(word完整版)高中數(shù)學(xué)必修1-第一章-集合與函數(shù)概念-知識點,推薦文檔

1、第一章集合與函數(shù)概念一：集合的含義與表示1 集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是 否屬于這個整體。把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。2、集合的中元素的三個特性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。 一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合(1)用大寫字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。a、 列舉法：將集合中的元素一一列舉出來a,b,c b、描述法：1區(qū)間法：將集合中元素的公共屬

2、性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。x R| x-32 ,x| x-322語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 3Venn 圖：畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類：(1)有限集：含有有限個元素的集合(2)無限集：含有無限個元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合5、元素與集合的關(guān)系：(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a A(2 )元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aCA注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N正整數(shù)集 N*或 N+整數(shù)集 Z有理數(shù)集 Q 實數(shù)集 R6、集合間的基本關(guān)系(1). “包含”關(guān)系(1)子集定義：如果集合 A 的任何一個元素都

3、是集合 B 的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合 子集。記作：A B(或 BA)注意：A B有兩種可能(1) A 是 B 的一部分;(2)A 與 B 是同一集合。反之：集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,記作 A B 或 B A(2) . “包含”關(guān)系(2)真子集如果集合A B，但存在元素 x B 且 xCA,則集合 A 是集合 B 的真子集如果 A B,且 A B 那就說集合 A 是集合 B 的真子集，記作A卓B(或 B 蓋 A)讀作 A 真含與 B(3). “相等”關(guān)系：A=B“元素相同則兩集合相等”如果 A B 同時 B A 那么 A=B(4) .不含任何元素的

4、集合叫做空集，記為規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。(5) 集合的性質(zhì)1任何一個集合是它本身的子集。A A2如果 A B, B C ,那么 A Cu uu3如果 A B 且B-C,那么 A C4有 n 個元素的集合，含有 2n 個子集，2n-1 個真子集7、集合的運(yùn)算(1) 元素的確定性(2) 元素的互異性(3) 元素的無序性3、集合的表示：A 是集合 B 的a 2 x b 2，所以函數(shù)y f (x)的定義域是a 2,b2運(yùn)算類型交 集并集補(bǔ)集a 2 x b 2，所以函數(shù)y f (x)的定義域是a 2,b2定義由所有屬于A且屬于 B 的兀 素所組成的集合，叫做A,B的交集

5、.記作AB (讀作A 交 B),即卩 A B= x|xA,且 x B.由所有屬于集合A或?qū)儆诩?合B 的元素所組成的集合， 叫做A,B的并集.記作：AB (讀作 A并 B),即 A B =x|x A,或 x B).全集：一般，若一個集合漢語我們所研究 問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個 集合為全集，記作：U設(shè) S 是一個集合，A 是 S 的一個子集，由 S 中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做 S 中子集 A 的補(bǔ)集(或余集)記作CSA,CsA=x|x S 且 x A韋恩圖示圖1圖2CD性質(zhì)AnA=AAno=oAnB=BA AnB AAnB BA U A=AAu=AAU B=B U AA U

6、 BAA U B B(CuA)n(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AnB) AU(CuA)=UAn(CuA)=.、函數(shù)的概念1.函數(shù)的概念：設(shè) A B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使于集合 A 中的任意一個數(shù) X,在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱 f :ATB 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù).記作： y=f(x) , x A.(1)其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；(2)與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域.2.函數(shù)的三要素： 定義域、值域

7、、對應(yīng)法則a) 定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的那么，它的定義域是使各部分都有意的x 的值組成的集合(4) 求抽象函數(shù)的定義域，如果沒有弄清所給函數(shù)之間的關(guān)系，求解容易出錯誤問題 1：已知函數(shù)yf (x)的定義域為a, b，求yf (x 2)的定義域是a, b，所以得到a x 2 b，從而f (x 2)的定義域誤解因為函數(shù)y f(x)的定義域為a, b，所以a從而a 2 x 2 b 2故y f (x 2)的定義域是a2

