高考數(shù)學二輪復習專題一 培優(yōu)點5 隱零點問題

1、1 / 4 培優(yōu)點培優(yōu)點 5 隱零點問題隱零點問題 在求解導數(shù)問題時，我們一般對函數(shù)的零點設而不求，通過一種整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件最終解決問題，我們稱這類問題為“隱零點問題” 例 已知函數(shù) f(x)xexa(xln x) (1)討論 f(x)極值點的個數(shù)； (2)若 x0是 f(x)的一個極小值點，且 f(x0)0，證明：f(x0)2(x0 x30) (1)解 f(x)(x1)exa11x (x1)exax(x1)(xexa)x，x(0，) 當 a0 時，f(x)0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，不存在極值點； 當 a0 時，令 h(x)xexa， h(x)(x1)ex0. 顯然函數(shù)

2、h(x)在(0，)上是增函數(shù)， 又因為當 x0時，h(x)a0， 必存在 x00，使 h(x0)0. 當 x(0，x0)時，h(x)0，f(x)0，f(x)0，f(x)為增函數(shù) 所以，xx0是 f(x)的極小值點 綜上，當 a0 時，f(x)無極值點，當 a0時，f(x)有一個極值點 (2)證明 由(1)得，f(x0)0，即00exxa， f(x0)00exxa(x0ln x0)00exx(1x0ln x0)， 2 / 4 因為 f(x0)0，所以 1x0ln x00， 令 g(x)1xln x，g(x)11xg(1)得 x0，所以 (x)為增函數(shù)， (x)(1)0，即 (x)0， 即 ln

3、x1x， 所以 ln(x1)x10. 因為 x0(0,1)，所以0exx010,1x0ln x01x01x00， 相乘得0ex(1x0ln x0)(x01)(22x0)， 所以 f(x0)00exx(1x0ln x0)2x0(x01)(1x0)2x0(1x20)2(x0 x30) 結(jié)論成立 零點問題求解三步曲 (1)用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，列出零點方程 f(x0)0，并結(jié)合 f(x)的單調(diào)性得到零點的取值范圍 (2)以零點為分界點，說明導函數(shù) f(x)的正負，進而得到 f(x)的最值表達式 (3)將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明，有時(1)中的零點范圍還可以適當

4、縮小 已知函數(shù) f(x)ln xx2x，g(x)(x2)exx2m(其中 e為自然對數(shù)的底數(shù))當 x(0,13 / 4 時，f(x)g(x)恒成立，求正整數(shù) m的最大值 解 當 x(0,1時，f(x)g(x)， 即 m(x2)exln xx. 令 h(x)(x2)exln xx，x(0,1， 所以 h(x)(1x)ex1x， 當 00， 所以 u(x)在(0,1上單調(diào)遞增 因為 u(x)在區(qū)間(0,1上的圖象是一條不間斷的曲線， 且 u12 e20， 所以存在 x012，1 ，使得 u(x0)0， 即0ex1x0，所以 ln x0 x0. 當 x(0，x0)時，u(x)0，h(x)0，h(x)0. 所以函數(shù) h(x)在(0，x0上單調(diào)遞減，在x0,1)上單調(diào)遞增， 所以 h(x)minh(x0)(x02)0exln x0 x0 (x02)1x02x012x02x0. 因為 y12x2x在 x(0,1)上單調(diào)遞減， 又 x012，1 ，所以 h(x0)12x02x0