2022版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第5節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)學(xué)案含解析（精編版）

1、冪函數(shù)與二次函數(shù)x考試要求 1.(1) 了解冪函數(shù)的概念；(2) 結(jié)合函數(shù)y x，y x2，y x3，y x，y 1的圖象， 了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、 不等式之間的關(guān)系解決簡單問題1. 冪函數(shù)(1) 冪函數(shù)的定義一般地，形如y x( r)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x 是自變量， 是常數(shù)(2) 常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較1函數(shù)y xy x2y x3y xy x圖象9定義域rrr x|x 0 x|x 0值域r y|y 0r y|y 0 y|y 0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)在(， 0在 r 上單上單調(diào)遞減；在 r 上單在0 ， )調(diào)遞增

2、在(0 ， )調(diào)遞增上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增性質(zhì)單調(diào)性在(， 0) 和(0， ) 上單調(diào)遞減公共點(1,1)2. 二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式： f( x) ax2 bx c(a 0)； (2)頂點式： f( x) a(xm)2 n(a 0)； (3)零點式： f( x) a(x x1)(x x2)( a 0)3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x) ax2bx c(a 0)f( x) ax2 bx c( a0)圖象定義域rr4ac b2值域4a，4ac b2 4a單調(diào)性在 x ，b2a上單調(diào)遞減；在 x ，b2a上單調(diào)遞增；在 x b ，上單調(diào)遞增2a在 x b ，上單調(diào)遞減2a對稱性函

3、數(shù)的圖象關(guān)于直線x b 對稱2a提醒： 二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0)的系數(shù)特征(1)二次項系數(shù)a 的正負決定圖象的開口方向(2) b 的值決定圖象對稱軸的位置2a(3) c 的取值決定圖象與y 軸的交點(4) b2 4ac 的正負決定圖象與x 軸的交點個數(shù) 常用結(jié)論 1. 冪函數(shù) y x在(0， )上的三個重要結(jié)論(1)當(dāng) 0 時，函數(shù)在 (0， )上單調(diào)遞增 (2)當(dāng) 0 時，函數(shù)在 (0， )上單調(diào)遞減(3)當(dāng) x(0,1)時， 越大，函數(shù)值越小，當(dāng)x(1， )時， 越大，函數(shù)值越大2. 根與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)f(x) ax2 bx c(a 0)，當(dāng) b2 4ac 0 時，其圖象

4、與x 軸有兩個交點m 1(x1,0)，m 2( x2,0) ，這里的 x1 ，x2 是方程 f(x) 0 的兩個根，且|a| .x2|b x1 x2 a，x1·x2 c，a|m 1 m 2| |x1一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1) 函數(shù) y 2x是冪函數(shù) ()(2) 當(dāng) n0 時，冪函數(shù)yxn 在(0， )上是增函數(shù) () (3)二次函數(shù)y ax2 bxc(x r )不可能是偶函數(shù)()4acb2(4)二次函數(shù)y ax2 bxc(x a， b) 的最值一定是答案 (1)×(2) (3) ×(4) ×二、教材習(xí)題衍生4a.()

5、1. 已知冪函數(shù)y f(x)經(jīng)過點 (3，3)，則 f(x)() a 是偶函數(shù)，且在(0， ) 上是增函數(shù)b是偶函數(shù)，且在(0， ) 上是減函數(shù)c是奇函數(shù)，且在(0， ) 上是減函數(shù)d是非奇非偶函數(shù)，且在(0， )上是增函數(shù)d設(shè)冪函數(shù)的解析式為y x，將點 (3 ， 3)的坐標代入解析式得331，解得 2，y x， 故選 d.2. 若冪函數(shù)y f( x)的圖象過點 (4,2)，則冪函數(shù)y f(x)的圖象是 ()abcdc令 f(x) x，則 4 21，解得 2，f(x) x，則 f(x)的圖象如c 中所示 3. 已知函數(shù)f(x) x2 4ax 在區(qū)間 (， 6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a 的取值范圍是

