(word完整版)專題橢圓的離心率解法大全,推薦文檔

1、 ，利用定義求橢圓的離心率 綜上m 或 3 3 3,已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是 2 L 1的離心率為 n 2n 2m n 解析 由 2 n 2 m n m 2 2 2 橢圓X y 1的離心率為 2 0 n 4 m n 2 m 1 5,已知一 2 1(m 0. 0) 則當(dāng) 2 x mn取得最小值時(shí)，橢圓 2 2 y 2 1的的離心率為 m n m n 2 2 2 x y 6,設(shè)橢圓 亍=1 （a b0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為11,若過(guò)F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn) a b 1 距離，則橢圓的離心率是 一。 2 ，運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義結(jié)合橢圓的定義求離心率

2、 e AB 上，求這個(gè)橢圓的離心率 e 6 , 3 2, 如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F 是左焦點(diǎn)，直線AB1與 BF 交于 D,且 則橢圓的離心率為（） 解析b （與 1 a2 c2 ac e a c 2 3, 以橢圓的右焦點(diǎn) F2為圓心作圓，使該圓過(guò)橢圓的中心并且與橢圓交于 MF 與圓相切，則橢圓的離心率是 .3 1 變式（1）:以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) F 為圓心作一個(gè)圓，使該圓過(guò)橢圓的中心專題：橢圓的離心率 1,已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，則橢圓的離心率 e /3 2 2,橢圓 y 1的離心率為-，則m m 2 解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)， 4 m - 2 2 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí), 16 m

3、 -， 3 4，已知 m,n,m+n成等差數(shù)列, m n, mn成等比數(shù)列，則橢圓 F1到l 1的 1,在 Rt ABC 中, A 90 , AB AC 1，如果一個(gè)橢圓過(guò) A B 兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為 C,另一個(gè)焦點(diǎn)在 BDB1 O 并且與橢圓交于 M N 兩點(diǎn)，如果 M 附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍(與法 1 類似) 2 2 4,設(shè)橢圓x2 y2 a2 b2 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 h、F2 , 的取值范圍。 解：設(shè) Px,y , F1 c,0 , F2 c,0 法1:利用橢圓范圍。 由 RP F2P 得 x2 y2 c2，將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去 由橢圓的性

4、質(zhì)知 0 x2 a2，得以 e 2,1) o 2 如果橢圓上存在點(diǎn) P,使 F1PF2 90，求離心率 e y,可解得 x2 2 2 a c a2b2 2/2 2、 a (c a ) 2 a b2 2 0 e I MFI = I MO，則橢圓的離心率是 3 1 2 2 x y 4,橢圓 尹+ *L=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 Fi、F2，以 F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則 橢圓的離心率 e? 變式(1):橢圓才+ y=1(ab 0) , e=-, A 是左頂點(diǎn), 點(diǎn)評(píng)：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問(wèn)題。答案： 90 引申：此類的橢圓

5、為優(yōu)美橢圓。 性質(zhì)：(1)/ ABF=90 (2)假設(shè)下端點(diǎn)為 B ,則 ABFB 四點(diǎn)共圓。 (3 )焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。 變式(2): 2 2 橢圓x2 y2 1(ab0)的四個(gè)頂點(diǎn)為 A、B C、D,若四邊形 ABCD勺內(nèi)切圓恰好過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則 a2 b2 橢圓的離心率 e= _ 2 提示：內(nèi)切圓的圓心即原點(diǎn)，半徑等于 c,又等于直角三角形 AOB 斜邊上的高，.由面積得： ab r . a2 b2 , 但r c 解：Tl F1F2 I =2c 1 BFi 1 =c 1 BF2 I = 3c c+ 1 3c=2a 變式(1):橢圓 2 y + =1(ab 0)的兩焦點(diǎn)

6、為 F1 F2，點(diǎn) P 在橢圓上，使厶 OPF 為正三角形，求橢圓離心率? 解：連接 PF2 ,貝,OF I = I OF I = I OP| , / RPFz =90 圖形如上圖，e= 3-1 2 2 x y 變式(2) 橢圓 尹 + k=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 F1、F2 , AB 為橢圓的頂點(diǎn)， P 是橢圓上一點(diǎn)，且 PF 丄 X 軸, PF2 / AB,求橢圓離心率？ 2 b I PF1 I b 解：TI PF1 I = I F2 F1 I =2c I OB I =b I OA | =a PF 2 / AB / = a I F2 F1 I a a2=5c2 e=- 5 PO ( )又

