第四節(jié)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)

1、第四節(jié) 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)（一）數(shù)學(xué)概念的意義和結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的“細(xì)胞”，一切數(shù)學(xué)內(nèi)容基于數(shù)學(xué)概念之上，數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)推理組成一切的數(shù)學(xué)形式因此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要素同時，學(xué)好數(shù)學(xué)概念也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、掌握數(shù)學(xué)思想方法的根本保證，是學(xué)會數(shù)學(xué)知識、提高數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵所在1 數(shù)學(xué)概念及其意義（1） 概念的本質(zhì)概念是指反映事物本質(zhì)屬性的思維形式所謂本質(zhì)屬性，客觀事物中，存在著各種各樣的個別事物，這些事物各有許多性質(zhì)，如形狀、顏色、氣味、大小、在之間等，事物的性質(zhì)和事物間的關(guān)系統(tǒng)稱為事物的屬性。屬性可分為本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性兩種。所謂事物的本質(zhì)屬性，是指一個或一類事物內(nèi)部所固有

2、的、具有規(guī)律性的性質(zhì)，根據(jù)該性質(zhì)可以將此事物和其它事物區(qū)分開?？梢姡挛锕逃械囊?guī)定性和它與其它事物的區(qū)別性是本質(zhì)屬性的兩大特點(diǎn)，缺一便不為本質(zhì)屬性。人們在實(shí)踐中認(rèn)識周圍的事物（對象），一般是通過感覺、知覺形成觀念(表象)，這是感性認(rèn)識階段再經(jīng)過分析、比較、綜合、抽象、概括等一系列思維活動，從而認(rèn)識事物的本質(zhì)屬性，形成概念，這是理性認(rèn)識階段理性認(rèn)識在實(shí)踐的基礎(chǔ)上不斷深化，概念相應(yīng)的也就進(jìn)一步獲得發(fā)展（感性認(rèn)識理性認(rèn)識實(shí)踐達(dá)到發(fā)展）。如，人們對“圓”的概念的認(rèn)識，從對太陽、滿月等物體形狀的感覺、直覺而形成了圓的觀念、印象。在這個基礎(chǔ)上，通過制造圓形工具或器具需要圖形，進(jìn)而逐步認(rèn)識圓的本質(zhì)屬性，即圖

3、上的點(diǎn)都在同一個平面上，這些點(diǎn)到某個定點(diǎn)（中心）的距離都是相等的，這個特性是別的圖形所不具備的。當(dāng)人們對具有“圓形”的這類對象，有了如上認(rèn)識的飛躍后，便形成了“圓”的概念。至于半徑的大小、圓心的位置、畫圖筆的顏色、構(gòu)成圖形線條的粗細(xì)等特征，從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來看是非本質(zhì)的。概念是人們頭腦中的思維，它借助于有聲有形的語詞來表現(xiàn)，而表現(xiàn)概念的詞叫做概念的名稱。通常所說的名稱的定義，就是指表達(dá)名稱所代表的對象的本質(zhì)屬性的語詞。概念是語詞的思維內(nèi)容，語詞是概念的語言表達(dá)形式，概念在人類的思維活動中起著十分重要的作用，它是人類在一定階段對客觀世界認(rèn)識的總結(jié)，是用壓縮的形式表達(dá)大量知識的手段，是人們認(rèn)識對象的

4、工具，它里面印下了人類許多世紀(jì)的實(shí)踐的痕跡。（2） 數(shù)學(xué)概念什么是數(shù)學(xué)概念？恩格斯說：“在一定意義上，科學(xué)的內(nèi)容就是概念的體系”現(xiàn)代的一些學(xué)者認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，就是不斷地建立各種數(shù)學(xué)概念的過程”數(shù)學(xué)概念是指反映事物在量或形方面本質(zhì)屬性的抽象思維形式一個數(shù)學(xué)概念通常用一個詞（名稱）或符號來表示。如用“”表示垂直，用Q、N、Z、R分別表示有理數(shù)集、自然數(shù)集、整數(shù)集和實(shí)數(shù)集。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展有各種不同的途徑，有些數(shù)學(xué)概念是直接從反映客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系得來的例如，自然數(shù)、點(diǎn)、線、面、體等概念就是這樣然而，大多數(shù)數(shù)學(xué)概念是在一些數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多次的抽象概括過程才形成和發(fā)展的例

5、如，無理數(shù)、復(fù)數(shù)的概念，分別是在有理數(shù)系和實(shí)數(shù)系的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的；而關(guān)系、映射、群、環(huán)、域等概念的產(chǎn)生與發(fā)展的過程就更復(fù)雜了（3）數(shù)學(xué)概念具有如下特點(diǎn)：其一，數(shù)學(xué)概念具有抽象性與具體性這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念代表了一類事物的本質(zhì)屬性，決定了它的抽象性，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)脫離具體現(xiàn)實(shí)，且抽象程度越高距離現(xiàn)實(shí)越遠(yuǎn)但是不管它如何抽象，又總是高層次的抽象以低層次的事物為具體內(nèi)容的并且數(shù)學(xué)概念始終是數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)成分，它必然落實(shí)到具體的數(shù)、式、形之中其二，數(shù)學(xué)概念具有相對性與發(fā)展性在某一科學(xué)體系或特定研究領(lǐng)域內(nèi)，數(shù)學(xué)概念的意義始終是一致的例如，在小學(xué)里的數(shù)，始終是指正有理數(shù)；在初中里的直線，始終是指平面直線然而數(shù)、

6、形等概念本身處于不斷發(fā)展之中例如，自然數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)；直線上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)空間中的點(diǎn)n維空間中的點(diǎn)；銳角任意角空間角等其三，數(shù)學(xué)概念的定義、名詞、符號“三位一體”，處于一個完整的科學(xué)體系之中例如，三角形“”，平行“”，微分“”，積分“”，它們除了特定的定義外，還有相應(yīng)特定的名詞與符號，具有名詞、定義、符號“三位一體”，這是其他科學(xué)所無法比擬的其四，數(shù)學(xué)概念是對被反映對象簡明的本質(zhì)屬性的表述數(shù)學(xué)概念的定義是簡潔明了的，只需表述出概念的本質(zhì)屬性。四邊形 平行四邊形 矩形 正方形；實(shí)數(shù) 有理數(shù) 自然數(shù))如，定理的概念，比較下列兩個關(guān)于“定理”的定義(關(guān)于定理的概念)“定理指經(jīng)邏輯論證其真實(shí)性被確定