6、() a a 3b a 3c a 3d a 3d函數(shù) f(x) x2 4ax 的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x 2a，由函數(shù)在區(qū)間 ( ， 6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間( ，6)應(yīng)在直線x 2 a 的左側(cè)，所以2a 6，解得 a 3，故選 d.4函數(shù) g(x) x2 2x(x 0,3 )的值域是 1,3 g(x) x2 2x (x 1)2 1， x0,3 ，當(dāng)x 1 時， g(x) ming(1) 1， 又 g(0) 0， g(3) 9 63，g(x )max 3，即 g(x)的值域為 1,3 考點一冪函數(shù)的圖象及其性質(zhì)與冪函數(shù)有關(guān)問題的解題思路(1) 若冪函數(shù)y x(z )是偶函數(shù)，則必為

7、偶數(shù)當(dāng)是分數(shù)時，一般將其先化為根式，再判斷(2) 若冪函數(shù)y x在(0， )上單調(diào)遞增，則 0；若在 (0， )上單調(diào)遞減，則0.(3) 在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較1. (多選 )已知 1,1,2,3 ，則使函數(shù)y x的值域為r，且為奇函數(shù)的所有的值為()a 1b 1c 3d 2ac當(dāng) 1 時， y x11 x，為奇函數(shù)，但值域為 x|x0 ，不滿足條件當(dāng) 1 時， y x 為奇函數(shù)，值域為r ，滿足條件當(dāng) 2 時， y x2 為偶函數(shù)，值域為 x|x 0 ，不滿足條件 當(dāng) 3 時， y x3 為奇函數(shù)，值域為r ，滿足條件故選ac.2. 當(dāng)

8、x (0， )時，冪函數(shù)y (m2 m 1)x 5m3 為減函數(shù)，則實數(shù)m 的值為 () a 2b 1c 1 或 2d m 1± 52b因為函數(shù)y (m2 m 1)x 5m 3 既是冪函數(shù)又是(0， ) 上的減函數(shù)，m2m1 1，所以 5m 30，解得 m 1.3. 若 a12，b15， c12，則 a， b， c 的大小關(guān)系是 ()a a b cb c a bc b c ad b a c1d因為 y x在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以a 21 b 51，因為 y 2x 是減函數(shù)，所以 a12c12，所以 b ac.4. 若 (a 1) (3 2a)，則實數(shù)a 的取值范圍是 1， 23 易

9、知函數(shù)yx的定義域為 0， )，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，a 1 0， 所以3 2a 0，a 1 32a，2解得 1a 3.點評： 比較大小時，若底數(shù)相同，可考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性若指數(shù)相同，可考慮冪4函數(shù)的單調(diào)性，有時需要通過化簡，使底數(shù)(指數(shù) )相同如本例t3，也可化簡為a 1，1b 25，c12，再通過y x的單調(diào)性比較大小考點二求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)解析式的策略典例 1已知二次函數(shù)f( x)滿足 f (2) 1，f( 1) 1，且 f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解法一： (利用二次函數(shù)的一般式)設(shè) f (x) ax2 bx c(a 0)由題意得4a 2b c 1， a b

10、 c 1，4ac b24a 8，a 4， 解得b 4，c 7.故所求二次函數(shù)為f(x) 4x2 4x7.法二： (利用二次函數(shù)的頂點式)設(shè) f (x) a(x m)2n(a 0)2 11f(2) f( 1)，拋物線對稱軸為x22.m18，n 8， 2，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值1y f (x) a x22 8.2f(2) 1，a 2 128 1，解得 a 4，1f(x) 4 x22 8 4x2 4x 7.法三： (利用零點式 )由已知 f(x)1 0 的兩根為x1 2， x2 1， 故可設(shè) f(x)1 a(x 2)(x 1)，即 f (x) ax2 ax2a 1.又函數(shù)有最大值ymax 8，即4a

