高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章 第3節(jié) 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值問題

1、1 / 12 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值問題 考試要求 1.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件. 2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次). 3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次) 1函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 條件 f(x0)0 x0附近的左側(cè) f(x)0，右側(cè) f(x)0 x0附近的左側(cè) f(x)0，右側(cè) f(x)0 圖象 形如山峰 形如山谷 極值 f(x0)為極大值 f(x0)為極小值 極值點 x0為極大值點 x0為極小值點 提醒：(1)函數(shù) f(x)在 x0處有極值的必要不充分條件是 f(x0)0，極值點是f(x)0 的根，但 f

2、(x)0 的根不都是極值點(例如 f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是極值點) (2)極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)極值點是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點，不會是端點 2函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù) f(x)在a，b上有最值的條件 如果在區(qū)間a，b上函數(shù) yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值 (2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟 求函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 2 / 12 將函數(shù) yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值 f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值 常用結(jié)論 1若函數(shù) f(x)的圖象連續(xù)

3、不斷，則 f(x)在a，b上一定有最值 2若函數(shù) f(x)在a，b上是具有單調(diào)性，則 f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值 3若函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大( ) (2)對可導(dǎo)函數(shù) f(x)，f(x0)0是 x0點為極值點的充要條件( ) (3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值( ) (4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習(xí)題衍生 1.函數(shù) f(x)的定義域為 r，導(dǎo)函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù) f(x)(

4、) a無極大值點、有四個極小值點 b有三個極大值點、一個極小值點 c有兩個極大值點、兩個極小值點 d有四個極大值點、無極小值點 c 設(shè) f(x)的圖象與 x 軸的 4個交點從左至右依次為 x1，x2，x3，x4. 當(dāng) xx1時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)， 當(dāng) x1xx2時，f(x)0，f(x)為減函數(shù)，則 xx1為極大值點，同理，xx3為極大值點，xx2，xx4為極小值點，故選 c. 2設(shè)函數(shù) f(x)2xln x，則( ) ax12為 f(x)的極大值點 3 / 12 bx12為 f(x)的極小值點 cx2 為 f(x)的極大值點 dx2為 f(x)的極小值點 d f(x)2x21xx2

5、x2(x0)， 當(dāng) 0 x2時，f(x)0，當(dāng) x2 時，f(x)0， 所以 x2為 f(x)的極小值點 3函數(shù) f(x)ln xx在區(qū)間(0，e上的最大值為_ 1 f(x)1x1，令 f(x)0得 x1. 當(dāng) x(0,1)時，f(x)0；當(dāng) x(1，e時，f(x)0. 當(dāng) x1時，f(x)取得最大值，且 f(x)maxf(1)ln 111. 4函數(shù) f(x)x312x的極小值為_，極大值為_ 16 16 f(x)3x212，令 f(x)0，即 3x2120， 解得 x 2，當(dāng) x2時，f(x)0，當(dāng)2x2時，f(x)0，當(dāng) x2 時，f(x)0， 因此 x2 是極大值點，x2 是極小值點，f

6、(x)極大f(2)(2)312(2)16，f(x)極小f(2)2312216. 考點一 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程 根據(jù)函數(shù)圖象求值問題 典例 11 函數(shù) f(x)x3bx2cxd的大致圖象如圖所示，則 x21x22等4 / 12 于( ) a89 b109 c169 d289 c 因為函數(shù) f(x)的圖象過原點，所以 d0.又 f(1)0 且 f(2)0，即1bc0且 84b2c0，解得 b1，c2，所以函數(shù) f(x)x3x22x，所以 f(x)3x22x2.由題意知 x1，x2是函數(shù) f(x)的極值點，所以 x1，x2是 f(x)0 的兩個根，所以 x1

7、x223，x1x223，所以 x21x22(x1x2)22x1x24943169，故選 c. 點評：可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)一定為零，是否為極值點以及是極大值點還是極小值點要看在極值點左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號 求已知函數(shù)的極值 典例 12 已知函數(shù) f(x)(x2)(exax)，當(dāng) a0時，討論 f(x)的極值情況 解 f(x)(exax)(x2)(exa) (x1)(ex2a)， 由 f(x)0 得 x1或 xln 2a(a0) 當(dāng) ae2時，f(x)(x1)(exe)0， f(x)在 r 上單調(diào)遞增，故 f(x)無極值 當(dāng) 0ae2時，ln 2a1，當(dāng) x 變化時，f(x)，f(x)的變化情況

