2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽—D題—天然腸衣生產(chǎn)原料的優(yōu)化配比

1、2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的 資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參 考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： D我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)

2、名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜簠①愱?duì)員（打印并簽名）：1.2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 （打印并簽名）：日期：2011年_9_月12 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號(hào)專用頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分OOOOOO備注OOOO全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：天然腸衣生產(chǎn)原料的優(yōu)化配比一、摘要：天然腸衣制作加工是我國的一個(gè)傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，出口量占世界首位。而天然腸衣傳統(tǒng)的 生產(chǎn)方式已不能滿足出口量日益增長的需要

3、。因此，我們從節(jié)約生產(chǎn)成本、提高企業(yè)生 產(chǎn)效率的角度出發(fā)，保證生產(chǎn)成品捆數(shù)較多、原料的使用率較高和成品質(zhì)量相對(duì)較好的 產(chǎn)品。針對(duì)天然腸衣生產(chǎn)原料的配比設(shè)計(jì)的具體要求，我們結(jié)合原料的長度及成品規(guī)格 進(jìn)行了理想模型的設(shè)計(jì)。根據(jù)A BC三種成品的規(guī)格和原料長度相差 0.5m的性質(zhì)，找出一個(gè)總長度為89m 與每根長度的固定常數(shù)關(guān)系式(如：A規(guī)格成品的固定常數(shù)關(guān)系式為 89=10*m, 3=北-3n3.5 = n 3 - 2m 6.5= n 3 + 4m),根據(jù)此類關(guān)系式列出相應(yīng)的不定方程組進(jìn)行分析求解。考慮到原料的使用率和剩余原料達(dá)到最優(yōu)，我們采用了倒推法(剩余原料的降級(jí) 使用)。即:首先，列C種規(guī)格

4、不定方程組X Cl+ Xc2 + Xc3+ Xc2(=5L X：i+ (n 8m)+ Xc2(n-7m) + Xd2(n + 10m)=5n-2m(其中XC1、XC2、XC3取正整數(shù))求得：C種規(guī)格成品的最多捆數(shù)h和它的剩余原料其次，根據(jù)C種規(guī)格成品的剩余原料與B種規(guī)格成品的原料列出不定方程組Yb1 + Y B2 +Y B3 + Y B14 =4-YB1(n 2 - 7m) + Yb2 (n2 - 6m ) + + Y B14 (n2 + 6m )= 4 n 2 + m(其中Yb1、Yb2、Yb3、Y B14為正整數(shù)) 求得：B種規(guī)格成品的最多捆數(shù)t和它剩余的原料最后，根據(jù)B種規(guī)格成品的剩余原

5、料與 A種規(guī)格成品的原料列出不定方程組Za1 + Z A2 + Z A3 + + Z a8 =10Za (n 3 - 3m ) + Z A2 (n 3 - 2m ) + Z A8 (n 3 + 4m )(其中Za1、ZA2、Za3 乙8為正整數(shù))求得：A種規(guī)格成品的最多捆數(shù)q和剩余原料。因此，這批原料裝出的總捆數(shù) M=h+t+q, A種規(guī)格成品的剩余原料就是最后剩余的 原料。最后采用假設(shè)法保證成品在 30分鐘內(nèi)保鮮，進(jìn)一步控制其質(zhì)量。分兩種情況進(jìn)行 假設(shè)：.針對(duì)捆扎好的成品要在30min內(nèi)把它保鮮完，假設(shè)該批原料就采用這種新型腸 衣鹽鹵滲透保鮮管，則一定能在 30min內(nèi)完成。(2).針對(duì)這批