8、,b2正解 因為yf (x)的定義域為a,b，所以在函數(shù)f(x2)中，a x 2 b,從而a 2 xb 2，故yf(x2)的定義域是a2,b2問題 2 :已知yf (x 2)的定義域是a, b，求函數(shù)yf (x)的定義域誤解因為函數(shù)y正解因為函數(shù)y f(x 2)的定義域是a, b，則a x b，從而a 2 x 2 b 2所以函數(shù)yf (x)的定義域是a 2, b 2即本題的實質(zhì)是由a x b求x 2的范圍b)值域(先考慮其定義域)求值域的幾種常用方法(新課只講配方，判別式，分離常數(shù)法)y sin2x 2cosx 4 (cosx 1)22解決因y 8x32x 2x(4x21)，故函數(shù)y 2x4x

9、22(x 1,2)在(1,丄)上遞減、在(丄，0)上遞增、在2 21115(0,)上遞減、在(一,2)上遞增，從而可得所求值域為,30(1)配方法：對于(可化為)二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù).2sin x2cosx4，可變?yōu)?2)基本函數(shù)法:一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求,如函數(shù)ylog1(2x22x 3)就是利用函數(shù)ylog1u和u x22x 3的值域來求。Y=f(u),u=g(x)2(3)判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)2x2的值域32x 1x2x得2313(4)分離常數(shù)法2 cos x 3cosx 11y (,-2(5)yx22(y1

10、)x 2y 10，若y2(y1)24y(2y1)0得:常用來求分式型”函數(shù)的值域。如求函數(shù)cosx5-，而cosx11(0,2，所以0，則得x3132cosx利用基本不等式求值域:如求函數(shù)x23x4的值域0時，y 0;當(dāng)0時,34x -x，若2x 21-，所以y 0是函數(shù)值域中的一個值;23且 y 0，故所求值域是2的值域，因為cosx 15cosx 140，則x -x4，從而得所求值域是-,34 4(6) 利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域如求函數(shù)y 2x4x22(x 1,2)的值域40，則x42x228(7)圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域(求某些分段函數(shù)的值域常

11、用此法)。c)3 函數(shù)的表示方法：( 1) 解析法 ：明確函數(shù)的定義域( 2) 圖想像 ：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。( 3) 列表法 ：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。 4、函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點 P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x A)的圖象.C 上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y)，均在 C 上.(2) 畫法A、描點法：B、圖象變換法

12、：平移變換；伸縮變換；對稱變換，即平移。3、相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān))；定義域一致 ( 兩點必須同時具備 )4、區(qū)間的概念：( 1 )區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間( 2)無窮區(qū)間( 3)區(qū)間的數(shù)軸表示6. 分段函數(shù)( 1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(舉個絕對值得例子)(2)各部分的自變量的取值情況.( 3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.( 4)常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號函數(shù)、含絕對值的函數(shù)復(fù)合函數(shù)：如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A), 則 y=fg(x)=F(x)(x A)

13、稱為 f、 g 的復(fù)合函數(shù)。7. 映射一般地，設(shè) A、B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合 A 中的任意一個元素 X,在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f : A B 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“ f (對應(yīng)關(guān)系)：A (原象)B (象)”對于映射 f :ATB 來說，則應(yīng)滿足：(1) 集合 A 中的每一個元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對應(yīng)的象可以是同一個；(3) 不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的,而函數(shù)僅僅

14、是針對數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射,而映射不一 定的函數(shù)8、函數(shù)的單調(diào)性 (局部性質(zhì) )及最值( 1 )、增減函數(shù)1) 設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為 I ,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間 D內(nèi)的任意兩個自變量 x1 , x2， 當(dāng)x1x2時, 都有f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù).區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.2)如果對于區(qū)間 D 上的任意兩個自變量的值x1 , x2，當(dāng) x1f(x2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增,和單調(diào)不減兩種( 2)、