8、如下表： x (，ln 2a) ln 2a (ln 2a,1) 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 極大值 極小值 故 f(x)有極大值 f(ln 2a)a(ln 2a2)2，極小值 f(1)ae. 5 / 12 當(dāng) ae2時，ln 2a1，當(dāng) x 變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表： x (，1) 1 (1，ln 2a) ln 2a (ln 2a，) f(x) 0 0 f(x) 極大值 極小值 故 f(x)有極大值 f(1)ae， 極小值 f(ln 2a)a(ln 2a2)2. 綜上，當(dāng) 0ae2時，f(x)有極大值a(ln 2a2)2，極小值 ae； 當(dāng) ae2時，f(x)無

9、極值； 當(dāng) ae2時，f(x)有極大值 ae，極小值a(ln 2a2)2. 點評：求極值時，要注意 f(x)0的根是否在定義域內(nèi) 已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍 典例 13 (1)已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1時有極值 0，則 ab_. (2)設(shè)函數(shù) f(x)ax2(3a1)x3a2ex.若 f(x)在 x1處取得極小值，求a 的取值范圍 (1)7 由題意，得 f(x)3x26axb，則 a23ab10，b6a30， 解得 a1，b3，或 a2，b9， 經(jīng)檢驗，當(dāng) a1，b3 時，函數(shù) f(x)在 x1處無法取得極值， 而 a2，b9滿足題意， 故 ab7. (2)解 由 f(x)a

10、x2(3a1)x3a2ex，得 f(x)ax2(a1)x1ex (ax1)(x1)ex. 若 a1，則當(dāng) x1a，1 時，f(x)0； 當(dāng) x(1，)時，f(x)0. 所以 f(x)在 x1 處取得極小值 6 / 12 若 a1，則當(dāng) x(0,1)時，ax1x10， 所以 f(x)0. 所以 1不是 f(x)的極小值點 綜上可知，a的取值范圍是(1，) 點評：已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(lǐng) (1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為 0 和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解 (2)驗證：因為某點處的導(dǎo)數(shù)值等于 0 不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性 跟進(jìn)訓(xùn)

11、練 1已知函數(shù) f(x)x(xc)2在 x2 處有極小值，則實數(shù) c 的值為( ) a6 b2 c2或 6 d0 b 由 f(2)0 可得 c2 或 6.當(dāng) c2時，結(jié)合圖象(圖略)可知函數(shù)先增后減再增，在 x2處取得極小值；當(dāng) c6時，結(jié)合圖象(圖略)可知，函數(shù)在 x2 處取得極大值故選 b. 2已知三次函數(shù) f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖所示，則f(0)f(1)_. 1 f(x)3ax22bxc，由圖象知，方程 f(x)0的兩根為1和 2，則有 2b3a12，c3a12， 即 3a2b0，6ac0， f(0)f(1)c3a2bccc1. 3(2019 江蘇高考節(jié)選)設(shè)函數(shù) f(x)(

12、xa)(xb)(xc)，a，b，cr，f(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若 ab，bc，且 f(x)和 f(x)的零點均在集合3,1,3中，求 f(x)的極小值 7 / 12 解 因為 bc，所以 f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，從而 f(x)3(xb)x2ab3. 令 f(x)0，得 xb 或 x2ab3. 因為 a，b，2ab3都在集合3,1,3中，且 ab， 所以2ab31，a3，b3. 此時，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1) 令 f(x)0，得 x3 或 x1. 列表如下： x (，3) 3 (3,1) 1 (1，) f(x) 0 0

13、 f(x) 極大值 極小值 所以 f(x)的極小值為 f(1)(13)(13)232. 考點二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 1求函數(shù) f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟 2求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值 典例 2 (2020 青島模擬)已知函數(shù) f(x)excos xx. (1)求曲線 yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程； (2)求函數(shù) f(x)在區(qū)間0，2上的最大值和最小值 8 / 12 解 (1)因為 f(x)excos xx，所以 f(x)ex(cos xsin

