高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章 第7節(jié) 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 (2)

1、1 / 13 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 考試要求 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題 測(cè)量中的幾個(gè)常用術(shù)語 術(shù)語名稱 術(shù)語意義 圖形表示 仰角與俯角 在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角 方位角 從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角 的范圍是0 ，360 ) 方向角 正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西) 例：(1)北偏東 ： (2)南偏西 ： 坡角與坡度 坡面與水平面所成銳二面角叫坡角(為坡角)；

2、坡面的垂直高度與水平寬度之比叫坡度(坡比)，即 ihltan 提醒：涉及到角時(shí)，一定要弄清此角的始邊和終邊所在位置如方位角135 的始邊是指北方向線，始邊順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 135 得到終邊；方向角南偏西30 的始邊是指南方向線，向西旋轉(zhuǎn) 30 得到終邊 一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) 2 / 13 (1)東北方向就是北偏東 45 的方向( ) (2)從 a處望 b處的仰角為 ，從 b處望 a處的俯角為 ，則 ， 的關(guān)系為180 .( ) (3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系( ) (4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是0，2.

3、( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習(xí)題衍生 1點(diǎn) a在點(diǎn) b的北偏東 60 ，則點(diǎn) b在點(diǎn) a的( ) a北偏西 60 b南偏東 30 c南偏西 60 d北偏西 30 c 如圖所示，點(diǎn) b在點(diǎn) a的南偏西 60 ，故選 c. 2如圖所示，設(shè) a，b兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在 a所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn) c，測(cè)出 ac的距離為 50 m，acb45 ，cab105 后，就可以計(jì)算出 a，b兩點(diǎn)的距離為( ) a50 2 m b50 3 m c25 2 m d25 2 2m a 由正弦定理得absinacbacsin b， 又b30 ，abacsinacbsin b502212

4、50 2(m) 3.如圖所示，d，c，b三點(diǎn)在地面的同一條直線上，dca，從 c，d兩點(diǎn)測(cè)得 a點(diǎn)的仰角分別為 60 ，30 ，則 a點(diǎn)離地面的高度 ab_. 3 / 13 32a 由已知得dac30 ，adc為等腰三角形，所以 aca，所以在 rtacb中，abac sinacb32a. 4在一幢 10 m 高的房屋頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?60 ，塔基的俯角為30 ，假定房屋與塔基在同一水平地面上，則塔的高度為_m. 40 如圖所示，bd10 m， 則 ab20 m，ad20 cos 30 10 3 m， 在acd中，cd10 3 tan 60 30 m， 所以塔的高度 cb301040

5、m 考點(diǎn)一 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟 典例 1 (1)(2020 宜賓模擬)海上一艘輪船以 60 nmile/h 的速度向正東方向航行，在 a處測(cè)得小島 c在北偏西 30 的方向上，小島 d在北偏東 30 的方向上，航行 20 min 后到達(dá) b處測(cè)得小島 c在北偏西 60 的方向上，小島 d在北偏西 15 的方向上，則兩個(gè)小島間的距離 cd_nmile. (2)如圖所示，位于 a處的信息中心獲悉：在其正東方向相距 40海里的 b處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20海里的 c處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東 的方向沿直線

6、 cb 前往 b處救援，則 cos 的值為_ 4 / 13 (1)10 6 (2)2114(1)abc中，由題意可得： cab120 ，bca30 ，ab601320， 由正弦定理bcsincababsinbca， bcab sincabsinbca20321220 3. 在abd中，由于dab60 ，adb45 ， 由正弦定理可得：bdsindababsinadb，可得：bdab sindabsinadb20322210 6， bcd中，由余弦定理可得 cd2(10 6)2(20 3)2210 620 3cos 45 ， 解得：cd10 6.即兩個(gè)小島之間的距離 cd 為 10 6 nmil

