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1、正弦定理一、選擇題.1. 在ABC 中,b = 8,c =,SABC =,則A 等于( )A. 30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º2. 在ABC中,若a = 2b sin A,則B為( )A. B. C.或 D.或3. ABC中,下述表達(dá)式:sin(A + B)+ sinC;cos(B + C)+ cosA;,其中表示常數(shù)的是( )A. 和 B. 和C. 和 D. 4. 在ABC中,“A = B”是“sin A = sin B”的( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件

2、D. 即不充分又不必要條件5. 已知 a,b,c 是ABC三邊的長(zhǎng),若滿足等式(a + b - c)(a + b + c)= ab,則C的大小為( )A. 60º B. 90º C. 120º D. 150º 6. 若ABC滿足下列條件: a = 4,b = 10,ÐA = 30°; a = 6,b = 10,ÐA = 30°; a = 6,b = 10,ÐA = 150°; a = 12,b = 10,ÐA = 150°; a + b + c = 4,ÐA = 3

3、0°,ÐB = 45°.則ABC恰有一個(gè)的是( )A. B. C. D. 7. ABC中,若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C,則ABC 是( )A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰三角形8. ABC中,若a,b,c成等差數(shù)列,則B的取值范圍是( )A. B. C. D. 9. 在ABC中,若C = 60º,則cos A cos B的取值范圍是( )A. B. C. D. 以上都不對(duì)10. ABC 中,若其面積 S =(a2 + b2 - c2),則C =( )A. B. C. D. 二、填空題.1.

4、在ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,那么cos C等于 .2. 若ABC的三內(nèi)角ÐA,ÐB,ÐC滿足 sin A = 2sinCcos B,則ABC為 三角形.3. 若ABC的三邊長(zhǎng)分別為4,5,7,則ABC的面積 =, 內(nèi)切圓半徑 = . 4.若ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,則cos2 A + cos2 C的最小值為 .5. 一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東處;行駛4 h后,船到達(dá)C處,看到這個(gè)燈塔在北偏東處. 這時(shí)船與燈塔的距離為 km. 6. 在ABC中,已知 AB

5、 = l,C = 50°,當(dāng)B = 時(shí),BC的長(zhǎng)取得最大值.三、解答題.1. 如圖ABC中,點(diǎn)D在邊 BC上,且BD = 2,DC = 1,B = 60°,ADC = 150°,求AC的長(zhǎng)及ABC的面積.2. 在ABC中,A = 45°,B : C = 4 : 5,最大邊長(zhǎng)為10,求角B,C,ABC外接圓半徑R及面積S.3. 在ABC中,a,b,c分別為角 A,B,C的對(duì)邊,且. (1)求A的大??;(2)若a =,b + c = 3,求b和c的值.4. 海中有一小島,周圍3.8海里內(nèi)有暗礁. 一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行,望見小島B正好在北偏東75

6、76; 的位置;航行8海里到達(dá)C處,望見小島B在北偏東60°的位置. 若此艦不改變艦行的方向繼續(xù)前進(jìn),此艦有沒有觸礁的危險(xiǎn)?參考答案一、選擇題.1. C【解析】 bc sin A = 16, sin A =,A = 30° ,或 150° .2. D【解析】 =, , sin B =, B =,或p.3. C【解析】 sin(A + B)+ sin C = 2sin C,不一定為常數(shù).cos(B + C)+ cos A = - cos A + cos A = 0,tantan= tantan= cottan= 1. 和為常數(shù).4. C【解析】 A = Bsin A

7、 = sin B,若sin A = sin B,又 A + Bp, A = B.5. C【解析】 原式可化為 a2 + ab + b2 - c2 = 0, cos C = -, C120°.6. C【解析】 bsin A = 10×sin 30° = 5,且45, ABC不存在. bsin A = 10×sin 30° = 5,且5610, ABC有兩解. A = 150° 且ab, ABC不存在. A = 150° 且ab, ABC有一解. 由已知,得C = 105°.當(dāng)時(shí),各邊有正數(shù)解. ABC有一解. 符合題

8、條件.7. B【解析】 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C, sin C sin(A - B)= sin2 C. C(0,), sin(A - B)= sin C = sin(A + B). sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B, cos A sin B = 0, A =. ABC為直角三角形.8. A【解析】 2b = a + c, 4b2 = a 2 + c2 + 2ac. cos B = 1 +. 2b = a + c2. acb2. cos B- 1=, B.9. A【解析】 cos A cos

9、B = cos(120º- B)cos B=(-cos B +sin B)cos B= -(1 + cos 2B)+sin 2B =sin(2B - 30º)-, B(0º,120º), -30°2B - 30°210°. 由圖象知cos A cos B.10. C【解析】 由題知ab sin C =(a2 + b2 - c2), sin C = cos C, C =.二、填空題.1. -【解析】 因?yàn)閟in A : sin B : sin C = a : b : c = 2 : 3 : 4,所以設(shè) a = 2k,b = 3

10、k,c = 4k.cos C = -.2. 等腰.【解析】 sin A = sin(B + C)= 2sin C cos B, sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B,tan B = tan C, B,C(0,p), B = C.即為等腰三角形.3. 4;.【解析】 cos a = -, sin a =. S =×4×5×= 4. , .4. .【解析】 C + A = 2B, B =.設(shè)A =- x,C =+ x,則cos2 A + cos2 C = cos2(- x)+ cos2(+ x)=(cos x +sin x

11、)2 +(cos x -sin x)2 =cos2 x+sin2 x =+ sin2 x.5. .【解析】 ,BC =××60 = 30.6. 40°.【解析】 , BC =, sin(50° + B)= l 時(shí),BC最長(zhǎng),此時(shí) B = 40°.三、解答題.1. 【解】在ABC中,BAD = 150º- 60º= 90º, AD = 2sin 60º =.在ACD中,AC2 =()2122××1×cos150º= 7, AC =. AB = 2cos 60°

12、; = 1,SABC =×1×3×sin60°=.2. 【解】由A + B + C = 180°,A = 45°,可得 B = 60°,C = 75°.由正弦定理,R = 5().由面積公式,S =bcsin A = c · 2Rsin Bsin A = 7525.3. (1)【解】由及A + B + C = 180°,得21-cos(B + C)-2cos2 A + 1 =, 4(1 + cosA)- 4cos2 A = 5,即4 cos2 A- 4cos A + 1= 0, cos A =, 0°A180°, A = 60°.(2)【解】由余弦定理,得, cos A =, =, (b + c)2 - a2 = 3bc.將a =,b + c = 3代入上式,得bc = 2.由 得 或 4.【解】如圖,過點(diǎn)B作BDAE且交AE于D. 由已知,AC = 8,ABD = 75º,CBD

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