6、原料捆成成品要在 30min內(nèi)完成，可分為兩種情況假設(shè)：假定在同一規(guī)格的成品內(nèi) C(每捆根數(shù)相同)，貝U每捆中不同長度的原料進(jìn)行捆綁，若要保證其在30min內(nèi)完成，則需增加工人數(shù)量；假定在不同規(guī)格成品內(nèi)，根據(jù)根數(shù)、長度和員工裝配每根原料的速度不同列多 元不定方程，根據(jù)員工裝配每根原料的速度來調(diào)整員工的數(shù)量或者根據(jù)員工數(shù)量來調(diào)配 不同速度的員工，盡量使原料捆成成品小于 30mi n。二、關(guān)鍵詞：原料優(yōu)化搭配 不定方程 假設(shè)法三、問題重述隨著腸衣出口量的不斷增加，原有的傳統(tǒng)生產(chǎn)方式不能滿足需要。在生產(chǎn)過程中腸衣的生產(chǎn)原料要經(jīng)過清洗整理后分割成長度不等的小段（原料），將長度不等的原料按成品規(guī)格組裝成

7、成品（捆）。為了提高生產(chǎn)效益，改變組裝工藝，我們要根據(jù)不同長度 的原材料、所給的成品規(guī)格設(shè)計(jì)出符合原料搭配方案具體要求的最佳配比。具體內(nèi)容如 下：1. 公司計(jì)劃將原料描述表（表1）中不同長度的天然腸衣按成品規(guī)格表（表 2）進(jìn) 行搭配。長度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根數(shù)4359394127283421長度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根數(shù)2424202521232118長度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413

8、.5-13.914-14.414.5-14.9根數(shù)3123225918253529長度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根數(shù)3042284245495064長度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根數(shù)526349352716122長度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根數(shù)060001其中表一的原料長度以 0.5為一檔，如（表2） 33.4m按3m計(jì)算

9、，3.53.9m 按3.5m計(jì)算，其余的以此類推。為提高使用率，總長度允許有土 0.5米的誤差，在總長度允許的范圍內(nèi)總根數(shù)可以 比標(biāo)準(zhǔn)少1根。當(dāng)某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料出現(xiàn)剩余可以降級(jí)使用。如長度為 14米的原料可以和長度介 于7-13.5米的進(jìn)行捆扎，成品屬于7-13.5米的規(guī)格。過長的原料可以按實(shí)際需求剪切成 多根。表1成品規(guī)格表最短長度最大長度根數(shù)總長度C類36.52089B類713.5889A類14OO589表2原料描述表2. 將給定的天然衣腸原料在（表1）成品規(guī)格表允許的范圍值只內(nèi)，總長度在 89土 0.5m, （C類成品規(guī)格，14m <MCv26m C類原料最大長度為，但原料的實(shí)際長

10、度小于 26米,根數(shù)4根w Xa< 5根；B類成品規(guī)格,長度7m < Ml< 8m,根數(shù)7根w 8根；A類 成品規(guī)格，3m wMAw6.5 m，19根wXa w20根。）裝出的成品捆數(shù)最多。3. 在捆數(shù)相同的情況下，裝出最短長度最長的成品更多。4. 為食品保鮮，要求在30分鐘內(nèi)裝出成品或組裝好的成品在 30分鐘內(nèi)保鮮。四、問題分析分析問題1 :要在給定的原料裝出的成品捆數(shù)最多。 我們要考慮每捆天然衣腸成品 的總長度為土 89.5m,對(duì)于C類成品規(guī)格，14m wMb<26m C類原料最大長度為，但 原料的實(shí)際長度小于26米,根數(shù)4根w %w 5根；B類成品規(guī)格,長度7m

11、w MBw 8m,根數(shù) 7根w Xbw 8根；A類成品規(guī)格，3m w MAw 6.5 m 19根w Xw 20根。既要滿足總長度允 許的范圍值，同時(shí)也要分別滿足 A、B C三類成品規(guī)格的最小長度、最大長度和根數(shù)的 要求。在此條件下應(yīng)用不定方程組求出最多的捆數(shù)。分析問題2:捆數(shù)相同的情況下要裝出的成品最短長度要最長。2.1首先要考慮較長的原料怎樣處理？是降級(jí)或是剪切？如果剪切怎樣才能使原料 的使用率最高？2.2然后考慮A B C各類成品原料的搭配問題，用倒推搭配的方法搭配原料，即 把14mw原料長度w 25.9m的原料先搭配成C類成品，其中搭配C過程中剩余原料用于 合成B類成品，一次類推B類成品

