類比探究專題

1、類比探究專題例1如圖 1，在等腰直角ABC 和等腰直角CDE 中，CD>BC，點(diǎn) C，B，D 在同一直線上，M 是 AE 的中點(diǎn)，易證 MDMB，MD=MB（1）如圖 2，將圖 1 中的CDE 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45°，使CDE 的斜邊 CE 恰好與ABC 的邊 BC 垂直，題干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？（2）將圖 2 中

2、的ABC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于 0°且小于 45°的角，如圖 3 所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論DEDABMA    BMA     BDCEMC圖1圖2C                E圖3例2如圖 1，在 ABC 中，

3、0;AC = BC ， ÐC = 120° ， D 在 BC 邊上。BDE 為等邊三角形，連接 AE ，F(xiàn) 為 AE 中點(diǎn)，連 CF ，DF 。請(qǐng)直接寫出 CF、DF 的關(guān)系，不必說明理由；若將圖 1 中的 DBE 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° ，其它條件不變，請(qǐng)作出相

4、應(yīng)圖形，并直接給出結(jié)論，不必說明理由。將圖中的 DBE 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) a （0° a 60°），其它條件不變，如圖 2，試回答中的結(jié)論是否成立？并說明理由。EECCDAF    DF圖1               B A     

5、      圖2B例 3 （1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖 1，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中點(diǎn)，將ABE 沿 AE 折疊后得到AFE，點(diǎn) F在矩形 ABCD 內(nèi)部，延長(zhǎng) AF 交 CD 于點(diǎn) G猜想線段 GF 與 GC 有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論（2）類比探究：如圖 2，將（1）中的矩形 

6、;ABCD 改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由AD                    A                    DFGFGBE 

7、;           C         B        E       C圖1              

8、;                圖21例4已知：如圖所示，直線MA NB，ÐMAB 與 ÐNBA 的平分線交于點(diǎn) C ，過點(diǎn)C 作一條直線 l 與兩條直線 MA、NB 分別相交于點(diǎn) D、E （1）如圖 1 所示，當(dāng)直線l 與直線 MA 垂

9、直時(shí)，猜想線段 AD、BE、AB 之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖 2 所示，當(dāng)直線 l 與直線 MA 不垂直且交點(diǎn) D、E 都在 AB 的同側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)直線 l 與直線 MA 不垂直且交點(diǎn) D、E 在 AB 的異側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，那么線段 AD、BE

10、、AB 之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系MNMNMNMNDCD        C      El             C             

11、0;        CElABABABAB圖1圖2備用圖備用圖1例 5 在ABC 中，A90°，點(diǎn) D 在線段 BC 上，EDB 2 C，BEDE，垂足為 E，DE 與 AB 相交于點(diǎn) F（1）當(dāng) ABAC 時(shí)（如圖 1），EBF_°；探究線段 BE 與 FD 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；BE

12、（2）當(dāng) ABkAC 時(shí)（如圖 2），求 FD 的值（用含 k 的式子表示）圖1圖22例 6如圖 1，在 Rt ABC 中，ACB=90°，CDAB，垂足為 D，點(diǎn) E 在 AC 上，BE 交 CD 于點(diǎn) G，EFBE 交 AB 于點(diǎn) F，AC=mBC，CE=nEA（m，n 為實(shí)數(shù)）.試探究線段 EF 與&#

13、160;EG 的數(shù)量關(guān)系（1）如圖 2，當(dāng) m=1，n=1 時(shí)，求 EF 與 EG 的數(shù)量關(guān)系（2）如圖 3，當(dāng) m=1，n 為任意實(shí)數(shù)時(shí)，求 EF 與 EG 的數(shù)量關(guān)系（3）如圖 1，當(dāng) m，n 均為任意實(shí)數(shù)時(shí)，求 EF 與 EG 的數(shù)量關(guān)系CCCEGEEGGA FD圖1B    A  FD圖2B 

14、;   A  F     D圖3B例 7 在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90°，AB=AC，直線 MN 過點(diǎn) A 且 MNBC以點(diǎn) B 為一銳角頂點(diǎn)作 RtBDE，BDE=90°，且點(diǎn) D 在直線 MN 上（不與點(diǎn) A 重合）如圖 1，DE 與 AC 

15、交于點(diǎn) P，易證：BD=DP（1）在圖 2 中，DE 與 CA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P，則 BD=DP 是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由（2）在圖 3 中，DE 與 AC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P，BD 與 DP 是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無需證明MDANPEM    A   D    

16、60; NPEM DANBCPBC圖1BCE圖2圖33例 8 如圖 1，在 RtABC 中，BAC=90°，ADBC 于點(diǎn) D，點(diǎn) O 是 AC 邊上一點(diǎn)，連接 BO，交 AD 于點(diǎn) F，OEOB 交 BC 于點(diǎn) E（1）求證： ABF COE ；ACOF= 2（2）如圖 2，當(dāng) O 為 AC