7、的命題”“有些命題是由已知定義、公理或已經(jīng)證實(shí)了的真命題出發(fā)，通過推理的方法得到證實(shí)，并且可以進(jìn)一步作為判斷其它命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理”作為“定理”概念的簡潔明了，指出了定理的本質(zhì)屬性經(jīng)邏輯論證而得到的真命題作為“定理”概念的中“并且可以進(jìn)一步作為判斷其它命題真假的依據(jù)”不是定理的本質(zhì)屬性(比如公理也有此屬性)，因此在這里是多余的“由已知定義、公理或已經(jīng)證實(shí)了的真命題出發(fā)，通過推理的方法”其實(shí)就是“邏輯論證”因此可以說，作為定理這一概念是恰當(dāng)?shù)?，作為定理這一概念是不夠恰當(dāng)?shù)?數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延（1）內(nèi)涵與外延的含義 在一個科學(xué)體系中，任何一個概念都反映事物的一定范圍和這個范圍內(nèi)

8、事物的共同本質(zhì)把適合于該概念的所有對象的范圍(或集合)，叫做這個概念的外延；這些事物的本質(zhì)屬性的總和（或集合）叫做這個概念的內(nèi)涵它們分別是對這個事物集合的量和質(zhì)的描述數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)實(shí)際上就是理解概念的內(nèi)涵，盡可能把握概念的外延例 正偶數(shù)這一概念的外延是集合2，4，6，8，2n，內(nèi)涵是“能被2整除的正整數(shù)”這個性質(zhì)；例 平行四邊形概念的內(nèi)涵：兩組對邊分別平行的平面圖形平行四邊形概念的外延：一切平行四邊形，包括矩形、菱形、正方形例 多項(xiàng)式概念的內(nèi)涵：1，的線性組合，的系數(shù)非零時為n次多項(xiàng)式多項(xiàng)式概念的外延：一切n(n為正整數(shù))次多項(xiàng)式，包括整系數(shù)多項(xiàng)式，有理系數(shù)多項(xiàng)式，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式等例 中位數(shù)概念

9、的內(nèi)涵：距一組數(shù)的距離之和最小的數(shù)中位數(shù)概念的外延：一組奇數(shù)多個數(shù)按大小順序排列時中間的那個數(shù)或一組偶數(shù)多個數(shù)按大小順序排列時中間兩個數(shù)之間的任意數(shù)(通常取中間兩個數(shù)的平均數(shù))例 概率概念的內(nèi)涵：隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)字度量概率概念的外延：在日常生活中，可以通過隨機(jī)事件發(fā)生的頻率近似表示概率；在古典概型中可通過基本事件的等可能性求得隨機(jī)事件的概率；在幾何概型中可通過基本事件與幾何區(qū)域點(diǎn)的一一對應(yīng)性求得隨機(jī)事件的概率（2）反變關(guān)系：在同類概念中，外延與內(nèi)涵存在著反變關(guān)系即當(dāng)外延擴(kuò)大(或縮小)時，內(nèi)涵反而縮小(或擴(kuò)大)例如，就外延而言，四邊形平行四邊形矩形正方形；實(shí)數(shù)有理數(shù)自然數(shù))；就內(nèi)涵而言

10、，它們則依次擴(kuò)大（3）概念的限制與概括 概念的限制與概括是明確概念的邏輯方法。概念的限制與概括是以概念的內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系為依據(jù)的。在數(shù)學(xué)中，為了對某一概念加深認(rèn)識，或者為了用較一般的概念來說明特殊的概念，往往采取逐步增加概念的內(nèi)涵，從而使概念的外延縮小的方法，來得到一系列具有從屬關(guān)系的概念，這種方法叫做概念的限定例如，平行四邊形若增加“有一內(nèi)角為直角”這個性質(zhì)后，就成為矩形反之，為了從一些特殊的概念認(rèn)識一般的概念，或者為了認(rèn)識同類概念的共同性質(zhì)，有時又把某一概念的內(nèi)涵逐步縮小，使概念的外延逐步擴(kuò)大，從而得到一系列具有從屬關(guān)系的概念，這種方法叫做概念的概括例如，不考慮諸數(shù)系中元素的具體含義，

11、只考慮其運(yùn)算性質(zhì)，可概括成群、環(huán)、域等概念在數(shù)學(xué)中常用概念的限定與概括的方法，給出新的概念概念學(xué)習(xí)中，把握概念的內(nèi)涵，理解概念所反映對象的本質(zhì)屬性是學(xué)習(xí)的核心；弄清楚概念的外延，明白概念中各種因素的內(nèi)在聯(lián)系是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時，往往通過對概念外延的奠基性學(xué)習(xí)，達(dá)到對概念的本質(zhì)理解（二）概念間的關(guān)系這里我們只研究可比較概念間的關(guān)系。所謂可比較概念,就是指的在外延上具有某種可比較關(guān)系的概念。例如,“正數(shù)”和“整數(shù)”就是可比較的概念,而“正數(shù)”和“多邊形”就是不可比較的概念。在可比較概念間,有相容關(guān)系和不相容關(guān)系。1相容關(guān)系（1）同一關(guān)系A(chǔ)=B兩個外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系同一

12、關(guān)系可由如圖23所示，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示在一個判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個概念可 圖2-3以互相代替例如，等邊三角形與正三角形，等腰三角形底邊上的高與頂角的平分線、底邊的中線都是同一概念，它們在判斷中可以互相代替，相互為用B（2）交叉關(guān)系A(chǔ)兩個外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系，如圖2-4所示，敘述上常用“有的”、“有些”等表示例如，等腰 圖2-4 三角形與直角三角形，自然數(shù)與正整數(shù)等都是交叉關(guān)系，一個方程組是否有解就是判別各個方程的解集是否有交叉關(guān)系圖24（3）從屬關(guān)系A(chǔ)B兩個外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系（亦稱包含關(guān)系），如圖25所示其中外延范

13、圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念 圖2-5B叫做下位概念或類概念例如，等式與方程，方程與整式方程都是從屬關(guān)系其中等式是方程的種概念，方程又是整式方程的種概念；方程是等式的類概念，整式方程又是方程的類概念2不相容關(guān)系（1）矛盾關(guān)系A(chǔ) B兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系，如圖2-6所示例如，有理數(shù)與無理數(shù)，直角三角形與非直角三角形，平面上的相交線與平行線等都是矛盾關(guān)系（圖2-6） 圖2-6 （2）對立關(guān)系 兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系，BAA