7、e. (2)在abc中，ab40，ac20，bac120 ， 由余弦定理得 bc2ab2ac22ab ac cos 120 2 800， 得 bc20 7. 由正弦定理，得absinacbbcsinbac， 即 sinacbabbc sinbac217. 由bac120 ，知acb為銳角， 則 cosacb2 77. 由 acb30 ，得 cos cos(acb30 ) cosacbcos 30 sinacbsin 30 2114. 點(diǎn)評(píng)：解答此類問題的關(guān)鍵是正確理解題意，包括所涉及的方向角、方位5 / 13 角及仰角、俯角等，依據(jù)題意畫出示意圖 跟進(jìn)訓(xùn)練 1(2020 開封模擬)國慶閱兵式上

8、舉行升旗儀式，在坡度為 15 的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為 60 和30 ，第一排和最后一排的距離為 25米，則旗桿的高度約為( ) a17米 b22 米 c31米 d35米 c 如圖所示，依題意可知adc45 ，acd180 60 15 105 ， dac180 45 105 30 ， 由正弦定理可知cdsindacacsincda， accd sincdasindac25 2米 在 rtabc中， abac sinacb25 23225 6231米 旗桿的高度約為 31米，故選 c. 2(2020 宜昌模擬)

9、如圖所示，為了測(cè)量 a，b兩座島嶼間的距離，小船從初始位置 c出發(fā)，已知 a在 c 的北偏西 45 的方向上，b在 c的北偏東 15 的方向上，現(xiàn)在船往東開 2百海里到達(dá) e處，此時(shí)測(cè)得 b在 e的北偏西 30 的方向上，再開回 c處，由 c向西開 2 6百海里到達(dá) d處，測(cè)得 a在 d的北偏東 22.5 的方向上，則 a，b兩座島嶼間的距離為( ) a3百海里 b3 2百海里 c4百海里 d4 2百海里 b 如圖所示， 根據(jù)題意知：adcdac67.5 ，acb6 / 13 60 ，dc2 6，ce2，bce75 ， cbe45 ，ceb60 . 所以在bce中，利用正弦定理cbsinceb

10、cesincbe，解得 bc 6， 在adc 中，adcdac67.5 ，所以 dcac2 6， 則在acb 中，利用余弦定理 ab2ac2cb22ac cb cos 60 ，解得 ab3 2，故選 b. 考點(diǎn)二 平面幾何中的解三角形問題 與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路 求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系 具體解題思路如下： (1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解； (2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果 典例 2 如圖，在平面

11、四邊形 abcd中，daab，de1，ec 7，ea2，adc23，且cbe，bec，bce成等差數(shù)列 (1)求 sinced； (2)求 be的長 解 設(shè)ced. 因?yàn)閏be，bec，bce成等差數(shù)列， 所以 2beccbebce， 又cbebecbce， 所以bec3. (1)在cde中，由余弦定理得 ec2cd2de22cd de cosedc， 即 7cd21cd，即 cd2cd60， 解得 cd2(cd3 舍去) 7 / 13 在cde 中，由正弦定理得ecsinedccdsin ， 于是 sin cd sin 23ec2327217， 即 sinced217. (2)由題設(shè)知 03

12、，由(1)知 cos 1sin2121492 77，又aebbec23， 所以 cosaebcos23 cos 23cos sin 23sin 122 7732217714. 在 rteab中，cosaebeabe2be714， 所以 be4 7. 點(diǎn)評(píng)：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題 跟進(jìn)訓(xùn)練 (2020 江蘇高考)在abc中，角 a，b，c的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知 a3，c 2，b45 . (1)求 sin c的值； (2)在邊 bc上取一點(diǎn) d，使得 cosadc45，求

13、 tandac的值 解 (1)在abc中，因?yàn)?a3，c 2，b45 ， 由余弦定理 b2a2c22accos b， 得 b29223 2cos 45 5，所以 b 5. 在abc中，由正弦定理bsin bcsin c， 得5sin 452sin c，所以 sin c55. 8 / 13 (2)在adc中，因?yàn)?cosadc45， 所以adc為鈍角 而adcccad180 ，所以c為銳角 故 cos c 1sin2c2 55，則 tan csin ccos c12. 因?yàn)?cosadc45， 所以 sinadc 1cos2adc35， 所以 tanadcsinadccosadc34. 從而 t