17、60;邊中點(diǎn)， AB時(shí)，求 OE 的值；ACOF= n（3）如圖 3，當(dāng) O 為 AC 邊中點(diǎn)， AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出 OE 的值BDFEAO      C圖1BDFEAO圖2BDFCEAOC圖3例 9 如圖 1，已知MAN=120°，AC 平分MAN，ABC=ADC=90°，可以證明：DC=BC；AC = AB+AD（1）如圖 

18、2，把題干中的條件“ABC=ADC=90°”改為ABC+ADC=180°，其他條件不變，證明結(jié)論和結(jié)論仍然成立（2）如圖 3，如果 D 在 AM 的反向延長(zhǎng)線上，把題干中的條件“ABC=ADC=90°”改為ABC=ADC，其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由MC         M          

19、;CM              CDADB     N           AB     N        AB  N圖1圖2D 

20、0;    圖34例 10如圖，在等邊三角形 ABC 中，點(diǎn) D 在直線 BC 上，連接 AD，作ADN=60°，直線 DN 交射線 AB 于點(diǎn) E，過點(diǎn) C 作 CFAB 交直線 DN 于點(diǎn) F（1）當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上，NDB 為銳角時(shí)，如圖 1，求證：CF+BE=CD（提示：過

21、點(diǎn) F 作 FMBC 交射線 AB 于點(diǎn) M）（2）當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長(zhǎng)線上，NDB 為銳角時(shí)，如圖 2；當(dāng)點(diǎn) D 在線段 CB 的延長(zhǎng)線上，NDB 為鈍角時(shí)，如圖 3，請(qǐng)分別寫出線段 CF，BE，CD 之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明（3）在（2）的條件下，若ADC=30°， ABC   4 3，則 BE=_，C

22、D=_AAANNEBCD      DB       CMBDFCNEFE圖1圖2F圖3例 11 已知，ABC 為等邊三角形，點(diǎn) D 為直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) D 不與 B、C 重合）以 AD 為邊作菱形ADEF，使DAF=60°，連接 CF（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) D 在邊 BC

23、 上時(shí)，求證：ADB=AFC；請(qǐng)直接判斷結(jié)論AFC=ACBDAC 是否成立；（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) D 在邊 BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，結(jié)論AFC=ACBDAC 是否成立？請(qǐng)寫出AFC、ACB、DAC 之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) D 在邊 CB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn) A、F 分別在直線 BC 的異側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫出AFC、A CB、DAC 之

24、間存在的等量關(guān)系FAA                                       AFEBDCB        

25、C  D                    D   B         CE圖1圖2圖35例 12（1）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖 1，ABC 中，若 AB=5，AC=3，求 B

26、C 邊上的中線 AD 的取值范圍小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng) AD 到 E，使得 DE=AD，再連接 BE（或?qū)CD繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°得到EBD），把 AB、AC 、2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三邊關(guān)系可得 2AE8，則 1AD4感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中（

27、2）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖 2，在ABC 中，D 是 BC 邊上的中點(diǎn)，DEDF，DE 交 AB 于點(diǎn) E，DF 交 AC 于點(diǎn) F，連接 EF求證：BE+CFEF；若A=90°，探索線段 BE、CF、EF 之間的等量關(guān)系，并加以證明（3）問題拓展：如圖 3，在四邊形 ABDC 中，B+C=180°，DB=DC，BDC=120°，以 D&#

28、160;為頂點(diǎn)作一個(gè) 60°角，角的兩邊分別交 AB、AC 于 E、F 兩點(diǎn)，連接 EF，探索線段 BE、CF、EF 之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明AAAEBD         C                   FE 

29、                          BFCEBD         CD圖1圖2圖3例 13如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線例如，平行四邊形的一條對(duì)角線所在的直線

30、就是平行四邊形的一條面積等分線（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有_；（2）如圖 1，梯形 ABCD 中，ABDC，如果延長(zhǎng) DC 到 E，使 CEAB，連接 AE，那么有 S 梯形 ABCDADE請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過點(diǎn) A 作出梯形 ABCD 的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖 2，四邊形 ABCD 中，AB 與 CD 

31、;不平行，SADCSABC，過點(diǎn) A 能否作出四邊形 ABCD 的面積等分線？若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由BAAEBC               D                  C 

32、60;              D圖1                          圖26閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖 1，在四邊形 ABCD 中，M 是&

33、#160;BC 邊的中點(diǎn)，且 ÐAMD = 90° ，試判斷 ABCD 與 AD 之間的大小關(guān)系。小雪同學(xué)的思路是：作 B 點(diǎn)關(guān)于 AM 的對(duì)稱點(diǎn) E，連接 AE、ME、DE，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決。請(qǐng)你參考小雪同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：寫出上面問題中 ABCD 與 AD 之間的大小關(guān)系；2  BC + CDAD ；