14、（亦稱反對關(guān)系）如圖2-7所示例如，正數(shù)與負(fù)數(shù)，銳角三角形與直角三角形，空間中的相交線與平行線等都是對立關(guān)系 圖2-7 概念的矛盾關(guān)系和對立關(guān)系是數(shù)學(xué)中反證法、窮舉法的依據(jù)之一，用處較多。（三）數(shù)學(xué)概念的定義什么叫給概念下定義，就是用已知的概念來認(rèn)識未知的概念，使未知的概念轉(zhuǎn)化為已知的概念，叫做給概念下定義概念的定義都是由已下定義的概念(已知概念)與被下定義的概念(未知概念)這兩部分組成的例如，有理數(shù)與無理數(shù)(下定義的概念)，統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)(被下定義的概念)；平行四邊形(被下定義的概念)是兩組對邊分別平行的四邊形(下定義的概念)其定義方法有下列幾種1、直覺定義法直覺定義亦稱原始定義，憑直覺產(chǎn)生的原

15、始概念，這些概念不能用其它概念來解釋，原始概念的意義只能借助于其它術(shù)語和它們各自的特征給予形象的描述如幾何中的點(diǎn)、直線、平面、集合的元素、對應(yīng)等原始概念是人們在長期的實(shí)踐活動中，對一類事物概括、抽象的結(jié)果，是原創(chuàng)性抽象思維活動的產(chǎn)物直覺定義為數(shù)不多2、“種+類差”定義法種+類差”定義法：被定義的概念=最鄰近的種概念(種)+類差。這是下定義常用的內(nèi)涵法?！白钹徑姆N概念”,就是被定義概念的最鄰近的種概念,“類差”就是被定義概念在它的最鄰近的種概念里區(qū)別于其它類概念的那些本質(zhì)屬性。例如,以“平行四邊形”為最鄰近的種概念的類概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“鄰邊相等”是區(qū)別于“矩形”的本質(zhì)屬性,

16、“鄰邊相等”就是“菱形”的類差。我們先看幾個用“種+類差”定義的例子:等腰梯形是兩腰相等的梯形直角梯形是有一個底角是直角的梯形等腰三角形是兩邊相等或兩角相等的三角形邏輯上還可以通過總結(jié)外延給出定義例如：“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)”等由上述幾例可看出,用“種加類差”的方式給概念下定義,首先要找出被定義概念的最鄰近的種概念,然后把被定義概念所反映的對象同種概念中的其它類概念所反映的對象進(jìn)行比較,找出“類差”,最后把類差加最鄰近的種概念組成下定義概念而給出定義。種加類差定義法在形式邏輯中也稱為實(shí)質(zhì)定義,屬于演繹型定義,其順序是從一般到特殊。這種定義,既揭示了概念所反映對象的特殊性,又指出了一般性,是

17、行之有效的定義方法。由于概念本身的類別特點(diǎn)及類差性質(zhì)的不同,在敘述形式上也有差異。這種定義方法，能用已知的種概念的內(nèi)涵來揭示被定義概念的內(nèi)涵。揭示了概念的內(nèi)涵，既準(zhǔn)確又明了，有助于建立概念之間的聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化，因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)概念的定義中應(yīng)用較多3、發(fā)生式定義法發(fā)生定義法(也稱構(gòu)造性定義法):通過被定義概念所反映對象發(fā)生過程，或形成的特征的描述來揭示被定義概念的本質(zhì)屬性的定義方法稱發(fā)生定義法。這種定義法是“種+類差”定義的一種特殊形式。定義中的類差是描述被定義概念的發(fā)生過程或形成的特征,而不是揭示被定義概念的特有的本質(zhì)屬性。例如，平面(空間)上與定點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡叫做圓(球)此外，中學(xué)數(shù)

18、學(xué)中對圓柱、圓錐、圓臺、微分、積分、坐標(biāo)系等概念也都是采用的發(fā)生式定義法又如：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓圍繞一中心點(diǎn)或軸轉(zhuǎn)動，同時又逐漸遠(yuǎn)離的動點(diǎn)軌跡稱為螺線一直桿與圓相切作無滑動的滾動，此直桿上一定點(diǎn)的軌跡稱為圓的漸開線設(shè)是試驗(yàn)E中的一個事件，若將E重復(fù)進(jìn)行n次，其中A發(fā)生了次，則稱為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率在一定條件下，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時，事件A出現(xiàn)的頻率逐步穩(wěn)定于某一固定的常數(shù)P，稱P為事件A出現(xiàn)的概率由此可知，只要有人類的數(shù)學(xué)活動，就有概念的發(fā)生式定義4、逆式定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法例如，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；正弦、余弦、正切和

19、余切函數(shù)叫做三角函數(shù)；橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；邏輯的和、非、積運(yùn)算叫做邏輯運(yùn)算等等，都是這種定義法5、約定性定義法由于實(shí)踐需要或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要而被指定的數(shù)學(xué)概念在實(shí)踐活動中，人們發(fā)現(xiàn)一些概念非常重要，便指明這些概念，以便數(shù)學(xué)活動中使用比如一些特定的數(shù)：圓周率、自然對數(shù)的底e等；某些重要的值：平均數(shù)、頻數(shù)、方差等；某類數(shù)學(xué)活動的概括：比如代數(shù)指研究有限多元素有限次運(yùn)算的數(shù)學(xué)活動；幾何指研究空間及物體在空間結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)與形式的數(shù)學(xué)活動；隨機(jī)事件指在社會和自然界中，相同條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其出現(xiàn)的頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性的事情；概率指隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)學(xué)度量；

20、等等同時，數(shù)學(xué)概念有時是數(shù)學(xué)發(fā)展所需要約定的如零次冪的約定，模為零的向量規(guī)定為零向量，模為1的向量規(guī)定為單位向量又如矢量積的方向由右手法則規(guī)定數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生灌輸這樣一種觀念，即數(shù)學(xué)概念是可以約定的(其更深刻的含義是數(shù)學(xué)可以創(chuàng)造)約定是簡約思想的結(jié)果，它使得數(shù)學(xué)因?yàn)橛辛诉@樣的約定而運(yùn)算簡便約定不是惟一的，但應(yīng)具有合理性或符合客觀事物的規(guī)律如規(guī)定矢量積的方向按左手法則也不是不可以的約定不是隨意針對的，一般只約定那些有重要作用的概念，如約定當(dāng)n趨于無限大時的極限為自然對數(shù)的底e，因?yàn)檫@個數(shù)對計(jì)算十分重要6、刻畫性定義 刻畫性定義法亦稱描述性定義法，數(shù)學(xué)中那些體現(xiàn)運(yùn)動、變化、關(guān)系的概念經(jīng)嚴(yán)格地給予

