圓周運動臨界問題

1、豎直平面內(nèi)的圓周運動的臨界問題般情況下，只討論最高點和最低點的情況,豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速圓周運動。 常涉及過最高點時的臨界問題。臨界問題的分析方法：首先明確物理過程，正確對研究對象進行受力分析，然后確定向心力,根據(jù)向心力公式列出方程，由方程中的某個力的變化與速度變化的對應(yīng)關(guān)系，從而分析找出臨界 值。1 .“繩模型”如圖6-11-1所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點情況。（注意：繩對小球只能產(chǎn)生拉力）圖 6-11-1（1）小球能過最高點的臨界條件：繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用2mg = m rv臨界=Rg（2）小球能過最高點條件：v > .Rg（當(dāng)v > ，麗

2、時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力）（3）不能過最高點條件：v <。而（實際上球還沒有到最高點時，就脫離了軌道）2 .“桿模型”如圖6-11-2所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點情況（注意：輕桿和細(xì)線不同，輕桿對小球既能產(chǎn)生拉力，又能產(chǎn)生推力。）圖 6-11-2（1）小球能最高點的臨界條件：v = 0 , F = mg （F為支持力）（2）當(dāng)0V vJR"時，F(xiàn)隨v增大而減小，且 mg > F > 0（F為支持力）（3）當(dāng) v = /Rg-時，F(xiàn)=0（4）當(dāng)v > JR5時，F(xiàn)隨v增大而增大，且F >0 （F為拉力）【案例剖析】例1.長為L的細(xì)繩

3、，一端系一質(zhì)量為 m的小球，另一端固定于某點，當(dāng)繩豎直時小球靜止, 再給小球一水平初速度 v0,使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，并且剛好能過最高點，則下列說法 中正確的是（）B.球過最高點時，繩的拉力為 mgA.球過最高點時，速度為零2C.開始運動時，繩的拉力為 m LD.球過最高點時，速度大小為 xTg圖 6-11-5解析：開始運動時，由小球受的重力mg和繩的拉力F的合力提供向心力,2F mv0_ mg,可見C不正確；小球剛好過最高點時，繩拉力為0, mg以，A、B、C均不正確。故選：D例2：如圖6-11-3所示，一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端。為圓心，使小球做半徑為 R的圓周運動，以

4、下說法正確的是()A.球過最高點時，桿所受的彈力可以等于零B .球過最高點時，最小速度為jRgC.球過最高點時，桿對球的彈力一定與球的重力方向相反D.球過最高點時，桿對球的彈力可以與球的重力反向，此時重力一定大于桿對球的彈力解析：小球用輕桿支持過最高點時，V臨0,故B不正確；當(dāng)v J而時，F(xiàn) = 0故A正確。當(dāng)0< v < jRg時,mg > F > 0 , F為支持力故D正確。當(dāng)v > jRg時，F(xiàn) >0, F為拉力，故C不 正確。故選：A、D例3.繩系著裝水的水桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，水的質(zhì)量m = 0.5kg,繩長L = 40cm,求：(1 )為使

5、桶在最高點時水不流出，桶的最小速率？(2 )桶在最高點速率 v = 3m/s時，水對桶底的壓力？解析：(1)在最高點水不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需的向心力。即：V 2mg m -0,則最小速率 v0 JRg J0410 m/s = 2m/s R(2)水在最高點速率大于 vO時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的2壓力，設(shè)為F,由牛頓第二定律有 F + mg =m,R水對桶底的作用力 F/ = F = 6.25N ,方向豎直向上。2. vF = m mg = 6.25N,由牛頓第三定律知,【知識鏈接】如圖6-11-4所示，地球可以看作一個巨大的拱形橋，橋面的半徑就是地

6、球半徑R (約為6400km)。地面上有一輛汽車，重量是 G = mg,地面對它的支持力是 F。汽車沿南北方向行駛,不斷加速。根據(jù)上面的分析，汽車速度越大，地面對它的支持力就越小，會不會出現(xiàn)這樣的情況：速度 大到一定程度時，地面對車的支持力是零？這時駕駛員 與座椅之間的壓力是多少？駕駛員身體各部分之間的壓 力是多少？他這時可能有什么感覺？ (g取10m/s?)地球可以看作一個巨大的拱形橋圖 6-11-4【目標(biāo)達(dá)成】1 .如圖6-11-5所示，細(xì)線的一端有一個小球，現(xiàn)給小球一初速度，使小球繞細(xì)線另一端 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，不計空氣阻力，用 F表示球到達(dá)最高點時細(xì)線對小球的作用力，則OF可能( )A

7、.是拉力B.是推力C.等于零D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零解析：到最高點臨界速度為 v臨 曬,當(dāng)v v臨界時，F(xiàn)=0；當(dāng)v v臨界時，F(xiàn)為拉力。 故選：A、C2 . （1999年 全國）如圖6-11-6所示，細(xì)桿的一端與小球相連，可繞過。點的水平軸自由轉(zhuǎn)動，現(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運動，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿圖 6-11-6對球的作用力可能是（）A . a處為拉力，b處為拉力 B. a處為拉力，b處為推力 C. a處為推力，b處為拉力 D. a處為推力，b處為推力解析：小球到最低點時，向心力向上，此時細(xì)桿的作用力與小球的重力的合力提供向心力，細(xì)桿作用力向