14、andactan(180 adcc) tan(adcc)tanadctan c1tanadctan c 341213412211. 考點(diǎn)三 與三角形有關(guān)的最值、范圍問題 1三角形中的最值、范圍問題的解題策略 (1)定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍 (2)構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示 (3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值 2求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(diǎn) (1)涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已

15、知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 (2)注意題目中的隱含條件，如 abc，0a，bcabc，三角形中大邊對(duì)大角等 9 / 13 求角(函數(shù)值)的最值(范圍) 典例 31 (2020 浙江高考)在銳角abc 中，角 a，b，c所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知 2bsin a 3a0. (1)求角 b的大??； (2)求 cos acos bcos c的取值范圍 解 (1)由正弦定理，得 2sin bsin a 3sin a， 故 sin b32，由題意得 b3. (2)由 abc，得 c23a. 由abc是銳角三角形，得 a6，2. 由 cos ccos23a 1

16、2cos a32sin a，得 cos acos bcos c32sin a12cos a12 sina612312，32. 故 cos acos bcos c的取值范圍是312，32. 點(diǎn)評(píng)：求角(函數(shù)值)的最值(范圍)問題一般先將邊轉(zhuǎn)化為角表示，再根據(jù)三角恒等變換及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)表示，然后求解 求邊(周長)的最值(范圍) 典例 32 (2020 全國卷)abc中，sin2asin2bsin2csin bsin c. (1)求 a； (2)若 bc3，求abc周長的最大值 解 (1)由正弦定理和已知條件得 bc2ac2ab2ac ab. 由余弦定理得 bc2ac2

17、ab22ac abcos a 由得 cos a12. 10 / 13 因?yàn)?0a，所以 a23. (2)由正弦定理及(1)得acsin babsin cbcsin a2 3， 從而 ac2 3sin b， ab2 3sin(ab)3cos b 3sin b. 故 bcacab3 3sin b3cos b32 3sinb3. 又 0b3，所以當(dāng) b6時(shí)，abc周長取得最大值 32 3. 點(diǎn)評(píng)：求邊(周長)的最值(范圍)問題一般通過三角中的正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，再結(jié)合角的范圍求解，有時(shí)也可將角轉(zhuǎn)化為邊，利用均值不等式或函數(shù)最值求解 求三角形面積的最值(范圍) 典例 33 (2019

18、 全國卷)abc的內(nèi)角 a，b，c的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知 asinac2bsin a. (1)求 b； (2)若abc為銳角三角形，且 c1，求abc面積的取值范圍 解 (1)由題設(shè)及正弦定理得 sin asinac2 sin bsin a. 因?yàn)?sin a0，所以 sinac2sin b. 由 abc180 ，可得 sinac2cosb2， 故 cosb22sinb2cosb2. 因?yàn)?cosb20，故 sinb212，所以 b60 . (2)由題設(shè)及(1)知abc的面積 sabc34a. 由正弦定理得 acsin asin csin(120 c)sin c32tan c12. 1

19、1 / 13 由于abc 為銳角三角形，故 0 a90 ，0 c90 .由(1)知 ac120 ，所以 30 c90 ，故12a2，從而38sabc32. 因此，abc面積的取值范圍是38，32. 點(diǎn)評(píng)：求三角形面積的最值(范圍)的兩種思路 (1)將三角形面積表示為邊或角的函數(shù)，再根據(jù)條件求范圍 (2)若已知三角形的一個(gè)內(nèi)角(不妨設(shè)為 a)，及其對(duì)邊，則可根據(jù)余弦定理，利用基本不等式求 bc 的最值從而求出三角形面積的最值 跟進(jìn)訓(xùn)練 1在鈍角abc 中 ，角 a，b，c 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，b 為鈍角，若 acos absin a，則 sin asin c的最大值為( ) a 2 b98 c1 d78 b acos absin a，由正弦定理可得，sin acos asin bsin a，sin a0，cos asin b，又 b 為鈍角， ba2，sin asin csin asin(ab)sin acos 2asin a12sin2a2sin a14298， sin asi