21、表述(逾越直覺描述階段)，這些概念即屬于刻畫性定義比如等式函數(shù)、數(shù)列極限、函數(shù)極限等概念函數(shù)概念：設(shè)D是實(shí)數(shù)集的子集，如果對D內(nèi)每一個，通過給定的法則，有惟一一個實(shí)數(shù)y與此對應(yīng)，稱是定義在D上的一元實(shí)值函數(shù)，記為概念中刻畫了變量y與變量的關(guān)系 數(shù)列極限概念：對于數(shù)列和一個數(shù)，如果對任意給定的正數(shù)，都存在一個自然數(shù)，對一切自然數(shù)n，成立，稱數(shù)n是數(shù)列當(dāng)n趨于無限大時的極限，記為概念中刻畫了與 “要多么接近就可以多么接近(只要)”的程度，使“無限接近”的直覺說法上升到嚴(yán)格水平函數(shù)極限概念：對于在附近有定義的函數(shù)和一個數(shù)A，如果對任意給定的正數(shù)，都存在一個正數(shù)，對定義域中的x只要，成立，稱數(shù)是當(dāng)趨近

22、于時的極限，記為，概念中刻畫了與A“要多接近就可以有多接近（只要）”的程度，是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念。7、過程性定義有些復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念是由在實(shí)踐基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)活動造就的，這樣的概念由過程來引導(dǎo)例如：導(dǎo)數(shù)：設(shè)y=在點(diǎn)附近有定義當(dāng)自變量取得改變量(0)，函數(shù)取得相應(yīng)改變量，比值，當(dāng)時的極限存在，這個極限值就稱作的導(dǎo)數(shù)，記作導(dǎo)數(shù)概念通過“作改變量作商求極限”的過程獲得定積分：設(shè)有界函數(shù)定義在上在中插入分點(diǎn)：取，作和令當(dāng)時，和的極限存在，這個極限值稱作在上的定積分定積分概念通過“分割(插入了分點(diǎn))一作和一求極限”的過程獲得此外，數(shù)學(xué)中的概念還有其他給出方式如n維向量空間的定義：“n為有序?qū)崝?shù)組()的全體，并賦予

23、加法與數(shù)乘的運(yùn)算()+”它是二維向量空間的類比推廣再如“群”和“距離空間”的概念，則是用一組公理來定義的公理法定義的方式多用于高等數(shù)學(xué)，中學(xué)中涉及得很少此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有遞推式定義法(如"階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對象來進(jìn)行定義(如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念)等等上述分類是大致的，學(xué)習(xí)概念的定義，并不在于區(qū)分它究竟屬于那種定義方式，而在于理解概念的內(nèi)涵，把握概念的外延，應(yīng)用它們?nèi)W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決有關(guān)問題。為了正確地給概念下定義，定義要符合下列基本要求：(1)定義應(yīng)當(dāng)相稱即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴(kuò)大也不能縮小即應(yīng)當(dāng)恰如其分，既不寬也不

24、窄例如，無限不循環(huán)小數(shù)，叫做無理數(shù)而以無限小數(shù)來定義無理數(shù)(過寬)，或以除不盡方根的數(shù)來定義無理數(shù)(過窄)顯然，這都是錯誤的(2)定義不能循環(huán)即在同一個科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念例如，的角叫做直角，直角的九十分之一，叫做1度，這就發(fā)生循環(huán)了(3)定義應(yīng)清楚、簡明，一般不用否定的形式和未知的概念例如，筆直筆直的線，叫做直線(不清楚)；兩組對邊互相平行的平面平行四邊形(不簡明)；不是有理數(shù)的數(shù)，叫做無理數(shù)(否定形式)；對初中生來說，在復(fù)數(shù)a+i中，虛部60的數(shù)，叫做實(shí)數(shù)(應(yīng)用未知概念)等，這些都是不妥的（四）概念的系列在一個科學(xué)系統(tǒng)中，有些概念可依一定順序構(gòu)

25、成一個邏輯鏈，組成一個概念系列例如， 量 極限-導(dǎo)數(shù)微分梯度其中不定義的概念，叫做原始概念（就是前面所說的直覺定義的概念）例如，數(shù)、量、點(diǎn)、線、面、體、集合、元素、對應(yīng)等都是原始概念對數(shù)學(xué)中的原始概念有的是用描述法或抽象化法，有的是以直觀說明或指明對象的方法來明確其意義的（五）概念的分類概念的分類是揭示概念外延的邏輯方法一般的，把被分類的概念作為種概念，根據(jù)一定的屬性把它的外延分成若干個對立的類概念其中那個屬性叫做分類的依據(jù)，按一、兩個屬性分類的，又分別叫做一重分類與二重分類例如，三角形按角分類為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；按邊分類為不等邊三角形和等腰三角形 正整數(shù)整數(shù) 有理數(shù) 非正整

26、數(shù) 正分?jǐn)?shù)實(shí)數(shù) 分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù) 正無理數(shù)復(fù)數(shù) 無理數(shù) 負(fù)無理數(shù) 純虛數(shù)虛數(shù) 非純虛數(shù) 數(shù)學(xué)中的連續(xù)分類，常用二分法，如 春敘述 正確的分類應(yīng)符合下列幾點(diǎn)要求：(1)分類應(yīng)按照同一標(biāo)準(zhǔn)；(2)分類應(yīng)逐級進(jìn)行；(3)分類應(yīng)不重復(fù)、不遺漏；(4)分類后分得的各子類應(yīng)不相容正確理解與運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵其中正確運(yùn)用分類方法也很重要例 已知zR，求證：證明 本題按通常方法是難以完成證明的但不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)=O時，>0，于是很自然地考慮當(dāng)O時，值的情況顯然，當(dāng)時，>0，轉(zhuǎn)而考慮當(dāng)>0時，值的情況又當(dāng)=1時，>O，進(jìn)而再行考慮當(dāng)1時的情況因當(dāng)>1時，有，故>O，當(dāng)O&