8、上，一定為拉力；當(dāng)?shù)阶罡唿c時，向心力向下，當(dāng) 0 V JRg時，F(xiàn)向 mg，此 時為推力，當(dāng)v jRg , F向 mg ,此時為拉力。故選： A、B3 .長為L的輕桿，一端固定一個小球，另一端與光滑的水平軸相連?，F(xiàn)給小球一個初速度， 使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動， 已知小球在最高點時的速度為 v,則下列敘述正確的是（）a . v的最小值為jgcB. v由零逐漸增大，向心力也逐漸增大C. v由零逐漸增大，桿對小球的彈力也逐漸增大D . v由JgL逐漸減小，桿對小球的彈力逐漸增大2解析：這是“桿模型”，小球到最高點速度 v 0, A錯；由F向 m/得，v增大，F(xiàn)向增 大，B對；當(dāng)0< v &

9、lt; JLg時，彈力F隨v減小而增大（F為支持力），當(dāng)v >JLg時，F(xiàn)隨v增大 而增大（F為拉力），C錯，D對。故選：B、D4.質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道的內(nèi)側(cè)運動，經(jīng)過最高點而不脫離軌道的臨界速度為v,當(dāng)小球以2V的速度經(jīng)過最高點時，對軌道的壓力是（）A . 0B . mgC. 3mgD . 5mg2 2解析：到最局點臨界速度為 v,則：mg mv_；當(dāng)速度為2V時，則：f mg m（2v_（F RR為壓力）；由上兩式解得：F = 3mg。故選：C-受拉力分別為F1、F2，則（）A . V1 = "5gLB. v2 = 0解析：小球恰能通過最高點，細(xì)線拉力1 2

10、12得：mv1mg|2L mv2 ,解得：2 25.長為L的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為 m的小球，小球繞細(xì)繩另一固定端在豎直平面內(nèi)做圓周運動 并恰能通過最高點，不計空氣阻力，設(shè)小球通過最低點和最高點時的速度分別為V1和v2,細(xì)線所C. F1 = 5mgD. F2= 02F2= 0,有mg m2-,得v2 = 7gL ；由機械能守恒2v1r5gL ;通過最低點時，有 F1 mg m-,解得F1 6mg。故選：A、D6.質(zhì)量可忽略，長為 L的輕棒，末端固定一質(zhì)量為m的小球，要使其繞另一端點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，那么小球在最低點時的速度v必須滿足的條件為 （）A. v > 72gLB. V >

11、 >/3 C. V >2yfgLD.解析：小球到最高點速度V1 >0,由機械能守恒得：-mv22v> 75gL1mg |2L mv1 ,斛得：v >2、,gL。故選：C7 .如圖6-11-7所示，一個高為h的斜面，與半徑為 R的圓形軌道平滑地連接在一起?，F(xiàn)有B而不落下，則斜面的高度 h解析:2小球到達(dá)頂端 B速度為v,則：mg m包 R解得：v>.Rg ,由機械能守恒得：mgh mg(2R解得：h5r2小球從斜面的頂端無初速地滑下，若要使小球通過圓形軌道的頂端 應(yīng)為多大？8.如圖6-11-8所示，桿長為L,桿的一端固定一質(zhì)量為 m的小球，桿的質(zhì)量忽略不計，整

12、個 系統(tǒng)繞桿的另一端 O在豎直平面內(nèi)作圓周運動，求：(1)小球在最高點 A時速度vA為多大時，才能使桿對小球 m的作用力為零？(2)小球在最高點 A時，桿對小球的作用力 F為拉力和推力時的臨界速度是多少？(3)如m = 0.5kg, L = 0.5m, vA = 0.4m/s,則在最高點A和最低點 各是多大？是推力還是拉力？解析：(1)若桿和小球之間相互作用力為零，那么小球作圓B時，桿對小球m的作用力周運動的向心力由重力 mg提供，mg2mvA解得：vALg(2)若小球m在最高點A時受拉力F,則2v 1 F mg m 解得 Vi, gL m. Lg若小球m在最高點A時受推力F,則mg2m -

13、解得:LV2FL -Lg m可見Va JLg是桿對小球 m的作用力(3)桿長L = 0.5m時，臨界速度v臨F在推力和拉力之間突變的臨界速度VLg- 'Z05_10 m/s =2.2 m/s ,vA = 0.4m/s < V臨，桿對小球有推力FA。由mgfam解得:Famg2VamL,0.5 0.42、(0.5 10 )0.5為參考面，則有1 mv2N = 4.84N ,由A至ij B只有重力做功，機械能守恒，設(shè)mg|2L 1mvB2解得:B點所處水平面VbVa2Fb mg4gL2 vB m -£-L-0.42解得Fb4 10 0.5 m/s = 4.5m/s ,2VB

14、mg m -B-(0.5 10在最低點B，小球m受拉力Fb ,由一一 _ 2。5 4.520.5)N = 25.3N【拓展提高】9.如圖6-11-9所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形軌道 點為軌道最高點，DB為豎直線，AC為水平線，AE為水 平面，今使小球自 A點正上方某處由靜止釋放，且從 A點進入ABCD ,其A點與圓心等高，DDE圓形軌道運動，通過適當(dāng)調(diào)整釋放點的高度，總能保證小球最終 通過最高點D,則小球在通過D點后A .會落到水平面 AE上B. 一定會再次落到圓軌道上C.可能會落到水平面 AE上D.可能會再次落到圓軌道上解析：小球剛好能過最高點時速度v=jRg,離開D后作平拋運動，下落高度為 R時間為t2R ,水平位移x = vt = J2R>R,所以，小球一定落在 AE上。故選：A10.如圖6-9-10所示，半徑為 R,內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放 置，AB段平直，質(zhì)量為m的小球以水平初速度 v0射入圓管。(1)若要小球能從 C端出來，初速度v0多大？(2)在小球從C端出來瞬間，對管壁壓力有哪 幾種典型情況，初速度 v0各應(yīng)滿足什么條件？12-mv0 =2解析：(1)小球恰好能達(dá)到最高點的條件是v臨=0,此時需要初速度為 v0,由機械能守恒 mg|2