、求級數(shù)的收斂區(qū)間。解：令,冪級數(shù)變形為,. （3分）當時,級數(shù)為收斂；當時,級數(shù)為發(fā)散. 故的收斂區(qū)間是, （5分）那么的收斂區(qū)間為. （6分）10、 判定級數(shù)是否收斂，

10、如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂：解：因為 （2分）由比值判別法知收斂()， （4分）從而由比較判別法知收斂，所以級數(shù)絕對收斂. （6分）四、證明題(每小題5分,共10分)1、設級數(shù)收斂，證明也收斂。證：由于， （3分）而,都收斂，故收斂，由比較原則知 收斂.。（5分）2、設,證明:。證明： 因為 , （2分）, , （4分）所以 （5分）微積分下期末試題及答案（四）一、選擇題(每題2分)1、設定義域為（1,2），則的定義域為（）A、（0,lg2）B、（0，lg2 C、（10,100） D、（1,2）2、x=-1是函數(shù)=的（）A、跳躍間斷點 B、可去間斷點 C、無窮間斷點D、不是間

11、斷點3、試求等于（）A、 B、0 C、1 D、4、若，求等于（）A、 B、 C、 D、5、曲線的漸近線條數(shù)為（）A、0 B、1 C、2 D、36、下列函數(shù)中，那個不是映射（）A、 B、C、 D、 二、填空題（每題2分）1、_2、_3、_4、_5、_三、判斷題（每題2分）1、 ( )2、 ( )3、 ( )4、 ( )5、 ( )四、計算題（每題6分）1、2、3、4、5、6、五、應用題1、設某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品件時的總收益為，總成本函數(shù)為，問政府對每件商品征收貨物稅為多少時，在企業(yè)獲得利潤最大的情況下，總稅額最大？（8分）2、描繪函數(shù)的圖形（12分）六、證明題（每題6分）1、用極限的定義證明：設2、證明方程試題（四）答案一、 選擇題1、C 2、C