27、lt;<1時，有從而>O，這樣，對的取值經(jīng)過連續(xù)四次分類(二分法)，即 的值以上，均證明了，故原不等式成立（六）影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的原因分析由于數(shù)學(xué)是從大量的各類復(fù)雜的活動中抽象出來的空間形式與量的科學(xué)。因此數(shù)學(xué)概念就具有多樣性，然而數(shù)學(xué)概念的多樣性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念思維的復(fù)雜性，從而決定了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)不是簡單的學(xué)習(xí)，它的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷曲折的過程數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)要經(jīng)歷“感知一認(rèn)知沖突一認(rèn)知穩(wěn)定”的不斷發(fā)展過程隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的深入，概念在學(xué)習(xí)者的大腦中不斷發(fā)展突破認(rèn)知沖突，進(jìn)入認(rèn)知穩(wěn)定階段，就必須摒棄許多限制，擴(kuò)大認(rèn)知范圍然而，由于學(xué)生先期的認(rèn)知模式已經(jīng)穩(wěn)定在大腦中，根深蒂固兩者的矛盾沖突便會導(dǎo)致

28、錯誤產(chǎn)生，這種錯誤有時是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中必不可少的環(huán)節(jié)與內(nèi)容此外，在概念學(xué)習(xí)過程中，如果向?qū)W生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中加入不恰當(dāng)或不充分的信息，就會加劇認(rèn)知沖突的非概念一方，導(dǎo)致錯誤概念的產(chǎn)生在數(shù)學(xué)概念形成過程中，各個階段、各個層次都有可能導(dǎo)致錯誤概念的產(chǎn)生由于產(chǎn)生錯誤的環(huán)節(jié)、背景不同，因而錯誤的形式以及呈現(xiàn)方式也有區(qū)別影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的原因大致有以下幾個方面：1數(shù)學(xué)概念意象化概念意象指與概念相關(guān)的認(rèn)識輪廓，概念意象中包含較多與概念接近但與概念本質(zhì)無關(guān)的特征，概念意象是直觀的、模糊的、可變的數(shù)學(xué)概念意象是數(shù)學(xué)概念的萌芽，在數(shù)學(xué)概念形成、理解、運(yùn)用中有著重要作用學(xué)生在記憶、表征、運(yùn)用數(shù)學(xué)概念時，多是與

29、概念意象相聯(lián)系因此，概念意象的貧乏、不恰當(dāng)會導(dǎo)致錯誤概念的產(chǎn)生，更為經(jīng)常的甚至?xí)a(chǎn)生概念意向化，即用概念意象代替概念，也會造成常見的錯誤錯誤主要集中在：用日常生活概念代替數(shù)學(xué)概念許多數(shù)學(xué)概念是從日常生活概念中抽象出來的，學(xué)生在接觸某數(shù)學(xué)概念之前，與之相聯(lián)的日常概念已在他們的意識中潛伏，但由于日常概念是寬泛的、易變的、多義的，這就容易造成學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)概念時發(fā)生錯誤例如“垂直”概念，在日常生活中，通常是以地平面為參照，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何概念“互相垂直”時，習(xí)慣用日常的“垂直”概念代替“互相垂直”的概念又例如日常生活中的角多為銳角或直角(如圖2-8)，因此，學(xué)習(xí)“角”的概念時，學(xué)生很容易理解銳角和直角，

30、而在理解“平角”或“任意角”時，就會出現(xiàn)許多錯誤(如圖2-9) 圖28易理解的“角”概念 圖29不易理解的“角”概念用概念的典型性代替概念學(xué)習(xí)者在概念學(xué)習(xí)初期階段，往往是借助于對典型概念的觀察、分析，獲得概念的本質(zhì)特征的然而也正是這種典型性使學(xué)生在獲得概念的同時，也將與概念無關(guān)的特征加以強(qiáng)化，在運(yùn)用概念時不僅運(yùn)用概念的相關(guān)特征，也運(yùn)用概念的無關(guān)特征，造成對概念的錯誤理解例 有些學(xué)生認(rèn)為數(shù)列的極限是0；而數(shù)列的極限是0；數(shù)列的極限不是0在學(xué)生潛意識中，有極限的數(shù)列是呈單調(diào)性變化的，這是受典型數(shù)列和的影響 例 有些學(xué)生認(rèn)為“常數(shù)不是函數(shù)”因?yàn)樵趯W(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念初期，往往研究等這樣的非常數(shù)函數(shù)，受典

31、型性的影響，就認(rèn)為常數(shù)不是函數(shù)例 由，類推到。這都是把概念的相關(guān)特征，運(yùn)用到無關(guān)概念的特征上了。上式用形象代替數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念意象中有許多意象是通過學(xué)生自己的言語符號描述的學(xué)生在描述一個概念時，他是通過實(shí)例、實(shí)物、圖形，運(yùn)用自已的語言組織的，這種組織有時出現(xiàn)“異化”情況學(xué)生在表述概念時的語言是一種圖、符號的混合描述，而非明確的定義在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生對于描述的語言、符號使用不準(zhǔn)確就容易造成概念錯誤，包括變異、修正、遺漏、添加等例 在對問題“是整式的代數(shù)式有”的回答中，相當(dāng)一部分學(xué)生認(rèn)為B與D的內(nèi)容不是整式而C的內(nèi)容是整式原因在于學(xué)生將整式概念表征為“幾個單項(xiàng)式，代數(shù)和，沒有分母”，由于B、D與所

32、描述的“整式形象”有差異，因而被排除在外，而C與心中的“形象”較接近，因而認(rèn)為是整式例 多數(shù)學(xué)生認(rèn)為“有理數(shù)比無理數(shù)多”平常學(xué)生在數(shù)的運(yùn)算中接觸的幾乎全是有理數(shù)，而見到用到的無理數(shù)卻廖廖無幾，像等因此，學(xué)生認(rèn)為有理數(shù)比無理數(shù)多對這類概念錯誤，就需要用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想來澄清2直覺的影響對具體事物的直接感覺稱為直覺，它有別于科學(xué)的實(shí)驗(yàn)活動，也不需要推理與抽象靈感往往來自直覺但是由于直覺未經(jīng)深入思考，僅憑直覺容易產(chǎn)生概念錯誤 幾何概念的學(xué)習(xí)最易受直覺的影響而產(chǎn)生錯誤 例 有些學(xué)生認(rèn)為，雙杠的兩條杠平行，而高低杠的兩條杠不平行(圖210、圖211)因?yàn)樵谒麄兊囊曈X中，雙杠的兩條杠在同一個水平平面上，而高