12、搭配完后剩余原料最后用于搭配成 A類成品。這樣可 以避免原料剩余浪費(fèi)。分析問題3:食品保鮮要在30min內(nèi)完成，分兩種情況進(jìn)行分析：3.1捆扎好的成品要在30min內(nèi)把它保鮮完。在實(shí)際的生產(chǎn)過程中，成品的保鮮大多都是采用現(xiàn)代的機(jī)械設(shè)備，來提高公司的 生產(chǎn)效益保證其產(chǎn)品質(zhì)量。根據(jù)所查資料腸衣生產(chǎn)技術(shù)方法工藝得到一種新型的腸衣鹽鹵滲透保鮮管， 它可以快速對(duì)成品保鮮。假定該公司采用這種新型腸衣鹽鹵滲透保鮮管，則它一定能在30 分鐘內(nèi)保鮮完。4.2 要使這批原料捆成成品要在 30min 內(nèi)完成，則分成品在同一規(guī)格內(nèi)和不在同一 規(guī)格內(nèi)兩種情況。 每一種情況都受到原料的規(guī)格、 長度、根數(shù)和公司人數(shù)等因素的

13、影響。 因此，采用假設(shè)法對(duì)其條件進(jìn)行控制和調(diào)配。五、符號(hào)說明1) MA表示A類成品規(guī)格的長度2) MB表示B類成品規(guī)格的長度3) MC表示C類成品規(guī)格的長度4) 淤表示A類成品規(guī)格的根數(shù)5) 滄表示B類成品規(guī)格的根數(shù)6) 淤表示C類成品規(guī)格的根數(shù)7) n i表示C類規(guī)格成品參數(shù)8) n 2表示B類規(guī)格成品參數(shù)9) n 3表示A類規(guī)格成品參數(shù)10) m 表示該題用不定方程求解的固定常數(shù)11) W表示A規(guī)格成品的堆數(shù)12) R表示B規(guī)格成品的堆數(shù)13) t表示B規(guī)格成品的捆數(shù)14) q表示A規(guī)格成品的捆數(shù)15) M 表示總捆數(shù)16) Y1 Y2 Y3 表示公司人數(shù)17) VA, VB, Vc表公司

14、每人裝配1根原料的速度18) X表示公司員工總?cè)藬?shù)19) X X 2凡 表示公司的各位員工20) V表示公司員工裝配的速度21) V1, V2,Vn表示各個(gè)員工裝配的速度22) E表示A B C三種不同規(guī)格成品的捆數(shù)23) t 1 表示 A B c 表示三種不同規(guī)格成品的原料中最長的一根的裁剪時(shí)間六、模型假設(shè)1. 假設(shè)腸衣在使用前或使用時(shí)不被碰傷，不會(huì)影響其阻隔性2. 假設(shè)腸衣在25C以下干燥通風(fēng)避光的環(huán)境中貯存。3. 腸衣長時(shí)間的貯存，由于貯存條件的完備，會(huì)使腸衣變形，造成損失。一般建議 貯存期為 3 個(gè)月。4. 假設(shè)腸衣在剪切的過程中沒有損耗，總長度保持不變。七、模型建立與求解模型一：C規(guī)