7、 T b= J a c 2 2 x y 相似題：橢圓 ar- + *=1(ab 0) , A 是左頂點(diǎn)，F(xiàn) 是右焦點(diǎn), I I I I I I B 是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，/ ABF=90，求 e? I = , a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 兩邊同除以 a2 2+e-1=0 e= 色 e=仝瀘(舍去) F 是右焦點(diǎn)，B 是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求/ ABF? 法 2:判別式法。 由橢圓定義知 |PFi| IPF2I 2a |PF IPF2I2 2|PFjPF2| 4aj，又因?yàn)?F1PF2 90 可得 | PFi |2 IPF2I2 IF

8、1F2I2 4c2，則 IPF1IIPF2I 2(a2 c2) 2b2, 4a2 |PFi|2 IPF2I2 2|PFi|PF2| 2(|PFi|2 IPF2I2) 2IF1F2I2 8c2 PFi , PF2是方程z2 2az 2b2 0的兩個(gè)根，則 解法 3:正弦定理 設(shè)記 PFi F2 ， PF2F1 ，由正弦定理有 又因?yàn)?|PFi | IPF2I 2a,|FiF2 2c，且 90 ,2 2 2、2 2 c 1 2 4a 8(a c ) 0 e 2 e - a 2 2 |PF1| |PF2| | F1F2 | |PF1| |PF2| IFF | sin sin sin 90 sin s

9、in |廠1廠| 則 c e - a 1 1 1 sin sin sin cos 2si n( 0 2 4 3 . 2 貝廠 sin( 4 4 2 所以二 2 e 1 -)1，1 . 2sin( ) 、2 4 4 解法 5：利用基本不等式由橢圓定義，有 |2a IPRI |PF2|平方后得 法 2:判別式法。 得 1 a2 2 .3 所以有e 于,1) 解法 6:巧用圖形的幾何特性 由 Fi PF2 90，知點(diǎn) P 在以|Fi F2I 2c為直徑的圓上。 P，故有 |c b c2 b2 a2 c2 F1 (-c , 0)、F2 (c,0) , P 是以丨 F1F2丨為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交 解

10、：由正弦定理： I F1F21 I F1PI sin F 1PF = =sin F 1F2P 根據(jù)和比性質(zhì)： 點(diǎn)，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求橢圓的離心率 e 分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。 I F1P I + | PF2 I 變形得: PF2 sin PF1F2 丨 F1F2丨 sin F 1PF sinF 1F2P+S in PF 1F2 I F1F2 | I PH | + I F1P | sin F 1PF2 sin F 1F2P +si n PF 1F2 2c 一 =e 2a / PF1F2 =75PF2F1 =15 sin90 V6 e= = sin75

11、 +sin15 3 點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知 2 2 x y 變式(2):橢圓 + g 廠=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 F1 sin F 1PF2 e= sin F 1F2P +sin PF 1F2 (-c, 0)、F2 (c,0) , P 是橢圓上一點(diǎn)，且/ F1PF2 =60 ，求 橢圓離心率 e 的取值范圍? 分析：上題公式直接應(yīng)用。 又點(diǎn) P 在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn) 2 2 x y 變式(1):圓 a 廠+ =1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 解：設(shè)/ FiF2P=a，則/ F2FIP=120 sin F 1PF2 _ sin60 sin F 1F2P +sin

12、 PF 1F2 =sin a +sin(120 - a ) 1 、1 2sin( a +30 )2 1 產(chǎn) eb 0)的兩焦點(diǎn)為 F1 a b 的取值范圍？ 分析：MF MF =0 以 F1F2為直徑作圓, 一 2 sin b 0)的四個(gè)頂點(diǎn), F為其右 則 e2 10e 3 0 e 0,1 所以 e 2 7 5 (-c , 0)、F2 (c,0)，滿足MF =0 的點(diǎn) M 總在橢圓內(nèi)部，貝 U e M 在圓 O 上，與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)。 解： c2c2 0噸 跡是以 FF2為直徑的圓，則它在橢圓內(nèi)部，故 b2 ,Q0 2 2 x 8,橢圓 r a 2 恰過(guò) F2點(diǎn)，求 e 的取值范圍？ 分析：思