33、低杠的兩條杠在不同的水平面上 圖210雙杠圖 圖2-11高低杠圖DBA例 有些學(xué)生難以確定三角形邊上的高AD(圖212)ACDADCBCB圖212例 有些學(xué)生難以判斷下列命題的真假：“和是同位角”“和是同位角”“和是內(nèi)錯角”(圖213) 1 3 2 4 56圖2133游離于概念本質(zhì)每一個概念都有內(nèi)涵，概念的內(nèi)涵是所反映對象的特有屬性或本質(zhì)屬性學(xué)習(xí)概念必須抓住概念的本質(zhì)不能抓住概念本質(zhì)，必然掌握不住概念例 有些學(xué)生認(rèn)為與不是同一個函數(shù)；y=與是同一個函數(shù)前一個錯誤的原因在于，只看到函數(shù)的外在(符號)形式，而游離于函數(shù)的本質(zhì)后一個錯誤的原因則在于遺漏了函數(shù)本質(zhì)特征的一些細(xì)節(jié)例 此處的錯誤在于，沒有

34、真正理解絕對值和算術(shù)平方根的意義，只抓住了概念的形式，卻丟掉了概念的本質(zhì)例 都是一元二次方程這里出現(xiàn)了定義理解的錯誤第一個問題的錯誤在于沒有把握本質(zhì)屬性中的“同一個未知數(shù)”第二個問題的錯誤在于沒有對字母的使用加以限制或者以為m非零例 英國學(xué)者格里安做過一個測驗(yàn)：（格勞斯：數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊上海：上海教育出版社，1999）如圖214，從A箱中還是從B箱中取出黑彈子的機(jī)會多?很多學(xué)生都錯誤地認(rèn)為從B箱中比從A箱中取出黑彈子的機(jī)會多 圖2-14錯誤產(chǎn)生的原因是學(xué)生將概率概念中的“事件發(fā)生次數(shù)與樣本數(shù)的比”與“事件發(fā)生的次數(shù)”混為一談，根本在于游離了概念的本質(zhì)4認(rèn)知慣性在認(rèn)識新概念的過程中，思維慣性是

35、經(jīng)常發(fā)生的慣性指在新情境中用原有的思維模式進(jìn)行思維，使新內(nèi)容不自覺地受到限制，歸入原有的范圍內(nèi)學(xué)生在受到限制的領(lǐng)域內(nèi)試圖建立新問題的各種聯(lián)系，導(dǎo)致錯誤結(jié)果的產(chǎn)生具體來說，從“感知一概念意象一概念定義一概念運(yùn)用”的認(rèn)識階段轉(zhuǎn)換中，學(xué)生容易把前一階段所形成的概念帶入后一階段中，比如感知到的實(shí)例直接進(jìn)入概念意象，把概念意象當(dāng)作概念定義，概念定義生硬運(yùn)用，各種慣性就會產(chǎn)生概念錯誤例 概率知識學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)慣性錯誤：“擲3枚硬幣，2個正面朝上的概率是”錯誤的理由是認(rèn)為一共有3個正面，2個正面在3個正面中所占比例是這是一個典型的慣性錯誤，把“比例”概念運(yùn)用到“基本事件與發(fā)生事件”的關(guān)系上事實(shí)上，根據(jù)概率思想

36、，擲3枚硬幣的所有可能結(jié)果是8種，其中有3個結(jié)果為2個正面1個反面，由圖39可以清楚地看出這一事實(shí)擲3枚硬幣，2個正面朝上的概率是（圖2-15） 2個正面一個反面圖2-15例 將一枚硬幣隨機(jī)擲100次，出現(xiàn)50次正面的概率是多少?對于這個問題，經(jīng)常會出現(xiàn)慣性的誤解，認(rèn)為擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為，那么擲100次硬幣出現(xiàn)50次正面是必然的，或者這個事件發(fā)生的概率很大然而，事實(shí)上這是一個服從二項(xiàng)分布的概率問題如果令X為硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，則服從=100，P=的二項(xiàng)分布 由此可以得到：“隨機(jī)擲100次硬幣出現(xiàn)50次正面”的概率為 認(rèn)知慣性還表現(xiàn)在，按照過去的經(jīng)驗(yàn)方法對概念作“合理”的推廣由于忽略了知

37、識的新層次與原來層次之間的差異，這些“合理”往往是錯誤的例 由導(dǎo)致出現(xiàn)的錯誤這是由有限情形“合理”推廣到無限情形所造成的錯誤例 在復(fù)數(shù)集合內(nèi)由得這一錯誤也是由于實(shí)數(shù)集合內(nèi)由得 “合理”推廣而發(fā)生例 由“有理數(shù)+有理數(shù)=有理數(shù)”的推廣導(dǎo)致出現(xiàn)“無理數(shù)+無理數(shù)=無理數(shù)”的錯誤事實(shí)上“無限不循環(huán)”與“無限循環(huán)”存在質(zhì)的差別，兩個無限不循環(huán)小數(shù)之和可以是無限循環(huán)小數(shù)推廣是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)中重要的方式方法，其結(jié)論是似真的，因而利用推廣容易導(dǎo)致錯誤5概念僵化數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時，如果不去建立概念內(nèi)部及概念之間的聯(lián)系，而僅僅記憶其表達(dá)形式，概念就不能被真正理解這種學(xué)習(xí)方式獲得的概念就是孤立的，所知的概念內(nèi)部對象就是

38、僵化的這種孤立僵化看待概念而產(chǎn)生的錯誤，不僅會出現(xiàn)在位置固定上，也會出現(xiàn)在各種概念交織的一個復(fù)雜背景中在這種背景中，學(xué)生往往同時接觸多個概念，只有恰當(dāng)?shù)亟⑦@些概念之間的聯(lián)系，才能解決問題然而，由于孤立僵化地運(yùn)用每一個概念，就會出現(xiàn)對每一個概念都很熟悉，但問題卻終究解決不了，或者概念定義背得很熟，運(yùn)用時卻不知所措的情況C例 已知函數(shù)的圖象（如圖216所示）若，求，c之間的關(guān)系 由于一些學(xué)生概念學(xué)習(xí)是僵化 的，不能建立方程的根與函數(shù)的零 點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，同時沒有掌握函數(shù)的一些有關(guān)性質(zhì)，對此問題就打 圖2-16不開解決的思路 從以下的解法中，我們可以體會到解決問題需要靈活掌握概念 解 因?yàn)辄c(diǎn)C是拋