15、格成品的搭配方案由（表1） C成品可以得：n 1=89/8 =11.12518 X 5+2X 0.5=8914=18-8 X 0.514.5=18-7 X 0.523.5=18+0.5 X 10因此可以設(shè)定一個(gè)固定的常數(shù) m=0.5,的道其他的固定常數(shù)如下：89=5 n+m且 14=ni-8m14.5=n 1-7m18=n 25.5=18+15n因?yàn)榇钆浞桨敢罄?shù)最多且成品捆數(shù)相同的最短長度最長的成品多，且剩余原料可以降級(jí)使用，所以我們選取 3根23.5和1根25.5作為備用材料，根據(jù)題目所需和 不定方程得把23.5米的3根截成一根15.5米、一根8米、兩根14.5米、兩根9米。 把一個(gè)25

16、.5米的截成一根15.5米、兩根10米。由上述可建立方程組為：Xd+ Xc2+ Xc3+ Xc2C=5Xc1+ (n 8m)+ Xc2(n-7m) + Xc2( n + 10m)=5 n-2m(其中XC1、XC2、XC3取正整數(shù))解方程組得：C規(guī)格成品可裝配141捆還剩余8m的2根，10m的1根，18m的3根。1414.51515.51616.51717.51818.51919.52020.52121.52222.523.535293042284245495064526349352716122336632422212242412111217147141112161211211121714714

17、71471411229189181211111222222132613261221173434363639610401036920402020111311211模型二：B規(guī)格成品的搭配方案由模型一在C規(guī)格成品的最優(yōu)搭配后余下的原料如下表所示:表4長度（m1898根數(shù)（根）311把余下的原料與在B規(guī)格范圍內(nèi)（7m-13.5m）的原料結(jié)合，應(yīng)把18m其中一根截成10.5m由表1B成品規(guī)格可得：2= 89/20 =4.5總長度允許有土 0.5m的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)根數(shù)少1根，則根據(jù)固定參數(shù)m=0.5m得出：98 = 8n 2+ 2m即：44.5 = 4n 2 + m（t為整數(shù)，X y為方程的一組

18、特得出：98 = 8n 2 + 2m為了減少計(jì)算量，我們根據(jù)不定方程組得定理 2快速得到配比方案，即：ax + by = c （a > 0、b> 0 ）,若（ab） = d > 1則該方程由整數(shù)解方程通解 為：X = x 0 + btY = y 0 + at解）可知：我們應(yīng)把原料分成不同的堆數(shù)每幾根為一堆，每幾堆為一捆求解。因此，根98 = 8n2+2m就可以確定應(yīng)把原料分成 R堆，每4根為一堆，每兩堆為一捆，總捆 數(shù)為t,則可得：R = 2t (t 為正整數(shù))又因?yàn)樵诶貌欢ǚ匠糖蠼?C規(guī)格成品的優(yōu)化搭配過程中，把 23.5 = n + 11m 提 前一個(gè)固定常數(shù)來求解，即

19、23.5 = n + 10m ，為保證總長度允許的誤差小于土 0.5m ， 則在確定每一組常數(shù)時(shí)，n2 = 10.5m貝U:7 = n 2 -7m7.5 = n 2 - 6m8 = n 2 - 5m13.5 = n 2 - 6m把余下的被分割的待用原料與B規(guī)格成品范圍(7m- 13.5m)內(nèi)原料結(jié)合，可建立不定方程組：Yb1 + Y B2 +Y B3 + Y B14 =4YB1(n 2 - 7m) + Yb2 (n 2 - 6m ) + + Y B14 (n 2 + 6m )= 4 n 2 + m (其中 YB1、Yb2、Yb3、Y B14解得：表577.588.599.51010.51111

20、.51212.51313.5堆數(shù)2426222525232220312322591827181818181866126181818181811111224120202020202222233647714755510121122222242412252212212031232259182724262225222322203123225918270210001110000000表6n-7mn-6mn-5mn-4mn-3mn-2mn-mnn+mn+2mn+3mn+4mn+5mn+6m11111111111111111211211111111111111111121111111111111111111

