小學奧數(shù)-幾何五大模型(鳥頭模型)

1、模 型 二鳥頭模型兩 個 三角形中有一個三角形等高模型與鳥頭模型角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比如圖在 ABC 中， D , E 分別是 AB , AC 上的點如圖(或 D 在 BA的延長線上， E 在 AC 上如圖 2)，則 S ABC : S ADE( ABAC): (ADAE )ADADEEBCBC圖圖【例 1】如圖在 ABC 中， D ,E 分別是 AB, AC 上的點，且 AD : AB2:5， AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面積AADDEEBCBC【解析】 連接 BE ， S

2、 ADE : S ABEAD:AB2 :5(24): (54) ，S ABE : S ABCAE: AC4 :7(45) :(75)，所以S ADE : S ABC(2 4):(75)，設 S ADE8 份，則 S ABC35 份， S ADE16 平方厘米，所以1 份是2 平方厘米，35 份就是 70 平方厘米， ABC 的面積是70平方厘米 由此我們得到一個重要的定理，共角定理： 共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比【鞏固】如圖，三角形ABC中， AB是 AD的 5 倍， AC 是 AE的 3倍，如果三角形ADE 的面積等于1，那么三角形 ABC 的面積是多

3、少？DAAEDEBCBC【解析】 連接 BE EC3AES ABC3S ABE又 AB 5ADS ADES ABE5 SABC15， S ABC15S ADE 15 【鞏固】如圖，三角形ABC 被分成了甲( 陰影部分 ) 、乙兩部分， BDDC4， BE3 ， AE 6 ，乙部分面1 / 6積是甲部分面積的幾倍？AAE乙E乙甲甲BCBDCD【解析】 連接 AD BE3， AE6 AB3BE ，S ABD3S BDE又 BDDC4 ，S ABC2S ABD ，S ABC 6S BDE ， S乙5S甲 【例2】如圖在 ABC 中， D 在 BA的延長線上， E 在 AC 上，且 AB : AD5:

4、 2，AE:EC3: 2 ， SADE12 平方厘米，求 ABC 的面積DDAAEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2 :5(23): (53)S ABE : S ABCAE:AC3: (32)(35): (32) 5，所以 S ADE : S ABC(32): 5(32)6 : 25 ，設 SADE 6份，則 S ABC25 份， S ADE12 平方厘米，所以1份是 2平方厘米，25份就是50 平方厘米， ABC 的面積是 50 平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比【例3】如

5、圖所示，在平行四邊形ABCD 中， E 為 AB 的中點， AF2CF ，三角形 AFE( 圖中陰影部分 ) 的面積為 8 平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？DFCAEB【解析】 連接 FB三角形 AFB 面積是三角形 CFB 面積的 2 倍，而三角形AFB 面積是三角形 AEF 面積的 2倍，所以三角形ABC 面積是三角形AEF 面積的 3 倍；又因為平行四邊形的面積是三角形ABC 面積的 2倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE 面積的（32） 6倍因此，平行四邊形的面積為8 6 48(平方厘米 )【例4】已知 DEF 的面積為7平方厘米， BECE, AD 2BD ,CF3AF ，

6、求 ABC 的面積AFDBCE【解析】 S BDE : SABC(BDBE) : ( BABC )(1 1): (23)1: 6 ，2 / 6S CEF : S ABC(CECF ) : (CB CA) (13) :(24)3:8S ADF : S ABC( ADAF ): (ABAC) (21) :(34)1: 6設 S ABC 24 份，則 S BDE 4 份， S ADF4 份， S CEF9 份， S DEF2444 97 份，恰好是 7平方厘米，所以S ABC 24 平方厘米【例5】如圖，三角形 ABC 的面積為 3 平方厘米，其中AB:BE2:5， BC:CD3: 2，三角形 BD

7、E 的面積是多少？ABEABECCDD【解析】 由于ABCDBE180 ，所以可以用共角定理，設AB 2份， BC3份，則 BE5 份，BD 3 2 5 份，由共角定理S ABC : S BDE(AB BC) : (BEBD) (23):(55) 6:25，設S ABC6 份，恰好是3平方厘米，所以 1份是0.5 平方厘米， 25 份就是250.512.5平方厘米，三角形 BDE 的面積是 12.5平方厘米【例6】 ( 2007 年”走美”五年級初賽試題 ) 如圖所示，正方形 ABCD 邊長為 6 厘米， AE1，CF1ACBC 三角形 DEF 的面積為 _ 平方厘米33ADEBFC【解析】

8、由題意知 AE1AC、CF12AC 根據(jù)”共角定理”可得，3BC ，可得 CE33S CEF : S ABC(CF CE) : (CBAC )12 :(33) 2:9；而SABC 6 6 218 ；所以 S CEF4 ；同理得， S CDE : S ACD2:3 ;，SCDE183 212 ， SCDF 6故 S DEFS CEFS DECS DFC412 6 10 (平方厘米 )【例7】如圖，已知三角形ABC 面積為 1，延長 AB 至 D ，使 BD AB；延長 BC 至 E ，使 CE2BC ；延長CA至 F ，使 AF3AC ，求三角形 DEF 的面積FFAACECEBBDD【解析】

