高等代數(shù)課件(北大版)第九章 歐式空間§9.3

1、2021-11-30數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院定義：定義：實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域r上歐氏空間上歐氏空間v與與v稱為稱為同構(gòu)的同構(gòu)的，如果由如果由v到到v有一個(gè)有一個(gè)11對(duì)應(yīng)，適合對(duì)應(yīng)，適合 1)()( )( ), ,vkr 2)()( ),kk 3)( ), ( )( ,), 這樣的映射稱為歐氏空間這樣的映射稱為歐氏空間v到到v的的同構(gòu)映射同構(gòu)映射. 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1、若是歐氏空間、若是歐氏空間v到到v的同構(gòu)映射，則也是的同構(gòu)映射，則也是 線性空間線性空間v到到v同構(gòu)映射同構(gòu)映射.2、如果是有限維歐氏空間、如果是有限維歐氏空間v到到v的同構(gòu)映射，的同構(gòu)映射， 則則dimd

2、im.vv 3、任一維歐氏空間、任一維歐氏空間v必與必與 同構(gòu)同構(gòu).nnr數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院標(biāo)準(zhǔn)正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基，證：證： 設(shè)設(shè)v為維歐氏空間，為為維歐氏空間，為v的一組的一組12,n n在這組基下，在這組基下，v中每個(gè)向量可表成中每個(gè)向量可表成 1 122,nnixxxxr作對(duì)應(yīng)作對(duì)應(yīng)12:,( )(,)nnvrx xx 易證是易證是v到到 的的 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng). nr11 且滿足同構(gòu)定義中條件且滿足同構(gòu)定義中條件1）、）、2）、）、3），）， 故為由故為由v到到 的同構(gòu)映射，從而的同構(gòu)映射，從而v與與 同構(gòu)同構(gòu).nr nr數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院反身性；反身性；對(duì)稱性；對(duì)稱性；傳遞性傳遞性.4、同構(gòu)

3、作為歐氏空間之間的關(guān)系具有：、同構(gòu)作為歐氏空間之間的關(guān)系具有： 單位變換是歐氏空間單位變換是歐氏空間v到自身的同構(gòu)映射到自身的同構(gòu)映射.vi 若歐氏空間若歐氏空間v到到v的同構(gòu)映射是，則是的同構(gòu)映射是，則是 1 其次，對(duì)有其次，對(duì)有,v ( ,) 事實(shí)上事實(shí)上，首先是線性空間的同構(gòu)映射首先是線性空間的同構(gòu)映射. 歐氏空間歐氏空間v到到v的同構(gòu)映射的同構(gòu)映射. 11( ), ( ) 11( ),( ) 為歐氏空間為歐氏空間v到到v的同構(gòu)映射的同構(gòu)映射. .1 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 若若 分別是歐氏空間分別是歐氏空間v到到v、v到到v 的同構(gòu)映射，的同構(gòu)映射， , 則則 是歐氏空間是歐氏空間v到到v 的同構(gòu)映射的同構(gòu)映射.事實(shí)上，首先，事實(shí)上，首先， 是線性空間是線性空間v到到v 的同構(gòu)映射的同構(gòu)映射. . ( ),( ) ( ), ( ) 其次，對(duì)有其次，對(duì)有,v ( ( ), ( ( ) ( ,) 為歐氏空間為歐氏空間v到到v的同構(gòu)映射的同