34、如圖 2，若將 ÐAMD 的度數(shù)改為 120°，原問題中的其他條件不變，證明： AB + 1如圖 3，若 ÐAMD = 135° ， AB = 1，BC = 2 2 ，求 AD 的最大值。解決類比探究問題的處理思路1. 若屬于類比探究常見的結(jié)構(gòu)類型，調(diào)用結(jié)構(gòu)類比解決類比探究常見結(jié)構(gòu)： 中點(diǎn)結(jié)構(gòu)?？紤]平行夾中點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)

35、特征：等線段共點(diǎn) 平行結(jié)構(gòu)作平行，造相似 直角結(jié)構(gòu) “斜直角放正”2. 若不屬于常見結(jié)構(gòu)類型： 根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問 類比解決下一問如果不能，分析條件變化，尋找不變特征 結(jié)合所求目標(biāo)，依據(jù)不變特征，大膽猜測(cè)、嘗試、驗(yàn)證借助上面填寫的內(nèi)容，做下面的小題7【試題 1】如圖 1，在等腰直角ABC 和等腰直角CDE 中，CD>BC，點(diǎn) C，B，D 在同一直線上，M 是 AE 的中點(diǎn)，易證 MDMB，MD=MB（

36、1）如圖 2，將圖 1 中的CDE 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45°，使CDE 的斜邊 CE 恰好與ABC 的邊 BC 垂直，題干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？（2）將圖 2 中的ABC 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于 0°且小于 45°的角，如圖 3 所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論A    BDEDMABMA&

37、#160;    BDCCECME圖1首先需要證明圖 1 中的結(jié)論圖2圖3DBAMCN    E由 M 是 AE 的中點(diǎn)，ABDE，發(fā)現(xiàn)有 平行夾中點(diǎn) 結(jié)構(gòu)，延長(zhǎng) BM，交 DE 于點(diǎn) N，可以得到ABMENM，進(jìn)而得到BM=MN，AB=BC=EN，DN=DB，DBN 是等腰直角三角形，MDMB，MD=MBAB（1）圖 1 和圖 2 中沒有發(fā)生變化

38、的是M 是 AE 的中點(diǎn)，ABD            DE，   1分析 ABCE，補(bǔ)全“平行夾中點(diǎn)”的結(jié)構(gòu)，照搬圖中的證明思路MCNE延長(zhǎng) BM，交 CE 于點(diǎn) N，連接 BD，DN，能夠得到 ABMENM     ，進(jìn)而得到BM=MN；進(jìn)一步證明BCDNED，可以得到DBN 是等腰直

39、角三角形，得到結(jié)論MDMB，MD=MB（2）圖 2 和圖 3 兩個(gè)等腰直角三角形沒有變化，M 是 AE 的中點(diǎn)也沒有發(fā)生變化，所以可以照搬（1）中的證明思路DE第一步構(gòu)造“平行夾中點(diǎn)”的輔助線，過點(diǎn) 作 AB 的平行線，ABCMNE交 BM 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接BD，DN；第二步證明 ABMENM           ；第三步證明 DBN 

40、;是等腰直角三角形，過程中需要證明BCD=NED，請(qǐng)?jiān)趫D中給出簡(jiǎn)要證明；第四步根據(jù)DBN 是等腰直角三角形，得到結(jié)論MDMB，MD=MB【試題 2】如圖 1，已知MAN=120°，AC 平分MAN，ABC=ADC=90°，可以證明DC=BC；AC = AB+AD（1）如圖 2，把題干中的條件“ABC=ADC=90°”改為ABC+ADC=180°，其他條件不變，證明結(jié)論和結(jié)論仍然成立（2）如圖 3，如果 D 在 AM 的反向延長(zhǎng)線上，把題

41、干中的條件8“ABC=ADC=90°”改為ABC=ADC，其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由MC         M           CM              CDADB   &

42、#160; N           A         B    N       AB  N圖1D圖2             &

43、#160;           圖31.弄清題干中結(jié)論是如何證明的，主要利用的特征為角平分線，以及含有30°角的直角三角形AC ， AD =角平分線的性質(zhì)得到 DC=BC 結(jié)論成立，利用含 30°角的直角三角形中 AB =1           12  

44、60;        2AC 證明結(jié)論成立2.第二問與第一問相比，垂直、直角三角形特征已經(jīng)變化，但_MAN=120°，AC 平分MAN 沒有發(fā)生變化，屬于不變特征，考慮角平分線的性質(zhì)，構(gòu)造與圖 1 一致的三角形，添加輔助線_MC             證明的路線圖為第一步：輔助線E第二步：由題干可知AC 和 AE，AF 的關(guān)系是_第三步：CED_（條件是_），得到 ED=FB，DA     F  B     NCD=CB，第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+AB 結(jié)論均成立3.不變特征_，沒有發(fā)生變化，照搬上一問的證明思路MC第一步：輔助線，_第二步：由題干可知AC=AE+AFE第三步：_第四步：結(jié)論成立，結(jié)論變?yōu)開A     &#