9、( 法 1) 本題是性質(zhì)的反復使用連接 AE、 CD S ABC11 ，S ABCS DBC1S DBC1 同理可得其它，最后三角形DEF 的面積18( 法 2 ) 用共角定理在ABC 和 CFE 中，ACB 與FCE 互補，3 / 6S ABCACBC 111FCCE42S FCE8又SABC1 ，所以 S FCE8同理可得S ADF6， S BDE3 所以 S DEFS ABCS FCESADF SBDE 1 8 6 3 18【例8】如圖，平行四邊形 ABCD ， BEAB，CF2CB ， GD 3DC ， HA4AD ，平行四邊形ABCD 的面積是 2 ， 求平行四邊形ABCD 與四邊形

10、EFGH 的面積比HHABEABEGDCGDCFF【解析】 連接 AC 、 BD 根據(jù)共角定理在 ABC 和 BFE 中，ABC 與FBE 互補，S ABCABBC111BEBF133S FBE又 S ABC1 ，所以 S FBE3 同理可得8 ，15 ，8 S GCFS DHGS AEH所以 SEFGHS AEHS CFGS DHGS BEFSABCD 8815+3+236 SABCD21所以36 18SEFGH【例9】如圖，四邊形 EFGH 的面積是66 平方米， EAAB ，CBBF ，DCCG ，HDDA ，求四邊形 ABCD的面積HHDCGDCGABFABEEF【解析】 連接 BD

11、由共角定理得S BCD : S CGF(CDCB): (CGCF ) 1: 2 ，即 SCGF2S CDB同理 S ABD : S AHE1: 2 ，即 S AHE2 S ABD所以 S AHE SCGF2( SCBDS ADB )2S四邊形 ABCD連接 AC ，同理可以得到S DHGS BEF2S四邊形 ABCDS四邊形 EFGHS AHES CGFS HDGS BEFS四邊形 ABCD5S四邊形 ABCD所以 S四邊形 ABCD66513.2 平方米【例10】如圖，將四邊形ABCD 的四條邊 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分別延長兩倍至點E、F、G、H，若四邊形 ABCD 的面積為

12、5，則四邊形 EFGH 的面積是4 / 6FFEBAEBAGCGCDDHH【解析】 連接 AC 、 BD 由于 BE2AB， BF2BC ，于是 S BEF4S ABC ，同理 S HDG4S ADC 于是 S BEFS HDG4S ABC4S ADC4 SABCD 再由于 AE3AB， AH3AD ，于是 S AEH 9S ABD ，同理 S CFG9S CBD 于是 S AEHS CFG9S ABD9S CBD9SABCD 那么 SEFGHS BEFS HDGS AEHS CFGSABCD4SABCD 9SABCDSABCD 12SABCD60 【例11】如圖，在 ABC 中，延長 AB

13、至 D ，使 BDAB，延長 BC 至 E，使1BC，F(xiàn)是AC的CE2中點，若 ABC 的面積是 2 ，則 DEF 的面積是多少？AFBCED【解析】 在 ABC 和 CFE 中，ACB 與FCE 互補， S ABCACBC224S FCEFCCE111又SABC2 ，所以 S FCE0.5同理可得 S ADF2 ， SBDE3 所以 S DEF S ABCS CEFS DEBS ADF20.5323.5【例12】如圖， S ABC1， BC5BD ， AC4EC ， DGGSSE， AF FG 求 S FGS AFGEBSCD【解析】 本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起

14、，既可以看作是”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的3種情況 最后求得 SFGS 的面積為 S FGS432111 5432210【例13】如圖所示，正方形ABCD邊長為 8厘米， E 是 AD 的中點， F 是 CE 的中點， G 是 BF 的中點，三角形 ABG的面積是多少平方厘米？5 / 6AEDAEDFFBGCBGC【解析】 連接 AF 、 EG 因為 S BCF S CDE18216 ，根據(jù)”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積4比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”S

15、 AEF8， S EFG8 ，再根據(jù)”當兩個三角形有一個角相等或互補時， 這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，得到 S BFC 16 ， SABFE32 ，S ABF24 ，所以S ABG 12 平方厘米【例14】四個面積為 1的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積FH AEBGCD【解析】 如圖，將原圖擴展成一個大正三角形DEF ，則 AGF 與 CEH 都是正三角形假設正六邊形的邊長為為a ，則AGF 與 CEH 的邊長都是 4a ，所以大正三角形DEF 的邊長為4 217 ，那么它的面積為單位小正三角形面積的49 倍而一個正六邊形是由6 個單位小正三角形組成的，所以一個單位小正三角形的面積為1 ，三角形 DEF 的面積為 49 66由于 FA4a， FB 3a，所以 AFB 與三角形 DEF 的面積之比為4312 7749同理可知BDC 、 AEC 與三角形 DEF 的面積之比都為12 ，所以ABC 的面積占三角形 DEF 面積49的 112313 ，所以ABC 的面積的面積為491313 49496496ABCDE 的面積是