13、路 1,如圖 FF 與 F2M 垂直，根據(jù)向量垂直，找 思路2:根據(jù)圖形中的邊長(zhǎng)之間的不等關(guān)系，求 =1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 Fi (-c , 0)、 F2 (c,0) a、 b、 解法一: 竺) 2丿 b2 2 ME =-( ,P 為右準(zhǔn)線 c 的不等關(guān)系。 2 x=a上一點(diǎn)，F(xiàn)1P 的垂直平分線 c F1 (-c , 0) F 2 (c,0) P( 2 a 則 PR =-( +c, y c M( e 2 a -c c 2 a (+c)-( c J 2丿 b2 2T-c)+ 0 ) 2 a PF1 -MF2 =0( 一+c, c 2 y 0 2 2 2=0a -3c w 0 yo) 3c

14、3c e一 c 2 a b y0 莎-c, 2 2 2 a a I PF? | -c 則 2c -c c c 總結(jié)： 對(duì)比兩種方法， 不難看出法一具有代表性， 可謂通法， 而法二是運(yùn)用了垂直平分線的幾何性質(zhì)， 巧妙的運(yùn) 用三角形邊的大小求解的妙法。所以垂直平分線這個(gè)條件經(jīng)常在解析幾何中出現(xiàn)，對(duì)于它的應(yīng)用方法，值得大家 注意。 9,如圖，正六邊形 ABCDE 的頂點(diǎn)A D 為一橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余四個(gè)頂點(diǎn) 心率的取值范圍是.3 1 解法 2:| F1F2 =2c F 均在橢圓上，則橢圓離 解：以 AD 所在直線為 X 軸, AD 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為 r, 則橢圓的半焦距

15、c r , 易知 AOF 為等邊三角形, 2 c 2 a _3c2 a2 c2 4，即: 3e2 1 e2 e2(1 e2) 3e2 1 , F 2 e e 1, .3 法二：如圖，連結(jié) AE, 易知 AED 900 ，設(shè)AD 2c,則 EA ,3c,ED c ,由橢圓定義, 有: EA ED 2a , (、3 1)c 2a, 321 3 1 2 2 10，橢圓 +才=1(ab 0)，過(guò)左焦點(diǎn) F1且傾斜角為 60的直線交橢圓與 AB 兩點(diǎn)，若| F1A | =2 | BR | ,求 a b 橢圓的離心率 e 的值 解：設(shè)丨 BF | =m 則| AF | =2a-am | 在厶 AFF2及、

16、BF1F2中, 由余弦定理得: BF2 | =2a-m 2 2 a - c =m(2a-c) 2 2 2(a -c )=m(2a+c) 2a c 1 兩式相除 K=2 2 e=3 練習(xí)題: b 0)上有一點(diǎn) Fi, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn), MF1 |MF2 2b2 ，求橢圓的離心率 解析： 由橢圓的定義，可得 MF MF2 2a 又 MF MF2 2b2，所以|MF 1 , MF2是方程 x2 2ax 2b2 0 的兩根，由 (2a)2 4 2b2 0,可得a2 2b2, 即 a2 2(c2 a2)所以 e - 2 , a 2 所以橢圓離心率的取值范圍是二2,1) 2 3 2, 在厶 ABC

17、中， A 90o, tanB 若以 A, 4 AB 解析AB 4k, AC 3k, BC 5k,e AC BC 3, 已知B,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P 為橢圓上一點(diǎn)，若 為_(kāi) _ 解析.3 1 三角形三邊的比是1: 3:2 2 2 x y , 2 2 1( a b a b 4,在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 作圓的兩切線互相垂直, 2 解析.2a c 則離心率 2 2 B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) C ,則該橢圓的離心率e 5,在厶ABC 中, 1 2 PF1F2 : PF2F1 : F1PF2 1:2:3,貝毗橢圓的離心率 0)的焦距為 300,| AB| 2, S ABC 3 若以 A 【解題思路】由條

18、件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率 解析S ABC AB | | AC |sin A 3 , | AC | 2 |AB| e | AC| |BC | 2 3 2 2 6,已知橢圓X2 a 2 b 1(a b 則該橢圓的離心率的取值范圍為 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 解析 PF2 在 PF1F2中，由正弦定理得 sin PF1F2 PF2，由橢圓的定義知“I PF I PF2 a 2 亙，由解法三知 c a c a 2 7,已知橢圓 M : X2 a PF1 2a， 即 PF2 PF2 2 2a 2 a 2，以 o 為圓心，a為半徑的圓，過(guò)點(diǎn) ,0 c B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，則該橢圓的離心率 2.3 ,|BC| | AB|2 | AC |2 2|AB|