15、 圖象的特點1)加左減右 只對 x2)上減下加 只對y3 )函數(shù) y=f(x)關(guān)于 X 軸對稱得函數(shù)y=-f(x)4) 函數(shù) y=f(x)關(guān)于 Y 軸對稱得函數(shù)y=f(-x)5)函數(shù) y=f(x)關(guān)于原點對稱得函數(shù)y=-f(-x)6) 函數(shù) y=f(x)將 x 軸下面圖像翻到x 軸上面去,x 軸上面圖像不動得函數(shù) y=| f(x)|7)函數(shù) y=f(x)先作 x0 的圖像,然后作關(guān)于y 軸對稱的圖像得函數(shù)3)函數(shù)圖像平移變換的特點： (新課靠后講)f(|x|)如果函數(shù) y=f(x) 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有 (嚴(yán)格的 )單調(diào)性,在單 調(diào)區(qū)間上增函數(shù)

16、的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.( 3)、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：CD 任取 x1 , x2 D,且 x12 2 =8 種不同映射(2)8若 f :y=3x+1 是從集合 A=1 ,2, 3, k到集合 B=4 ,7, a4, a2+3a的一個映射，求自然數(shù)a、k 的值及集合 A、B.解析a=2 , k=5, A=1 , 2, 3, 5, B=4 , 7 , 10 , 16;/ f (1) =3X1 + 1=4 , f (2) =3X2+1=7 , f (3) =3X3+1=10, f (k) =3k+1,由映射的定義知(1) a N , 方程組(1

17、)無解.解方程組(2),得 a=2 或 a= 5 (舍)，3k+ 仁 16 , 3k=15, k=5. A=1 , 2 , 3 , 5, B=4 , 7 , 10 , 16.5、值域(1)已知函數(shù)y x24ax 2a 6(a R),若y 0恒成立，求f (a)2 aa 3的值域解析依題意，y 0恒成立，則16a24(2a 6) 0,解得1a3,219值域是一,4(2)定義在R上的函數(shù)y f (x)的值域為a,b，則函數(shù)y f (x 1)的值域為()a410,或a23a 3k 1,(2)a23a 10, a43k 1.所以f (a)2 a(a 3)3217(a一)一，從而f (a)maxf (

18、1)4,f (a)min24f(f)19,所以f (a)的43A.a 1,b 1； B.a,b； C.a 1,b 1； D.無法確定y f(x)的圖象向右平移一個單位而得到，所以，它們的值域是一樣的(3)(2008 江西改)若函數(shù)y f (x)的定義域是1,3，則函數(shù)g(x)f (2 x)的定義域是1解析丄,1)(1,3；因為2 2f (x)的定義域為1,3，所以對g(x)，12x133但x 1故x,1)(1, 22(4) (2008 江西理改)若函數(shù)2y f (x)的值域是-,3，則函數(shù)F x1一 的值域f(x)解析2,10；F(x)可以視為以f (x)為變量的函數(shù)，令t f (x)，則F

19、321 t21 (t 1)(t 1)12F 1222，所以，F(xiàn) t-在,1上是減函數(shù)，在t2t2t2t 3t21,3上是增函數(shù)，故F (x)的最大10值是，最小值是 2解析B ；函數(shù)y f(x 1)的圖象可以視為函數(shù)、選擇題:1、函數(shù)y.1x jx的定義域為(2、函數(shù)11的值域為(x 1U 1,C.,-1 U 1,3、F 列函數(shù)f x與gx表示同一函數(shù)的是xx2與g xC.x、x 1與g4.A . (1)(2)C. (1)(3)(4)5已知函數(shù)f(x)=x3,x0,x2,xw0.函數(shù)的概念及表示C.1,1-1 U1,D.給出下列四個對應(yīng)，其中構(gòu)成映射的是B. (1)(4)D . (3)(4)xx2與g2x若 f(a) = f(4)，則實數(shù) a 等于A .C.B.1 或1D . 1, 1 或 46、函數(shù)1的定義域是(,3B.3,C.,3 I 3,D.,3 U 3,7 .集合 M x 2 x 2 , N 系的是().y 0 y 2，給出下列四個圖形，其中能表示以M 為定義域,N 為值域的函數(shù)關(guān)&下列圖形是函數(shù)y =|x|(x 2,2)的圖象的是()二、填空題13 .已知 f (x) = x2+ x + 1，貝 U f(J