14、 x)1，f(0)0. 又因為 f(0)1，所以曲線 yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為 y1. (2)設(shè) h(x)ex(cos xsin x)1，則 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x. 當(dāng) x0，2時，h(x)0，所以 h(x)在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減 所以對任意 x0，2，有 h(x)h(0)0，即 f(x)0. 所以函數(shù) f(x)在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減 因此 f(x)在區(qū)間0，2上的最大值為 f(0)1，最小值為 f22. 點評：當(dāng)導(dǎo)函數(shù) yf(x)無法判斷正負(fù)時，可令 g(x)f(x)再求 g(x)，先判斷 g(x)f(x)的單調(diào)性，再根據(jù)

15、單調(diào)性確定 yf(x)的正負(fù)號 跟進(jìn)訓(xùn)練 已知函數(shù) f(x)ln xax(ar) (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng) a0時，求函數(shù) f(x)在1,2上的最小值 解 (1)f(x)1xa(x0)， 當(dāng) a0時，f(x)1xa0，即函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，) 當(dāng) a0時，令 f(x)1xa0，可得 x1a， 當(dāng) 0 x1a時，f(x)1axx0； 當(dāng) x1a時，f(x)1axx0， 故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，1a， 單調(diào)遞減區(qū)間為1a， . 綜上可知，當(dāng) a0時，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)； 當(dāng) a0時，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，1a， 9 /

16、 12 單調(diào)遞減區(qū)間為1a， . (2)當(dāng) 01a1，即 a1時，函數(shù) f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a. 當(dāng)1a2，即 0a12時，函數(shù) f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，所以 f(x)的最小值是 f(1)a. 當(dāng) 11a2，即12a1 時，函數(shù) f(x)在1，1a上單調(diào)遞增，在1a，2 上單調(diào)遞減 又 f(2)f(1)ln 2a， 所以當(dāng)12aln 2 時，最小值是 f(1)a； 當(dāng) ln 2a1時，最小值為 f(2)ln 22a. 綜上可知， 當(dāng) 0aln 2 時，函數(shù) f(x)的最小值是 f(1)a； 當(dāng) aln 2 時，函數(shù) f(x)的最小

17、值是 f(2)ln 22a. 考點三 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的四個步驟 (1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式 yf(x) (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f(x)，解方程 f(x)0. (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和 f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值 (4)回歸實際問題，結(jié)合實際問題作答 典例 3 (2020 江蘇高考)某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底 o在水平線 mn上，橋 ab與 mn平行，oo為鉛垂線(o在 ab上)經(jīng)測量，左側(cè)曲線 ao上任一點 d到 mn

18、的距離10 / 12 h1(米)與 d到 oo的距離 a(米)之間滿足關(guān)系式 h1140a2；右側(cè)曲線 bo上任一點 f到 mn的距離 h2(米)與 f 到 oo的距離 b(米)之間滿足關(guān)系式 h21800b36b.已知點 b到 oo的距離為 40米 (1)求橋 ab的長度； (2)計劃在谷底兩側(cè)建造平行于 oo的橋墩 cd和 ef，且 ce為 80 米，其中 c，e在 ab上(不包括端點)橋墩 ef每米造價 k(萬元)，橋墩 cd每米造價32k(萬元)(k0)，問 oe為多少米時，橋墩 cd與 ef的總造價最低？ 解 (1)如圖，設(shè) aa1，bb1，cd1，ef1都與 mn垂直，a1，b1，

19、d1，f1是相應(yīng)垂足由條件知，當(dāng)ob40 時，bb11800403640160，則 aa1160. 由140oa2160， 得 oa80. 所以 aboaob8040120(米) (2)以 o為原點，oo為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系 xoy(如圖所示) 設(shè) f(x，y2)，x(0,40)，則 y21800 x36x， ef160y21601800 x36x. 因為 ce80，所以 oc80 x. 設(shè) d(x80，y1)，則 y1140(80 x)2， 所以 cd160y1160140(80 x)2140 x24x. 記橋墩 cd 和 ef的總造價為 f(x)， 則 f(x)k1601800 x36x 32k140 x24x k1800 x3380 x2160 (0 x40) 11 / 12 f(x)k3800 x2340 x 3k800 x(x20)， 令 f(x)0，得 x20. x (0,20) 20 (20,40) f(x) 0 f(x) 極小值 所以當(dāng) x20時，f(x)取得最小值 答：(1)橋 ab的長度為 120 米； (2)當(dāng) oe為 20 米時，橋墩 cd 和 ef的總造價最低 點評：實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等一般都需要利用導(dǎo)數(shù)求