11、 2a1 a24a 8.解得 a 4 或 a 0(舍去 )，故所求函數(shù)解析式為f(x) 4x2 4x 7.點評： 求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同跟進訓(xùn)練 1. 已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標是( 2， 1)，且圖象經(jīng)過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為 f(x) .xx1 2 4995法一： ( 一般式 )設(shè)所求函數(shù)的解析式為f(x) ax2 bx c(a 0) 9由已知得 b 2， 2a4ac b24a 1，a1， 94解得b9，a b c 0，所以所求解析式為f(x) 1x2 4 5.5c 9，99x9法二： (頂點式 ) 設(shè)所求函

12、數(shù)的解析式為f(x) a(x h)2 k.由已知得f(x) a(x 2)2 1，將點 (1,0)代入，得a1 9，所以f(x) 1 2)2 1，9(x即 f (x) 1x2 4 5x.9992. 已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點 (4,3)，它在 x 軸上截得的線段長為2，并且對任意xr ，都有 f(2 x) f (2 x) ，則函數(shù)的解析式f(x) . x2 4x3f(2 x) f (2 x)對 xr 恒成立，f(x)圖象的對稱軸為x 2.又f(x)的圖象被x 軸截得的線段長為2，f(x) 0 的兩根為1 和 3.設(shè) f (x)的解析式為f(x) a( x1)( x 3)( a 0) 又f(

13、x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，3a 3， a1.所求f( x)的解析式為f(x) (x 1)(x 3)， 即 f (x) x2 4x 3.考點三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)圖象的識別識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“ 三看 ”典例 21(1)一次函數(shù)y ax b 與二次函數(shù)y ax2 bx c 在同一坐標系中的圖象大致是 ()abcd(2) 如圖所示的是二次函數(shù)y ax2 bxc 圖象的一部分，且過點a( 3,0)，對稱軸為直線x 1.給出下面四個結(jié)論：b24ac； 2a b 1； a bc 0； 5a b.其中正確的是 ()a b cd (1) c(2)b(1) 若 a 0，則一次函數(shù)y ax b 為增

14、函數(shù)，二次函數(shù)y ax2 bx c 的圖象開口向上，故排除a ；若 a0，一次函數(shù) y ax b 為減函數(shù)，二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象開口向下，故排除d；對于選項b ，看直線可知a 0，b 0，從而b 0，而圖中2a二次函數(shù)圖象的對稱軸在y 軸的右側(cè)，故排除b.故選 c.(2) 因為圖象與x 軸交于兩點，所以b24ac 0，即 b2 4ac，正確 因為對稱軸為直線x 1，所以b 1，即 2ab 0，錯誤2a結(jié)合圖象，當(dāng)x 1 時， y 0，即 a b c 0，錯誤由對稱軸為直線x 1 知， b 2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a 0，所以 5a 2a，即5a b，正確 點評： 對于判斷兩

15、個函數(shù)的圖象在同一坐標系中的題目，可假設(shè)一個圖象正確，然后判斷另一個圖象是否正確如本例t (1)二次函數(shù)的單調(diào)性二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略(1) 對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解(2) 利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較典例 2 2(1) 函數(shù) f(x) ax2 (a3)x 1 在區(qū)間 1， )上是單調(diào)遞減的，則實數(shù) a 的取值范圍是()a 3,0)b (， 3c 2,0d 3,02(2)二次函數(shù)f( x) ax2 bx c(x r )的最小值為f(1)，則 f(

16、2)，f 3，f(3) 的大小關(guān)系是 ()2a f(2) f3 f(3)2b f 3 f(2) f (3)22c f(3) f(2) f3 d f(2) f(3) f3(1)d(2) d(1) 當(dāng) a 0 時， f(x) 3x 1 在 1， )上遞減，滿足題意當(dāng) a 0 時， f (x)圖象的對稱軸為x3 a 2a ，由 f (x)在 1， )上遞減知a 0，3 a2a 1，解得 3 a 0.綜上， a 的取值范圍為 3,0(2)二次函數(shù) f(x) ax2 bx c(xr)的最小值為f(1)，函數(shù)的圖象開口方向朝上，對稱軸為直線x 1.3 2 1 |3 1| |21|，3f(2)f (3) f