39、物線與y軸(x=0)的交點(diǎn)， 所以c>0又因?yàn)辄c(diǎn)A在軸的負(fù)半軸上，由已知，所以=-c，即點(diǎn)A的坐標(biāo)(-c，0)因?yàn)閳D象與軸的交點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，所以即 因?yàn)閏0所以，由此獲得之間的關(guān)系6概念簡單化對概念的本質(zhì)屬性把握較淺，難以建立有關(guān)概念之間的聯(lián)系，有時會排斥與新概念有聯(lián)系的現(xiàn)象，在認(rèn)識復(fù)雜的概念時，由于思維簡單化而出現(xiàn)錯誤例 在有6個孩子的家庭中，認(rèn)為依次為“男，女，女，男，女，男”比依次為“男，男，男，男，女，男”或依次為“男，男，男，女，女，女”的可能性更大這種認(rèn)識的根源是，現(xiàn)實(shí)中男、女之比為50：50且分布均勻，“男，女，女，男，女，男”符合對現(xiàn)實(shí)的感覺，而其余兩種不符合對現(xiàn)實(shí)的

40、感覺 錯誤產(chǎn)生的根源在于，將問題簡單化為現(xiàn)實(shí)中男女的比例與分布，而沒有正確理解“6個孩子”是什么樣本空間中的一個結(jié)果“甲孩子誕生”與“乙孩子誕生”是彼此獨(dú)立的試驗(yàn)結(jié)果，每個性別的概率是因此6個孩子的性別排列共有=64種，其中各種都是等可能的所以6個孩子性別上無論如何排列，可能性都是一樣的，它們的概率都是例 有三張卡片，其中一張卡片兩面都是藍(lán)色，一張卡片兩面都是綠色，第三張卡片的一面是藍(lán)色另一面是綠色從中摸出一張，看到一面是藍(lán)色，問另一面也是藍(lán)色的概率為幾 人們常會誤認(rèn)為第二面是藍(lán)色的概率是理由是，只有兩張卡片能顯示一面是藍(lán)色，而其中有一張藍(lán)色的背面是綠色這一問題并不是簡單的，其數(shù)學(xué)分析如圖2-

41、17：卡片： I 兩面： ，： 藍(lán) 藍(lán) 綠 綠 藍(lán) 綠 圖217由藍(lán)色一面構(gòu)成的基本事件為 ，其中、的另一面都仍是藍(lán)色，因此，所說事件的概率是例 三扇門問題：“一個爭取得獎的游戲節(jié)目：有三扇關(guān)著的門，其中一扇門后面有大獎，其余兩扇門后面是空的節(jié)目主持人要求參賽者指定一扇門，然后打開一個空門這時再給參賽者一次選擇機(jī)會，可以重新選另一扇門，也可以堅(jiān)持原來的選擇哪一個選擇得獎的可能性大?”對這一問題的回答進(jìn)行過廣泛調(diào)查，包括對中學(xué)生、大學(xué)生，甚至數(shù)學(xué)教師大多數(shù)人確信，只要節(jié)目主持人打開一扇空門，剩下兩扇門得獎的機(jī)會就是一樣的，它們都是，因此不必要重新選擇，可以維持原選擇這里也出現(xiàn)了對問題簡單化的理解

42、主持人在參賽者第一次選定之前還是選定之后打開空門的意義是不一樣的如果主持人先打開空門，則剩下兩扇門有獎的概率各為，但是如果參賽者選一扇門后(這個門有獎的機(jī)會是)，另兩門有獎的機(jī)會是，主持人這時再打開一扇空門，則有獎的機(jī)會全給予第三扇門了數(shù)學(xué)原理如下： 設(shè)事件A。：第一次選擇中獎；A：重新選擇中獎；：堅(jiān)持原選擇中獎 。由全概率公式 .因此，主持人打開一扇空門后，重新選擇得獎的機(jī)會大從上述分析我們可以了解到，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中是容易出現(xiàn)這樣或那樣錯誤的，錯誤產(chǎn)生的原因又是多方面的作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該很好地了解學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)哪些錯誤，有針對性地設(shè)計(jì)教學(xué)法，在教學(xué)中對學(xué)生的學(xué)習(xí)給予恰當(dāng)指導(dǎo)，必要時給

43、出善意忠告同時要注意通過課堂觀察、實(shí)驗(yàn)、作出分析等方式，記錄學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時所犯的錯誤案例，分析學(xué)生出錯的心理，從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，有效地開展數(shù)學(xué)教學(xué)（五）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的兩種基本方式·概念形成的方式：主體對客觀事物反復(fù)感知，進(jìn)行思維探索，概括出一類事物的本質(zhì)屬性 刺激反應(yīng)一感知一發(fā)現(xiàn)本質(zhì)一概念·概念同化的方式：接受他人以定義方式給出的概念，主體進(jìn)行認(rèn)知磨合，得其要領(lǐng)，掌握概念定義一思考一把握要領(lǐng)一理解概念·兩種學(xué)習(xí)方式的辯證關(guān)系：從對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識方式上，兩種學(xué)習(xí)方式是有區(qū)別的兩種方式結(jié)合起來使用，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)才能達(dá)到理想效果數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)方式是

44、有區(qū)別的為了達(dá)到理想的學(xué)習(xí)效果，對于不同類型的數(shù)學(xué)概念以及不同年齡的學(xué)生，應(yīng)采取不同的學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方式有兩種：概念形成和概念同化 1概念形成概念形成是人們在對客觀事物的反復(fù)感知和進(jìn)行分析、比較、抽象的基礎(chǔ)上，概括出某一類事物關(guān)鍵本質(zhì)屬性的過程就數(shù)學(xué)概念而言，概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過對各種實(shí)例的分析，學(xué)生以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性，從而獲得概念的學(xué)習(xí)方式簡單的說，概念形成是“探索發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)方式概念形成過程可概括如下： (1)辨別各類刺激模式 學(xué)生學(xué)習(xí)時首先面對各種事例，稱為刺激模式這些模式常常來自學(xué)生自己生活中的經(jīng)驗(yàn)或事實(shí)，或者教師提供的有代表性的事例對于