21、11111111111111所以可以把該原料分成84堆，每2堆為一捆，貝U: t = 84/2 即t = 42（捆）因此，B規(guī)格的成品分為42捆，還剩余2更7.5m 、10根8m 11根9.5m、1根 10m模型三規(guī)格成比的優(yōu)化配置在規(guī)格常品德優(yōu)化配置中依然有剩余原料，為了提高原料的使用率、使其質(zhì)量好， 捆數(shù)達(dá)到對(duì)多，我們?nèi)圆捎脤?duì)剩余原料進(jìn)行降級(jí)處理，并對(duì)它們進(jìn)行由配方的結(jié)論可知 剩余原料如下表：長度109.587.5根數(shù)111102分割結(jié)果為：（1 根）10m5m+5m=（11根）9.5m4.5m+5m集合前面的跟數(shù)算總根數(shù)建立列表（10 根）8m+3.5m 卜（2 跟） 7.5m 4.5m

22、 丄從表A成品規(guī)格可觀察出：2=89/20=4.53=4.5-3*0.53.5=4.5-2*0.56.5=4.5+4*0.520m>2m=89同B規(guī)格成品的優(yōu)化配置的方法可得3 =:n3-3m3.5 :=n3-2m4 =:n3m6.5 :=n3+ 4m同理此方案也可以吧原料分為 W堆,每10根腸衣為一捆，每2捆為一堆，總捆數(shù)為 q,貝U：W = 29堆 (W、q為正整數(shù))所以可建立不定方程組為：Za1 + Z A2 + Za3 + + Z a8 =10Za (n 3 - 3m ) + Z A2 (n 3 - 2m ) + Z A8 (n 3 + 4m )(ZA1、ZA2、Za3 乙8為正

23、整數(shù))解如下表所示表7n-3mn-2mn-mnn+mn+2r1 n+3r1 n+4rn堆數(shù)33.544.555.566.5總數(shù)4191054511065141051451035r 141074213107514102521102711051r 41027110313310長度33.544.555.566.5堆數(shù)43593941272834216P 2412618603P 15P 31230552025502102820510355503153r 123014廠1r 410115221024104220127110123 1221 :101r 231410111711032320所以得出：總的A

24、類原料可以分為32堆，每10根為1堆，每2堆為1捆，則可以 得到16捆A規(guī)格產(chǎn)品.即：q = W/2 =32/2 =16（捆）因此，A規(guī)格成品可以裝成16捆且還剩余42.5m.其中有1根3.5m、8根4.5m、1 根5m。綜上所述：A B C三種規(guī)格成品的總捆數(shù)為199捆，還剩余原料總長度為42.5m.其中有1根 3.5m、8 根 4.5m、1 根 5m .成品的保鮮問題模型為了食品保鮮要在30min內(nèi)完成，可有兩種理解：1）捆這批原料捆成成品要在30min內(nèi)完成2）捆扎好的成品要在30min內(nèi)把它保鮮完模型1）假定該批原料就采用這種新型腸衣鹽鹵滲透保鮮管，則一定能在30min內(nèi)完成。因?yàn)樗且环N新型的機(jī)械加工設(shè)備，可達(dá)成有效的保鮮時(shí)間，它包括罐體（呈圓柱 狀，圓柱狀上沒有滲透孔）它主要采用了在圓柱上開設(shè)滲透孔的設(shè)計(jì)，使管體通透性大 大提高，鹽鹵通過滲透孔進(jìn)入管體內(nèi)部，使腸衣內(nèi)層（即緊貼硬質(zhì)塑料管的部分）也接 觸到鹽鹵，從而達(dá)到保鮮的效果。所以在 30min內(nèi)能完成保鮮任務(wù)。模型2）這批原料捆成成品要在30min內(nèi)完成，分為以下幾種情況說明：1.假定在同一規(guī)格的成品內(nèi)（每捆根數(shù)相同），貝U每捆中不同長度