17、 2 ，故選 d.母題變遷 將本例 (1) 改為“若函數(shù)f(x) ax2( a 3)x 1 的單調(diào)減區(qū)間是 1， ) ”，則實數(shù)a .133由題意知a 0，3 a2a 1，解得 a 3.二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路(1) 類型：對稱軸、區(qū)間都是給定的；對稱軸動、區(qū)間固定；對稱軸定、區(qū)間變動(2) 解決這類問題的思路：抓住“ 三點一軸 ” 數(shù)形結(jié)合， “ 三點 ”是指區(qū)間兩個端點和中點，“ 一軸” 指的是對稱軸， 結(jié)合配方法， 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題典例 2 3求函數(shù) f(x) x2 2ax 1 在區(qū)間 1,2 上的最值解f(x) (xa) 2 1 a2.

18、當(dāng) a 1，即 a 1 時，函數(shù)f(x)在區(qū)間 1,2上是增函數(shù)，f(x)min f( 1) 2 2a， f(x)max f (2) 4a 5.11當(dāng) 1 a 2，即 2 a 1 時，函數(shù) f(x)在區(qū)間 1,2上先減后增， f(x) minf(a) 1 a2， f(x)max f(2) 4a 5.當(dāng) 1 a 2，即 2 a 1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間 1,2 上先減后增， f(x)min f(22a) 1 a2， f(x)max f( 1) 2 2a.當(dāng) a 2，即 a 2 時，函數(shù)f(x)在區(qū)間 1,2上是減函數(shù)，f(x)min f(2) 4a 5， f(x)maxf ( 1) 2 2a.綜

19、上知， f(x)min2 2a， a 1，1 a2， 2 a 1，4a 5， a 2，f(x)max 124a 5， a ，2 2a， a1. 2點評： 對稱軸分區(qū)間討論，書寫結(jié)論時要注意合并區(qū)間 與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題1. 由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1) 一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)(2) 兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是：a f( x)恒成立 ? a f(x)max， a f(x)恒成立 ? af(x)min .2. ax2 bx c 0(a 0)在區(qū)間 m， n上恒成立的條件設(shè)f( x)

20、 ax2 bx c，則f m 0，f n 0.典例 2 4(1) 已知函數(shù)f(x) x2 mx1，若對于任意x m， m 1 ，都有 f(x)0成立，則實數(shù)m 的取值范圍是 (2)已知函數(shù)f( x) x2 2x 1， f(x) x k 在區(qū)間 3， 1 上恒成立，則k 的取值范圍為 (1) 2，0(2) (， 1)(1) 作出二次函數(shù)f (x)的草圖如圖所示，2對于任意x m， m1 ，都有 f (x) 0，f m 0，則有f m 1 0，m2 m2 1 0，即m 1 2 m m 1 1 0，解得2 m 0.2(2)由題意得x2 x 1 k 在區(qū)間 3， 1上恒成立 設(shè) g(x) x2x 1， x 3， 1 ，則 g(x)在 3， 1上單調(diào)遞減g(x )min g( 1) 1.k 1.故 k 的取值范圍為 ( ， 1) 跟進訓(xùn)練 1. 已知 abc 0，則二次函數(shù)f(x) ax2 bx c 的圖象可能是 ()abcd2ada 項，因為 a0， b 0，所以 b 0.又因為 abc 0，所以 c 0，而 f(0) c 0，故 a 錯 b 項，因為 a 0，b 0，所以 b 0.又因為 abc 0，所以 c0，而 f(0) c 0，2ab故 b 錯 c