45、這些刺激模式，學(xué)生通過比較，在知覺水平上進(jìn)行分析、辨認(rèn)，根據(jù)事物的外部特征進(jìn)行概括例如，形成矩形概念，先讓學(xué)生辨認(rèn)他們所熟悉的實(shí)例，像桌面、墻壁、黑板、書本表面等又如，形成函數(shù)概念，學(xué)生首先要感知“一個量依賴于另一個量的變化而變化”的現(xiàn)實(shí)例子，像一天內(nèi)的氣溫隨時間的變化而變化童年時期身高隨年齡的增長而增長等(2)分化出各種刺激模式的屬性為理解該類刺激模式的本質(zhì)屬性，就需要對各種刺激模式的各個屬性予以分析例如，桌面是木制的，可看成四邊形，兩組對邊分別平行且相等，四個角相等又如，一天內(nèi)的時間是變化的，這個變化是固有的，每一時刻的溫度也可能是變化的，這個變化是受時辰(時間)影響的(3)類化找出各個具

46、體的刺激模式的共同屬性各個具體的刺激模式的屬性不一定是都具有的屬性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要找出它們的共同屬性，就是要把從具體刺激模式中分化出來的屬性進(jìn)行比較，找出共同的屬性例如，桌面與墻壁的質(zhì)材沒有共同屬性，但是它們的外圍形狀有共同屬性又如，氣溫與身高沒有共同屬性，但是它們各自的變化都有依賴對象，這一點(diǎn)算是共同屬性等(4)抽象出各個刺激模式的共同屬性，并提出它們的共同屬性的各種假設(shè) 一般來說，事物的共同屬性不一定就是本質(zhì)屬性，因此要提出各個刺激模式的本質(zhì)屬性的假設(shè)，這個過程實(shí)質(zhì)上是對本質(zhì)屬性的抽象過程前面例子中，共同屬性有的可抽象地看成平面四邊形、四個角相等、兩組對邊分別平行、兩組對邊相等共同關(guān)鍵屬性可

47、假設(shè)為：兩組對邊分別平行并且四個角都是直角的四邊形是矩形；兩組對邊分別相等并且四個角都是直角的四邊形是矩形；四個角都是直角的平面四邊形是矩形等而這里提出關(guān)鍵屬性假設(shè)的方法是一條或幾條共同屬性的結(jié)合(5)檢驗(yàn)在特定的情境中檢驗(yàn)所提出該類事物的本質(zhì)屬性的假設(shè)，從而確認(rèn)出事物的本質(zhì)屬性檢驗(yàn)的方式常采用變式如上例中通過變式可以發(fā)現(xiàn)，三個假設(shè)在各種變式中均出現(xiàn)，因而都可確認(rèn)為關(guān)鍵屬性(6)概括并形成概念驗(yàn)證了假設(shè)以后，把關(guān)鍵屬性抽象出來，并區(qū)分出有重疊關(guān)系的關(guān)鍵屬性，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)觀念分化，用語言概括成為概念的定義例如“兩組對邊分別平行”、“一個角為直角”是彼此獨(dú)立的，不可缺少的一些圖形

48、的關(guān)鍵屬性，于是將矩形定義為“兩組對邊分別平行并且有一個角為直角的四邊形”又如“在某個變化過程中”與“如果給定的一個值，相應(yīng)地可確定一個值”是一些關(guān)系的關(guān)鍵屬性，于是將函數(shù)定義為“在某個變化過程中，有兩個變量和y，如果給定一個值，相應(yīng)地就確定了一個y值，稱y是的函數(shù)”(7)把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事物中去 這個過程本質(zhì)上是明確概念外延的過程，也是把新概念同已知的其他概念相區(qū)別的過程這既是在更大范圍內(nèi)檢驗(yàn)和修正概念定義的過程，又是一個概念應(yīng)用的過程，從中可以了解概念的本質(zhì)特征是否被真正理解在這個過程中，指導(dǎo)者常用一些概念的等值語言來讓學(xué)生進(jìn)行判斷和推理例如“對角線相等并且平分”就是矩形概

49、念的等值語言，“在的變化范圍內(nèi)，y依賴于x的變化而變化”就是函數(shù)概念的等值語言這個過程是使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中比較穩(wěn)定的相關(guān)觀念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過程，這是概念形成的非常重要的一個步驟（8)用形式符號表示新概念數(shù)學(xué)形式是由數(shù)學(xué)符號表示的，用數(shù)學(xué)符號將獲得的概念表示出來是概念形成的最后一個步驟通過概念形成的上述步驟，學(xué)生比較全面地了解了概念的內(nèi)涵，掌握了概念的一些具體例證，并且也能識別概念變式情況下的一些例證，這就表明學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)學(xué)概念，可以引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，把所理解的概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)容用數(shù)學(xué)符號表示出來在今后學(xué)習(xí)時，學(xué)生看到符號就能聯(lián)想起符號所代表的概念及其本質(zhì)特征對數(shù)學(xué)概念的符號表示與符

50、號理解，是學(xué)生抽象概括能力的反映如果概念的符號能夠與概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)容建立起內(nèi)在聯(lián)系，就反映出學(xué)習(xí)者具備抽象概括能力把握數(shù)學(xué)中的邏輯推理關(guān)系就在于能夠合理、恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用符號，而這又要依靠對符號實(shí)質(zhì)意義的把握在概念學(xué)習(xí)中，形式地記憶符號而不懂得符號本質(zhì)含義的情況是時有發(fā)生的，這時符號將使學(xué)習(xí)產(chǎn)生困難，導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念的錯誤例如在函數(shù)概念學(xué)習(xí)時，由于對函數(shù)符號不理解，經(jīng)常會出現(xiàn)類似于的錯誤函數(shù)概念生成案例 （趙徽：高中新課程數(shù)學(xué)教學(xué)案例與評析新華出版社，2005） 師：例如（圖2-18）所示。一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m，問：炮彈距離地面的高度(單位：m)隨時間(單位：s

51、)變化的規(guī)律是什么?當(dāng)分別取l s，5s，10s，20s時，對應(yīng)的分別是多少?其中的變化范圍是多少?生：由初中所學(xué)知識我們知道，炮彈的軌跡是一條開口向下的拋物線，可以設(shè)為，由于這條曲線過(0，0)，(26，0)和(13，845)三個點(diǎn)，代入可得生：的取值分別為125m，525m，800m，600m的取值范圍是A=師：對于的每個值，都有幾個值和它對應(yīng)?生：惟一確定的值師：的取值范圍是一個集合，的所有值是B=0845，A和B分別為一個集合，你能描述他們之間的對應(yīng)關(guān)系嗎?生：在集合26中任取一個值，通過式子?？梢钥闯觯形┮淮_定的值和對應(yīng) 9008007006005004003002001005 10 15 20 25 3